資源簡介

第七章 一元一次不等式與不等式組
7.3 一元一次不等組
第1課時
1.了解一元一次不等式組的概念.
2.會解簡單的一元一次不等式組.
3.理解不等式組解集的意義，能借助數軸表示一元一次不等式組的解集.
4.加深學生對數形結合的作用的理解，讓學生體會數學解題的直觀性和簡潔性的數學美.
重點：一元一次不等式組的解法.
難點：一元一次不等式組解集的確定.
（一）創設情境
情境：小莉帶5元錢去超市買作業本，她拿了5本，付款時錢不夠，于是小莉退掉一本，收銀員找給她一些零錢。你能估計作業本單價的取值范圍嗎？
師生活動：教師展示問題，請學生獨立思考，然后在小組內說一說.
設計意圖：通過實際情境引入，讓學生體會生活中的數學，并結合前面已經學過的一元一次不等式來解決實際問題，進而引入本節課.
（二）探究新知
任務一：探究一元一次不等式組的概念
小莉帶5元錢去超市買作業本，她拿了5本，付款時錢不夠，于是小莉退掉一本，收銀員找給她一些零錢。你能估計作業本單價的取值范圍嗎？
分析：設作業本的單價為x元，那么5本作業本的價格為5x元，根據“付款時錢不夠”可知5x>5.退掉一本，即4本作業本的價格應為4x元，由于收銀員還找了一些零錢，于是4x<5.這里，作業本的單價x應同時滿足上述兩個不等式.
師生活動：教師組織學生先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果；討論時間3分鐘.教師可適當提示上面所提出的問題，實質上就是列出兩個不等式，從而建立一元一次不等式組.
預設答案：
解：把這兩個不等式合寫在一起，用大括號括起來，就得到一個不等式組:
像上面這樣，由兩個或幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組成的不等式組，叫作一元一次不等式組.
設計意圖：通過實例的探究，讓學生理解和掌握一元一次不等式組的概念，為后面解決實際問題奠定基礎.
任務二：探究一元一次不等式組的解法及解集的意義
問題2：某村種植雜交水稻8 m2，去年的總產量是94800kg.今年改進了耕作技術，估計總產量比去年增產2%~4%(包括2% 和4%)，那么今年水稻平均每公頃的產量將會在什么范圍內
分析： 設今年水稻平均每公頃的產量為xkg，則今年水稻的總產量為8xkg，
根據題意得
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果；討論時間5分鐘.教師可適當引導學生思考，待學生充分交流后，教師可選代表總結，教師補充.
預設答案：
解： 設今年水稻平均每公頃的產量為xkg，則今年水稻的總產量為8xkg，
根據題意得
解不等式①，得x≥12087.
解不等式②，得x≤12324.
在數軸上分別表示這兩個不等式的解集
由圖可知，這兩個不等式解集的公共部分是12087≤x≤12324， ，
因此，原不等式組的解集是12087≤x≤12324.
像上面這樣，這兩個一元一次不等式解集的公共部分，叫作這個一元一次不等式組的解集.
求不等式組解集的過程叫作解不等式組.
設計意圖：通過實例的探究，讓學生掌握一元一次不等式組的解法步驟，并理解和掌握一元一次不等式組的解集及解不等式組等概念。
總結：
1.由兩個或幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組成的不等式組，叫一元一次不等式組.
2.兩個或幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫作這個一元一次不等式組的解集.
3.如果不等式的解集無公共部分，就說這個不等式組無解.
4.幾個不等式的解集的公共部分通常利用數軸來確定.
5.求不等式組解集的過程叫作解不等式組.
6.不等式組解集的四種基本類型.
（三）應用舉例
例1：:解不等式組
提示：解不等式組一般有三個步驟，其中在數軸上表示不等式的解集容易忽略.
解：解不等式①，得x> 1.5.
解不等式②，得x>2.
在數軸上分別表示這兩個不等式的解集
由圖可知，這兩個不等式解集的公共部分是x>2，
因此，原不等式組的解集是x>2.
