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第六章 實數(shù)
6.2 無理數(shù)和實數(shù)
實數(shù) 第1課時
1.知道無理數(shù)是客觀存在的，通過實例了解無理數(shù)和實數(shù)的概念.
2.能對實數(shù)按要求進行分類，同時會判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).
3.經(jīng)歷用無理數(shù)估算的探索過程，感受“逼近”的數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)感，激發(fā)學生的探索創(chuàng)新精神.
4.通過觀察、比較、分析等活動，提高學生的數(shù)學探究能力和抽象概括能力，體會分類的數(shù)學思想.
重點：能對實數(shù)按要求進行分類，同時會判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).
難點：無理數(shù)估算的探索，感受“逼近”的數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)感.
（一）創(chuàng)設情境
情境：學校要建一個面積是81平方米的草坪，草坪周圍用鐵柵欄圍繞，有兩種方案.有人建議建成正方形的，也有人說要建成圓形的.如果從節(jié)省鐵柵欄費用的角度考慮，你選擇哪個 請說明理由.(π取3）
師生活動：教師展示問題，請學生獨立思考，然后在小組內(nèi)說一說.
設計意圖：通過實際情境引入，讓學生體會生活中的數(shù)學，并從實際問題中抽象出數(shù)的發(fā)展.，進而引入本節(jié)課.
（二）探究新知
任務一：你會畫一個面積是2的正方形嗎
圖6-5是由4條橫線、5條豎線構(gòu)成的方格網(wǎng),它們相鄰的行距、列距都是1.從這些縱橫線相交得出的20個點(稱為格點)中,我們可以選擇其中4個格點作為頂點連接成一個正方形,這樣的正方形叫作格點正方形.還有與這些面積不相同的格點正方形嗎
(1)有面積分別是1，4，9的格點正方形嗎
(2)有面積是2的格點正方形嗎 把它畫出來.
師生活動：教師組織學生先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；討論時間3分鐘.教師可適當提示上面所提出的問題，實質(zhì)上就是要找出面積為2的正方形，其邊長為.
預設答案：
解：(1)有；面積是1,4,9,則邊長為1,2,3，從圖中可看出有邊長為1,2,3的正方形.
(2)有；從圖中可以得出有面積2的正方形其邊長為；
畫法如圖.
提示：從圖中我們看到四個邊長為1的相鄰正方形的對角線就圍成了一個面積為2的格點正方形(圖6-6),設這個正方形的邊長為x，則x2=2.因為x>0,所以x= .
任務二：思考：是一個怎樣的數(shù)？
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；討論時間5分鐘.教師可適當引導學生思考，待學生充分交流后，教師可選代表總結(jié)，教師補充.
預設答案：
因為12=1 < 2,22=4 > 2,所以1< <2 ，這說明 不可能是整數(shù).
在1和2之間的一位小數(shù)有1.1，1.2，…，1.9,那么在哪兩個一位小數(shù)之間呢
因為1.42=1.96 < 2, 1.52=2.25>2,所以1.4 <<1.5
同樣,在1.4與1.5之間的兩位小數(shù)有1.41，1.42,…，1.49,那么 在哪兩個兩位小數(shù)之間呢
因為1.412=1.9881 <2,1.422=2.0164>2,所以1.41 < < 1.42 .
類似地,可得1.414 < < 1. 415.
像上面這樣一直(無限)做下去,我們可以得到=1.414 213562...，說明 是一個無限不循環(huán)小數(shù),因此它不是有理數(shù)
任務三：探究無理數(shù)的概念
在情境問題中，假若建成正方形，設正方形的邊長為a，則有a==9；若建成圓形，設圓的半徑為r，則有r=3，這里的類似，它也是一個無限不循環(huán)小數(shù),因此它也不是有理數(shù).
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結(jié)果；討論時間5分鐘.教師可適當引導學生思考，待學生充分交流后，教師可選代表總結(jié)，教師補充.
