資源簡介

數學北師大版（2024）七年級下冊
第一章 整式的乘除
1.3 乘法公式
第1課時 平方差公式
一、教學目標
1.能根據多項式的乘法法則推導出平方差公式，理解平方差公式的結構特征，并能正確運用公式進行計算.
2.在探索平方差公式的過程中，發展學生的符號感和推理能力，培養學生觀察、歸納、概括等能力.
3.在探索平方差公式的過程中，感悟從一般到特殊、從具體到抽象地研究問題的方法.
4.在探究過程中發現規律，并能用符號表示，感受數學的嚴謹性，體會數學的簡潔美.
二、教學重難點
重點：掌握平方差公式的推導過程，并能正確運用公式進行計算.
難點：理解平方差公式的結構特征，能靈活運用公式.
三、教學過程設計
環節一 創設情境
【復習回顧】
問題：多項式與多項式是如何相乘的？
預設答案：
多項式與多項式相乘
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
多項式與多項式相乘的法則：
先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
教師活動：引導學生回顧多項式乘以多項式的計算法則，待學生回答后，教師可舉兩個簡單的例子，讓學生一起計算.
如：(a+b) (m+n)= am+an+bm+bn
(x+3) (x+5)=x2+8x+15.
　　設計意圖：通過復習回顧熟悉已學知識，為新知識的學習作準備.
環節二 探究新知
【探究】
教師活動：先給出式子讓學生計算出結果，然后通過追問引導學生發現這些等式的規律，得出平方差公式.
問題1：計算下列多項式的積，看誰算得又快又對？
(1) (x+2)(x2) = = ；
(2) (1+3a)(13a) = = ；
(3) (x+5y)(x5y) = = ；
(4) (2y+z)(2yz) = = .
預設答案：
(1) (x+2)(x2) =x22x+2x4= x24；
(2) (1+3a)(13a) =13a+3a9a2=19a2；
(3) (x+5y)(x5y) =x25xy+5xy25y2= x225y2；
(4) (2y+z)(2yz) =4y22yz+2yzz2=4y2z2.
設計意圖：讓學生通過多項式相乘的運算法則計算出結果，由熟悉的知識入手，提高學習積極性.
觀察上面的等式，你能發現什么規律？
追問1：下列問題中相乘的兩個多項式有什么共同點？
(1) (x+2)(x2) = x24；
(2) (1+3a)(13a) =19a2；
(3) (x+5y)(x5y) = x225y2；
(4) (2y+z)(2yz) =4y2z2.
預設答案：均為相同的兩個數的和、兩個數的差的形式.
追問2：相乘的兩個多項式的各項與它們積中的各項又有什么關系呢？
預設答案：兩個多項式的積恰好是這兩個多項式中相同的兩個數的平方差.
追問3：根據發現的規律你能得出什么結論嗎？用式子表示出來.
預設答案：猜想(a+b)(ab)=a2b2
追問4：你能再舉兩個例子，驗證你發現的規律嗎？
預設答案：
(1) (m+1)(m1) =m2m+m1=m212
(2) (2n+3)(2n3) =4n26n+6n9=4n29
=(2n)232
設計意圖：通過追問引導學生發現等式的規律，培養學生的觀察分析能力.
追問5：你能對發現的規律進行推導嗎？
小組合作：
1.獨立思考，完成驗證；
2.兩人一組，交流思路，完善過程.
推導過程：
(a+b)(ab)
=a2ab+abb2
=a2b2
平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2
兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差.
設計意圖：通過合作探究培養學生的合作意識，并讓學生感知從一般到特殊的研究問題的方法.
【做一做】
下列式子是否能用平方差公式計算，如果能，請計算出結果.
(1) (x 3y)(x+3y)
(2) (a 2b)(2b a)
(3) (2ab)(b+2a)
(4) (a+2)(2 a)
預設答案：(1) 能，(x 3y)(x+3y)= x2(3y)2= x29y2；
(2) (a 2b)(2b a)= (a 2b) (a 2b)，不能，不存在相反的項；
(3) (2ab)(b+2a)= (2ab)(2ab)，不能，不存在相反的項；
(4) 能，(a+2)(2 a)=(2+a)(2 a)=22a2= 4a2.
【歸納】
平方差公式的特征：
(1)等號左邊是兩個二項式的積，且這兩個二項式中有一項為相同項，另一項為相反項.
(2)等號右邊是相同項的平方減去相反項的平方.
(3)公式中的字母可以表示具體的數，也可以表示單項式或多項式等式子.
設計意圖：通過歸納平方差公式的特征，培養學生的觀察分析能力和歸納概括能力.
環節三 應用新知
【典型例題】
【例1】利用平方差公式計算：
(1) (5+6x)(56x)；
(2) (x2y)(x+2y)；
(3) (m+n)(mn).
分析：關鍵是確認平方差公式中的a，b分別代表什么.
解： (1) (5+6x)(56x)=52(6x)2=2536x2；
(2) (x2y)(x+2y)=x2(2y)2= x24y2；
(3) (m+n)(mn)=(m)2n2=m2n2.
提問：你還有其他的計算方法嗎？
小總結：所有的可應用公式的乘法，都可以用一般的多項式乘法法則來計算.
【例2】利用平方差公式計算：
(1) (xy)(x+y)；(2) (ab+8)(ab8).
分析：(1)中既可以直接使用平方差公式進行計算，也可以每個括號里提出一個負號后，再用平方差公式計算.
解：(1) (xy)(x+y)=(x)2y2=x2y2；
或(xy)(x+y)=(x+y)(xy)=(x)2y2=x2y2；
(ab+8)(ab8) =(ab)282=a2b264.
【想一想】
(ab)(ab)等于什么？你是怎樣做的？
提示：能用平方差公式計算嗎？
預設答案：
方法一：(ab)(ab)=(b+a)(ba)
=(b)2a2=b2a2；
方法二：(ab)(ab)=(a+b)(ab)
=(a2b2)= b2a2.
教師活動：引導學生思考并計算，待學生完成計算后，教師匯總并補充，得出結論，教師可適當追問，還有其他的計算方法嗎？使學生理解，還可以運用多項式乘多項式的法則計算.
設計意圖：讓學生在應用過程中進一步加深對平方差公式的認識和理解，培養學生的應用意識.
環節四 課堂練習
　1.下面各式的計算對不對？如果不對，應當怎樣改正？
　(1) (x+2)(x2)=x22
　(2) (3a2)(3a2)=9a24
　2.計算：
　(1) (5mn)(5mn)
　(2) (2ab)(b2a)
　(3) (3x+2)(2x3)
　(4) (4k+3)(4k3)
　3. (a+3)(a2+9)(a3) 的計算結果是（ ）
　A. a4+81 B. a481 C. a481 D. 81a4
　答案：
　1. 解：(1)正確；
　 (2)錯誤，(3a2)(3a2)=49a2.
　2.解： (1) (5mn)(5mn)
　=(n)2(5m)2
　=n225m2；
(2) (2ab)(b2a)
=(b)2(2a)2
=b24a2；
(3) (3x+2)(2x3)
=6x29x+4x6
=6x25x6；
(4) (4k+3)(4k3)
=(4k)232
=16k29.
3. C
解：(a+1)(a1)(a2+1)
=(a21)(a2+1)
=a41
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養獨立完成練習的習慣.
環節五 總結歸納
　　思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.

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