資源簡介

第五章 一元一次方程
5.2.1 等式的性質(zhì)與方程的簡單變形
第2課時 用方程變形解簡單的方程
本節(jié)課是華東師大版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第五章第二節(jié)《解一元一次方程》第二課時的內(nèi)容．在上個課時學(xué)習(xí)了等式的基本性質(zhì)之后，本課時是在此基礎(chǔ)上，利用等式的性質(zhì)對方程進行變形，從而解簡單的方程.解簡單的方程是后續(xù)解復(fù)雜方程的基礎(chǔ)，鼓勵學(xué)生自主探究和歸納，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和批判性思維．設(shè)計多樣化的練習(xí)題，讓學(xué)生在實踐中鞏固所學(xué)知識，提高解題能力．鼓勵學(xué)生積極主動進行思考、分析、交流，直到解決問題．課立足于學(xué)生的“學(xué)”，要求學(xué)生多觀察．課堂采用自主探究和合作交流的方法組織教學(xué)，使每位學(xué)生都參與到課堂當(dāng)中，體會到數(shù)學(xué)的樂趣．
七年級學(xué)生思維活躍、好奇心強，經(jīng)過小學(xué)六年的學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備一定的運算能力，會解“簡易方程”.中學(xué)學(xué)習(xí)使得他們具備一定的等式的性質(zhì)的知識，但是由于他們習(xí)慣于算術(shù)方法，對于理解、分析實際問題，并將其轉(zhuǎn)化為方程的能力還需要思維轉(zhuǎn)換的過程，并且目前只會解簡單方程.
1.正確理解和使用方程的變形規(guī)則，能利用方程的變形規(guī)則解方程；
2.掌握移項的定義，能夠熟練利用移項方法解簡單的方程；
3.理解解方程的過程就是使方程逐步轉(zhuǎn)化為的形式，體會化歸思想；
4.體會利用一元方程解決問題的基本過程，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提高分析、解決問題的能力.
重點：正確理解和使用方程的變形規(guī)則.
難點：理解解方程的過程就是使方程逐步轉(zhuǎn)化為的形式.
復(fù)習(xí)回顧
思考：等式的性質(zhì)有哪些？
師生活動：小組形式匯報．
答：等式的基本性質(zhì)1：
等式兩邊都加上(或都減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式.
如果，那么，．
等式的基本性質(zhì)2：
等式兩邊都乘以(或都除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能為0)，所得結(jié)果仍是等式.
如果，那么，．
設(shè)計意圖：通過回顧之前學(xué)習(xí)的知識，喚醒記憶，為講解新知作鋪墊，助于對新知的引入和學(xué)習(xí).
探究新知
活動一：方程的變形規(guī)則
由等式的基本性質(zhì)，可以得到方程的變形規(guī)則：
1.方程兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)或同一個整式，方程的解不變；
2.方程兩邊都乘以（或都除以）同一個不等于0的數(shù)，方程的解不變．
根據(jù)這些規(guī)則，我們可以對方程進行適當(dāng)?shù)淖冃?，求得方程的解?br/>設(shè)計意圖：在等式的基本性質(zhì)基礎(chǔ)上，明確方程的變形規(guī)則，為新知識的學(xué)習(xí)做鋪墊．
例1 解下列方程：
（1）； （2）．
解 （1），
兩邊都加上5，得，
即 ．
（2），
兩邊都減去，得．
合并同類項，得 ．
在解這兩個方程時，進行了怎樣的變形？有什么共同點？
答：以上兩個方程的解法，都依據(jù)了方程的變形規(guī)則1．
設(shè)計意圖：利用方程的變形規(guī)則1進行解簡單的方程，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識．
活動二：移項
以上兩個方程的變形，相當(dāng)于將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊.