預設答案：
（1）有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù),整數(shù)和分數(shù)可統(tǒng)一寫成分數(shù)的形式(整數(shù)可以看作分母為1的分數(shù))，也就是說,有理數(shù)總可寫成（m,n是整數(shù),且m≠0)的形式.例如 2= ，0.5= ， 0. =
（2） 任何有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式. 反過來,任何整數(shù)、分數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),因此有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).
（3）像=1.732 050 807…，=1.414 213562…，=1.442249570…， π=3.141 592653…等，它們都是一個無限不循環(huán)小數(shù),因此它們不是有理數(shù).
（4）無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).
設計意圖：組織學生合作探究，重視概念的生成，讓學生了解數(shù)的發(fā)展，同時讓學生進一步理解有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別.特別是在探究數(shù)的概念時讓學生體會分類的數(shù)學思想.
任務四：探究實數(shù)的概念及分類
思考：什么叫做實數(shù)，你能對實數(shù)按要求進行分類嗎？
預設答案：
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)
實數(shù)的分類
總結(jié)：
1.有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)叫作有理數(shù).
2.無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).無理數(shù)可分為正無理數(shù)與負無理數(shù)，
如 ，，π是正無理數(shù);- ，- ，-π 都是負無理數(shù).
3.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).
4.實數(shù)可按定義分類，也可按性質(zhì)分類.
（三）應用舉例
例1：把下列各數(shù)分類填入圖中:
0， 3， 1， ， 0. ， 0.25，3.14，π，，，， ， ，，0.181881888…(兩個1之間依次增加一個8).
提示：任何整數(shù)、分數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，它們都是有理數(shù).
無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).
解：
總結(jié)：
（1）整數(shù)、分數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)；
（2）無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；
（3）π是無理數(shù)；
（4）能化簡的要先化簡再分類.
設計意圖：通過把各數(shù)正確填入圖中，讓學生熟練掌握實數(shù)分類的方法和依據(jù)，并體會“分類”的數(shù)學思想.
例2：判斷下列各題:
（1）實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù).（ ）
（2）無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù).（ ）
（3）無理數(shù)都是無限小數(shù). （ ）
（4）帶根號的數(shù)都是無理數(shù). （ ）
（5）無理數(shù)一定都帶根號. （ ）
提示： 根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)的概念來判斷.
師生活動：注意讓學生各抒己見，教師要給予歸納和總結(jié).
解：（1）本題考查了實數(shù)的分類，實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，所以實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)，故本題正確.
該題考查了無理數(shù)的定義，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵;無理數(shù)的定義:無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，故本題正確.
（3）本題考查無理數(shù)的定義，無理數(shù)即非有理數(shù)之實數(shù)，若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并且不會循環(huán)，故本題正確.
（4）帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，例如：=2，2是有理數(shù)，所以是有理數(shù)，故本題錯.
（5）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，例如：是有理數(shù)，不帶根號的數(shù)也不一定是無理數(shù)，例如π，故本題錯誤.
設計意圖：讓學生掌握通過明辨是非，進一步掌握無理數(shù)、實數(shù)等重點概念.
例3 若將四個數(shù) ，，，表示在數(shù)軸上，中可能被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
提示：墨跡覆蓋的數(shù)應該在1~3之間，然后對這四個答案逐一分析.
解：根據(jù)數(shù)軸可得墨跡覆蓋的數(shù)的范圍是1~3之間
A.因為1<3<4，所以1< <2，所以-2< < 1，故此選項不符合題意.
B.因為4<<9，所以2<<3，故此選項符合題意.
C.因為9<<16，所以3<<4，故此選項不符合題意.
D.因為9<11<16，所以3<<4，故此選項不符合題意.
[答案] B
總結(jié)：用無理數(shù)估算的探索過程，從中感受“逼近”的數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)感.
設計意圖：讓學生理解“逼近”的數(shù)學思想.在解題過程中掌握無理數(shù)的取值范圍，
例4 閱讀材料：
因為＜ ＜ 即 2＜ ＜3 ，所以1＜ 1＜2，
所以-1的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分 -2.
