資源簡介

專題61 隨機事件、頻率與概率（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】隨機事件的關(guān)系 4
【考點2】隨機事件的頻率與概率 5
【考點3】互斥事件與對立事件的概率 7
【分層檢測】 8
【基礎(chǔ)篇】 8
【能力篇】 10
考試要求：
1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.
2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.
1.概率與頻率
一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).
2.事件的運算
定義 表示法 圖示
并事件 事件A與事件B至少有一個發(fā)生，稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 事件A與事件B同時發(fā)生，稱這樣一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB)
3.事件的關(guān)系
定義 表示法 圖示
包含關(guān)系 若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
互斥事件 如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，則A與B互斥
對立事件 如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，則A與B對立
1.從集合的角度理解互斥事件和對立事件
(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.
(2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.
2.概率加法公式的推廣
當一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時， 要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
一、單選題
1．（2024·上海·高考真題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（ ）
A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立
C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立
2．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
二、解答題
3．（2024·上海·高考真題）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：
時間范圍學業(yè)成績
優(yōu)秀 5 44 42 3 1
不優(yōu)秀 134 147 137 40 27
(1)該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？
(2)估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）
(3)是否有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)？
（附：其中，．）
4．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）
【考點1】隨機事件的關(guān)系
一、單選題
1．（2024·寧夏銀川·二模）2024年的高考數(shù)學將在6月7日下午進行，其中數(shù)學有12道單項選擇題，如果每道選擇題的答案是從A，B，C，D四個選項中隨機生成，那么請你運用概率統(tǒng)計的知識，推斷分析下列哪個選項最有可能成為2024年高考數(shù)學選擇題的答案分布（ ）
A．AAAAAAAAAAAA B．ABCDABCDABCD
C．CDABACADCBDB D．DBCCCDCDBDBD
2．（23-24高一上·廣東梅州·開學考試）兩名同學在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗是（ ）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；
B．擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率；
C．轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；
D．從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率．
二、多選題
3．（2024·浙江·三模）已知，，是一個隨機試驗中的三個事件，且，，下列說法正確的是（ ）
A．若與互斥，則與不相互獨立
B．若與相互獨立，則與不互斥
C．若，且，則與相互獨立
D．若，則，，兩兩獨立
4．（2024·江西宜春·三模）同時拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點數(shù)相同．下列說法正確的有（ ）
A．事件A與事件B對立 B．事件A與事件B相互獨立
C．事件A與事件C相互獨立 D．
三、填空題
5．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件A表示“向上的點數(shù)是偶數(shù)”，事件B表示“向上的點數(shù)不超過4”，則 ．
6．（2024·重慶·模擬預測）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法調(diào)查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是 ．
反思提升：
1.準確把握互斥事件與對立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；(2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生.
2.判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.
【考點2】隨機事件的頻率與概率
一、單選題
1．（22-23高一下·福建莆田·期末）某射擊運動員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示：
射擊次數(shù) 50 100 200 400 1000
射中8環(huán)以上的次數(shù) 44 78 158 320 800
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該射擊運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（ ）
A．0.78 B．0.79 C．0.80 D．0.82
2．（2024·四川綿陽·模擬預測）某教育機構(gòu)為調(diào)查中小學生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（ ）

A．估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天
B．估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3
C．估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時
D．估計該學生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）某校高三年級有（1），（2），（3）三個班，一次期末考試，統(tǒng)計得到每班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率（數(shù)學成績在120分以上的學生人數(shù)與該班學生總?cè)藬?shù)之比）如表所示：
班級 （1） （2） （3）
優(yōu)秀率 80% 85% 75%
則下列說法一定正確的是（ ）
A．（2）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最高
B．（3）班的學生人數(shù)不一定最少
C．該年級全體學生數(shù)學成績的優(yōu)秀率為80%
D．若把（1）班和（2）班的數(shù)學成績放在一起統(tǒng)計，得到優(yōu)秀率為83%，則（1）班人數(shù)多于（2）班人數(shù)
4．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）為了保證擲骰子游戲的公正性，可以用正n面體的骰子來進行游戲．下列數(shù)字可以作為n的取值的是（ ）
可能用到的公式：多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為，則.
A．4 B．12 C．16 D．20
三、填空題
5．（2024·廣東廣州·三模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎品在哪個箱子里，當抽獎人選擇了某個箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機打開了另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇以便增加中獎概率．現(xiàn)在已知甲選擇了號箱，用表示號箱有獎品（），用表示主持人打開號箱子（），則 ，若抽獎人更改了選擇，則其中獎概率為 ．
反思提升：
1.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.
2.利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.
