資源簡介

第七章 一元一次不等式與不等式組
7.2 一元一次不等式
第1課時 解一元一次不等式 移項去括號
1.經歷一元一次不等式、解不等式概念的形成過程.
2.會利用不等式的性質熟練地解含括號的不等式.
3.通過在數軸上表示一元一次不等式的解集，體會數形結合的思想.
4.通過類比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法，培養(yǎng)知識遷移能力，發(fā)展類比推理能力.
重點：了解一元一次不等式、解不等式概念；
難點：會利用不等式的性質熟練地解含括號的不等式．
（一）創(chuàng)設情境
回顧：不等式的性質有哪些？
師生活動：教師提出問題，學生舉手回答.對于共性問題集體講評.
預設答案：性質1 不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(或整式)，不等號的方向不變.
性質2 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變.
性質3 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變.
性質4 如果，那么.
性質5 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
設計意圖：回顧不等式的基本性質，以及如何用不等式的基本性質對不等式進行變形，為后邊講一元一次不等式的解法做鋪墊.
（二）探究新知
任務一 探究一元一次不等式的概念
思考：某公司的統計資料表明，科研經費每增加1萬元，年利潤就增加1.8萬元.如果該公司原來的年利潤為200萬元，要使年利潤超過245萬元，那么增加的科研經費應高于多少萬元
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間3分鐘.
師生活動：教師給出問題，引得學生進行分析，學生嘗試用學過的知識思考，并在小組內交流，匯總并舉手發(fā)言.
分析：設該公司增加科研經費x萬元，那么年利潤就增加1.8x萬元.因為利潤要超過245萬元，所以 200+1.8x>245.
含有未知數的不等式.
思考：你所列的式子具有什么特征 能否類比一元一次方程的特征得到不等式的特征
總結：不等式的特征:
(1)只含有一個未知數；
(2)未知數的次數是1；
(3)不等號兩邊都是整式.
思考：類比一元一次方程的概念，這樣的不等式該如何定義呢？
總結：只含有一個未知數，未知數的次數是1、且不等號兩邊都是整式的不等式叫做一元一次不等式.
設計意圖：讓學生類比表示等量關系的方程思想得出用不等式表示數量的不等關系.同時通過對比分析，有利于學生形成良好的數學思維習慣.
任務二 探究解不等式的方法
思考：一般地，利用不等式的性質，采用與解一元一次方程相類似的步驟，就可以求出一元一次不等式的解集.對于不等式200+1.8x>245，該如何求解呢？
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間3分鐘.
師生活動：教師給出問題，學生積極思考，小組討論然后回答問題.學生解題的過程可能是多元的，課堂上不要限制學生思維，更不要故意將學生往教師所需要的方面引導，留給學生足夠的時間讓他們充分表達自己的想法，相信學生有能力找到最優(yōu)的解題方法.
預設答案：解：對于不等式 200+1.8x＞245，根據不等式的性質1，兩邊同時減去200，得 200+1.8x -200＞245-200. 即：1.8x＞45.
再根據不等式的性質2，兩邊同時除以1.8，得：x＞25.
因此，這個不等式的解集為 x＞25.
總結：像這樣求不等式的解集的過程叫作解不等式.
解一元一次方程，要根據等式的性質，將方程逐步化為x=a的形式；而解一元一次不等式，則要根據不等式的性質，將不等式逐步化為xa的形式.
設計意圖：利用不等式的性質解題，讓學生感受利用不等式性質1的實質就是移項，滲透類比思想，初步體會解不等式與解方程的聯系，為下一環(huán)節(jié)鋪墊.
思考：類比解一元一次方程的步驟，你能解出不等式：2x+5≤7(2-x)，并把它的解集在數軸上表示出來嗎？
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間3分鐘.
師生活動：教師先要求學生解方程：2x+5=7(2-x)，對比解方程的過程來解一元一次不等式.具體解題過程觀看對應課件的演示；
小組討論解一元一次不等式，然后找學生上臺板演解題步驟，最后教師點評.教師邊講邊引導學生理解每一步變形的依據，特變強調:當不等式兩邊都同時乘以或除以一個負數時，不等號的方向改變.
預設答案：解方程：2x+5=7(2-x)
解：去括號，得：2x+5=14-7x .
移項，得：2x+7x= 14 – 5.
合并同類項，得：9x = 9.
x系數化為1，得：x = 1.
解不等式： 2x+5≤7(2-x)
解：去括號，得：2x+5≤14-7x.
移項，得：2x+7x≤ 14 – 5.
合并同類項，得：9x≤ 9.
x系數化為1，得：x≤1 .
追問：如何在數軸上表示不等式的解集呢？
因為x≤1，解集包括1，所以是實心點.
思考：解不等式時也可以“移項”，依據是什么 移項時，是否要改變不等號的方向？
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間3分鐘.
師生活動：學生先獨立思考后，師生交流討論共同總結.
預設答案：解不等式“移項”的依據是不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(或整式)，不等號的方向不變.所以移項時不需要改變不等號的方向.