解決問題：
（1）的小數(shù)部分是_______.
（2）已知a是 -4的整數(shù)部分， b是-4的小數(shù)部分，
求代數(shù)式 +（b+4）2的值
提示：對閱讀材料中的題目進行認真分析，然后用類比的方法進行解答.
解：（1）因為＜＜，所以9＜ ＜10，
所以√的整數(shù)部分為9，小數(shù)部分 - 9.
（2）因為＜ ＜，所以4＜ ＜5，所以0＜ 4＜1
因為a是 4 的整數(shù)部分， b是 - 4 的小數(shù)部分，
所以a=0，b= 4
所以 +（b+4）2 = - 03+( 4+4)2=21
總結(jié)：
估算無理數(shù)的大小，確定形如a(a≥0)的無理數(shù)的整數(shù)部分時，常用的是“逼近”的數(shù)學思想,關(guān)鍵是找出位于無理數(shù)兩邊的平方數(shù)，則無理數(shù)的整數(shù)部分即為較小的平方數(shù)的算術(shù)平方根.
設計意圖：通過前面所學知識和無理數(shù)估算的探索過程相結(jié)合，來培養(yǎng)學生的綜合應用能力.
（四）課堂練習
1. 下列整數(shù)中與最接近的數(shù)是 （ ） .
A. 3 B. C. D. 6
答案：C
知識點：估算無理數(shù)的大小.
解析：略.
2.有下列四個論斷:
① - 是有理數(shù)；② 是分數(shù);
③ 2.3131131113...(兩個3之間依次增加一個1)是無理數(shù); ④π是無理數(shù).
其中正確的有( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
答案： B.
知識點：實數(shù)的概念，有理數(shù)、無理數(shù)的意義.
解析：略.
3.寫出一個大于2且小于4的無理數(shù)：_______.
答案：（不唯一）.
知識點：估算無理數(shù)的大小.
解析：因為一個大于2且小于4的無理數(shù)＜x＜
所以x=（不唯一）.
a、b均為整數(shù)且a >，b＜，a-b的最小值是_______.
答案：1
知識點：估算無理數(shù)的大小，平方根，立方根.
[分析] 此題考查了估算無理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是確定a的最小值，b的最大值，先估算、的范圍，然后確定a的最小值，b的最大值，即可計算a-b的最小值.
[解答] 因為＜＜，所以2＜＜3 .
因為a >且為整數(shù)，所以a的最小值是3 .
＜＜，所以2＜＜3 .
因為b＜且為整數(shù)，所以b的最大值是2 .
所以a-b的最小值3-2=1.
5.已知3+的小數(shù)部分是m，3-的小數(shù)部分是n，求m+n的值.
解：因為1<3<4，即1<<2，所以4<3+<5.
因此3+的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是3+-4=-1，即m=-1.
因為1<3<4，所以1<<2，即-2<-<-1，所以1<3-<2.
因此3的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是3--1=2-，即n=2-. 故m+n=-1+2-=1.
6.如圖所示，四邊形ABCD是5×5網(wǎng)格中的格點正方形，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1.
(1)求正方形ABCD的面積;
(2)判斷正方形ABCD的邊長是有理數(shù)還是無理數(shù).
解： (1)正方形ABCD的面積=52-4× ×1×4=17.
（2）設正方形ABCD的邊長為x，則x2=17，
所以x=.
因為任何一個有理數(shù)的平方都不等于17，所以是無理數(shù).
（五）總結(jié)歸納
1.本節(jié)課學習了無理數(shù)、實數(shù)的概念，會判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).
2.能對實數(shù)按要求進行分類，同時經(jīng)歷用無理數(shù)估算的探索過程，從中感受“逼近”的數(shù)學思想.