【考點3】互斥事件與對立事件的概率
一、單選題
1．（2024·上海·三模）在一個有限樣本空間中，假設(shè)，且A與B相互獨立，A與C互斥，以下說法中，正確的個數(shù)是（ ）
① ② ③若，則B與C互斥
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·山東煙臺·三模）一袋子中裝有5個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個黑球，從中不放回的每次取出1個小球，連續(xù)取兩次，則取出的這兩個小球顏色不同的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·云南大理·模擬預測）假設(shè)是兩個事件，且，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）隨機投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，記3次擲出的點數(shù)之積為，擲出的點數(shù)之和為，則（ ）
A．事件“”和“”相等 B．事件“”和“”互斥
C．為奇數(shù)的概率為 D．的概率為
三、填空題
5．（22-23高二下·天津·期末）天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號，天津話妙趣橫生，天津相聲精彩紛呈，是最具特色的旅游亮點之一.某位北京游客經(jīng)常來天津聽相聲，每次從北京出發(fā)來天津乘坐高鐵和大巴的概率分別為0.6和0.4，高鐵和大巴準點到達的概率分別為0.9和0.8，則他準點到達天津的概率是 （分數(shù)作答）.若他已準點抵達天津，則此次來天津乘坐高鐵準點到達比乘坐大巴準點到達的概率高 （分數(shù)作答）.
6．（2024·天津和平·二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為 ；若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為 ．
反思提升：
1.求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來.
2.求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算；二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法比較簡便.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇鹽城·一模）已知隨機事件A，B相互獨立，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣東·三模）為樣本空間，隨機事件A、B滿足，，則有（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東菏澤·模擬預測）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學同時到三個不同的社區(qū)參加公益活動，每個社區(qū)至少分配一名同學.設(shè)事件“恰有兩人在同一個社區(qū)”，事件“甲同學和乙同學在同一個社區(qū)”，事件“丙同學和丁同學在同一個社區(qū)”，則下面說法正確的是（ ）
A．事件與相互獨立 B．事件與是互斥事件
C．事件與相互獨立 D．事件與是對立事件
4．（2024·山西太原·一模）甲，乙兩名同學要從A、B、C、D四個科目中每人選取三科進行學習，則兩人選取的科目不完全相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取出2個球．事件A＝“兩次取到的球顏色相同”；事件B＝“第二次取到紅球”；事件C＝“第一次取到紅球”．下列說法正確的是（ ）
A． B．事件B與事件C是互斥事件
C． D．
6．（2024·山東·模擬預測）袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（ ）
A． B．
C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨立
7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）同時投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（ ）
A．與相互對立 B．與相互獨立
C． D．
三、填空題
8．（2024·廣東廣州·模擬預測）選手甲和乙進行乒乓球比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，采用五局三勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進行了三局的概率為 .
9．（2024·吉林·模擬預測）中國成功搭建了國際首個通信與智能融合的6G外場試驗網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標準和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項目時遇到了一項技術(shù)難題，由甲、乙兩個團隊分別獨立攻關(guān).已知甲、乙團隊攻克該項技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7，則該科研院攻克這項技術(shù)難題的概率為 ．
四、解答題
10．（2024·四川成都·模擬預測）《中華人民共和國未成年人保護法》保護未成年人身心健康，保障未成年人合法權(quán)益.我校擬選拔一名學生作為領(lǐng)隊，帶領(lǐng)我校志愿隊上街宣傳未成年人保護法.現(xiàn)已從全校選拔出甲 乙兩人進行比賽，比賽規(guī)則是：準備了5個問題讓選手回答，選手若答對問題，則自己得1分，該選手繼續(xù)作答；若答錯問題，則對方得1分，換另外選手作答.比賽結(jié)束時分數(shù)多的一方獲勝，甲 乙能確定勝負時比賽就結(jié)束，或5個問題回答完比賽也結(jié)束.已知甲 乙答對每個問題的概率都是.競賽前抽簽，甲獲得第一個問題的答題權(quán).
(1)求前三個問題回答結(jié)束后乙獲勝的概率；
(2)求甲同學連續(xù)回答了三次問題且獲勝的概率.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇·模擬預測）一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面上分別標有數(shù)字1到8，將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為，事件：，事件，事件，則下列正確的是（ ）
A． B．
C．互斥 D．相互獨立
二、多選題
2．（2024·廣東珠海·一模）設(shè)A，B為隨機事件，且，是A，B發(fā)生的概率．，則下列說法正確的是（ ）
A．若A，B互斥，則
B．若，則A，B相互獨立
C．若A，B互斥，則A，B相互獨立
D．與相等
三、填空題
3．（2024·天津河北·二模）學習小組為了研究手機對學生學習的影響，對本學校學生手機使用情況統(tǒng)計分析有以下結(jié)果：若學生前一天沒有玩手機，則接下來一天也不玩手機的概率為0.7，若學生前一天玩手機，接下來一天也玩手機的概率為0.8. 已知一個學生第一天沒玩手機，根據(jù)這個統(tǒng)計結(jié)果計算，那么他第二天玩手機的概率為 ，第三天不玩手機的概率為 .
