資源簡介

第五章　圖形的軸對稱
5.1　軸對稱及其性質
1．感知生活中的軸對稱現象，了解軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的概念，理解軸對稱的性質，會畫出已知軸對稱圖形的另一半．
2．通過自然界和生活中的例子了解軸對稱的概念，在探索軸對稱的性質時，經歷觀察，動手操作，歸納總結的過程，培養探索與實踐能力，體會數學由一般到特殊的研究方法．
3．通過認識自然界和生活中的軸對稱，感受對稱之美，認識軸對稱的應用價值，培養學生的審美情趣.
重點：掌握軸對稱軸的性質．
難點：軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區別，理解軸對稱的性質．
一、導入新課
知識鏈接
生活中很多美麗的圖形都帶有數學的身影，你能舉例說一說嗎？
中國結、剪紙等
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究一：軸對稱圖形及其性質
1．軸對稱圖形
(1)通過多媒體讓學生觀察圖5－1(教材P121)；
(2)它們有什么共同特點？你還能舉出一些類似的例子嗎？與同伴進行交流．
要點歸納：如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸．　
2．軸對稱圖形的性質
認識對應點、對應線段、對應角：圖5－2(教材P121)是一個軸對稱圖形，直線l是它的對稱軸，沿對稱軸折疊后，點A與點A′重合，稱點A關于對稱軸的對應點是點A′.類似地，線段AB關于對稱軸的對應線段是線段A′B′，∠B關于對稱軸的對應角是∠B′.
問題1：你還能在圖5－2中找出其他的對應點、對應線段和對應角嗎？
點B和點B′，AC和A′C，∠BAC和∠B′A′C等
問題2：圖5－3(教材P122)是一個軸對稱圖形，直線l是它的對稱軸．觀察這個圖形，回答下列問題：
(1)在圖中任意選一組對應線段，這兩條線段之間有什么關系？
對應線段相等．
(2)在圖中任意選一組對應角，這兩個角之間有什么關系？
對應角相等．
(3)連接對應點A與點A′，線段AA′與對稱軸之間有什么關系？連接其他任意一組對應點再試一試．
對應點所連的線段被對稱軸垂直平分．
探究二：兩個圖形成軸對稱及其性質
1．兩個圖形成軸對稱
(1)通過多媒體讓學生觀察圖5－4(教材P122)；
(2)你發現了什么？與同伴進行交流．
要點歸納：如果兩個平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫作這兩個圖形的對稱軸．　
2．兩個圖形成軸對稱的性質
如圖5－5(教材P123)，將一張長方形紙對折，然后用筆尖扎出“14”這個數，將紙打開后鋪平：在鋪平的紙中
(1)兩個“14”之間有什么關系？
關于直線l對稱．
(2)對應線段之間有什么關系？對應角之間有什么關系？連接對應點的線段與對稱軸l之間有什么關系？請舉例說明，并與同伴進行交流．
對應線段相等，對應角相等，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分．
要點歸納：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等．　
3．軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區別與聯系
觀察5－1蝴蝶(教材P121)和5－4囍(教材P122)，說出軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的區別與聯系．
要點歸納：
軸對稱圖形 兩個圖形成軸對稱
圖形
區別 具有特殊形狀的一個圖形 有特殊位置關系的兩個全等圖形
聯系 1.都是沿著某條直線折疊后能重合； 2.可以通過分割或整合互相轉化．
探究三：畫軸對稱圖形
圖5－6(教材P123)是一個圖案的一半，直線MN是這個軸對稱圖形的對稱軸，請畫出這個圖形的另一半．
如圖5－7(教材P123)，延長AO至A′，使OA′＝OA；延長BN至B′，使NB′＝NB；依次連接MA′，MB′，A′B′，A′P，B′P.這樣畫出來的圖形就是這個圖形的另一半．
方法總結：先確定一些特殊的點(如三角形的頂點)，然后作這些特殊點的對稱點，再順次連接．
如圖，四組圖片中有哪幾組圖形成軸對稱？
【答案】BD
如圖，已知四邊形ABCD與四邊形EFGH關于直線MN對稱，∠A＝100°，∠B＝125°，∠C＝80°，∠D＝55°，AB＝3 cm，EH＝4 cm.