總結：
利用數軸來確定不等式組的解集，直觀簡明；
（2）兩個不等式解集的公共部分是不等式組的解集.
例2：:解不等式組
提示：解不等式組一般有三個步驟，其中在數軸上表示不等式的解集容易忽略..
師生活動：注意讓學生獨立完成，然后師生共同評價和總結.
解：解不等式①，得x≥2.
解不等式②，得x>.
在數軸上分別表示這兩個不等式的解集
由圖知，這兩個不等式解集的公共部分是x> ，
因此，原不等式組的解集是x> ，
設計意圖：通過例題的探究，讓學生進一步掌握一元一次不等式組的解法步驟，并理解和掌握一元一次不等式組的解集及解不等式組等概念。
例3 一輛汽車上有(5a 4)個人，到某一車站有(9 2a)名乘客下車，求車上原來有多少名乘客
提示：求車上原來有多少名乘客要根據實際情況，同時答案應取整數.
解：由題意得
解得
又a為整數，所以a可取2、3、4.
當a=2時，5a 4=6；
當a=3時，5a 4=11；
當a=4時，5a 4=16.
答：車上原來有6，11或16名乘客.
總結：解不等式應用題時，根據實際情況進行列不等式，找到不等式組的解集后，再利用特殊值進行求解.
設計意圖：讓學生掌握不等式組應用題的分析思路以及做題方法步驟，尤其應注意找到不等式組的解集后，再利用特殊值進行求解.
例4 某校志愿者團隊在重陽節購買了一批牛奶到“夕陽紅”敬老院慰問孤寡老人，如果給每個老人分5盒，則剩下38盒，如果給每個老人分6盒，則最后一個老人不足5盒，但至少分得一盒.
(1)設敬老院有x名老人，則這批牛奶共有多少盒(用含x的代數式表示)
(2)該敬老院至少有多少名老人 最多有多少名老人
分析：
(1)每個老人分5盒，剩下38盒，則牛奶一共有(5x+38)盒.
(2)每個老人分6盒，最后一名老人至少分得一盒，如果在x名老人中，除去最后一名老人，每個老人分6盒，應該有6(x 1)盒，這種情況下牛奶有剩余，即5x + 38 > 6(x 1);最后一名老人不足5盒，如果最后一名老人分了5盒，應該有6(x 1)+5盒，這種情況下牛奶不夠分，即5x + 38< 6(x 1)+5，建立不等式組進行解答即可.
解：（1）(5x+38)盒.
( 2 ) 由題意得
解得39因為x為整數，所以x=40，41，42，43.
答：該敬老院至少有40名老人，最多有43名老人.
總結：利用不等式組解題的步驟及注意事項
(1)讀:閱讀理解、認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系;
(2)建:將文字語言轉化為符號語言，用不等式表示不等關系，建立相應的數學模型;
(3)解:解不等式，得到數學結論，要注意數學模型中元素的實際意義;
(4)答:回歸實際問題，將數學結論還原為實際問題的結果.
設計意圖：讓學生掌握不等式組應用題的分析思路以及做題方法步驟，尤其應注意找到不等式組的解集后，再利用特殊值進行求解.
（四）課堂練習
1. 某日的最低氣溫是11℃，最高氣溫是27℃，在數軸上表示該日氣溫變化范圍正確的是（ ）
A B C D
答案：A.
知識點：在數軸上表示不等式組的解集
解析： 本題主要考查的是利用數軸表示不等式組的解集的方法，掌握用數軸表示不等式的解集時，包含用實心點表示，不包合用空心點表示是解題關鍵，根據氣溫在11℃到27℃之間，并且包括11℃和27℃，利用數軸表示不等式組解集的方法即可.
詳解：由題意可知:氣溫在11℃到27℃之間，并且包括11℃和27℃，在數軸上表示11℃和27℃的點用實心點表示，四個選項中只有A選項符臺，故選:A.