四、解答題
4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）在一場羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍. 比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對陣，每組的勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”. 接著，“勝區(qū)”中兩人對陣，勝者進入“決賽區(qū)”；“敗區(qū)”中兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名. 然后，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者進入“決賽區(qū)”，敗者獲第三名. 最后，“決賽區(qū)”的兩人進行冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名. 已知甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，且不同對陣的結(jié)果相互獨立.
(1)若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁；
①求甲獲得第四名的概率；
②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學期望；
除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對陣，每組的勝者進入“決賽區(qū)”，敗者淘汰；最后，“決賽區(qū)”的兩人進行冠軍決賽，勝者獲得冠軍. 已知甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，則哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題61 隨機事件、頻率與概率（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】隨機事件的關(guān)系 7
【考點2】隨機事件的頻率與概率 11
【考點3】互斥事件與對立事件的概率 15
【分層檢測】 19
【基礎(chǔ)篇】 19
【能力篇】 25
考試要求：
1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.
2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.
1.概率與頻率
一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).
2.事件的運算
定義 表示法 圖示
并事件 事件A與事件B至少有一個發(fā)生，稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 事件A與事件B同時發(fā)生，稱這樣一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB)
3.事件的關(guān)系
定義 表示法 圖示
包含關(guān)系 若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
互斥事件 如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，則A與B互斥
對立事件 如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，則A與B對立
1.從集合的角度理解互斥事件和對立事件
(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.
(2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.
2.概率加法公式的推廣
當一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時， 要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
一、單選題
1．（2024·上海·高考真題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（ ）
A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立
C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立
2．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
二、解答題
3．（2024·上海·高考真題）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：
時間范圍學業(yè)成績
優(yōu)秀 5 44 42 3 1
不優(yōu)秀 134 147 137 40 27
(1)該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？
(2)估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）
(3)是否有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)？
（附：其中，．）
4．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）
參考答案：
題號 1 2
答案 B D
1．B
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，逐一判斷選項即可．
【詳解】選項A，事件和事件可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結(jié)，又有記事本，事件與事件不互斥，A錯誤；
選項B，，，，
，B正確；
選項C，事件與事件可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結(jié)，又有記事本或筆袋，C錯誤；
選項D，，，，
，
與不獨立，故D錯誤．
故選：B．
2．D
【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對三者進行比較即可解決
【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，
則此時連勝兩盤的概率為
則
；
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，
則
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
則
即，，
則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項A判斷錯誤.
故選：D
3．(1)
(2)
(3)有
【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可得到答案；
（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.
【詳解】（1）由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比，
則估計該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為．
（2）估計該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為
．
則估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.
（3）由題列聯(lián)表如下：
其他 合計
優(yōu)秀 45 50 95
不優(yōu)秀 177 308 485
合計 222 358 580
提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關(guān)．
其中．
．
則零假設(shè)不成立，
即有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)．
4．(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由頻率估計概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.
(3) 計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.
【詳解】（1）由頻率估計概率可得
甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，
故答案為0.4
（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙奪冠概率估計值最大.
因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.
【考點1】隨機事件的關(guān)系
一、單選題
1．（2024·寧夏銀川·二模）2024年的高考數(shù)學將在6月7日下午進行，其中數(shù)學有12道單項選擇題，如果每道選擇題的答案是從A，B，C，D四個選項中隨機生成，那么請你運用概率統(tǒng)計的知識，推斷分析下列哪個選項最有可能成為2024年高考數(shù)學選擇題的答案分布（ ）
A．AAAAAAAAAAAA B．ABCDABCDABCD
C．CDABACADCBDB D．DBCCCDCDBDBD
2．（23-24高一上·廣東梅州·開學考試）兩名同學在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗是（ ）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；
B．擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率；
C．轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；
D．從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率．
二、多選題
3．（2024·浙江·三模）已知，，是一個隨機試驗中的三個事件，且，，下列說法正確的是（ ）
A．若與互斥，則與不相互獨立
B．若與相互獨立，則與不互斥
C．若，且，則與相互獨立
D．若，則，，兩兩獨立
4．（2024·江西宜春·三模）同時拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點數(shù)相同．下列說法正確的有（ ）
A．事件A與事件B對立 B．事件A與事件B相互獨立
C．事件A與事件C相互獨立 D．
三、填空題
5．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，事件A表示“向上的點數(shù)是偶數(shù)”，事件B表示“向上的點數(shù)不超過4”，則 ．
6．（2024·重慶·模擬預測）為研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法調(diào)查了人，已知非吸煙者占比，吸煙者中患肺癌的有人，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果表明，吸煙者患肺癌的概率是未吸煙者患肺癌的概率的倍，則估計本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)是 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 C D ABC BC
1．C
【分析】根據(jù)隨機事件的特征進行逐個判斷即可.
【詳解】A選項全部是A答案,很顯然不正確.
B選項A,B,C,D每個有3個答案,但不具備隨機性.