(1)試寫出EF，AD的長度；
(2)求∠G的度數；
(3)連接BF，線段BF與直線MN有什么關系？
(1)∵四邊形ABCD與四邊形EFGH關于直線MN對稱，且 AB＝3 cm，EH＝4 cm，
∴EF＝AB＝3 cm，AD＝EH＝4 cm.
(2)∵四邊形ABCD與四邊形EFGH關于直線MN對稱，且∠C＝80°，∴∠G＝∠C＝80°.
(3)∵對稱軸垂直平分對稱點的連線，
∴直線MN垂直平分BF.
三、當堂檢測
1．在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“節水”這四個標志中，屬于軸對稱圖形的是（B）
2．如圖，△ABC與△DEF關于直線MN對稱，則以下結論中可能錯誤的是（A ）
A．AB∥DF B．∠B＝∠E
C．AB＝DE D．MN垂直平分AD
　　 　
第2題圖 第3題圖
3．如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠B＝40°，∠CAD＝60°，則∠BCD的度數為160°．
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
學生在形成對軸對稱基本認識的同時，探究并得出軸對稱的性質，并利用軸對稱的性質畫出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形．以學生的觀察、操作、交流性活動為主，學生在活動中進一步發展空間觀念和積累數學活動經驗．第五章　圖形的軸對稱
5.2　簡單的軸對稱圖形
第1課時　等腰三角形的性質
　
1．經歷探索簡單圖形軸對稱的過程，進一步體驗軸對稱的特征，發展空間觀念．
2．探索并掌握等腰三角形的軸對稱性及其相關性質.
3．通過學生的操作與思考，使學生掌握等腰三角形和等邊三角形的軸對稱性及其有關性質，從而發展空間觀念．
重點：探索等腰三角形、線段、角的軸對稱性及其相關性質．
難點：了解等腰三角形、線段、角的軸對稱性及其相關性質．
一、導入新課
知識鏈接
什么是等腰三角形？
兩邊相等的三角形
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究一：等腰三角形的性質
1．等腰三角形
問題1：等腰三角形(如圖5－10，教材P127)是比較常見的圖形．你有哪些辦法可以得到一個等腰三角形？與同伴交流．
1．折疊法2.尺規畫圖
問題2：如圖，在△ABC中，AB＝AC，則三角形ABC為等腰三角形．它的各個組成部分名稱分別是什么？
(1)相等的兩條邊都叫腰；
(2)另一邊叫底邊；
(3)兩腰的夾角∠A叫頂角；
(4)腰與底邊夾角∠B，∠C叫底角．
2．等腰三角形的性質
思考1：(1)等腰三角形是軸對稱圖形嗎？如果是，沿著它的對稱軸折疊，你能發現哪些相等的線段和相等的角？
(2)等腰三角形的對稱軸是一條怎樣的直線？你是如何描述的？
(3)你認為等腰三角形有哪些特征？與同伴交流．
要點歸納：等腰三角形是軸對稱圖形．
等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱“三線合一”)，它們所在的直線就是等腰三角形的對稱軸．
等腰三角形的兩個底角相等．　
已知一個等腰三角形的底角是頂角的2倍，求它的各個內角的度數．
設這個等腰三角形頂角的度數為x°，則底角度數為2x°.
根據“三角形三個內角的和等于180°”，得
x＋2x＋2x＝180.
解得x＝36.
2×36＝72.
所以這個三角形的三個內角分別為36°、72°、72°.