2.不等式組的解集在數軸上表示正確的是( )
A B C D
答案： B .
知識點：一元一次不等式組的解法；在數軸上表示不等式組的解集.
解析：先求出不等式組的解集，再在數軸上表示出來即可
詳解: 解不等式①得x ≤ 2， 解不等式②得x > -1，
不等式組的解集是-1< x ≤ 2.在數軸上表示B
3.若關于x的一元一次不等式組 的解集是，則a的取值范圍是_______.
答案：a ≤ 2
知識點：一元一次不等式組的解法
解析：解不等式①得:x>1，
解不等式②得
根據題意得≤1
解得a ≤ 2.
故答案為:a ≤ 2
4.不等式-2<1- x < -1的整數是_______.
答案：11，12、13，14 .
知識點：一元一次不等式組的解法及利用特殊值進行求解.
解析：根據題意得
解不等式①得:x15，
解不等式②得
所以不等式組的解集為10 x 15.
因為10 ~ 15中的整數有11，12、13，14 .
故答案為11，12、13，14.
解不等式組
解：解不等式①得:x-3
解不等式②得x 5
在數軸上分別表示這兩個不等式的解集.
所以不等式組的解集為-3 x 5.
6.已知兩個代數式4a+5與 2a-1 的值符號相同，求a的取值范圍.
答案：a > 或 a < -
知識點：.方程與不等式；不等式與不等式組；一元一次不等式組的解法；分類討論思想.
解析：本題考查的是解一元一次不等式組有關知識，先根據題意列出不等式組，然后求解，注意分類討論.
詳解: 代數式4a+5與 2a-1 的值符號相同分兩種情況：
第一種情況: 4a+5>0 ；2a-1>0
由4a +5 > 0得a > -
由2a-1> 0得a > 該不等式組的解集為a >
所以 當a > 時，代數式4a+5與2a-1的值的符號同時為正.
第二種情況: 4a+5 < 0 2a-1 < 0
由4a+5<0得a < - 由2a -1< 0得a<
該不等式組的解集為a < -
所以 當a< - 時，代數式4a+5與2a-1的值的符號同時為負.
故當a > 或 a < - 時，代數式4a+5與2a-1的值的符號相同.
7.為應對新冠肺炎疫情，某服裝廠決定轉型生產口罩，根據現有廠房大小決定購買10條口罩生產線，現有甲、乙兩種型號的口罩生產線可供選擇.經調查:購買3條甲型口罩生產線比購買2條乙型口罩生產線多花14萬元，購買4條甲型口罩生產線與購買5條乙型口罩生產線所需款數相同.
(1)求甲、乙兩種型號口罩生產線的單價;(2)已知甲型口罩生產線每天可生產口罩9萬只，乙型口罩生產線每天可生產口罩3萬只，若每天要求產量不低于75萬只，預算購買口罩生產線的資金不超過90萬元，該廠有哪幾種購買方案 哪種方案最省錢 最少費用是多少
解:(1)設甲型號口罩生產線的單價為x萬元，乙型號口罩生產線的單價為y萬元，
由題意得: 解得:
答:甲型號口罩生產線的單價為10萬元，乙型號口罩生產線的單價為8萬元.
(2)設購買甲型號口罩生產線m條，則購買乙型號口罩生產線(10-m)條
由題意得:
解得:2.5≤m≤5又.m為整數
所以m=3.或m=4，或m=5因此有三種購買方案;
①購買甲型3條，乙型7條；
②購買甲型4條，乙型6條；
③購買甲型5條，乙型5條.
當m=3時，購買資金為10×3+8 ×7= 86（萬元）
當m=4時，購買資金為10×4+8 ×6= 88（萬元）
當m=5時，購買資金為10×5+8 ×5= 90（萬元）
因為86<88<90
所以，最省錢的購買方案為:選購甲型3條，乙型7條，最少費用為86萬元.
