資源簡介

數學北師大版（2024）七年級下冊
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
第4課時 完全平方公式的運用
一、教學目標
1.進一步鞏固(a±b)2=a2±2ab+b2，能運用完全平方公式進行一些有關數的簡便運算.
2.能綜合運用完全平方式與平方差公式進行有關的計算.
3.進一步熟練乘法公式，提高最基本的運算技能，并且明白每一步的算理.
4.提高合作交流意識和創新精神，提高學習數學的興趣.
二、教學重難點
重點：能運用完全平方公式進行一些有關數的簡便運算.
難點：能綜合運用完全平方式與平方差公式進行有關的計算.
三、教學過程設計
環節一 創設情境
【復習回顧】
問題1：平方差公式是怎樣的呢？
預設：(a+b)(ab)=a2b2
兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差.
問題2：完全平方公式又是怎樣的呢？
預設：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2= a2 2ab+b2
兩個數的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.
設計意圖：通過復習回顧熟悉已學知識，為新知識的學習作準備.
環節二 探究新知
【思考】怎樣計算1022和1972更簡便呢？
分析：102=100+2可以改寫成(100+2)2，197=200-3可以改寫成(200-3)2，再利用完全平方式進行求解.
預設：
(1) 1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.
(2) 1972= (200–3)2=40000–1200+9=38809.
歸納：完全平方公式用于簡便運算時，關鍵是找到與原數接近的類似整十、整百的數，再將原數變形成(a+b)2 或者(a-b)2的形式，使之符合公式的特點，再用完全平方公式進行求解．
設計意圖：讓學生學會利用完全平方公式進行數的平方簡便運算，并與學生一起歸納總結計算的基本思路.
【想一想】下列式子你是怎樣計算的呢？
(1) (m+n+1)(m+n-1)
(2) (-m+n-1)(m+n-1)
教師引導學生將m+n和n-1看作是一個整體即看作是一項，然后再利用平方差公式和完全平方公式進行計算.
預設：
(1) (m+n+1)(m+n-1)
=[(m+n)+1][ (m+n)-1]
=(m+n)2-12
=m2+2mn+n2-1
(2) (-m+n-1)(m+n-1)
=[(n-1)+m][(n-1)+m]
=(n-1)2-m2
=n2-2n-m2+1
歸納：可通過添括號變形成平方差公式的形式，將其中某一部分看作一項，再利用平方差公式和完全平方公式求解.
設計意圖：使學生進一步熟悉乘法公式的運用，初步體會完全平方公式中字母a，b的含義是很廣泛的，它可以是數，也可以是整式，并歸納總結計算的基本思路.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
【例1】計算：
(1) (x+3)2-x2；
(2) (a+b+3)(a+b-3)；
(3) (x+5)2-(x-2) (x-3)；
(4) [(a+b)(a-b)]
分析：(1)直接利用完全平方公式求解即可.
(2)直接利用完全平方公式和多項式乘法展開，再去括號合并同類項即可.
(3)把a+b看作整體(一項)，再利用平方差公式求解即可.
(4)先利用平方差公式，再利用完全平方公式求解即可
解：(1)原式= (x+3)2-x2
= x2+6x+9－x2
=6x+9
(2)原式= x2+10x+25-(x2-5x+6)
=x2+10x+25-x2+5x-6
= 15x+19
(3)原式= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
=a2+2ab+b2－9.
(4)原式=(a2-b2)2= a4－2a2b2+b4
【例2】已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a-b)2的值.
分析：將兩數的和(差)的平方式展開，產生兩數的平方和與這兩數積的兩倍，再將條件代入求解．
解：因為a2＋b2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；
(a-b)2＝a2＋b2-2ab＝13-2×6＝1.
【歸納】常見的完全平方公式的變形
設計意圖：使學生進一步熟悉乘法公式的運用，同時進一步體會完全平方公式中字母a，b的含義是很廣泛的，它可以是數，也可以是整式.
【觀察思考】
觀察下圖，你認為(m+n)×(m+n)點陣中的點數與m×m點陣n×n點陣中的點數之和一樣多嗎 請用所學的公式解釋自己的結論.
預設答案：觀察圖形知，(m+n)×(m+n)點陣中的點數有(m+n)(m+n)=m +2mn+n ，
m×m點陣中的點數有m·m=m ，n×n點陣中的點數有n·n=n ，m +2mn+n ≠m +n
不一樣多.
環節四 課堂練習
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1.將9.52變形正確的是(　　)
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
答案：C.
2.利用整式乘法公式計算：
(1) 96 ； (2) (a-b-3)(a-b+3)
解：(1)原式= (100-4)2=1002-2×100×4+42
=10000-800+16=9216.
(2)原式= [(a-b)-3][(a-b)+3]
= (a-b)2-32
=a2-2ab+b2-9.
3.一個底面是正方形的長方體，高為6cm，底面正方形邊長為5cm，如果它的高不變，底面正方形邊長增加了a cm，那么它的體積增加了多少？
解：依題意得：(a+5)2×6 - 52×6
=(a2+10a+25)×6 -25×6
=6a2+60a+25×6-25×6
=6a2+60a (cm3)
答：長方體的體積增加了6a2+60a cm3 .
4.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
解：因為a+b=5，ab=-6，
所以a2+b2= (a+b)2 -2ab
=52-2×(-6) =25+12 =37.
a2-ab+b2=(a2+b2)-ab=37-(-6)=43.
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養獨立完成練習的習慣.
環節五 總結歸納
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.

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