像這樣的變形叫作移項．
移項要點：
（1）移項的根據(jù)是等式的基本性質(zhì)1．
（2）移項要變號，沒有移動的項不改變符號．
（3）通常把含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，把常數(shù)項(不含未知數(shù)的項)移到方程的右邊．
做一做：下面的移項對不對？如果不對，應(yīng)怎樣改正？
（1）移項得；
（2）移項得；
（3）移項得；
（4）移項得．
答：（1）錯，改正為：；（2）錯，改正為：；（3）對；（4）對．
注意：
1.移項時必須是從等號的一邊到另一邊，并且不要忘記對移動的項變號，如從得到是不對的．
2.沒移項時不要誤認為移項，如從得到，犯這樣的錯誤，其原因在于對等式的對稱性與移項的區(qū)別沒有分清．
設(shè)計意圖：通過活動一的探究，合作交流，得到移項的概念，并通過做一做鞏固利用移項的方法解方程；培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和推理的能力．
活動三：將未知數(shù)的系數(shù)化為1
例2 解下列方程：
（1）； （2）
解：（1）方程兩邊都除以，得
．
（2）方程兩邊都除以，得
，
．
在解這兩個方程時，進行了怎樣的變形？有什么共同點？
答： 這兩個方程的解法，都依據(jù)了方程的變形規(guī)則2，將方程的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)．像這樣的變形通常稱作“將未知數(shù)的系數(shù)化為1”．
設(shè)計意圖：通過例題2的探究，得到利用方程的變形規(guī)則2解方程．
概括 以上例1和例2解方程的過程，都是將方程進行適當(dāng)?shù)淖冃?，得到的形?
設(shè)計意圖：方程的變形規(guī)則1和2，實際上是將方程適當(dāng)變形得到的形式，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和推理的能力．
做一做：利用方程的變形，求方程的解，并和同學(xué)交流.
解：兩邊都減去3，得．
合并同類項，得．
兩邊都除以2，得．
應(yīng)用新知
經(jīng)典例題
教材例題：例3 解下列方程：
（1）； （2）； （3）
解：（1）移項，得
合并同類項，得
將未知數(shù)的系數(shù)化為1，得．
（2）原方程即
移項,得
將未知數(shù)的系數(shù)化為1，得．
（3）移項，得
合并同類項，得
將未知數(shù)的系數(shù)化為1，得．
設(shè)計意圖：通過具體的填空題目，讓學(xué)生鞏固利用方程的變形規(guī)則2進行解方程．
課堂練習(xí)
【教材練習(xí)】
1.下列方程的變形是否正確？如果不正確，說明錯在哪里．
（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得；
（4）由，得．
答：（1）錯，3移到右邊需要變號；（2）錯，是除以7，得數(shù)錯誤；
（3）錯，得數(shù)錯誤，正確是；（4）錯，移到另一邊需要變號，正確是．
2.解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
師生活動：學(xué)生先獨立思考再作答.
解：（1）方程兩邊都加上6，得
．
（2）方程兩邊都減去，得
．
（3）方程兩邊都除以，得
．
（4）方程兩邊都乘4，得
．
3.解下列方程:
（1）； （2）．
解：（1）移項，得
合并同類項，得
將未知數(shù)的系數(shù)化為1，得
．
（2）移項，得
合并同類項，得
將未知數(shù)的系數(shù)化為1，得
．
設(shè)計意圖：通過具體的題目鞏固和深化學(xué)生對利用方程的變形規(guī)則解方程的理解，培養(yǎng)解題技能和邏輯思維能力，增強學(xué)習(xí)興趣，并促進知識遷移．
【課堂檢測】
1.下列方程變形中，正確的是（ ）
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
答：C
2.把x的系數(shù)化為1，正確的是（ ）
A. 由 ，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由 ，得
答：D
3.解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解：（1）方程兩邊都減去1，得；
（2）方程兩邊都減去x，得；
（3）方程兩邊都乘以3，得；
（4）方程兩邊都除以4，得．
4.解方程：．
解：移項，得
合并同類項，得
將未知數(shù)的系數(shù)化為1，得．
設(shè)計意圖：通過本次活動，學(xué)生能夠在短時間內(nèi)快速回顧和鞏固本堂課所學(xué)相關(guān)知識．鍛煉了學(xué)生的解題速度和對題目的理解能力，同時培養(yǎng)他們的時間管理意識和學(xué)習(xí)興趣．
歸納總結(jié)
師生活動：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．
1．本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2．什么是方程的變形規(guī)則？
3．如何利用變形規(guī)則解簡單方程？
設(shè)計意圖：本節(jié)課的課堂總結(jié)活動通過三個關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生全面回顧了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容．這種總結(jié)方式不僅幫助學(xué)生鞏固了知識，還提高了他們的自我反思和總結(jié)能力．同時，通過師生互動，教師也能及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，為后續(xù)的教學(xué)提供有針對性的指導(dǎo)．通過小結(jié)讓學(xué)生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識．
實踐作業(yè)
試著寫出一個方程，讓同桌嘗試用本節(jié)課的方法解答，并與同學(xué)們交流.