D選項沒有A答案,也不正確.
C選項A,B,C,D每個有3個答案,具備隨機性,C正確.
故選:C.
2．D
【分析】先根據(jù)頻率和概率的關(guān)系得到概率為，再對四個選項一一判斷得到D正確.
【詳解】根據(jù)統(tǒng)計圖可知，實驗結(jié)果在0.33附近波動，即其概率，
選項A，擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項不符合題意；
選項B，擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率為，故此選項不符合題意；
選項C，轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率為，故此選項不符合題意；
選項D，從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率為，
故此選項符合題意；
故選：D
3．ABC
【分析】由互斥事件和相互獨立事件的概念對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，若與互斥，則與不能同時發(fā)生，即，
因為表示與都不發(fā)生，則的對立事件為與至少有一個發(fā)生，
所以，
而，
所以，
因為
所以，由此可知，與不相互獨立，故A正確；
對于B，若與相互獨立，則，因為，，
所以，則，所以與不互斥，故B正確；
對于C，若，
因為，
因為，則有，所以與相互獨立，故C正確；
對于D，拋擲一枚質(zhì)地均均的骰子，事件表示出現(xiàn)點數(shù)為，
事件表示出現(xiàn)點數(shù)，事件表示出現(xiàn)點數(shù)，
事件表示出現(xiàn)點數(shù)為，
，
滿足，
事件表示出現(xiàn)點數(shù)為，
但
則，不相互獨立，故D錯誤.
故選：ABC.
4．BC
【分析】對于A，甲骰子點數(shù)為奇數(shù)，乙骰子點數(shù)為偶數(shù)，事件可以同時發(fā)生，由對立事件的概念可判斷；對于B，計算出，根據(jù)可以判定兩個事件是否相互獨立；對于C，計算出，根據(jù)可以判定兩個事件是否相互獨立；對于D，由前面可知，即可判斷是否相等.
【詳解】由題意，得，，，
對于A，當甲為奇數(shù)點，且乙為偶數(shù)點時，事件可以同時發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，故事件A與事件B不對立，故A錯誤；
對于B，由題意知，又，故事件A與事件B相互獨立，故B正確；
對于C，，又，故事件A與事件C相互獨立，故C正確；
對于D，由上知，，故D錯誤．
故選：BC．
5．
【分析】根據(jù)題意可知事件：點數(shù)為偶數(shù)或點數(shù)不超過4有1，2，3，4，6，結(jié)合古典概型分析求解.
【詳解】由題意可知：向上的點數(shù)為1，2，3，4，5，6，
事件：點數(shù)為偶數(shù)或點數(shù)不超過4，有1，2，3，4，6，
所以．
故答案為：.
6．
【分析】設(shè)非吸煙者患肺癌的概率為，根據(jù)題意列出方程，求出，即可得到答案
【詳解】本次研究調(diào)查中，非吸煙者有7500人，吸煙者樣本量有2500人，
設(shè)非吸煙者患肺癌的人數(shù)是人，則，，
因此，本次研究調(diào)查中非吸煙者患肺癌的人數(shù)為45人．
故答案為：.
反思提升：
1.準確把握互斥事件與對立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；(2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生.
2.判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.
【考點2】隨機事件的頻率與概率
一、單選題
1．（22-23高一下·福建莆田·期末）某射擊運動員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示：
射擊次數(shù) 50 100 200 400 1000
射中8環(huán)以上的次數(shù) 44 78 158 320 800
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該射擊運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（ ）
A．0.78 B．0.79 C．0.80 D．0.82
2．（2024·四川綿陽·模擬預測）某教育機構(gòu)為調(diào)查中小學生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（ ）

A．估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天
B．估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3
C．估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時
D．估計該學生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）某校高三年級有（1），（2），（3）三個班，一次期末考試，統(tǒng)計得到每班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率（數(shù)學成績在120分以上的學生人數(shù)與該班學生總?cè)藬?shù)之比）如表所示：
班級 （1） （2） （3）
優(yōu)秀率 80% 85% 75%
則下列說法一定正確的是（ ）
A．（2）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最高
B．（3）班的學生人數(shù)不一定最少
C．該年級全體學生數(shù)學成績的優(yōu)秀率為80%
D．若把（1）班和（2）班的數(shù)學成績放在一起統(tǒng)計，得到優(yōu)秀率為83%，則（1）班人數(shù)多于（2）班人數(shù)
4．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）為了保證擲骰子游戲的公正性，可以用正n面體的骰子來進行游戲．下列數(shù)字可以作為n的取值的是（ ）
可能用到的公式：多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為，則.
A．4 B．12 C．16 D．20
三、填空題
5．（2024·廣東廣州·三模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎品在哪個箱子里，當抽獎人選擇了某個箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機打開了另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇以便增加中獎概率．現(xiàn)在已知甲選擇了號箱，用表示號箱有獎品（），用表示主持人打開號箱子（），則 ，若抽獎人更改了選擇，則其中獎概率為 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 C C AB ABD
1．C
【分析】利用頻率估計概率即可求解.
