資源簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
第2課時(shí) 平方差公式的幾何解釋
一、教學(xué)目標(biāo)
1.通過(guò)拼圖游戲，給出平方差公式的幾何解釋，發(fā)展運(yùn)用幾何直觀的能力．
2.在利用幾何圖形的面積驗(yàn)證公式的過(guò)程中，了解平方差公式的幾何意義，感知數(shù)形結(jié)合的思想．
3.在探索平方差公式的過(guò)程中，感悟從一般到特殊、從具體到抽象地研究問(wèn)題的方法．
4.在探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表示，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：掌握平方差公式及其幾何意義，并能正確運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.
難點(diǎn)：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能靈活運(yùn)用公式.
三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境
【復(fù)習(xí)回顧】
問(wèn)題1：什么是平方差公式？它有什么特點(diǎn)？
預(yù)設(shè)答案：平方差公式
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差.
即(a+b)(ab)=a2b2
平方差公式的特征：
(1)等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)為相同項(xiàng)，另一項(xiàng)為相反項(xiàng).
(2)等號(hào)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.
(3)公式中的字母可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等式子.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)平法差公式及其特點(diǎn)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.
環(huán)節(jié)二 探究新知
【觀察思考】如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，你能表示圖中陰影部分的面積嗎？
【合作探究】
問(wèn)題2：如何計(jì)算陰影部分的面積？
教師活動(dòng)：提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考，完成驗(yàn)證，然后小組合作，交流思路，完善過(guò)程.
預(yù)設(shè)答案：S陰影=S大正方形S小正方形
=a2b2
追問(wèn)1：小穎將陰影部分拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形 (如圖)，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少 你能表示出它的面積嗎
預(yù)設(shè)答案：這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：a+b，寬為：ab，S陰影=長(zhǎng)×寬=(a+b)(ab).
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算圖形面積入手，提高學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生自主探究解決問(wèn)題的能力.
追問(wèn)2：比較兩種計(jì)算結(jié)果，你能驗(yàn)證平方差公式嗎
預(yù)設(shè)答案：兩種計(jì)算方法都是表示陰影部分的面積，由面積相等，可得：(a+b)(ab)=a2b2.
教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生思考，并由面積相等驗(yàn)證平方差公式，使學(xué)生明確這就是平方差公式的幾何意義.
設(shè)計(jì)意圖：利用幾何圖形的面積驗(yàn)證平方差公式，讓學(xué)生從不同的角度理解這一公式，了解平方差公式的幾何意義，并讓學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合的思想.
追問(wèn)3：是否還有其它的剪拼方法來(lái)證明？
預(yù)設(shè)答案：
S陰影=長(zhǎng)×寬=(a+b)(ab).
教師活動(dòng)：讓學(xué)生獨(dú)立思考后，進(jìn)行展示，如上圖，可以沿大正方體的一條對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)直角梯形，再把這兩個(gè)直角梯形拼成一個(gè)長(zhǎng)為a+b，寬為ab的長(zhǎng)方形，也可以驗(yàn)證平方差公式.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，舉一反三，學(xué)會(huì)從多種角度思考并解決問(wèn)題.
【歸納】
平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2
幾何意義：
總結(jié)：使用平方差公式計(jì)算時(shí)，一定程度上可以簡(jiǎn)化計(jì)算.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歸納，培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力和歸納概括能力.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【例1】用平方差公式進(jìn)行計(jì)算：
(1) 103×97；(2) 118×122.
分析： (1) 103×97=(100+3)(1003)
(2) 118×122=(1202)(120+2)
解： (1) 103×97
=(100+3)(1003)
=100232
=9991；
(2) 118×122
=(1202)(120+2)
=120222
=14396.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在應(yīng)用過(guò)程中進(jìn)一步加深對(duì)平方差公式的認(rèn)識(shí)和理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).
【例2】計(jì)算：
(1) a2(a+b)(ab)+a2b2；
(2) (2x5)(2x+5)2x(2x3)
提示：只有符合公式條件的乘法，才能運(yùn)用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，其余的運(yùn)算仍按乘法法則進(jìn)行.
解：(1) a2(a+b)(ab)+a2b2；
=a2(a2b2)+a2b2
=a4a2b2+a2b2
=a4；
(2) (2x5)(2x+5)2x(2x3)
=(2x)2252x(2x3)
=4x225 4x2+6x
=6x25.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在應(yīng)用過(guò)程中進(jìn)一步加深對(duì)平方差公式的認(rèn)識(shí)和理解，并讓學(xué)生明白只有符合公式條件的乘法或者能變形成滿足平方差公式特征的式子，才能運(yùn)用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.
【想一想】
問(wèn)題3：計(jì)算下列各組算式，并觀察它們的共同特點(diǎn).
預(yù)設(shè)答案：
追問(wèn)1：從以上過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
預(yù)設(shè)答案：
(1)每組的兩個(gè)算式，上面算式中的兩個(gè)因數(shù)，都是下面算式的因數(shù)分別減1，加1得到的；
(2)每組的兩個(gè)算式，上面算式的結(jié)果+1=下面算式的結(jié)果.
追問(wèn)2：請(qǐng)用字母表示這一規(guī)律，你能說(shuō)明它的正確性嗎？
預(yù)設(shè)答案：(a+1)(a1)=a21.
問(wèn)題4：你能快速說(shuō)出下面式子的答案嗎？
201×199= 1003×997=
解：201×199
=(200+1)(2001)
=200212
=3999
1003×997
=(1000+3)(10003)
=1000232
=999991
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生計(jì)算、觀察、歸納、驗(yàn)證，讓學(xué)生感知從一般到特殊的研究問(wèn)題的方法.
環(huán)節(jié)四 課堂練習(xí)
1. 利用平方差公式計(jì)算：
(1) 598×602； (2) 1999×2001.
2.計(jì)算：
(1) (y+2)(y2)(y1)(y+5)；
(2) (4x+3)(4x3)(3x+2)(2x3)
3. 計(jì)算：(ab)(a+b)(3a2b)(3a+2b).
答案：
1. 解：(1) 598×602
=(6002)× (600+2)
=600222
=359 996
(2) 1999×2001
=(20001)×(2000+1)
=20002 12
=3 999 999
2. 解：(1) (y+2)(y2)(y1)(y+5)
=y222(y2+5yy5)
=y24y24y+5
=4y+1
(2) (4x+3)(4x3)(3x+2)(2x3)
=(4x)232(6x29x+4x6)
=16x296x2+9x4x+6
=10x2+5x3
3. 解：(ab)(a+b)(3a2b)(3a+2b)
=a2(b)2(3a)2+(2b)2
=a2b29a2+4b2
=8a2+b2.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，培養(yǎng)獨(dú)立完成練習(xí)的習(xí)慣.
環(huán)節(jié)五 總結(jié)歸納
思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容：
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)總結(jié)回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納、鞏固所學(xué)知識(shí).

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