資源簡介

第一章　整式的乘除
1.4　整式的除法
1．經歷探索單項式除以單項式、多項式除以單項式法則的過程，會進行多項式除以單項式的運算．
2．通過觀察、歸納和概括等一系列數學活動，理解整式除法的運算算理，感受數學思考過程的條理性和數學結論的嚴謹性，并進一步體會類比方法的作用．
3．在發展推理能力和有條理的表達能力的過程中，進一步培養學習數學的興趣，加強學習數學的信心.
重點：能運用單項式除以單項式進行計算并解決問題.
難點：多項式除以單項式運算法則的探究過程．
一、導入新課
知識鏈接
1．口答：
(1)a20÷a10；　　　(2)yz2·z3；
(3)2x4·x6; (4)4ab2·a2x.
(1)a10；(2)yz5；(3)2x10；(4)14a3b2x.
2．回憶單項式乘單項式的乘法法則．
單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變作為積的一個因式．
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究一：單項式除以單項式
算一算：
計算下列各題，并說說你的理由．
(1)x5y÷x2；(2)8m2n2÷2m2n；(3)a4b2c÷3a2b.
方法一：利用乘除法的互逆性
(1)因為x2·x3y＝x5y，所以x5y÷x2＝x3y．
(2)因為2m2n·4n＝8m2n2，所以8m2n2÷2m2n＝4n．
(3)因為3a2b·a2bc＝a4b2c，所以a4b2c÷3a2b＝a2bc．
方法二：利用類似分數約分的方法
(1)x5y÷x2＝＝x3y．(2)8m2n2÷2m2n＝＝4n．(3)a4b2c÷3a2b＝＝a2bc．
比一比：
觀察比較后發現，單項式除以單項式，其結果(商式)仍是一個單項式．
被除式 除式 　　　商式
(1) x5y ÷ x2 ＝ x5－2·y；
(2) 8m2n2 ÷ 2m2n ＝ (8÷2)·m2－2·n2－1；
(3) a4b2c ÷ 3a2b ＝ (1÷3)·a4－2·b2－1·c.
追問1：三個單項式的系數之間有什么關系？
商式的系數＝被除式的系數÷除式的系數．
追問2：同底數冪是怎樣運算的？
(同底數冪)商的指數＝被除式的指數－除式的指數.
追問3：只在被除式里含有的字母，在商中有沒有變化？
被除式中單獨有的冪，寫在商式作為因式(類比).
議一議：
通過以上經驗，你能總結出單項式除以單項式的運算法則嗎？小組討論得出結果．
要點歸納: 單項式除以單項式的法則：
單項式相除，把系數、同底數冪分別相除后，作為商的因式;對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式.
商式=系數·同底數冪·被除式里單獨有的冪
　　　↓　　　↓　　　　　 ↓
　　
探究二：多項式除以單項式
填一填：
因為(a＋b)m＝am＋bm，
所以(am＋bm)÷m＝a＋b． 因為am÷m＋bm÷m＝a＋b，
所以(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.
算一算：
(1)(ad＋bd)÷d＝ad÷d＋bd÷d＝a＋b；
(2)(a2b＋3ab)÷a＝a2b÷a＋3ab÷a＝ab＋3b；
(3)(xy3－2xy)÷xy＝xy3÷xy－2xy÷xy＝y2－2．
要點歸納：多項式除以單項式的法則：
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．　
計算：
(1)－(x5y2)2÷(－xy2)；
原式＝－x10y4÷(－xy2)＝x9y2.
(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－a5b2).
原式＝[(－48)÷24×(－1)]a6－1＋5·b5－4＋2·c＝2a10b3c.
(3)(27a3－15a2＋6a)÷3a；
原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a＝9a2－5a＋2.
(4)(3x2y－xy2＋xy)÷(－xy).
原式＝－3x2y÷xy＋xy2÷xy－xy÷xy＝－6x＋2y－1.
教材P27例題，課件出示，學生獨立完成．
注意：1.不能漏除；2.注意符號；3.商的項數與多項式的項數相同．
思考：本節課情境導入的問題你會了嗎？(再次出示課件，解決問題，首尾呼應)
三、當堂檢測
1．計算6m2÷(－3m)的結果是（ B ）
A．－3m B．－2m C．2m D．3m
2．計算(15x2y－10xy2)÷5xy的結果是（ B ）
A．－3x＋2y B．3x－2y
C．－3x＋2 D．－3x－2
3．已知某長方形的面積為8a5，其中一條邊為2a2，則它的鄰邊為4a3．
4．若xmyn＋1÷x3y＝4x3，則m＝6，n＝0．
5．計算：
(1)(xm＋ym＋zm)÷m＝x＋y＋z；(2)(16x3－24x2)÷(－4x2)＝－4x＋6．
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
在教學過程中，通過復習導入，引導學生根據單項式乘以單項式的乘法運算推導出其逆運算的規律，在探究的過程中經歷數學概念的生成過程，從而加深印象．
通過問題情境中由數到式的變化，讓學生充分體會數與式的聯系，體會從特殊到一般，具體到抽象的認識過程，并留下懸念引出課題．在探索過程中要讓學生先獨立思考，再交流反饋，讓學生在實踐中獲得運算法則，主動建構新的知識體系．這節課知識點不多難度也不大，要注意多給學生尤其是后進生充分展示的機會，在發展推理能力和有條理的口頭表達能力的過程中，進一步提高數學學習興趣和信心．第一章　整式的乘除
1.1　冪的乘除
第2課時　冪的乘方
1．經歷探索冪的乘方的運算性質的過程，進一步體會冪運算的意義及類比、歸納等方法的作用，發展運算能力和有條理的思考和表達能力．
2．了解冪的乘方的運算性質，并能解決一些實際問題.
