資源簡介

數學北師大版（2024）七年級下冊
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
第3課時 完全平方公式
一、教學目標
1.能根據多項式的乘法法則推導出完全平方公式，理解完全平方公式的結構特征，并能正確運用公式進行計算．
2.了解(a±b)2=a2 ±2ab+b2的幾何背景，發展幾何直觀．
3.在探索完全平方公式的過程中，發展學生的符號感和推理能力，培養學生觀察、歸納、概括等能力．
4.在探究過程中發現規律，并能用符號表示，感受數學的嚴謹性，體會數學的簡潔美.
二、教學重難點
重點：掌握完全平方式的推導過程，并能正確運用公式進行計算.
難點：理解完全平方公式的結構特征，能靈活運用公式.
三、教學過程設計
環節一 創設情境
【復習回顧】
問題1：多項式與多項式是如何相乘的？
預設：
多項式與多項式相乘：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
多項式與多項式相乘的法則：
先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
教師活動：引導學生回顧多項式乘以多項式的計算法則，待學生回答后，教師可舉兩個簡單的例子，讓學生一起計算.
如：(a+b) (m+n)= am+an+bm+bn
(x+3) (x+3)=x2+6x+9.
問題2：平方差公式是怎樣的呢？
預設：(a+b)(ab)=a2b2
兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差.
小游戲：比一比誰算的更快
152=？ 252=？ 352=？
452 =？ 552 =？ 652 =？…
設計意圖：通過復習回顧熟悉已學知識，為新知識的學習作準備，激發學生的學習興趣，調動積極性.
環節二 探究新知
【探究】
教師活動：先給出式子讓學生計算出結果，然后通過追問引導學生發現這些等式的規律，得出完全平方公式.
問題1：計算下列各式，看誰算得又快又對？
(m+3) = =
= = ；
(2+3x) = =
= = .
預設：
(1)(m+3) =(m+3)(m+3)
=m +3m+3m+9=m2+6m+9
(2)(2+3x) =(2+3x)(2+3x)
=2 +2×3x+2×3x+9x2= 4+12x+9x
設計意圖：讓學生通過多項式相乘的運算法則計算出結果，由熟悉的知識入手，提高學習積極性.
觀察上面的等式，你能發現什么規律？
追問1：原算式有什么共同點？
(1)(m+3) =(m+3)(m+3)=m2+6m+9
(2)(2+3x) =(2+3x)(2+3x)= 4+12x+9x
預設：均為兩個數的和的平方.
追問2：原算式中的各項與它們結果中的各項有什么關系？
(1)(m+3) =(m+3)(m+3)
=m +3m+3m+9
(2)(2+3x) =(2+3x)(2+3x)
=2 +2×3x+2×3x+9x2
預設：兩個數的和的平方，恰好是這兩個數的平方和，加上這兩個數的積的2倍.
設計意圖：通過追問引導學生發現等式的規律，培養學生的觀察分析能力.
追問3：根據發現的規律你能得出什么結論嗎？用式子表示出來.
預設：猜想(a+b)2=a2+2ab+b2
追問4：你能再舉兩個例子，驗證你發現的規律嗎？
預設答案：
(m+1)2=(m+1)(m+1)
=m2+m+m+1
=m2+2m+1
(2) (3n+4) =(3n+4)(3n+4)
=9n2+12n+12n+16
=9n2+24n+16
追問5：你能對發現的規律進行推導嗎？
小組合作：
1.獨立思考，完成驗證；
2.兩人一組，交流思路，完善過程.
推導過程：
(a+b) =(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
兩數和的平方，等于它們的平方和加上它們的積的2倍.
設計意圖：通過合作探究培養學生的合作意識，并讓學生感知從一般到特殊的研究問題的方法.
【想一想】
你能用下圖解釋(a+b)2=a2+2ab+b2這一公式嗎？
預設：
(a+b)2=a2+2ab+b2
設計意圖：利用幾何圖形的面積解釋完全平方公式，讓學生從不同的角度理解這一公式，了解完全平方公式的幾何意義，并讓學生感知數形結合的思想.
【議一議】
(a b)2=？你是怎樣做的？
預設：
方法一：(a b)2=(a b)(a b) =a2 ab ab+b2
=a2 2ab+b2
方法二：(a b)2=[a+( b)]2
=a2+2a( b)+( b)2
=a2 2ab+b2
教師活動：引導學生思考并計算，待學生完成計算后，教師匯總并補充，得出結論，教師可適當追問，還有其他的計算方法嗎？使學生理解，還可以運用多項式乘以多項式的法則計算.
歸納：
完全平方公式(a b)2=a2 2ab+b2
兩個數的差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍.
設計意圖：引導學生類比探究兩數和的情況，探究兩數差的情況，從而得到兩數差的完全平方公式.
【做一做】
請你設計一個圖形解釋(a b)2=a2 2ab+b2這一公式.
預設：
(a b)2=a2 2(a b)b b2
=a2 2ab+b2
設計意圖：類比“兩數和”的情況，引導學生能夠利用幾何直觀對這一結果進行解釋.
【歸納】
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2= a2 2ab+b2
完全平方公式的特征：
(1)公式的左邊是兩個相同的二項式相乘；
(2)公式的右邊都是二次三項式；
(3)首尾兩項分別是二項式兩項的平方，中間一項是二項式兩項積的2倍；
(4)公式中的字母a、b可以表示數、單項式或多項式.
設計意圖：通過歸納完全平方公式的特征，培養學生的觀察分析能力和歸納概括能力.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
【例1】利用完全平方公式計算：
(1) (2x3) ；
(2) (4x+5y) ；
(3) (mna) .
分析：關鍵是確認完全平方公式中的a，b分別代表什么.
解： (1) (2x3) =(2x)22·2x·3+32
=4x212x+9；
(2) (4x+5y) =(4x)2+2·4x·5y+(5y)2
=16x2+40xy+25y2；
(3) (mna)=(mn) 2·mn·a+a2
=m n ma+a2
設計意圖：讓學生在應用過程中進一步加深對完全平方公式的認識和理解，培養學生的應用意識.
【回顧思考】
回顧借助幾何圖形解釋或分析問題的過程，對于形與數的聯系，你有哪些感悟
預設答案：幾何圖形提供了一種直觀的方式來理解和解釋數學公式.
平方差公式和完全平方公式可以通過圖形如正方形、長方形和它們的切割、重組來直觀展示.通過幾何圖形的解釋，我們可以將復雜的代數表達式轉化為直觀的圖形，也可以從幾何圖形中抽象出數學公式和定理.
環節四 課堂練習
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1.運用完全平方公式計算：
(1) (x2y)2 (2) (2y+)2
(3) (n+1)2 -n
解：
(n+1) n = n2+2n+1 n2==2n+1.
2.圖1是一個長為2a，寬為2b(a＞b)的長方形，用剪刀沿圖中的線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖2那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是( )
A. ab B. (a+b)2 C. (ab)2 D. a2b2
答案：C.
3.一個圓的半徑長為r(r>2)cm，減少2 cm后，這個圓的面積減少了多少？
解：πr2 - π(r-2)2
=πr2 -π(r2 -4r+4)
=πr2 -πr2 +4πr-4π
=4π(r-1) cm
答：這個圓的面積減少了4π(r-1) cm .
4.若x2+kx+81=(x9)2，則k=________．
解： ∵ x2+kx+81=(x±9)2
∴ x2+kx+92=x2±18x+92
∴ k=±18
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養獨立完成練習的習慣.
環節五 總結歸納
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.

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