設計意圖：通過對上面例題的分析，學生已有初步解不等式的經驗，例題講解，讓學生加深對解不等式的方法步驟的理解，通過畫數軸表示不等式的解集，使學生直觀感受不等式解集的無限性，滲透數形結合的思想，同時培養(yǎng)學生遷移類比的思想，符合學生的最近發(fā)展區(qū).
（三）應用新知
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例1若 是關于的一元一次不等式，則 .
分析：因為是關于 的一元一次不等式，所以 ， .
解得：.
故答案為：.
預設答案：.
設計意圖：讓學生進一步加深對一元一次不等式的認識和理解，培養(yǎng)學生的應用意識.
例2 解下列不等式，并把解集用數軸表示出來.
(1)
(2)
分析：首先進行去括號，移項，合并同類項，進而解一元一次不等式即可.
預設答案：解：(1)
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
系數化為1，得 .
將解集表示在數軸上如下：
注意是空心點.
(2)
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
系數化為1，得 .
將解集表示在數軸上如下：
注意是實心點
設計意圖：通過解具體的一元一次不等式，鞏固所學的基礎知識，從學生解不等式的過程，教師能夠及時發(fā)現學生存在問題，將學生的錯誤作為生成性資源，從而加深學生對不等式解法原理的理解．并重新建立自己新的知識架構體系.
例3若不等式的解集與關于的不等式的解集相同，求的值.
分析：根據不等式 的解集與關于 的不等式 的解集相同，然后根據題意建立一個關于 的不等式，從而確定的范圍.
預設答案：解：不等式
去括號，得
移項，得
系數化為1，得 .
不等式
去括號，得
移項，得
系數化為1，得 .
因為不等式 的解集與關于 的不等式 的解集相同，
所以，解得.
設計意圖：通過典型例題的講解，讓學生進一步鞏固求解一元一次不等式的過程和步驟.
（四）鞏固新知
1. 把不等式 2x-2 <4的解集在數軸上表示出來，正確的是( )
【答案】D
【解析】解:將不等式移項得:2x<4+2.合并同類項得: 2x< 6. 系數化為1 得:x<3
將不等式的解集表示在數軸上如下
故選: D.
2.如果關于的不等式的解集是，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：因為不等式的解集是，所以
解得1.
故選: C.
3.解下列不等式：
；
．
【答案】解：去括號得：，
移項合并得：，
解得：；
去括號得：，
移項合并得：，
解得：．
4.求下列不等式的正整數解：
【答案】解：，
不等式兩邊都除以，得：，
故該不等式的正整數解為：、；
，
移項，得：，
系數化為，得：，
故該不等式的正整數解為：、、．
5.已知不等式的解集在數軸上的表示如圖所示，求不等式的解集．
【答案】解：解不等式，得．
由題圖知不等式的解集為，
所以，解得．
把代入中，得，
所以．
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節(jié)課的理解及應用.在進一步鞏固所學知識的同時去發(fā)現問題，以便彌補知識的漏洞.
（五）課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節(jié)課所講的內容.
1.本節(jié)課你學到了什么？
2.什么是一元一次不等式？
3.解一元一次不等式的目標是什么？
設計意圖：讓學生自己小結，活躍了課堂氣氛，做到全員參與，理清了知識脈絡，強化了重點，培養(yǎng)了學生口頭表達能力.第七章 一元一次不等式與不等式組
7.2 一元一次不等式
第2課時 去分母解一元一次不等式
1.會解含有分母的一元一次不等式；
2.進一步理解并掌握解一元一次不等式的一般步驟；
3.經歷解方程和解不等式兩種過程的比較，體會類比思想，發(fā)展學生的數學思考水平；
4.通過一元一次不等式的學習，培養(yǎng)學生認真、堅持等良好學習習慣.
重點：會解含有分母的一元一次不等式；
難點：在數軸上表示不等式的解集．
（一）創(chuàng)設情境
回顧：上節(jié)課我們學習了如何解簡單的一元一次不等式，你還記得步驟嗎
師生活動：教師提出問題，學生舉手回答.
預設答案：(1)去括號 (2)移項 (3)合并同類項(4)未知數系數化為1
思考：含有分母的一元一次不等式如何解呢
設計意圖：由問題引入新課，讓學生帶著興趣進新的知識的學習.
（二）探究新知
任務一 探究解含分母的不等式的步驟
思考：類比解一元一次方程的步驟，你能解出不等式：，并把它的解集在數軸上表示出來嗎？
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間3分鐘.
師生活動：教師提出先解方程，再類比方程的解法解不等式.學生通過解含分母的一元一次方程和一元一次不等式，討論是否可以采用類似的步驟.教師再指出:利用不等式的性質，采取與解一元一次方程類似的步驟，就可以求出一元一次不等式的解集.
.
預設答案：解方程：
解：去分母，得：
去括號，得： .
移項、合并同類項，得：.
系數化為1，得：.
解不等式：
解：不等式兩邊同乘以，得：
去括號，得： .
移項、合并同類項，得：.
x系數化為1，得：.