3．從數的相應運算入手，類比過渡到式的運算，從中探索、歸納式的運算法則，使新的運算規律自然而然地同化到原有的知識之中，使原有的知識得到擴充、發展．
重點：理解并掌握冪的乘方法則．
難點：掌握冪的乘方法則的推導過程并能靈活運用.
一、導入新課
知識鏈接
我們知道a·a·a·a可以寫成a4，那么類似的a2·a2·a2·a2可以寫成什么？
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究：冪的乘方法則
做一做：
(32)3＝32×32×32＝36
(a2)3＝a2×a2×a2＝a6
(am)3＝am×am×am＝a3m
說明：如果學生有困難，教師可以引導學生回顧同底數冪的乘法，再進行計算．
議一議：
觀察計算結果你能發現什么規律？小組討論得出結論．
底數不變，指數相乘．
追問：你能用數學符號表示你發現的規律嗎？
(am)n＝amn(m，n為正整數).
注意　教師引導學生補充文字或符號的說明，完成從符號語言到文字語言的相互轉化．
證一證：
你能證明你們組的猜想嗎？
(am)n＝am·am·…·am（n個am）＝a（m+m+…+m）(n個m)＝amn
要點歸納：冪的乘方法則：(am)n＝amn(m，n都是正整數).
冪的乘方，底數不變，指數相乘．　
計算：
(1)(102)3；　　　　　　　　(2)(b5)5；
(3)(an)3; (4)－(x2)m；
(5)[(x＋y)3]2·(x＋y); (6)2(a2)6－(a3)4.
(1)(102)3＝102×3＝106.
(2)(b5)5＝b5×5＝b25.
(3)(an)3＝an×3＝a3n.
(4)－(x2)m＝－x2×m＝－x2m.
(5)[(x＋y)3]2·(x＋y)＝(x＋y)3×2·(x＋y)＝(x＋y)6·(x＋y)＝(x＋y)7.
(6)2(a2)6－(a3)4＝2a2×6－a3×4＝2a12－a12＝a12.
注意：先進行乘方、乘法運算，再進行加法運算．
已知am＝2，an＝3.求：
(1)a2m，a3n的值；
(2)am＋n的值；
(3)a2m＋3n的值．
(1)a2m＝(am)2＝22＝4，a3n＝(an)3＝33＝27.
(2)am＋n＝am·an＝2×3＝6.
(3)a2m＋3n＝a2m·a3n＝4×27＝108.
思考：本節課情境導入的問題你會了嗎？(再次出示課件，解決問題，首尾呼應)
三、當堂檢測　
1．計算(a5)4的結果是（D）
A．4a5 B．5a4 C．a9 D．a20
2．下列計算正確的是（D）
A．(a3)2＝a9 B．(a2)3＝a5
C．a3＋a3＝a6 D．(a3)2＝a6
3．如果某個正方體的棱長是(1－2b)3，那么這個正方體的體積是(1－2b)9．
4．若ax＝3，則(a2)x＝9．
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
冪的乘方是繼同底數冪的乘法的又一種冪的運算，從“數”的相應運算入手，類比過渡到“式”的運算，從中探索、歸納“式”的運算法則，使新的運算規律自然而然地同化到原有的知識中，使原有的知識得到擴充、發展．在這里，用同底數冪乘法的知識探索發現冪乘方運算的規律，冪乘方運算的規律又是下一個新規律探索的基礎，學習層次得到不斷提高．第一章　整式的乘除
1.3　乘法公式
第2課時　完全平方公式
　　
1．經歷探索完全平方公式的過程，進一步發展學生的符號意識和推理能力，會推導完全平方公式，并能運用公式進行簡單的計算和推理；
2．通過實例，了解完全平方公式的幾何背景，會運用完全平方公式進行一些簡便運算；
3．通過觀察圖形的拼接，驗證完全平方公式，了解完全平方公式的幾何背景，發展幾何直觀，從中體會數形結合的數學思想．
重點：理解并掌握完全平方公式的推導和應用．
難點：掌握完全平方公式的結構特征，能靈活運用公式進行計算．
一、導入新課
知識鏈接
1．多項式的乘法法則是什么？
(a＋b)(m＋n)＝________；
2．多項式乘法法則的幾何意義是什么？
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究一：完全平方公式的認識
算一算：
(1)(1＋p)2；
原式＝(1＋p)(1＋p)
＝12＋p＋p＋p2
＝1＋2p＋p2.