3．概念辨析
畫出任意一個等腰三角形的底角平分線、這個底角所對的腰上的中線和高，看看它們能不能重合？
不能重合
如圖5－11(教材P128)，三角形ABC是一個等腰三角形，直線l是它的對稱軸．請在△ABC中畫出以直線l為對稱軸的一組對應點、一組對應線段、一組對應角，你能發現哪些相等的線段、相等的角，以及形狀、大小完全相同的圖形？
學生自己動手畫圖，發現規律，為后面課時做鋪墊
探究二：等邊三角形的特征
思考2：通過學習我們知道等腰三角形的軸對稱性及其特征，那么當等腰三角形的腰與底邊相等時它是什么三角形？
等邊三角形，它是特殊的等腰三角形
(1)等邊三角形有幾條對稱軸？
等邊三角形有3條對稱軸．
(2)你還能發現它的哪些特征？與同伴進行交流．
要點歸納：等邊三角形三個內角都相等，且均為60°；
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或角的平分線所在的直線；
等邊三角形每條邊上的中線、高線和該邊所對的角的平分線互相重合．　
如圖是由大小相等的等邊三角形組成的圖案，請找出它的對稱軸．
等腰三角形的一個內角是50°，則這個三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
分類討論【答案】A
如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，∠CAD＝40°，EF為過點A的一條直線，且EF∥BC，求∠BAE的度數．
在△ABC中，因為AB＝AC，AD為BC邊上的中線，
所以AD⊥BC，且AD平分∠BAC，
所以∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝40°，
所以∠B＝50°，
因為EF∥BC，
所以∠BAE＝∠B＝50°.
三、當堂檢測
1．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝70°，則∠B的度數為（ C ）
A．70° B．45° C．55° D．65°
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，則下列結論不一定成立的是（ A ）
A．AD＝CD B．∠1＝∠2
C．AD⊥BC D．∠B＝∠C
第2題圖 第3題圖
3．如圖，△ABC為等邊三角形，BC⊥CD，AC＝CD，則∠BAD＝135°.
4．已知等腰三角形的一個角為72°，則其頂角的度數為72°或36°.
5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，D是BC的中點，DE⊥AB于點E，BC＝12.
(1)求∠1的度數；
(2)求∠CDE的度數．
(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵D是BC的中點，∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴∠1＝90°－∠B＝60°.
(2)∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.
由(1)知∠1＝60°，∴∠ADE＝90°－∠1＝30°.
∴∠CDE＝∠ADE＋∠ADC＝30°＋90°＝120°.
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
本節課主要認識簡單的軸對稱圖形，由于等腰三角形的軸對稱性是最直觀、最易于被認知的軸對稱圖形，所以教科書安排認識軸對稱圖形先從等腰三角形開始．第五章　圖形的軸對稱
5.1　軸對稱及其性質
第3課時　角平分線的性質
1．從軸對稱的性質中，提煉出里面的數學思想，探索并掌握角平分線的性質及尺規作圖的畫法．
2．由具體的客觀事實，轉化成抽象的猜想證明，讓學生感悟數學思維解決問題的方法．
3．經歷猜想、驗證、歸納的學習過程，體會歸納的數學思想方法，逐步養成用數學語言表達與交流的習慣．
重點：探索并理解角的平分線的性質
難點：利用軸對稱的性質，探索并掌握角平分線的性質
一、導入新課
知識鏈接
生活中哪些地方有角的身影？請舉例說明．
墻角，桌角等
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究一：角的軸對稱性
角(如圖5－17、5－18，教材P130)是生活中常見的圖形．角是軸對稱圖形嗎？如果是，請指出它的對稱軸．
學生討論“角是不是軸對稱圖形”，思考怎樣驗證角的軸對稱性．
要點歸納：角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸．
強調：角平分線是一條射線，而角的對稱軸是角平分線所在的直線．　
探究二：角平分線的性質
思考1：如圖5－19(教材P131)，OP是∠AOB的平分線，點C是OP上的任意一點．在∠AOB中畫出以OP所在直線為對稱軸的一組對應點D和D′，連接CD和CD′.
(1)你認為線段CD和CD′之間有什么關系？說說你的理由．
CD＝CD′，因為∠AOB是軸對稱圖形，D和D′是對應點，所以CD和CD′是以OP所在直線為對稱軸的一組對應線段，所以CD＝CD′.