本節(jié)從復(fù)習(xí)入手，幫助學(xué)生回顧等式的基本性質(zhì)的相關(guān)知識，為學(xué)習(xí)用方程的變形規(guī)則做好鋪墊.
學(xué)習(xí)是一個循序漸進的過程，在上節(jié)課學(xué)習(xí)了等式的基本性質(zhì)之后，就的學(xué)會如何利用已學(xué)的知識進行解決新的問題，即學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)，就得知道它的運用，本節(jié)課就是利用等式的性質(zhì)得到方程的變形規(guī)則，再利用方程的變形規(guī)則進行解簡單的方程.接著為了書寫格式的準(zhǔn)確，板書一個方程的解答過程，利用學(xué)生較強的模仿能力，加強學(xué)生對正確格式的掌握.其他方程交給學(xué)生完成.另外教學(xué)中通過小組交流，給學(xué)生探討的時間和空間，各小組對比解法，體會最優(yōu)解法.最后設(shè)計有選擇、填空、解答題的課堂監(jiān)測，富有層次性，這樣讓學(xué)生進一步掌握合并同類項解一元一次方程及列方程解“總量與分量關(guān)系”的實際問題，使學(xué)生所學(xué)的知識、技能得以螺旋式提升.第五章 一元一次方程
5.2.1 等式的性質(zhì)與方程的簡單變形
第1課時 等式的基本性質(zhì)
本節(jié)課是華東師大版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第五章第二節(jié)《解一元一次方程》第一課時的內(nèi)容．等式的性質(zhì)在教材中占據(jù)重要地位，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的基礎(chǔ)知識之一，等式的性質(zhì)是連接算術(shù)與代數(shù)的橋梁，是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，對于后續(xù)學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容具有重要作用．本節(jié)課是在小學(xué)已學(xué)的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)等式的兩個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)是后續(xù)解方程和進行數(shù)學(xué)推理的重要工具．
本節(jié)《等式的性質(zhì)》內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)對等量關(guān)系和等式有了初步的認識的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的．在小學(xué)階段，學(xué)生已經(jīng)接觸過簡單的等式，并能夠通過觀察和實踐理解等式的基本概念．初中階段的學(xué)生正處于從形象思維向抽象思維過渡的時期，他們開始具備更強的邏輯思維能力和歸納總結(jié)能力．因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、歸納等方式，逐步理解等式的性質(zhì)．掌握等式的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．鼓勵學(xué)生自主探究和歸納，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和批判性思維．設(shè)計多樣化的練習(xí)題，讓學(xué)生在實踐中鞏固所學(xué)知識，提高解題能力．鼓勵學(xué)生積極主動進行思考、分析、交流，直到解決問題．課立足于學(xué)生的“學(xué)”，要求學(xué)生多觀察．課堂采用自主探究和合作交流的方法組織教學(xué)，使每位學(xué)生都參與到課堂當(dāng)中，體會到數(shù)學(xué)的樂趣．
1.借助天平的實際操作，形象直觀地感受等式的基本性質(zhì)；
2.理解等式的基本性質(zhì)，掌握利用等式性質(zhì)解決一些等式問題；
3.使學(xué)生在分析實際問題情境的活動中體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的密切聯(lián)系，并在概括的過程中體驗歸納方法；
4.經(jīng)歷等式的基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生動手、分析、概括及解決問題的能力．
重點：理解等式的基本性質(zhì)．
難點：利用等式性質(zhì)解決一些等式問題．
復(fù)習(xí)回顧
思考：什么是方程？等式和方程的關(guān)系是什么？
師生活動：小組形式匯報．
結(jié)論：含有未知數(shù)的等式叫作方程.方程一定是等式，但等式不一定是方程．
方程是含有未知數(shù)的等式，解方程自然要研究等式的基本性質(zhì).等式有哪些基本性質(zhì)呢？
情境導(dǎo)入
思考：要讓天平平衡應(yīng)該滿足什么條件？
設(shè)計意圖：通過回顧之前學(xué)習(xí)的知識，喚醒記憶，為講解新知作鋪墊，通過情境導(dǎo)入給出新課探究要借助的工具，助于對新知的引入和學(xué)習(xí).