(2)(m＋3)2；
原式＝(m＋3)(m＋3)
＝m2＋3m＋3m＋9
＝m2＋2×3m＋9
＝m2＋6m＋9.
(3)(2＋3x)2.
原式＝(2＋3x)(2＋3x)
＝22＋2×3x＋2×3x＋9x2
＝4＋2×2×3x＋9x2
＝4＋12x＋9x2.
追問1：上述式子的左邊有什么共同特征？計算的結果都是幾次幾項式？
左邊都是兩項和或差的平方，結果都是二次三項式.
追問2：計算結果的每一項分別與括號里的每項有什么關系？
結果的首尾項分別是左邊括號里每項的平方，結果的中間項是括號里兩項乘積的2倍．
比一比：
根據發現的特征，寫出下面式子的答案：
(1)(a＋b)2＝________； (2)(a－b)2＝________．
觀察并比較(1)(2)兩個式子，等式左邊(右邊)相同的項．
追問1：(1)(2)兩個式子等式右邊不同的是哪一項？它的符號與什么有關？
＋2ab和－2ab.與兩數中間的符號有關．
追問2：能否描述你們發現的規律？(分別從文字語言和符號語言角度引導)
文字語言：兩個數的和(差)的平方，等于這兩個數的平方和，加上(減去)它們積的2倍．符號語言：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
要點歸納：
文字說明：
兩個數的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍．這兩個公式叫作完全平方公式．
簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”
符號表述：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.　
探究二：完全平方公式的幾何驗證
填一填：
一塊邊長為a的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b，形成四塊實驗田，以種植不同的新品種．(如圖)
(1)四塊實驗田面積分別為：a2、ab、
b2、ab；
(2)兩種形式表示實驗田的總面積：
①從整體看：邊長為(a＋b)的大正方形，S大正方形＝(a＋b)2；
②從部分看：四塊面積的和S＝a2＋2ab＋b2．
畫一畫：
我們能否將上面圖形中表示邊長的字母稍作調整，畫一個圖形驗證(a－b)2＝a2－2ab＋b2
如圖所示．(畫出一個即可)
教材P21例5，課件出示，學生獨立完成．
思考1：(a＋b)2與(－a－b)2相等嗎？
(a－b)2與(b－a)2相等嗎？
(－a－b)2＝(－a)2－2·(－a)·b＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
(b－a)2＝b2－2ba＋a2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
思考2：怎樣計算1022，1972更簡便呢？
分組討論，試試哪一組算的又快又好．
運用乘法公式計算：
(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；
(2)(a＋b＋c)2.
(1)
原式＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9.
學生獨立完成例題(2)的計算．
原式＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)＝(a＋b)2＋2(a＋b)·c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值．
因為a＋b＝7，
所以(a＋b)2＝49.
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29，
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
思考：本節課情境導入的問題你會了嗎？(再次出示課件，解決問題，首尾呼應)
三、當堂檢測
1．計算(2x－1)2的結果是（ C ）
A．2x2＋4x＋1 B．4x2－4x－1
C．4x2－4x＋1 D．4x2＋1
2．若(x＋a)2＝x2－10x＋b，則a，b的值分別為（ D ）
A．2，4 B．5，－25
C．－2，25 D．－5，25
3．計算：
(1)(x－2)2＝x2－4x＋4； (2)(m＋2n)2＝m2＋4mn＋4n2．
4．如圖所示的圖形驗證了一個等式，則這個等式是(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．
5．運用完全平方公式計算：
(1)10.12＝(10＋0.1)2＝102.01；
(2)1982＝(200－2)2＝39 204.
6．若x＋y＝17，xy＝60，則x2＋y2＝169，(x－y)2＝49．
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
本節課是整式的乘除一章中的重點，它是多項式乘法特殊形式下的一種簡便運算．學生需要熟練掌握公式兩種形式的使用方法，以提高運算速度．在教學過程中，應注重引導學生歸納公式的等號兩邊的結構特征，特別注意讓學生用自己的語言描述公式的結構特征，同時引導學生發現在運用公式過程中容易出現的問題和注意的細節，比如二倍乘積在中間的時候，符號問題．然后再通過逐層深入的練習，鞏固完全平方公式兩種形式的應用，為完全平方公式第二節課的實際應用和提高應用做好充分的準備．第一章　整式的乘除
1.1　冪的乘除
第3課時　積的乘方
1．經歷探索積的乘方的運算性質的過程，進一步體會冪運算的意義及類比、歸納等方法的作用，發展運算能力和有條理的思考和表達能力．
2．了解積的乘方的運算性質，并能解決實際問題．
3．從數的相應運算入手，類比過渡到式的運算，從中探索、歸納式的運算法則，使新的運算規律自然而然地同化到原有的知識之中，使原有的知識得到擴充、發展．
重點：理解并掌握積的乘方的運算法則．
難點：掌握積的乘方的推導過程，并能靈活運用．
一、導入新課
知識鏈接
1．計算：
(1)10×102×103＝106；
(2)(x5)2＝x10．
2．(1)同底數冪的乘法：am·an＝am＋n(m，n都是正整數).
(2)冪的乘方：(am)n＝amn(m，n都是正整數).