設計意圖：讓學生鞏固本節所學的新知，進一步理解一元一次不等式組的概念；掌握一元一次不等式組解法；學會利用數軸表示不等式組的解集；同時掌握利用不等式組解決實際問題的分析思路及做題方法步驟.
總結歸納
1.本節課學習了一元一次不等式組的概念；不等式組的解集的概念；能借助數軸正確表示一元一次不等式組的解集.
2.學會解由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組.
3.通過解一元一次不等式組應用題，體會分類的數學思想，從而發展學生的探究能力和邏輯思維能力.第七章 一元一次不等式與不等式組
7.3 一元一次不等式組
一元一次不等式組 第2課時
1.熟練掌握一元一次不等式組的解法，學會解復雜的一元一次不等式組.
2.能夠利用數軸法或口訣法正確表示出一元一次不等式組的解集.
3.經歷求復雜的一元一次不等式組的過程，進一步熟悉數形結合的思想方法，感受類比與化歸的思想.
4.讓學生體會數學表達的簡潔性，提高學生的符號意識,培養學生全面系統的總結概括能力.
重點：較復雜的一元一次不等式組的解法.
難點：一元一次不等式組解集分類．
創設情境
回顧：
說一說解一元一次不等式組的基本步驟嗎？
師生活動：復習回顧解一元一次不等式組的基本步驟
設計意圖：讓學生對解一元一次不等式組的步驟再次進行梳理，使得解不等式組的方法更加清晰，為接下來解復雜的一元一次不等式組做好鋪墊．
預設答案：
①分別解各個不等式;
②利用數軸找出各個不等式解集的公共部分；
③寫出解集.
情境：
用若干輛載重量為8t的汽車運一批貨物，若每輛汽車只裝4t，則剩下20t貨物；若每輛汽車裝滿8t，則最后一輛汽車不滿也不空．請你算一算：有多少輛汽車運這批貨物（只列式，不計算）？
預設答案：解設有x輛汽車運這批貨物.
追問：要想解決這個計算,我們需要用什么知識？
預設：解一元一次不等式組
師生活動：教師展示問題，引導學生觀察并思考解決方案.
設計意圖：通過實際情境引入，讓學生體會生活中的數學，并從生活實例把實際問題轉化為含有不等式組的數學問題，進而引入本節課題，需要探究的知識.
（二）探究新知
任務一：探究復雜的一元一次不等式組的解法
思考1：這個不等式組與我們上節課學的在形式上有哪些差異？
思考2：在解題步驟上可能會有哪些差異？
思考3：請你根據上述分析，完成該不等式組的求解吧．
師生活動：學生先獨立思考然后組內交流.
設計意圖：以問題串的形式引導學生思考，突出解復雜的一元一次不等式組的基本方法和步驟.
預設答案：
思考1：上節的不等式沒有分母，這個不等式組第2個不等式里面的帶有分母.
思考2：在解不等式去分母時要注意每一項都需乘最小公倍數，如果乘的是負數，還要注意改變不等號的方向．
思考３：
解不等式①，得x＞8．
解不等式②，得x≤．
所以此不等式組無解.
任務二：歸納一元一次不等式組不同解集的規律
試一試求下列不等式組的解集并猜想分析一元一次不等式的解集有多少情況
師生活動：學生先獨立對不等式組求解,并嘗試回答問題，小組內交流結果然后展示.
設計意圖：通過觀察四組不等式組解集的公共部分，讓學生自己歸納得出一元一次不等式組的4種不同情況的解集，為下一步探究其中的規律做鋪墊.
預設答案：
第一組
第二組
第三組
第四組
提出問題：求以上4組不等式組的解集時，都出現了哪幾種情況？
設計意圖：通過觀察四組不等式組解集的公共部分，討論交流探究不同情況的解集的規律.