(2)特別地，當CD⊥OA時(如圖5－20，教材P131)，CD′與OB有怎樣的位置關系？為什么？此時，線段CD和CD′之間還有(1)中的關系嗎？由此你能得到什么結論？
CD′⊥OB，因為∠AOB是軸對稱圖形，D和D′是對應點，所以∠ODC和∠OD′C是以OP所在直線為對稱軸的一組對應角．所以∠ODC＝∠OD′C.因為CD⊥OA，即∠ODC＝90°，所以∠OD′C＝∠ODC＝90°.所以CD′⊥OB.
線段CD和CD′之間還有(1)中的關系．
得到結論：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
驗證：你能驗證這個結論嗎？
已知：如圖，∠AOC＝∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.試說明：PD＝PE.
因為PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
所以△PDO≌△PEO(AAS).
所以PD＝PE.
要點歸納：
性質：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．
應用所具備的條件：
①點在角的平分線上；
②到角兩邊的距離(垂直).
性質的作用：證明線段相等．
幾何語言：
因為OC是∠AOB的平分線，CD⊥OA，CE⊥OB，
所以CD＝CE.　
探究三：利用尺規作角平分線
思考2：如圖5－21(教材P131)，已知∠AOB，如何作出它的平分線？
假設∠AOB的平分線已作出，那么
(1)這條射線有什么特征？
(2)如何確定這條射線上除端點之外的一個點？用三角尺、量角器、圓規等工具試一試．如果只用尺規呢？與同伴進行交流．
注意：需要確定的點是角對稱軸上的點，因此應當從角兩邊進行“對稱”的操作．
如圖5－22(教材P132)，已知∠AOB，請用尺規作∠AOB的平分線．
作法：
1．在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD＝OE(如圖5－22，教材P132).
2．分別以點D和點E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內相交于點C.
3．作射線OC.
射線OC就是∠AOB的平分線．
思考3：請你說說這樣作圖的道理．
角平分線的作圖依據是“SSS”
比較：過直線上一點作已知直線的垂線與作一個角的平分線，這兩種尺規作圖方法有什么共同點？與同伴進行交流．
如圖所示，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為E.DE與DC相等嗎？為什么？
DE與DC相等．
因為射線BD是∠ABC的平分線，點D到角兩邊BA，BC的距離分別是線段DE，DC的長，
所以DE＝DC.
變式訓練：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB＝14.
(1)求點P到AB的距離；
(2)求△APB的面積．
存在一條垂線段——構造應用．
(1)如圖，過P作PD⊥AB于點D，因為AP平分∠BAC，PD⊥AB，PC⊥AC，所以PD＝PC＝4.
(2)S△APB＝AB·PD＝28.
反思：回顧探究等腰三角形、線段、角的性質的過程，你運用了哪些方法？積累了哪些經驗？
三、當堂檢測
1．如圖，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11 cm，BD＝7 cm，則點D到AB的距離為4cm.
第1題圖 第2題圖
2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺規作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD＝2，P為AB上一動點，則PD的最小值為（ A ）
A．2 B．3 C．4 D．無法確定
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
學生通過自己動手動腦，得到不同驗證角平分線性質的方法，學生在驗證自己結論的同時培養了反思、修正、歸納的能力；在描述探究結果的過程中，學生通過有條理的語言表達，進一步提高了數學語言的運用能力，為八年級的推理和嚴格證明打下堅實基礎．第五章　圖形的軸對稱
1　軸對稱及其性質
第2課時　線段垂直平分線的性質
1．經歷探索線段的軸對稱的性質的過程，進一步體驗軸對稱的特征，發展空間觀念．
2．探索并掌握線段垂直平分線的基本性質，掌握線段垂直平分線的尺規作圖方法．
3．進一步培養學生的邏輯推理能力，感受數學與生活的緊密聯系，培養學生學數學、用數學的意識．
重點：理解線段垂直平分線的性質和判定．
難點：能運用線段垂直平分線的性質和判定解決實際問題．
一、導入新課
知識鏈接
什么樣的圖形叫作軸對稱圖形？
如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸．
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究一：線段的對稱性
線段(如教材P128圖5－12)是軸對稱圖形嗎？請描述它的對稱軸的特點．
學生討論“角是不是軸對稱圖形”，思考怎樣驗證角的軸對稱性．
要點歸納：線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸．
定義：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線(簡稱中垂線).