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究：冪的乘方法則
做一做：
1．師生共同完成計算并引導學生說出每一步的依據：
(3×5)2＝(3×5)×(3×5)——乘方的意義
＝(3×3)×(5×5)——乘法交換律、結合律
＝32×52——乘方的意義
2．按照以上方法，完成填空：
(2×5)2＝________＝________＝________；
(xy)4＝________＝________＝________．
議一議：
觀察計算結果你能發現什么規律？小組討論得出結論．
積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
追問：你能用符號表示你發現的規律嗎？
(ab)n＝an·bn(n為正整數).
證一證：
你能證明你們發現的猜想嗎？一般地，對于任意底數a，b與任意正整數n，則有
(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n個(ab) (乘方的意義)
＝(a·a·…·a)n個a ·(b·b·…·b)n個b (乘法的交換律)
＝anbn.(乘方的意義)
要點歸納：積的乘方法則：(ab)n＝anbn(n是正整數).
積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．　
追問：三個或三個以上因式積的乘方，是否依舊具有這樣的運算性質？
(abc)n＝an·bn·cn(n為正整數).
教材P6例4，課件出示，學生獨立完成．
注意：(1)在運用積的乘方法則時，要注意積的每一項都要乘方，不要遺漏任一項．
(2)解題時先確定系數(包括正確確定它們的符號)，再確定每個字母的指數．
(3)含有“－”號的字母底數看成－1乘以這個字母，再運用積的乘方法則．
填空：
(1)a3b6＝(________)3；
(2)36x6y10＝(________)2.
(1)ab2　(2)±6x3y5
計算：
()2024×22024.
原式＝(×2)2024＝12024＝1.
思考：本節課情境導入的問題你會了嗎？(再次出示課件，解決問題，首尾呼應)
三、當堂檢測　
1．計算(ab)2的結果是（ C ）
A．2ab B．a2b C．a2b2 D．ab2
2．下列計算正確的是（ D ）
A．(xy)3＝xy3 B．(2xy)3＝2x3y3 C．(－2x3)3＝－6x9 D．(－xy2)4＝x4y8
3．計算：
(1)－(3m2nh3)2＝－9m4n2h6； (2)(2×102)3×(－10)2＝8×108．
4．若(ambn)2＝a8b6，則m＝4，n＝3.
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
積的乘方是整式乘法的基礎，在內容處理上仍然先通過數字指數為例讓學生計算，而后引導學生自主探索，討論交流，歸納出一般指數情形的性質，即概括出：(ab)n＝anbn.盡可能讓學生主動建構，獲取新知，教學時引導學生關注每一步的依據．不要把積的乘方性質與同底數冪的乘法性質混淆．第一章　整式的乘除
1.3　乘法公式
第1課時　平方差公式
1．經歷探索平方差公式的過程，進一步發展學生的符號意識和推理能力，會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的計算和推理；
2．通過實例，了解平方差公式的幾何背景，會運用平方差公式進行一些簡便運算；
3．通過觀察圖形的拼接，驗證平方差公式，了解平方差公式的幾何背景，發展幾何直觀，從中體會數形結合的數學思想．
重點：理解并掌握平方差公式的推導和應用．
難點：掌握平方差公式的結構特征，能靈活運用公式進行計算．
一、導入新課
知識鏈接
計算：
(x＋1)(y－5)＝xy－5x＋y－5；
(x＋1)(x－5)＝x2－5x＋x－5＝x2－4x－5；
(x＋1)(x－1)＝x2－x＋x－1＝x2－1．
思考積為何從四項變成三項又變為兩項？
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究一：平方差公式的認識
算一算：
(1)(x＋2)(x－2)；　　(2)(1＋3a)(1－3a)；
(3)(x＋5y)(x－5y); (4)(2y＋z)(2y－z).
議一議：
觀察相乘的兩個多項式有什么特點？最終結果又有什么特點？小組討論得出結果．
前一項相同項，后一項互為相反數(也可從加減法的角度理解).最終結果有兩項，是乘式中兩項的平方差，即(相同項)2－(互為相反數的項)2.
追問1：為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是二項式？
有的積相加為0.
追問2：能否描述你們發現的規律？(分別從文字語言和符號語言角度引導)
文字語言：兩個數的和×這兩個數的差＝這兩個數的平方差．符號語言：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
證一證：
代數驗證(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.
填一填：
(a－b)(a＋b) a b a2－b2
(1＋x)(1－x) 1 x 12－x2
(－3＋a)(－3－a) －3 a (－3)2－a2
(1＋a)(－1＋a) a 1 a2－12
(0.3x－1)(1＋0.3x) 0.3x 1 (0.3x)2－12
探究二：平方差公式的幾何驗證
拼一拼：
如圖①，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形．
(1)請表示圖①中陰影部分的面積；
a2－b2.
播放PPT——動態展示圖形拼接過程
(2)小穎將陰影部分拼成了一個長方形(如圖②)，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？
長為a＋b，寬為a－b，面積為(a＋b)(a－b).
