資源簡介

第一章 整式的乘除
1.2 整式的乘法
第3課時 多項式乘以多項式
一、教學目標
1.熟練掌握多項式乘多項式的運算法則.
2.能夠熟練地進行多項式與多項式的乘法計算，發展運算能力.
3.經歷探索多項式乘多項式的運算法則的過程，通過類比學習，利用乘法的運算律將問題轉化，培養學生轉化的數學思想.
4.讓學生主動參與到探索過程中，培養學生思維的嚴密性和初步解決問題的能力.
二、教學重難點
重點：熟練掌握多項式乘以多項式的運算法則.
難點：能夠熟練地進行多項式與多項式的乘法計算.
三、教學過程設計
環節一 創設情境
【復習回顧】
教師活動：教師提出問題，引導學生回顧并回答.
計算：（1）3a b·2ab3；
預設：
（1）原式=(3×2)(a2·a)(b·b3)= 6a3b4
（2原式
提問：說一說單項式乘單項式是如何進行運算的？
預設：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式.
計算：c2·(m＋n－p)
預設：c2·(m＋n－p)=c2m＋c2n－c2p
提問：說一說單項式乘多項式是如何進行運算的？
預設：單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
設計意圖：通過練習引導學生回顧單項式乘單項式、單項式乘多項式的運算法則，為本節課的學習做鋪墊.
環節二 探究新知
【探究】如圖1是一個長和寬分別為m，n的長方形紙片，如果它的長和寬分別增加a，b，所得的長方形(圖2)的面積可以怎樣表示呢
你能用幾種方法表示擴大后的長方形的面積？
教師活動：出示課件提出計算面積的問題，鼓勵學生思考，嘗試用多種方法表示擴大后的長方形面積.學生獨立思考后，小組討論，交流思路，充分交流后，選代表回答并適當的講解，教師匯總并補充.
預設：
方法一：如果把它看成一個大長方形，
則它的長為(m+a)，寬為(nb).
它的面積可表示為：(ma)(nb)
方法二：如果把它看成四個小長方形，
則它的面積可表示為：mn+mb+an+ab
方法三：如果把它看成上下兩個大長方形，
則它的面積可表示為：n(m+a)+b(m+a)
方法四：如果把它看成左右兩個大長方形，
則它的面積可表示為：m(n+b)+a(n+b)
追問1：四種不同的表示方法之間有什么關系呢？
預設答案：四個式子都表示擴大后長方形綠地的面積，所以它們是相等的.
即：(ma)(nb)
n(m+a)+b(m+a)
m(n+b)+a(n+b)
mn+mb+an+ab
【思考】由此你得到了什么啟發
教師這里可以適當提醒學生，可以先把(nb)或（m+a）看成一個整體(單項式)，這時，運用單項式乘多項式的法則，得到：
(ma)(nb)m(n+b)+a(n+b)
或(ma)(nb)n(m+a)+b(m+a)
然后再一次利用單項式乘多項式的法則，得到：
(ma)(nb)m(n+b)+a(n+b)mn+mb+an+ab
(ma)(nb)n(m+a)+b(m+a)mn+mb+an+ab
設計意圖：讓學生先通過用不同的方法計算長方形的面積，再通過3個層次漸進的追問引出新知，同時也讓學生初步理解多項式乘多項式的運算依據.
【想一想】(1)你能計算（2a+b）·(a＋2b)， (x+y)·(x－1)及(a -b )·(a-b)
預設：
（2a+b）·(a＋2b)
=2a·(a＋2b)＋b·(a＋2b) 乘法分配律
=2a·a＋2a·2b＋b·a＋b·2b 單項式乘多項式
=2a +4ab+ab+2b
=2a +5ab+2b
(x+y)·(x－1)
=x·(x－1)＋y·(x－1) 乘法分配律
=x·x－x·1＋y·x－y·1 單項式乘多項式
=x －x+yx-y
(a -b )·(a-b)
=a ·(a-b)-b ·(a-b) 乘法分配律
=a ·a-a ·b-b ·a+b ·b 單項式乘多項式
=a3-a b-ab +b3
【議一議】你是用什么方法計算上面的問題的？
預設：
【討論】你能類比單項式與多項式相乘的法則，歸納多項式乘以多項式的運算法則嗎？
小組討論，兩人一組，充分交流后，舉手發言，教師匯總并補充.
【歸納】
多項式乘多項式的運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
設計意圖：學生經歷自主探究后，討論并總結出多項式乘多項式的運算法則.培養學生知識遷移能力和語言組織能力.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例3計算：
(1) (1-x)(0.6-x)； (2) (2x+y)(xy)；
分析:利用多項式乘多項式的運算法則計算即可.
解：(1) (1-x)(0.6-x)
=1×0.6-1×x-x×0.6+x·x
=0.6-x-0.6x+x2
=0.6-1.6x+x2.
(2) (2x+y)(x-y)
=2x·x-2x·y+y·x-y·y
=2x2-2xy+xy- y2
=2x2-xy-y2
總結：
多項式乘以多項式時，應注意以下幾點：
(1)相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；
(2)多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積；
(3)相乘后，若有同類項應該合并．
總結時，可結合下方例子進行說明：
設計意圖：通過例題，讓學生進一步熟悉用多項式乘多項式的運算法則，要求學生明確每一步計算的道理，加強學生的運算能力和應用意識.
【想一想】
(1)如圖 ，一幅邊長為am的正方形風景畫，左右各留有寬為m的長方形空白區域做裝飾，中間畫面的面積是多少平方米
答案：中間畫面的面積:a·(a-2×x)=a·a-2×a·x=a -ax
(2)如圖 ，一幅長為am、寬為 bm的長方形風景畫，畫面的四周留有空白區域做裝飾，其中四角均是邊長為xm的正方形，正中間畫面的面積是多少平方米
答案：中間畫面的面積:(a-2x)·(b-2x)=a·b-a·2x-2x·b+2x·2x=ab-2ax 2bx+4x
環節四 課堂練習
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1.計算：(1) (m+2n)(m-2n)；(2) (2n+5)(n-3)；(3) (x+2y)2；(4) (2x+b)(3x+d).
解：(1)原式=m2-2mn+2mn-4n2=m2-4n2
(2)原式=2n2-6n+5n-15=2n2-n-15
(3)原式=(x+2y)(x+2y)=x2+2xy+2xy+4y2
=x2+4xy+4y2
(4)原式=6x2+2xd+3xb+bd
2.計算:
解：
3.先化簡，再求值：
(x+1)(x -x+1)+(x-2)(x +2x+4),其中.
解：(x+1)(x -x+1)+(x-2)(x +2x+4)
=x3-x +x+x -x+1+x3+2x +4x-2x2-4x-8
=2x3-7
當 時，
設計意圖：通過課堂練習及時鞏固本節課所學內容，并考查學生的知識應用能力，培養學生獨立完成練習的習慣.
環節五 總結歸納
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.

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