【詳解】大量重復試驗，由表格知射擊運動員射中8環(huán)以上的頻率穩(wěn)定在，
所以這名運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為，
故選：C.
2．C
【分析】利用頻率分別直方圖、頻數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)直接求解.
【詳解】對于A，該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的天數(shù)為：天，故A錯誤；
對于B，估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為，故B錯誤；
對于C，的頻率為，的頻率為，
則該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為，故C正確；
對于D，估計該學生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為，故D錯誤；
故選：C
3．AB
【分析】由題目表格中的數(shù)據(jù)，逐一判斷選項，可得答案.
【詳解】選項A：顯然（2）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最高，故A正確；
選項B：只根據(jù)優(yōu)秀率的大小，無法比較每個班人數(shù)的多少，故B正確；
選項C：該年級全體學生數(shù)學成績的優(yōu)秀率為全年級數(shù)學成績優(yōu)秀的學生人數(shù)與全年級學生總?cè)藬?shù)之比，
由于各班的學生人數(shù)不知道，所以不能計算該年級全體學生數(shù)學成績的優(yōu)秀率，故C錯誤；
選項D：設(shè)（1）班、（2）班數(shù)學成績優(yōu)秀的人數(shù)分別為x，y，（1）班、（2）班人數(shù)分別為a，b，
則，，得，，又（1）班和（2）班放在一起統(tǒng)計的優(yōu)秀率為83%，
即，即，即，得，則，故D錯誤．
故選:AB.
4．ABD
【分析】根據(jù)題意，要保證游戲的公平性，需要正n面體每個面出現(xiàn)的點數(shù)的可能性要要相同，據(jù)此選出正確選項.
【詳解】第一步，根據(jù)題目，我們知道正n面體的骰子有 n個面，每個面的點數(shù)分別為1，2，...，n，投擲后每個點數(shù)出現(xiàn)的概率相等.
第二步，為了保證游戲的公正性，我們需要保證每個點數(shù)出現(xiàn)的概率相等，即每個面的面積相等，這意味著正n面體的每個面都應(yīng)該是全等的正多邊形.
第三步，設(shè)正n面體的每個面都是正m邊形，每個頂點連接k條棱，
所以，則，所以，
又，且不能同時大于3，所以或，
解得或或或或，
我們可以得出n的取值應(yīng)該是4 （正四面體）、6 （正六面 體）、8（正八面體）、12（正十二面體）、20 （正二十面體）.
故選：ABD
5． /0.375
【分析】根據(jù)主持人可打開的箱子號碼可確定；分別考慮獎品在號箱、不在號箱的情況，根據(jù)此時更改選擇，結(jié)合全概率公式求解即可.
【詳解】獎品在號箱，甲選擇了號箱，主持人可打開號箱，則；
若獎品在號箱，其概率為，抽獎人更改了選擇，則其選中獎品所在箱子的概率為；
若獎品不在號箱，其概率為，主持人隨機打開不含獎品的兩個箱子中的個，
若此時抽獎人更改選擇，其選中獎品所在箱子的概率為；
若抽獎人更改選擇，其中獎的概率為.
故答案為：；.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查條件概率的求解、決策類問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)根據(jù)獎品所在箱子號碼，確定主持人可打開的箱子數(shù)，由此確定選中中獎箱子的概率.
反思提升：
1.頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.
2.利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.
【考點3】互斥事件與對立事件的概率
一、單選題
1．（2024·上海·三模）在一個有限樣本空間中，假設(shè)，且A與B相互獨立，A與C互斥，以下說法中，正確的個數(shù)是（ ）
① ② ③若，則B與C互斥
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·山東煙臺·三模）一袋子中裝有5個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個黑球，從中不放回的每次取出1個小球，連續(xù)取兩次，則取出的這兩個小球顏色不同的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·云南大理·模擬預測）假設(shè)是兩個事件，且，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）隨機投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，記3次擲出的點數(shù)之積為，擲出的點數(shù)之和為，則（ ）
A．事件“”和“”相等 B．事件“”和“”互斥
C．為奇數(shù)的概率為 D．的概率為
三、填空題
5．（22-23高二下·天津·期末）天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號，天津話妙趣橫生，天津相聲精彩紛呈，是最具特色的旅游亮點之一.某位北京游客經(jīng)常來天津聽相聲，每次從北京出發(fā)來天津乘坐高鐵和大巴的概率分別為0.6和0.4，高鐵和大巴準點到達的概率分別為0.9和0.8，則他準點到達天津的概率是 （分數(shù)作答）.若他已準點抵達天津，則此次來天津乘坐高鐵準點到達比乘坐大巴準點到達的概率高 （分數(shù)作答）.