證一證：
經過以上求面積的過程，你能驗證平方差公式嗎？
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
追問：還有其他的幾何方法解釋嗎？(給幾分鐘時間，讓學生在紙上自己動手畫，然后小組展示結果，老師對結果加以點評．)
教材P18例1，課件出示，學生獨立完成．
教材P18例2，課件出示，學生獨立完成，老師追問并總結計算中要注意的事項(公式中的a，b可以是具體的數，也可以是單項式和多項式；若有不能直接應用公式的，可以先變形再應用).
利用平方差公式進行計算：
(1)103×97；(2)118×122.
(1)103×97＝(100＋3)(100－3)＝1002－32＝10000－9＝9991.
(3)118×122＝(120－2)(120＋2)＝1202－22＝14400－4＝14396.
思考：本節課情境導入的問題你會了嗎？(再次出示課件，解決問題，首尾呼應)
三、當堂檢測
1．計算(x＋2y)(x－2y)的結果是（ B ）
A．x2－2y2 B．x2－4y2
C．2y2－x2 D．4y2－x2
2．計算(300－1)(300＋1)的結果是（ B ）
A．89 998 B．89 999
C．89 996 D．99 991
3．如圖①，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成如圖②所示的長方形．通過計算剪拼前后陰影部分的面積，可以驗證的等式是（ A ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a(a－b)＝a2－ab
4．計算：
(1)(x－1)(x＋1)＝x2－1； (2)(m－n)(－m－n)＝n2－m2．
5．若x－y＝4，x＋y＝7，則x2－y2＝28．
6．計算：
(1)(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)； (2)3×2.
原式＝a2－4b2－ab＋4b2＝a2－ab.
原式＝(3＋)(3－)＝32－()2＝8.
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
本節課的學習在于調動學生的積極性，讓學生從被動學習轉化為主動學習，使他們在問題情景中發現、探索、總結；經過獨立思考，合作交流能證明平方差公式．掌握公式的結構特征，能正確應用這個公式進行計算．
通過展示幾何圖形的拼接過程，以問題為驅動，啟發學生從兩種拼接方法中分別計算出其面積，體現等面積法，從而感受平方差公式的幾何背景，進一步加深對知識的理解并學以致用，并體會數形結合這一數學思想．第一章　整式的乘除
1.1　冪的乘除
第4課時　同底數冪的除法
1．經歷探索同底數冪除法運算性質的過程，進一步體會冪運算的意義及類比、歸納等方法的作用，發展運算能力和有條理的表達能力；
2．了解同底數冪的除法的運算性質，會進行同底數冪的除法，并能解決一些實際問題；
3．通過對整式的除法運算法則學習，在經歷猜想、驗證、歸納的學習過程中，體會歸納的數學思想方法，逐步養成用數學語言表達與交流的習慣，感悟數據的意義與價值．
重點：1.理解零次冪和負整數指數冪的意義，并能進行負整數指數冪的運算；
2．會用同底數冪的除法法則進行計算．
難點：理解冪的除法運算并在運算中體會轉化的思想.
一、導入新課
知識鏈接
口答：(1)102×103＝________；
(2)a4·a5＝________；
(3)am·an＝________(m，n都是正整數).
填空：(1)________×103＝105
(2)a4·________＝a9
這兩個問題都是已知積和其中一個因式，求另一個因式，你想到該如何計算了嗎？
(1)105÷103＝________；
(2)a9÷a4＝________．
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究一：同底數冪的除法法則
做一做：
計算(m＞n，且m，n為正整數)：
提問：觀察上面算式，底數有什么特點？
底數相同．
追問1：上面算式中，等號左邊是什么運算？
除法運算．
追問2：等號左右兩邊的指數有什么關系？
等號右邊的指數等于等號左邊指數相減．
議一議：
總結一下你發現了什么規律，能否用符號語言表示出來？小組討論得出結論．
同底數冪相除，底數不變，指數相減．am÷an＝am－n.
證一證：
你能證明你們發現的猜想嗎？
追問1：底數a能否為0？為什么？
底數a不能為0，因為除數不能為0.
追問2：指數m和n的大小關系有要求嗎？
m＞n，且m，n為正整數．
要點歸納：同底數冪的除法法則：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整數，且m＞n).
同底數冪相除，底數不變，指數相減．　
探究二：零次冪和負整數次冪
追問3：當m＝n時，是什么情況？
當m＝n時，am÷an＝am÷am＝a0＝1(a≠0).
追問4：當m＜n時，是什么情況？
當m＜n時，am÷an＝am－n(a≠0).
為解決出現0次冪和負整數次冪，我們規定：
要點歸納：a0＝1(a≠0).即任何不等于零的數的零次冪都等于1.
a－p＝(a≠0，p為正整數).即用a－p表示ap的倒數．　
追問5：這樣的規定合理嗎？小組討論一下，舉例說明．
合理．例如，由于103÷103＝1，而借助同底數冪的除法可得103÷103＝103－3＝100，
∴可規定100＝1，
由于1÷10＝，
而借助同底數冪的除法可得
1÷10＝100－1＝10－1，∴可規定10－1＝.