3.通過觀察、比較、分析等活動，發(fā)展學生的探究能力和抽象概括能力并體會分類的數(shù)學思想.第六章 實數(shù)
6.2 無理數(shù)和實數(shù)
第2課時
1.能夠理解用尺規(guī)作圖在數(shù)軸上畫出無理數(shù)的方法，理解數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的關(guān)系．
2.通過對比，理解實數(shù)與有理數(shù)一樣，可以進行加、減、乘、除、開方等的運算，運算法則和運算律等同樣適用．
3.能夠用計算器對一些無理數(shù)進行計算，進而能夠推理出有理數(shù)比較大小的法則同樣適用于無理數(shù)，并且能夠在數(shù)軸上表示出來.
4.通過本節(jié)課的學習，學生將有理數(shù)和無理數(shù)聯(lián)系起來，推廣到實數(shù)范圍，探究過程中進行類比、思考，體會到從特殊到一般的數(shù)學思想，培養(yǎng)了學生的邏輯思維和動手能力
重點：理解無理數(shù)和有理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的關(guān)系以及無理數(shù)一樣適用于有理數(shù)的各種運算法則以及運算律.
難點：學會對無理數(shù)大小進行比較并且能夠在數(shù)軸上表示出來.
創(chuàng)設情境
回顧：
1.實數(shù)是由什么組成的？
預設：有理數(shù)無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)
2.實數(shù)的兩種分類是什么？
預設：
情境：每一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，無理數(shù)√2能在數(shù)軸上表示嗎？
預設：我們可以借助四個邊長為1的正方形，每個小正方形的對角線圍成的格點正方形面積是2，易得這個正方形的邊長為.
師生活動：教師引導學生觀察所給正方形，用尺規(guī)作圖的方式在數(shù)軸上畫出所求的無理數(shù).
設計意圖：通過實際情境引入，讓學生用生活中常見的正方形變形運用，解決所遇到的問題.開拓腦筋學以致用，進而引入本節(jié)課題，需要探究的知識.
(二)探究新知
任務一：從有理數(shù)到實數(shù)---在數(shù)軸上表示無理數(shù)
師生活動：引導學生進行尺規(guī)作圖，并且小組展示自己的成果.
預設答案：
操作：
1.以數(shù)軸上的單位長度為邊作一個正方形
2.以原點為圓心，正方形的對角線為半徑畫弧
3.與x正半軸交于點A，則點A表示的數(shù)為
思考：點A′是畫圓弧時與數(shù)軸的另一交點，它表示什么數(shù)？
預設：點A′表示的數(shù)是
設計意圖：組織學生合作探究，通過觀察、思考、小組討論、動手操作等活動，最終在數(shù)軸上表示出無理數(shù).
任務二：從有理數(shù)到實數(shù)---運算法則及運算律
探究：我們發(fā)現(xiàn)：
與互為相反數(shù)，有+( )=0
√與互為倒數(shù)，有×=1
||=，| |=
······
你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？
師生活動：教師組織學生合作探究，小組合作，每小組同學進行討論，每小組挑選一名代表展示計算結(jié)果；討論時間10分鐘.教師可適當引導學生思考，待學生充分交流后，教師可選代表總結(jié)，教師補充.
預設：1.在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，絕對值倒數(shù)的意義與在有理數(shù)的范圍內(nèi)完全一樣.
2.實數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進行加減乘除、乘方運算，正數(shù)和零可以進行開方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.
3.有理數(shù)運算法則和運算律對于實數(shù)仍然適用.
設計意圖：組織學生合作探究，重視知識的發(fā)生過程，讓學生掌握從有理數(shù)到實數(shù)的擴展過程中的思路和方法，體會從一般到特殊、學以致用，發(fā)現(xiàn)問題解決問題思想.
(三)應用舉例
例1：分別寫出：
(1) 、的相反數(shù) (2) 、的倒數(shù)
(3)、3.14 π的絕對值 (4)絕對值為的實數(shù)
提示：有理數(shù)的各種運算法則等仍然適用于無理數(shù).