6．（2024·天津和平·二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為 ；若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 C D AD ACD
1．C
【分析】由與相互獨立，則，計算即可判斷①；由條件概率公式計算即可判斷②；由，可得，若互斥，則， 滿足，可判斷③.
【詳解】對于①，， 且與相互獨立， 則
，故①錯誤；
對于②，，
，
故， 故②正確；
對于③，，
則，，
故，
即，
若互斥，則， 滿足上式，
故， 即與互斥， 故③正確．
故選：C．
2．D
【分析】分第一次取出為紅球和黑球兩種情況求解即可.
【詳解】由題意，第一次取出可能為紅球或黑球，故連續(xù)取兩次，則取出的這兩個小球顏色不同的概率為.
故選：D
3．AD
【分析】A選項，利用條件概率公式得到；B選項，與相互獨立，故；C選項，根據(jù)求出答案；D選項，利用條件概率得到.
【詳解】A選項，因為，，，，
所以，A正確；
B選項，因為事件與相互獨立，所以與相互獨立，
所以，B錯誤；
C選項，，C錯誤；
D選項，因為，所以，D正確.
故選：AD.
4．ACD
【分析】寫出事件的所有基本事件判斷A；利用相互獨立事件的定義判斷B；利用相互獨立事件、對立事件的概率公式計算判斷CD.
【詳解】對于A，事件“”和“”都相當于擲出兩個1點和一個2點，故A正確；
對于B，事件“”和“”都包含擲出兩個1點和一個4點，故B錯誤；
對于C，為奇數(shù)等價于“3次擲出的點數(shù)都為奇數(shù)”，因此其概率為，故C正確；
對于D，事件“”的對立事件為“或”，，，
因此，故D正確．
故選：ACD.
5．
【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式，求得他準點到達天津的概率，再結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.
【詳解】設(shè)事件為他準點到達天津，事件為他乘坐高鐵到達天津，事件為他乘坐大巴到達天津，
若他乘坐高鐵，且正點到達天津的概率為；
若他乘坐大巴，且正點到達天津的概率為；
則，且,
所以乘坐高鐵準點到達比乘坐大巴準點到達的概率高.
故答案為：，
6． /
【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，先由相互獨立事件的概率公式求出、的值，結(jié)合對立事件的性質(zhì)求出第一空答案，利用全概率公式計算第二空的答案．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，
則，，，
所以，，
若規(guī)定三名同學都回答這個問題，
則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率，
若規(guī)定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，
則這個問題回答正確的概率．
故答案為：；．
反思提升：
1.求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來.
2.求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算；二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求出所求概率，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法比較簡便.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇鹽城·一模）已知隨機事件A，B相互獨立，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣東·三模）為樣本空間，隨機事件A、B滿足，，則有（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東菏澤·模擬預測）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學同時到三個不同的社區(qū)參加公益活動，每個社區(qū)至少分配一名同學.設(shè)事件“恰有兩人在同一個社區(qū)”，事件“甲同學和乙同學在同一個社區(qū)”，事件“丙同學和丁同學在同一個社區(qū)”，則下面說法正確的是（ ）
A．事件與相互獨立 B．事件與是互斥事件
C．事件與相互獨立 D．事件與是對立事件
4．（2024·山西太原·一模）甲，乙兩名同學要從A、B、C、D四個科目中每人選取三科進行學習，則兩人選取的科目不完全相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取出2個球．事件A＝“兩次取到的球顏色相同”；事件B＝“第二次取到紅球”；事件C＝“第一次取到紅球”．下列說法正確的是（ ）
A． B．事件B與事件C是互斥事件
C． D．
6．（2024·山東·模擬預測）袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（ ）
A． B．
C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨立
7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）同時投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（ ）
A．與相互對立 B．與相互獨立
C． D．
三、填空題
8．（2024·廣東廣州·模擬預測）選手甲和乙進行乒乓球比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，采用五局三勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進行了三局的概率為 .
9．（2024·吉林·模擬預測）中國成功搭建了國際首個通信與智能融合的6G外場試驗網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標準和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項目時遇到了一項技術(shù)難題，由甲、乙兩個團隊分別獨立攻關(guān).已知甲、乙團隊攻克該項技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7，則該科研院攻克這項技術(shù)難題的概率為 ．
四、解答題
10．（2024·四川成都·模擬預測）《中華人民共和國未成年人保護法》保護未成年人身心健康，保障未成年人合法權(quán)益.我校擬選拔一名學生作為領(lǐng)隊，帶領(lǐng)我校志愿隊上街宣傳未成年人保護法.現(xiàn)已從全校選拔出甲 乙兩人進行比賽，比賽規(guī)則是：準備了5個問題讓選手回答，選手若答對問題，則自己得1分，該選手繼續(xù)作答；若答錯問題，則對方得1分，換另外選手作答.比賽結(jié)束時分數(shù)多的一方獲勝，甲 乙能確定勝負時比賽就結(jié)束，或5個問題回答完比賽也結(jié)束.已知甲 乙答對每個問題的概率都是.競賽前抽簽，甲獲得第一個問題的答題權(quán).