探究二：線段垂直平分線的性質
思考1：如圖5－13(教材P129)，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是l上的任意一點．在線段AB上畫出關于直線l成軸對稱的點D和D′，連接CD和CD′.
(1)你認為線段CD和CD′之間有什么關系？說說你的理由．
CD＝CD′且關于直線l對稱
(2)特別地，當點D與點A重合時，點D′位于什么位置？此時，線段CD和CD′之間還有(1)中的關系嗎？由此你能得到什么結論？
點D′與點B重合，CD＝CD′且關于直線l對稱
結論：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．
驗證：你能驗證這個結論嗎？
已知：如圖，MN⊥AB，垂足為點C，
AC＝BC，點P是直線MN上的任意一點．
試說明：PA＝PB.
解：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
在△PCA和△PCB中，
∴△PCA≌△PCB(SAS)，
∴PA＝PB.
要點歸納：性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．
幾何語言：
因為點P是線段AB垂直平分線上的一點，
所以AP＝BP.　
探究三：利用尺規作線段的垂直平分線
思考2：如圖5－14(教材P129)，已知線段AB，如何作出它的垂直平分線？
假設線段AB的垂直平分線已作出，那么
(1)這條直線有什么特征？
(2)如何確定這條直線上的兩個點？用三角尺、量角器、圓規等工具試一試．如果只用尺規呢？與同伴進行交流．
注意：需要確定的點是線段對稱軸上的點，因此應當從線段兩端進行“對稱”的操作．
如圖5－15(教材P129)，已知線段AB，請用尺規作線段AB的垂直平分線．
作法：
1．分別以點A和點B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D；
2．作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線.
思考3：如圖5－16(教材P130)，已知直線l和l上的一點P，如何用尺規作l的垂線，使它經過點P？能說明你的作法的道理嗎？
作法：①以點P為圓心，以任意長為半徑作弧，與直線l相交于點A，B；
②分別以A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，連接MN即可得出直線l的垂線．
如圖，DE垂直平分AC，AB＝12 cm，BC＝10 cm，則△BCD的周長為A
A.22 cm
B．16 cm
C．26 cm
D．25 cm
如圖，某地由于居民增多，要在公路l邊增加一個公共汽車站，A，B是路邊兩個新建小區，這個公共汽車站O建在什么位置，能使兩個小區到車站的路程一樣長(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法)
解：連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于O，交AB于E.
因為EO是線段AB的垂直平分線，
所以點O到A，B的距離相等．
所以這個公共汽車站應建在O點處，才能使兩個小區到車站的路程一樣長．
三、當堂檢測
1．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段PA＝3 cm，則線段PB的長為（ D ）
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
第1題圖 第2題圖
2．如圖，PC垂直平分線段AB，量得∠A＝40°，那么∠APB的度數為D
A．130° B．120° C．110° D．100°
3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6 cm，DE是AB的垂直平分線，△BDC的周長為16 cm，則AB的長為10 cm．
第3題圖 第4題圖
4．如圖，AD垂直平分BC于點D，EF垂直平分AB于點F，交AC于點E，BE＋CE＝20 cm，則AB的長為20 cm．
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