注意：有了這個規定之后，已學過的同底數冪的乘法和除法運算中的m，n就從正整數擴大到全體整數了．
要點歸納：同底數冪的除法：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是整數)．
同底數冪相除，底數不變，指數相減．　
探究三：用科學記數法表示較小的數
寫一寫：
(1)10－1＝＝0.1；
(2)10－2＝()＝(0.01)；
(3)10－3＝()＝(0.001)；
(4)10－4＝()＝(0.0001).
那么1.6×10－4＝0.00016；0.000052＝5.2×10－5(用科學記數法表示).
教材P7例5，課件出示，學生獨立完成，老師總結．
計算：
(1)7－3÷7－5；　　　(2)a－4÷a6；
(3)30÷3－3; (4)(bc)－4÷(bc)－8.
(1)原式＝7－3－(－5)＝72＝49.
(2)原式＝a－4－6＝a－10.
(3)原式＝30－(－3)＝33＝27.
(4)原式＝(bc)－4－(－8)＝(bc)4＝b4c4.
實驗表明，人體內某細胞的形狀可以近似地看成球狀，并且它的直徑為0.00000156 m，則這個數可用科學記數法表示為C
A．0.156×10－5 m
B．0.156×105 m
C．1.56×10－6 m
D．1.56×106 m
思考：本節課情境導入的問題你會了嗎？(再次出示課件，解決問題，首尾呼應)
　　　　　　　　　　　　　　　　
三、當堂檢測
1．計算a8÷a2的結果是（B）
A．a8 B．a6 C．a4 D．a2
2．計算(π－3)0的結果是（ B ）
A．0 B．1
C．3－π D．π－3
3．若am＝15，an＝5，則am－n等于（ A ）
A．3 B．5 C．15 D．75
4．若(x－2)0有意義，則x≠2．
5．已知am÷a5＝a2，則m＝7．
6．計算：
(1)(－a)7÷a4； (2)30－2－3＋(－3)2－()－1.
原式＝－a7÷a4＝－a3.原式＝1－＋9－4＝.
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
1．同底數冪相除，底數不變，指數相減．
am÷an＝am－n(a≠0，m、n為任意整數).
2．任何不等于零的數的零次冪都等于1.
a0＝1(a≠0).
3．負整數指數冪：a－n＝＝()n(a≠0，n為正整數).
從計算具體問題中的同底數冪的除法，逐步歸納出同底數冪除法的一般性質．教學時要多舉幾個例子，讓學生從中總結出規律，體驗自主探究的樂趣和數學學習的魅力，為以后的學習奠定基礎．第一章　整式的乘除
1.1　冪的乘除
第1課時　同底數冪的乘法
1．經歷探索同底數冪乘法運算性質的過程，進一步體會冪運算的意義及類比、歸納等方法的作用，發展運算能力和有條理的表達能力．
2．了解同底數冪乘法的運算性質，并能解決一些實際問題．
3．從數的相應運算入手，類比過渡到式的運算，從中探索、歸納式的運算法則，使新的運算規律自然而然地同化到原有的知識之中，使原有的知識得到擴充、發展．
重點：理解并掌握同底數冪的乘法法則；
難點：能夠運用同底數冪的乘法法則進行相關計算．
一、導入新課
知識鏈接
1015是有理數的什么運算？其中10叫什么數？15叫什么數？根據乘方的定義怎樣計算107×108
創設情境
2024年4月25日，神舟十八號載人飛船發射取得成功，我國航天工程進入新的階段．飛船的飛行速度約為7.9×103米/秒，若以此速度飛行104秒，問飛船飛行了多少米？(用科學記數法表示)
二、合作探究
探究一：同底數冪的乘法法則
做一做：
1．師生共同完成計算并引導學生說出每一步的依據：
103×104(冪的形式)
＝10×10×10(3個10)×10×10×10×10(4個10)
(依據：乘方的意義)
＝10×10×10×10×10×10×10（7個10） (積的形式)
(依據：乘法結合律)
＝107(依據：乘方的意義)(冪的形式)
2．根據乘方的意義計算下列各式，結果用冪的形式表示：
(1)a3·a4＝(a·a·a)×(a·a·a·a)＝a·a·a·a·a·a·a＝a7．
(2)10m·10n(m、n是正整數)＝10×10×…×10（m個10）×
10×10×…×10 (n個10)
＝10×10×…×10 (m＋n)個10
＝10m＋n．
試一試：
3．參考以上計算過程，嘗試計算am·an(m，n都是正整數)：
am·an＝(a·a·…·a)m個a·(a·a·…·a)n個a
＝a·a·…·am＋n個a
＝am＋n．
追問1：比較以上計算結果與原式，底數和指數分別有什么規律？
底數不變，指數相加．
追問2：如何能用數學符號語言表達其中的規律？
am·an＝am＋n(m、n都是正整數).
追問3：在探究過程中，體會到了什么數學思想方法？
類比思想、轉化思想(把未知問題轉化為已知問題)、特殊到一般思想．
想一想：
當三個或三個以上同底數冪相乘時，是否也具有這一性質呢？用字母表示am·an·ap(m、n、p都是正整數)等于什么呢？
也具有這一性質．am·an·ap＝am＋n＋p.
要點歸納：同底數冪的乘法法則：am·an＝am＋n(m，n都是正整數).