預設答案：解：(1) 的相反數(shù)是，的相反數(shù)是
(2)的倒數(shù)是，的倒數(shù)倒數(shù)是
(3)的絕對值是3，3.14 π的絕對值是π 3.14
(4)絕對值為的實數(shù)是±
例2：近似計算：
(1)+π(精確到0.01)
(2)(精確到0.1)
思考：教師嘗試讓學生總結(jié)無理數(shù)的加減乘除該如何計算？
提示：在實數(shù)運算中，如果遇到無理數(shù)，并且需求出結(jié)果的近似值，可以先按照所要求的精確度用近似的有限小數(shù)代替無理數(shù)，再進行計算.
解：(1)+π≈1.732+3.414=4.873≈4.87
(2)≈2.23×2.64=5.8872≈5.9
小結(jié)：
1.用計算器取出比要求的精確度再多一位小數(shù)的近似值.
2.用近似值代替無理數(shù).
3.進行有理數(shù)計算.
4.按照要求進行四舍五入.
例3：在數(shù)軸上作出表示下列各數(shù)的點，比價它們的大小，并用“＜”連接它們.
1，， 2，-，| 2|，5.
解：如圖所示： 2＜ ＜ 1＜＜| 2|＜5
思考：通過例3你有什么新發(fā)現(xiàn)嗎？
預設答案：兩個實數(shù)可以像有理數(shù)一樣比較大小，即數(shù)軸上右邊的點所表示的數(shù)總是大于左邊的點表示的數(shù).
小結(jié)：
在實數(shù)范圍內(nèi)：
1.正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)都大于負數(shù).
2.兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大.
3.兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)較小.
設計意圖：通過層次漸進的三個例題，進一步數(shù)從有理數(shù)擴展到實數(shù)，鞏固了有理數(shù)的知識，又增加了無理數(shù)的知識，例1是通過在數(shù)軸上表示無理數(shù)，進而得到數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，例2通過無理數(shù)的運算進而將有理數(shù)的運算法則乘方、以及有理數(shù)的運算法則等適用于無理數(shù)，例3是對無理數(shù)在數(shù)軸上比較大小，進而將比較大小的定理推廣到實數(shù)范圍內(nèi).三個例題層層遞進，也利于分階段達成本節(jié)的知識目標，并在解題過程中進一步滲透從一般到特殊的數(shù)學思想.
(四)課堂練習
1.在，，，四個數(shù)中，最大的數(shù)是( )
A. B. C. D.
答案：
解：，
在，，，四個數(shù)中，最大的數(shù)是．
故選：C.
正實數(shù)都大于；負實數(shù)都小于；正實數(shù)大于一切負實數(shù)；兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實數(shù)負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小．
2.已知，，，則下列大小關(guān)系正確的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解：，，，
，
，
故選A．
3.如圖，在數(shù)軸上表示的點可能是( )
A. 點 B. 點 C. 點 D. 點
答案：
解：，
，
對應的點是．
故選C．
4.的相反數(shù)是 ， ．
答案：
解：的相反數(shù)是： ；
．
故答案為： ；．
5.在數(shù)軸上，離表示的點距離為的點表示的數(shù)是 ．
答案：
解：該點可能在的左側(cè)，則為；
也可能在的右側(cè)，即為．
故答案為．
6.已知的算術(shù)平方根是，的平方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．
答案：
解：由題意得：
，．
，
．
．
．
的平方根是．
設計意圖：通過練習，能恰當?shù)貞脽o理數(shù)、實數(shù)的相關(guān)概念解決一些問題，提高學生邏輯思維能力、解決實際問題的能力.
(五)課堂總結(jié)
1.本節(jié)課你學到了哪些知識？
2.如何在數(shù)軸上表示出無理數(shù)？
3.你會對無理數(shù)進行加減乘除等運算以及比較大小嗎？
4.從有理數(shù)推廣到實數(shù)的范圍內(nèi)的過程中，你體會到應用了哪些數(shù)學思想？

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