(1)求前三個問題回答結(jié)束后乙獲勝的概率；
(2)求甲同學連續(xù)回答了三次問題且獲勝的概率.
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B A D CD AC BD
1．B
【分析】根據(jù)A，B相互獨立可得，再根據(jù)計算即可.
【詳解】因為事件A，B相互獨立，且，可得，
所以=.
故選：B.
2．B
【分析】以正態(tài)分布為背景，舉反例判斷ACD，利用概率和公式判斷B.
【詳解】設(shè)，
對于A，若事件，事件，則，，但，選項A錯誤；
對于C，若事件，事件，則，，但，選項C錯誤；
對于D，若事件，事件，則，，但，選項D錯誤；
對于B，因為，所以，
又，所以，
所以，B正確；
故選：B.
3．A
【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件、對立事件的意義逐項判斷即得.
【詳解】對于A，依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件是必然事件，，
顯然，，因此事件與相互獨立，A正確；
對于B，由，得事件與不是互斥事件，B錯誤；
對于C，顯然事件事件與不可能同時發(fā)生，即，而，事件與相互不獨立，C錯誤；
對于D，顯然事件與可以同時不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件與不是對立事件，D錯誤.
故選：A
4．D
【分析】運用分步乘法原理，結(jié)合古典概型和對立事件概率公式求解.
【詳解】兩人選取科目的方法共有種，科目完全相同的方法共有種，
科目不完全相同方法共有12種，故所求概率為.
故選：D.
5．CD
【分析】由已知先列舉出事件A，B，C包含的基本事件，然后結(jié)合互斥事件的概念及古典概率公式檢驗各選項即可判斷.
【詳解】解：由題意可得，事件A包含的取球顏色為{(紅，紅)，(綠，綠)}，
事件B包含的取球顏色為{(紅，紅) ，(綠，紅)}，事件C包含的取球顏色為{(紅，紅) ，(紅，綠)}，
則，選項A錯誤；
，選項B錯誤；
事件AB包含的取球顏色為{(紅，紅)}，
，選項C正確；
事件B+C包含的取球顏色為{(紅，紅) ，(綠，紅)，(紅，綠)}，
，選項D正確.
故選：CD.
6．AC
【分析】分別求出事件的概率，再根據(jù)互斥事件和相互獨立事件的概率進行判斷.
【詳解】因為“取出的求的數(shù)字之積為奇數(shù)”，就是“取出的兩個數(shù)都是奇數(shù)”，
所以；故A正確；
“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”就是“取出的兩個數(shù)不能都是奇數(shù)”，
所以；
“取出的兩個數(shù)之和為偶數(shù)”就是“取出的兩個數(shù)都是奇數(shù)或都是偶數(shù)”，
所以；
表示“取出的兩個數(shù)的積可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)”，所以；
表示“取出的兩個數(shù)的積與和都是偶數(shù)”，就是“取出的兩個數(shù)都是偶數(shù)”，
所以.
因為，故B錯誤；
因為，所以互斥，故C正確；
因為，所以不獨立，故D錯誤.
故選：AC
7．BD
【分析】根據(jù)獨立事件的定義判斷B，根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷A，根據(jù)獨立事件及條件概率的概率公式判斷C、D.
【詳解】對于A，由題意可知，事件與事件有可能同時發(fā)生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件與事件不是互斥事件，當然也不是對立事件，故A錯誤；
對于B，依題意，，，
所以事件與事件相互獨立，故B正確；
對于C、D，，因為，所以，
所以，故D正確，C錯誤．
故選：BD．
8．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件，比賽進行三局為事件，根據(jù)條件概率公式分別求解和的值，進而計算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件，比賽進行三局為事件，
，
，
故.
故答案為：.
9．0.94/
【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)對立事件結(jié)合獨立事件求，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)甲、乙團隊攻克該項技術(shù)難題分別為事件，
則，
可得，
所以該科研院攻克這項技術(shù)難題的概率為.
故答案為：0.94.
10．(1)
(2)
【分析】（1）列舉法列出前三個問題回答的甲乙所有得分情況，利用古典概型即可求解；
（2）分別求出甲同學連續(xù)回答了三次問題且獲勝的三種情況的概率，再用概率的加法公式求解即可.
【詳解】（1）設(shè)“甲回答問題且得分”為事件，“甲回答問題但對方得分”為事件，“乙回答問題且得分”為事件，“乙回答問題但對方得分”為事件.
記“前三個問題回答結(jié)束后乙獲勝”為事件.
前三個問題回答的情況有8種：，
其中事件只包含了1種情況，即，
所以，
即前三個問題回答結(jié)束后乙獲勝的概率為.