同底數冪相乘，底數不變，指數相加．　
探究二：同底數冪的乘法法則的運用
問題：光在真空中的速度約為3×108 m/s，太陽光照射到地球上大約需要5×102 s．地球距離太陽大約有多遠？
3×108×5×102
＝15×1010
＝1.5×1011(m).
答：地球距離太陽大約有1.5×1011m.
計算下列各式，結果用冪的形式表示．
(1)65·66；　　　　(2)(－)2·(－)3；
(3)x4·x5; (4)(a＋b)2·(a＋b)3；
(5)y·y2·y4; (6)mn－2·m3n＋1.
(1)原式＝611.(2)原式＝－()5.(3)原式＝x9.(4)原式＝(a＋b)5.(5)原式＝y7.(6)原式＝m4n－1.
注意：底數a既可以是單項式，也可以是多項式；指數可以用數字表示，也可以用字母和代數式表示．
思考：本節課情境導入的問題你會了嗎？(再次出示課件，解決問題，首尾呼應)
三、當堂檢測
1．計算x5·x5的結果為（B）
A．x5 B．x10 C．x25 D．2x5
2．下列計算正確的是（B）
A．a2·a3＝a6 B．y7·y＝y8
C．b3·b3＝2b3 D．x5＋x5＝x10
3．若am＝3，an＝4，則am＋n的值為（B）
A．7 B．12
C．9 D．81
4．計算：
(1)－5·52＝－125； (2)(－x)3·(－x)2＝(－x)5；(3)y2·y4·y5＝y11．
5．若xn－2·xn＝x2，則n＝2．
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結
【板書設計】
同底數冪的乘法將同底數冪的乘法運算轉化為指數的加法運算，其中底數a可以是具體的數、單項式、多項式、分式乃至任何代數式．同底數冪的乘法是類比數的乘方來學習的，首先在具體例子的基礎上抽象出同底數冪的乘法的性質，進而通過推理加以推導，這一過程蘊含數式通性、從具體到抽象的思想方法．第一章　整式的乘除
1.2　整式的乘法
第2課時　多項式的乘法
1．經歷探索整式乘法運算法則的過程，進一步體會類比方法的作用，以及乘法分配律在整式乘法運算中的作用；
2．能借助圖形解釋整式乘法的法則，發展幾何直觀；
3．能進行簡單的整式乘法運算，發展運算能力．
重點：理解單項式乘多項式、多項式乘多項式的運算法則．
難點：能夠熟練運用單項式乘多項式、多項式乘多項式的運算法則進行計算并解決實際問題．
一、導入新課
知識鏈接
1．單項式乘單項式的乘法法則是什么？
2．計算：
(1)－5xy2·xy；　　(2)5x3y·(－3xy)2.
(1)原式＝[(－5)×]·x2y3＝－x2y3.
(2)原式＝5x3y·9x2y2＝45x5y3.
新知導入
我們可以根據有理數乘法的分配律進行計算(－12)×(－－)，那么怎樣計算2x·(3x2－2x＋1)呢？(2x＋1)(3x2－2x＋1)呢？
二、合作探究
探究一：單項式乘多項式
問題：寧寧作了一幅畫，所用紙的大小如圖所示，她在紙的左、右兩邊各留了x m的空白，怎樣用不同形式表示這幅畫的畫面面積？
方式一：可以先表示出畫面的長與寬，由此得到畫面的面積為x(nx－x)；
方式二：也可以用紙的面積減去空白處的面積，由此得到畫面的面積為nx2－x2．
你能用運算律解釋x(nx－x)＝nx2－x2嗎？
x(nx－x)
＝x·nx＋x·(－x)(乘法分配律)
＝nx2－x2.(單項式乘單項式法則)
通過以上經驗，你能總結出單項式乘多項式的運算法則嗎？小組討論得出結果．
單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
探究二：多項式乘多項式
問題：如圖①是一個長和寬分別為m，n的長方形紙片，如果它的長和寬分別增加a，b，所得長方形(圖②)的面積怎樣用不同形式表示？
方法一：用不同的形式表示所拼圖的面積：
①(m＋a)(n＋b)；②n(m＋a)＋b(m＋a)；③m(n＋b)＋a(n＋b)；④mn＋mb＋an＋ab.
于是得到(m＋a)(n＋b)＝n(m＋a)＋b(m＋a)＝m(n＋b)＋a(n＋b)＝mn＋mb＋an＋ab.
方法二：把(m＋a)和(n＋b)看成一個整體，利用乘法分配律：
(m＋a)(n＋b)＝(m＋a)n＋(m＋a)b＝mn＋mb＋na＋ab.
或(m＋a)(n＋b)＝m(n＋b)＋a(n＋b)＝mn＋mb＋na＋ab.
議一議：
你能類比單項式與多項式相乘的法則，敘述多項式與多項式相乘的法則嗎？小組討論得出結果．
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再將所得的積相加．
追問：以(a＋b)(m＋n)為例，能否用字母呈現出多項式與多項式相乘的法則？
要點歸納：
運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．　
教材P14例2，課件出示，學生獨立完成，老師總結易錯點．
不要漏乘；正確確定各項符號；結果要最簡．
計算：(1)(1－x)(0.6－x)；(2)(2x＋y)(x－y)；(3)(x＋y)(x2－xy＋y2).