在數軸上表示不等式的解集:
設計意圖：通過解一元一次方程的依據和一般步驟，讓學生思考解一元一次不等式能否采用同樣步驟，從而獲得解一元一次不等式的思路及步驟.
總結：解一元一次不等式的步驟及變形依據：
去分母：不等式的性質 2.
去括號：去括號法則.
移項：不等式的性質 1.
合并同類項：合并同類項法則.
系數化為 1：不等式的性質 2 或 3.
歸納：解一元一次不等式的四點注意：
去分母：去分母時要注意每一項都要乘以分母的最小公倍數.不要漏乘不含分母的項.
去括號：根據乘法的分配律不要漏乘項.
移項：移項要注意改變該項的符號，不等號方向不變.
系數化為1：兩邊都除以負數時注意不等號方向要改變.
設計意圖：通過討論歸納解一元一次不等式的基本步驟每一步變形的依據及注意事項，提高學生總結、歸納能力.
任務二 探究解一元一次不等式和解一元一次方程的異同
思考：一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法有哪些相同點和不同點 為什么解法會有不同
合作探究：
1.小組合作充分討論；
2.每小組挑選一名代表展示小組討論結果；
3.討論時間3分鐘.
師生活動：學生在教師的引導下將解一元一次不等式的過程與解一元一次方程的過程進行比較，思考二者的相同和不同處.
預設答案：相同點：
基本步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1；
基本思想：都是運用化歸思想，將一元一次方程或一元一次不等式變形為最簡形式.
不同點：
解法依據：解一元一次不等式的依據是不等式的性質，解一元一次方程的依據是等式的性質；
最簡形式：一元一次不等式最簡形式是x>a或x設計意圖:在歸納出一元一次不等式的解法之后，引導學生對比一元一次方程的解法，思考二者的異同，加深對一元一次不等式解法的理解，體會化歸思想和類比思想.
（三）應用新知
師生活動：給學生審題時間，學生試做，教師給予規(guī)范，并指出應注意的問題.學生獨立自主完成，然后相互交流，積累解決問題的經驗.
例1 不等式的自然數解有( )個
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
分析：解：
去分母，得
移項、合并同類項，得
系數化為1，得 .
所以不等式的自然數解有0，1，2共3個.
故選：C.
預設答案：C..
設計意圖：通過典型例題的講解，讓學生進一步鞏固求解一元一次不等式的過程和步驟.
例2 解不等式，并把它的解集表示在數軸上.
分析：根據解一元一次不等式的步驟進行計算即可.
預設答案：解:兩邊同時乘以6去分母，得.
去括號，得.
移項，得.
合并同類項，得.
將未知數的系數化為1，得.
這個不等式的解集在數軸上的表示為：
總結：解一元一次不等式，要根據不等式的性質，將不等式逐步化為x＞a或x＜a的形式.
設計意圖：本題主要考查學生解一元一次不等式，并在數軸上表示解集的能力.
例3請根據下列描述列出不等式，并求出不等式的解集.
(1)代數式是負數；
(2)代數式的值小于x+4；
(3)代數式的值不大于.
分析：(1)“是負數”意味這個代數式的值小于0.
(2)“值小于”可直接轉化為小于號，從而列出不等式并求解.
(3)“不大于”就是小于等于的意思，依據此列出不等式求解.
預設答案：解:(1)代數式是負數，即.
移項，得.
系數化為1，得x < .
(2)因為代數式的值小于 x+4，
所以x+20< x+4
移項、合并同類項，得 x < -16.
系數化為1，得.
(3)因為代數式的值不大于，所以.
去分母，得
去括號，得
移項、合并同類項，得 .
系數化為1，得x .
設計意圖：鍛煉學生根據題意列出不等式，綜合運用不等式性質解一元一次不等式的能力.通過例題講解，加深對所學知識的理解.
（四）鞏固新知
1.在數軸上表示不等式的解集，正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：，
解得：，
數軸上表示不等式的解集如下．

故選：．
2.代數式和的差不小于，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：依題意得：，
，
，
．
故選B．
3.若，則的最小整數值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
則的最小整數值為．
故選C．
4.求不等式的所有自然數解．
【答案】解：去分母，得
去括號，得
移項、合并同類項，得
系數化為，得
則不等式的所有自然數解是，，．
5.是否存在整數，使關于的不等式與關于的不等式的解集相同若存在，求出整數若不存在，請說明理由．
【答案】解：存在，
因為，
所以，
．
，
，
．
因為關于的不等式與關于的不等式的解集相同，
，
解得．
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節(jié)課的理解及應用.在進一步鞏固所學知識的同時去發(fā)現問題，以便彌補知識的漏洞.
（五）課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節(jié)課所講的內容.
1.本節(jié)課你學到了什么？
2.解一元一次不等式的步驟是什么？
3.解一元一次不等式有哪些注意事項？
設計意圖：讓學生自己小結，活躍了課堂氣氛，做到全員參與，理清了知識脈絡，強化了重點，培養(yǎng)了學生口頭表達能力.

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