探究新知
活動一：探究等式的性質(zhì)1
問題1：對比天平與等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
答：等號成立就可看作是天平保持兩邊平衡！
問題2：觀察天平有什么特性？
答：（1）天平平衡狀態(tài)下，同時將質(zhì)量相等的物體c放入了左右兩邊，天平仍然平衡．
（2）天平平衡狀態(tài)下，同時將質(zhì)量相等的物體c從左右兩邊拿走，天平仍然平衡．
師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
這個事實反映了等式的基本性質(zhì)1：
等式兩邊都加上(或都減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式．
如果，那么，．
設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生觀察天平，引導(dǎo)他們探究等式可能具有的性質(zhì)．例如，觀察天平兩邊在進行增加相同的物體質(zhì)量或減少相同的物體質(zhì)量，天平仍然平衡；從而發(fā)現(xiàn)等式的基本性質(zhì)1．探究等式的性質(zhì)不僅是對知識的學(xué)習(xí)，更是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)．它要求學(xué)生具備觀察、分析、歸納和推理的能力，從而能夠從具體例子中抽象出一般規(guī)律．
活動二：探究等式的性質(zhì)2
問題3：天平兩邊物體的質(zhì)量擴大相同的倍數(shù)，觀察天平有什么特性？
答：兩圖中天平均保持平衡．a(chǎn)，b；3a，3b．
問題4：天平兩邊物體的質(zhì)量縮小到原來的幾分之一，觀察天平有什么特性？
答：兩圖中天平均保持平衡．3a，3b；a，b．
這個事實反映了等式的基本性質(zhì)2：
等式兩邊都乘以(或都除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能為0)，所得結(jié)果仍是等式．
如果，那么，(c≠0)．
設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生觀察天平，引導(dǎo)他們探究等式可能具有的性質(zhì)．例如，觀察天平兩邊在進行盤內(nèi)物體的質(zhì)量都擴大相同的倍數(shù)或都縮小到原來的幾分之一，天平仍然平衡；從而發(fā)現(xiàn)等式的基本性質(zhì)2．探究等式的性質(zhì)不僅是對知識的學(xué)習(xí)，更是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)．它要求學(xué)生具備觀察、分析、歸納和推理的能力，從而能夠從具體例子中抽象出一般規(guī)律．
應(yīng)用新知
經(jīng)典例題
例 填空，并說明理由．
（1）如果，那么______ ；
（2）如果，那么______ ；
（3）如果，那么______ ．
解：（1）因為，由等式性質(zhì)1可知，等式兩邊都減去2，
得，
即．
（2）因為，由等式性質(zhì)2可知，等式兩邊都除以3，
得，
即．
（3）因為，由等式性質(zhì)2可知，等式兩邊都乘12，
得，
即．
設(shè)計意圖：通過具體的填空題目，讓學(xué)生鞏固等式的性質(zhì)，這些性質(zhì)是后續(xù)解決更復(fù)雜代數(shù)問題的基礎(chǔ)．題目要求學(xué)生根據(jù)等式的性質(zhì)進行填空，并說明依據(jù)，這不僅能夠鍛煉學(xué)生的解題能力，還能促使他們養(yǎng)成在解題過程中明確每一步驟依據(jù)的好習(xí)慣．
課堂練習(xí)
【教材練習(xí)】
1.回答下列問題，并說明理由:
（1）由能不能得到？
答：能，由等式性質(zhì)1可知，等式兩邊都減去2，
得．
（2）由能不能得到？
答：能，由等式性質(zhì)2可知，等式兩邊都除以-3，
得．
（3）由能不能得到？
答：能，由等式性質(zhì)2可知，等式兩邊都除以2，
得，即．
（4）由能不能得到？
答：能，由等式性質(zhì)2可知，等式兩邊都乘6，
得，即．
2.填空，使所得結(jié)果仍是等式，并說明是根據(jù)哪一條等式性質(zhì)得到的:
（1）如果，那么_____；
（2）如果，那么____；
（3）如果，那么________；
（4）如果，那么_______．
師生活動：學(xué)生先獨立思考再作答.