本課時探索線段的軸對稱性．教科書以操作性活動以及“你發現了什么”的問題引入線段的軸對稱性，學生在回答“線段是軸對稱圖形”后，建議要求其說明線段的對稱軸的特點，為下面給出垂直平分線的定義做鋪墊．第五章　圖形的軸對稱
☆　問題解決策略：轉化
1．通過將新的、陌生的問題轉化為已經研究過的、熟悉的問題，發展學生解決問題的能力．
2．經歷具體解題思路的探究過程，了解“轉化”策略的意義與過程．
3．運用“轉化”策略解決生活情境中的幾何問題，進一步體會“轉化”策略的應用價值，增強數學的應用意識，提高學生的分析問題、解決問題的能力與幾何推理能力．
重點：理解“轉化”策略的價值，初步掌握轉化的方法和技巧．
難點：運用“轉化”的策略解決實際問題。
一、導入新課
知識鏈接
觀察圖形，回答問題：
這兩個圖形的形狀有什么特別的嗎？看圖后你能提出什么數學問題？
形狀不同，面積相同．
你猜測它們的面積有什么關系？你能說明理由嗎？
利用圖片，可以通過折一折、剪一剪、數一數等方法，把不規則圖形轉化為規則圖形來求．
創設情境——見配套課件
二、合作探究
探究一：線段和“最短”問題
閱讀教材P136問題，分小組進行下列活動．
活動1：如果把大門、車間和儲物點所在的位置都看作點，把道路看作一條直線，那么上述問題可以抽象成怎樣的數學問題？試著寫一寫、畫一畫．
問題1：你以前遇到過類似的問題嗎？關于“最短”，你有哪些認識？
問題2：相信你能解決以下問題：
如圖(教材P136，圖5－24)，直線l的兩側分別有A，B兩點，在直線l上確定一個點C，使AC＋CB最短．原問題與圖中這個問題有什么區別和聯系？你能將原問題轉化為圖中這樣的問題嗎？說說你的想法．
要點歸納：
異側兩點求線段和最小值 同側兩點求線段和最小值
已知：兩定點A，B位于直線l異側，在直線l上找一點P，使PA＋PB的值最小 已知：兩定點A，B位于直線l同側，在直線l上找一點P，使PA＋PB的值最小
結論1：連接AB交直線l于點P，此時PA＋PB的值最小，最小值為AB的長 結論2：作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′，交直線l于點P，此時PA＋PB的值最小，最小值為AB′的長
　
探究二：轉化在代數中的應用
活動2：利用學過的知識計算：＋＋＋＋＋，你準備怎樣解決這個問題？分小組討論，展示過程和答案．
方法一：通分轉化，都變成分母是64的分數．
方法二：式子中每個分數的分子都是1，分母依次乘2，轉化為邊長為1的正方形，如圖所示，涂色部分的面積可以用1減去空白部分的面積，1－＝.
要點歸納：1.運用“轉化”策略，可以化繁為簡，化難為易，化不熟悉為熟悉．
2．轉化思想的方法和步驟：分析問題，找到轉化點；確定轉化方法；進行轉化；解決問題．　
思考：展示課前知識鏈接的問題．
其實“轉化”的策略并不神秘，在我們以前的學習中就曾經很多次運用了“轉化”的策略，你能回想出哪些呢？
①三角形(梯形)面積→平行四邊形面積→長方形面積
②圓形→長方形(三角形、梯形)
③小數乘法→整數乘法
④分數除法→分數乘法
……
除了學過的數學知識，我們生活中也有很多這樣的問題，同學們可以討論交流自己遇到的運用轉化解決的問題．
下面的推導過程中，運用“轉化”思想的是（ D ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
如圖，已知牧馬營地在M處，每天牧馬人要趕馬群先到河邊飲水，再到草地上吃草，最后回到營地，請你為牧馬人設計出最短的牧馬路線．(保留畫圖痕跡)
分別作M關于河與草地所在直線的對稱點，記為M′、M″，連接M′M″交河與草地所在直線于P和Q.
由對稱性知，PM＝PM′，QM＝QM″，
∴MP＋PQ＋MQ＝PM′＋PQ＋QM″＝M′M″.
∴MP－PQ－QM即為最短路線．
三、當堂檢測
教材P138習題T1－4.
(其他課堂拓展題，見配套PPT)
四、課堂小結【板書設計】
轉化是一種常見的、極其重要的解決問題的策略，轉化是把一個復雜問題變更為一類已經解決或比較容易解決的問題，從而使原問題得以解決的一種策略，轉化的關鍵是要能根據具體的問題，確定轉化后要實現的目標和具體的轉化方法．教材分別安排空間與圖形領域和數與代數領域的實際問題，引導學生用轉化的策略加以解決．

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