(1)原式＝0.6－x－x(0.6－x)
＝0.6－x－0.6x＋x2
＝x2－1.6x＋0.6.
(2)原式＝2x(x－y)＋y(x－y)
＝2x2－2xy＋xy－y2
＝2x2－xy－y2.
(3)原式＝x(x2－xy＋y2)＋y(x2－xy＋y2)
＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3
＝x3＋y3.
思考：本節課情境導入的問題你會了嗎？(再次出示課件，解決問題，首尾呼應)
三、當堂檢測
1．計算a(a－b)的結果為（ C ）
A．－a2－ab B．－a2＋ab
C．a2－ab D．a2＋ab
2．計算(x－5y)(x＋4y)的結果是（C）
A．x2－20y2 B．x2－9xy－20y2
C．x2－xy－20y2 D．x2＋xy－20y2
3．計算：
(1)(2a－b)·(－2ab)＝－4a2b＋2ab2；
(2)－ab(－a2＋5a－3)＝a3b－5a2b＋3ab．
4．如果(2x－3)(5－2x)＝ax2＋bx＋c，那么a＝－4，b＝16，c＝－15．
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
整式的乘除這一板塊的知識前后銜接緊密、環環相扣，在新課學習多項式乘法的法則的推導過程中，采用引導發現法．通過教師精心設計的問題鏈，引導學生將需要解決的問題轉化成用已經學過的知識可以解決的問題(轉化思想).當他們遇到新問題時，可以效仿之前用到的數學思想方法來解決，從而真正掌握數學學習方法，提高數學學習能力．第一章　整式的乘除
1.2　整式的乘法
第1課時　單項式與單項式相乘
1．經歷探索整式乘法運算法則的過程，進一步體會類比方法的作用，以及乘法交換律、結合律在整式乘法運算中的作用；
2．能借助圖形解釋整式乘法的法則，發展幾何直觀；
3．能進行簡單的整式乘法運算，發展運算能力．
重點：復習冪的運算性質，探究并掌握單項式乘以單項式的運算法則．
難點：能夠熟練運用單項式乘以單項式的運算法則進行計算并解決實際問題．
一、導入新課
知識鏈接
1．什么是單項式？
由數和字母的積組成的代數式叫作單項式，單獨的一個數或一個字母也叫作單項式．
2．前面學習了哪些冪的運算？運算法則分別是什么？
am·an＝am＋n；(am)n＝amn；(ab)n＝anbn；am÷an＝am－n.
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究：單項式乘單項式
問題：天安門廣場位于北京市中心，呈南北向為長，東西向為寬的長方形，其面積之大在世界上首屈可指，小王想估計天安門廣場的面積，先從南走到北，記下所走的步數為1100步，再從東走到西，記下所走的步數為625步．
(1)如果小王的步長用a(m)表示，你能用含a的代數式表示廣場的面積嗎？
1100a×625a
(2)假設小王的步長為0.8 m，怎么表示并計算出廣場的面積？
方法一：原式＝880×500＝440000(m2)
方法二：原式＝(1100×625)×0.82＝440000(m2).
注意：教師引導學生用兩種不同的方法進行計算(按運算順序運算/利用乘法交換律和乘法結合律將因數有規律的相結合的運算)，在數的運算中體會式的運算，為下一步提煉法則作鋪墊．
議一議：
1100a·625a＝(1100×625)×(a×a)＝687500a2
　↓　　↓　　　　↓　　　　↓
單項式×單項式　系數相乘　同底數冪相乘
通過以上經驗，你能總結出單項式乘單項式的運算法則嗎？小組討論得出結果．
單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘．
追問：計算(－2abc)·(ab2)，如何處理字母c
字母c的字母及指數不變，作為積的因式．
說一說：
請某同學將單項式乘單項式的乘法法則補充完整．
見要點歸納．
要點歸納：
運算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式．
注意：(1)系數相乘；
(2)相同字母的冪相乘；
(3)其余字母連同它的指數不變，作為積的因式．
教材P12例1，課件出示，學生獨立完成，老師追問并總結計算中要注意的事項．
追問1：當系數為負數時應當注意什么？
先確定符號．
追問2：運算中有乘方和乘除的混合運算時，運算順序如何？
先乘方，后乘除．
思考：本節課情境導入的問題你會了嗎？(再次出示課件，解決問題，首尾呼應)
三、當堂檢測
1．計算2a3·a2b的結果是（B）
A．2ab B．2a5b
C．2a6b D．2a9b
2．計算：(1)4x3·x2y＝10x5y；(2)2xy·(－3xy3)＝－6x2y4．
3．若(mx4)·(4xk)＝12x12，則m＝3，k＝8．
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
通過例題鞏固單項式與單項式相乘法則，本質是將其轉化為同底數冪的運算，在板書過程中，第一步利用乘法結合律進行轉化的過程要慢，同時為提高計算準確率，在對符號的處理上，提出更優方法，總結注意事項，以此來突破教學難點．

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