答：（1）2，等式的基本性質(zhì)1；（2）2x,等式的基本性質(zhì)1；
（3），等式的基本性質(zhì)2；（4）6，等式的基本性質(zhì)2．
設(shè)計意圖：通過具體的題目鞏固和深化學(xué)生對等式性質(zhì)的理解，培養(yǎng)解題技能和邏輯思維能力，增強學(xué)習(xí)興趣，并促進知識遷移．
【課堂檢測】
1．如果，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答：D
2.下列變形中，不正確的是 （ ）
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
答：D.
3.下列等式變形正確的是（ ）
A.若，則 B.若，則
C.若，則 D.若，則
答：C.
4.下列結(jié)論中不能由得到的是( )
A. B.
C. ， D.
答：C.
設(shè)計意圖：通過本次活動，學(xué)生能夠在短時間內(nèi)快速回顧和鞏固本堂課所學(xué)相關(guān)知識．鍛煉了學(xué)生的解題速度和對題目的理解能力，同時培養(yǎng)他們的時間管理意識和學(xué)習(xí)興趣．
歸納總結(jié)
師生活動：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．
1．本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2．等式有什么性質(zhì)？
3．根據(jù)等式的性質(zhì)如何解方程？
設(shè)計意圖：本節(jié)課的課堂總結(jié)活動通過三個關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生全面回顧了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容．這種總結(jié)方式不僅幫助學(xué)生鞏固了知識，還提高了他們的自我反思和總結(jié)能力．同時，通過師生互動，教師也能及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，為后續(xù)的教學(xué)提供有針對性的指導(dǎo)．通過小結(jié)讓學(xué)生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識．
實踐作業(yè)
你玩過蹺蹺板嗎？體重相同的兩位同學(xué)坐在兩端，兩邊同時增加或減少體重相同的同學(xué)，觀察蹺蹺板的變化情況，與同學(xué)們交流.
本節(jié)課是第七章“一元一次方程”的第二節(jié)《解一元一次方程》中的第一課時《等式的基本性質(zhì)》，在本次教學(xué)中，通過觀察天平的變化情況，總結(jié)歸納出等式的基本性質(zhì)，在課前準(zhǔn)備階段，明確教學(xué)目標(biāo)，即讓學(xué)生理解等式的性質(zhì)，掌握利用等式的性質(zhì)解決一些等式的問題．
采用師生活動、小組合作、問答互動等方式進行教學(xué)，這在一定程度上提高了學(xué)生的參與度．可以嘗試更多元化的教學(xué)方法，如案例分析、游戲化學(xué)習(xí)等，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性．在教學(xué)過程中，及時注意學(xué)生的反饋，收集到足夠的反饋來評估教學(xué)效果．如例題、教材練習(xí)、課堂練習(xí)、課堂檢測等習(xí)題活動，以便及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和困惑，從而調(diào)整教學(xué)策略，合理規(guī)劃課堂時間，確保每個環(huán)節(jié)都有足夠的時間進行深入探討和交流，同時保持課堂的節(jié)奏感和連貫性．
每個學(xué)生都有自己的學(xué)習(xí)節(jié)奏和理解能力．充分關(guān)注學(xué)生的個體差異，注重因材施教．本節(jié)課教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的教學(xué)理念，鼓勵學(xué)生討論交流，學(xué)生是主體，教師是引導(dǎo)者．

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