（2）記“甲同學連續(xù)回答了三次問題且獲勝”為事件.
由（1）可得，.
即甲同學連續(xù)回答了三次問題且獲勝的概率為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇·模擬預測）一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面上分別標有數(shù)字1到8，將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為，事件：，事件，事件，則下列正確的是（ ）
A． B．
C．互斥 D．相互獨立
二、多選題
2．（2024·廣東珠海·一模）設(shè)A，B為隨機事件，且，是A，B發(fā)生的概率．，則下列說法正確的是（ ）
A．若A，B互斥，則
B．若，則A，B相互獨立
C．若A，B互斥，則A，B相互獨立
D．與相等
三、填空題
3．（2024·天津河北·二模）學習小組為了研究手機對學生學習的影響，對本學校學生手機使用情況統(tǒng)計分析有以下結(jié)果：若學生前一天沒有玩手機，則接下來一天也不玩手機的概率為0.7，若學生前一天玩手機，接下來一天也玩手機的概率為0.8. 已知一個學生第一天沒玩手機，根據(jù)這個統(tǒng)計結(jié)果計算，那么他第二天玩手機的概率為 ，第三天不玩手機的概率為 .
四、解答題
4．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）在一場羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍. 比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對陣，每組的勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”. 接著，“勝區(qū)”中兩人對陣，勝者進入“決賽區(qū)”；“敗區(qū)”中兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名. 然后，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者進入“決賽區(qū)”，敗者獲第三名. 最后，“決賽區(qū)”的兩人進行冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名. 已知甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，且不同對陣的結(jié)果相互獨立.
(1)若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁；
①求甲獲得第四名的概率；
②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學期望；
(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對陣，每組的勝者進入“決賽區(qū)”，敗者淘汰；最后，“決賽區(qū)”的兩人進行冠軍決賽，勝者獲得冠軍. 已知甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，則哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.
參考答案：
題號 1 2
答案 D ABD
1．D
【分析】利用互斥事件和對立事件的定義判斷可得出結(jié)果.
【詳解】對于A:事件發(fā)生時，事件不一定發(fā)生，所以A錯；
對于B: 時，事件發(fā)生同時不發(fā)生，所以B錯；
對于C: 時，A,B同時發(fā)生，所以C錯；
對于D: ，則相互獨立，所以D正確.
故選：D
2．ABD
【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項；由相互獨立事件的概念可判斷B選項；由互斥事件和相互獨立事件的概念可判斷C選項；由條件概率公式化簡，可判斷D選項.
【詳解】對于A：若A，B互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，故A正確；
對于B：由相互獨立事件的概念知，若，則事件A，B是相互獨立事件，故B正確；
對于C：若A，B互斥，則A，B不一定相互獨立，
例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，
事件與事件互斥，但，，
所以不滿足相互獨立事件的定義，故C錯誤；
對于D：，
，
所以與相等，故D正確.
故選：ABD.
3． 0.3 0.55
【分析】根據(jù)題意由對立事件概率公式得第二天玩手機的概率，再由全概率公式得第三天不玩手機概率即可.
【詳解】由題意，學生前一天沒有玩手機，則接下來一天也不玩手機的概率為0.7，
所以一個學生第一天沒玩手機，那么他第二天玩手機的概率為，
由全概率公式知第三天不玩手機的概率為.
故答案為：；
4．(1)①；②
(2)答案見解析
【分析】（1）① 甲獲得第四名，需要在甲參與的兩場比賽中都失敗，結(jié)合對立事件概率和獨立事件概率公式求解即可；② 明確隨機變量所有可能取值，然后結(jié)合對立事件概率和獨立事件概率公式分別求出對應(yīng)的概率，即可求得分布列和期望；
（2）分別求出兩種賽制甲奪冠概率，再利用作差法比較兩概率的大小，取奪冠概率最大的賽制對甲奪冠有利.
【詳解】（1）①記“甲獲得第四名”為事件，又，則；
②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量，
則的所有可能取值為2，3，4，
連敗兩局：，
可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負；負勝負；勝負負；
，
；
則的分布列如下：
2 3 4
0.16 0.552 0.288
所以數(shù)學期望.
（2）在“單敗淘汰制”下，甲獲冠軍須比賽兩場，且兩場都勝，則甲獲得冠軍的概率為.
(ii) 在“雙敗淘汰制”下，設(shè)事件V為“甲獲冠軍”，
設(shè)事件A為“甲比賽三場，連勝三場”，則；
設(shè)事件B為“甲比賽四場：勝負（勝區(qū)敗）勝（贏敗區(qū)勝）勝（決賽區(qū)勝）”，
則；
設(shè)事件C為“甲比賽四場：負勝（敗區(qū)勝）勝（贏勝區(qū)敗）勝（決賽區(qū)勝）”，
則；
所以 .
由，且，
當時，，“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；
當時，，“單敗淘汰制”對甲奪冠有利；
當時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.
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