預設答案：
1.兩個不等符號都是大于時，解集為大于較大的那個；“同大取大”
2.兩個不等符號都是小于時，解集為小于較小的那個；“同小取小”
3.大于一個小的數，小于一個大的數，解集為中間的公共部分；“大小小大取中間”
4.大于一個大的數，小于一個小的數，不等式組無解.“大大小小無解集”
思考：如果數字用a，b來替代，且a＜b，你能很快說出下列不等式組的解集嗎？
分析：這里主要引導學生將字母a，b在數軸上的位置確定下來，然后再進行討論，形成結論.
預設答案：
設計意圖：讓學生體會數學表達的簡潔性，提高學生的符號意識.
總結：在確定兩個不等式解集的公共部分時，可借助數軸，也可利用口訣直接得出不等式組的解集.
（三）應用舉例
例1：解不等式組,并把解集在數軸上表示出來.
預設答案: 解不等式①,得x＞ 1.
解不等式②,得x＜－1.
通過在數軸上表示這兩個不等式的解集發現，這兩個不等式的解集無公共部分，因此原不等式組無解.
例2：利用口訣法求出下列不等式組的解集.
（1） （2） （3） （4）
預設答案: （1）x＞4;（2）無解; （3）3＜x＜5;（4）x＜.
例3.一堆玩具分給若干個小朋友，若每人分2件，則剩余3件；若前面每人分3件，則最后一個人得到的玩具數不足2件.求小朋友的人數與玩具數.
預設答案: 解：設小朋友的人數為x，則玩具數為（2x+3），根據題意，得
解不等式組，得4＜x≤6.
因為x是整數，所以x＝5,6，則2x+3為13，15.
因此，當有5個小朋友時，玩具數為13個；當有 6個小朋友時，玩具數為15個.
設計意圖：通過三個例題，進一步加深學生對一元一次不等式和口訣的理解，例1是對復雜一元一次不等式解法的練習，強化學生解題步驟,例2是對口訣的練習,幫助學生記憶口訣法的使用，例3是一元一次不等式組在實際問題中加以運用,培養學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力.
課堂練習
1.解不等式組：
解：
解不等式得：
解不等式得：
不等式組的解集為：．
2.采用轉化思想的方法，求不等式的解集．
解：由，得
或
解不等式組，得．
解不等式組，無解．
所以不等式的解集為．
3.已知關于的不等式的最小整數解為，則實數的取值范圍是 ．
解：解不等式，得．
因為不等式有最小整數解，
所以，
解得．
4.為了抓住梵凈山文化藝術節的商機，某商店決定購進、兩種藝術節紀念品．若購進種紀念品件，種紀念品件，需要元；若購進種紀念品件，種紀念品件，需要元．
（1）求購進、兩種紀念品每件各需多少元？
（2）若該商店決定購進這兩種紀念品共件，考慮市場需求和資金周轉，用于購買這件紀念品的資金不少于元，但不超過元，那么該商店共有幾種進貨方案？
（3）若銷售每件種紀念品可獲利潤元，每件種紀念品可獲利潤元，在第問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？
.解：（1）設該商店購進一件種紀念品需要元，購進一件種紀念品需要元，
根據題意得方程組得：，
解方程組得：，
答：購進一件種紀念品需要元，購進一件種紀念品需要元；
（2）設該商店購進種紀念品個，則購進種紀念品有個，
，
解得：，
為正整數，，，，
共有4種進貨方案，
分別為：方案1：商店購進種紀念品個，則購進種紀念品有個；
方案2：商店購進種紀念品個，則購進種紀念品有個；
方案3：商店購進種紀念品個，則購進種紀念品有個；
方案4：商店購進種紀念品個，則購進種紀念品有個．
（3）因為種紀念品利潤較高，故B種數量越多總利潤越高．
選擇購種件，種件．
總利潤元
答：當購進種紀念品件，種紀念品件時，可獲最大利潤，最大利潤是元．
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深新知的理解，并培養學生綜合運用所學知識解決問題的能力.
（五）總結歸納
1.本節課你學到了哪些知識？
2.解復雜一元一次不等式組的步驟是什么？
3.如何運用口訣法找方程組的解？
4.解題過程中，應用了哪些數學思想？

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