資源簡介

第六章 實數
6.1 平方根、立方根
立方根
1.了解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根.
2.會用立方運算求一個數的立方根；了解開立方與立方互為逆運算.
3.了解立方根的性質，能區分立方根與平方根的不同.
4.通過觀察、比較、分析等活動，提高學生的數學探究能力和抽象概括能力，并體會類比的數學思想.
重點：會用立方運算求一個數的立方根.
難點：立方根的概念和性質.
（一）創設情境
情境：問題:要做一個容積是64dm3的正方體木箱，如圖6-4，
問它的棱長是多少
師生活動：教師展示問題，請學生獨立思考，嘗試求該正方體木箱的棱長.
設計意圖：通過實際情境引入，讓學生體會生活中的數學，并從實際問題中抽象出由已知一個數的立方，求這個數的問題.，進而引入本節課題，如何求一個數的立方根.
（二）探究新知
任務一：請你結合情境，運用所學知識，嘗試求出正方體木箱的棱長.
師生活動：教師組織學生先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果；討論時間3分鐘.教師可適當提示上面所提出的問題，實質上就是要找一個數x，這個數x的立方等于64.即=64，因為＝64，所以正方體的棱長應為4dm.
待學生充分探究交流后，教師選學生展示并講解自己的解題思路，以及具體解題過程.
任務二：探究立方根的相關概念.
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表展示小組討論結果；討論時間5分鐘.教師可適當引導學生思考，待學生充分交流后，教師可選代表總結，教師補充.
總結：（1）一般地，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根，也叫做三次方根，記作 ，讀作“三次根號a”，其中a叫做被開方數，3叫做根指數.
（2）求一個數的立方根的運算叫做開立方.
（3）開立方與立方互為逆運算.根據這種關系，可求出一些數的立方根.
設計意圖：組織學生合作探究，重視概念的生成，讓學生了解立方根的記作和寫作，同時讓學生進一步理解被開方數、根指數以及開立方等基本概念.特別是在探究立方根概念時讓學生體會類比的數學思想.
（三）應用新知
例1：求下列各數的立方根:(1)27;(2) -64; (3)0.
預設答案：解：(1)因為33＝27，所以27的立方根是3，
即 = 3.
(2)因為（ 4）3=-64 ，所以-64的立方根是-4，
即 = -4.
(3)因為03=0，所以0的立方根是0，
即 = 0.
總結：
（1）正數有一個正的立方根；
（2）負數有一個負的立方根；
（3）0的立方根是0.
設計意圖：通過求出一些數的立方根，進一步理解開立方與立方互為逆運算.在解題過程中掌握立方根的性質并體會“分類”的數學思想.
例2：用計算器求下列各數的立方根(精確到0.01):
2; (2) 7.797; (3) -17.456; (4)
預設答案：解：(1)在計算器上依次按鍵 顯示結果
是1.25992105，精確到0.01，得32 ≈1.26.
（2） ≈1.98.
請同學們自己算出第(3)(4)題的結果.
師生活動：注意學生使用的計算器品牌，不同的計算器功能、方法不盡相同，教師要給予指導和必要的說明.
設計意圖：讓學生掌握通過利用計算器可以求一個數的立方根或它的近似值.
例4 = — 嗎？
分析：因為任何數都只有一個立方根，正數或負數的立方根的符號與原數符號相同，
，所以 = 對的.
解：因為 = -a， = -a .
所以 = = .
總結：
（1）正數有一個正的立方根；
（2）負數有一個負的立方根；
（3）0的立方根是0.
設計意圖：讓學生理解開立方與開平方的不同.在解題過程中掌握立方根的性質的靈活運用，
例4 已知 +（b 1）2 = 0，求a+2b的立方根
分析：開平方的被開方數為非負數，一個數的平方也是非負數，然后根據非負數的性質和立方根的概念進行求解.
解：由非負數的性質得：a3+27=0，b-1=0
所以a3= 27，b-1=0.
解得：a= 3，b=1.
a+2b= 3+2×1= 1
又 1的立方根為 1
故a+2b的立方根為 1
總結：
（1）兩個非負數之和等于0，則每一個加數都為0 .
（2）負數有一個負的立方根.
設計意圖：通過前面所學知識和求立方根相結合，來培養學生的綜合應用能力.
例5 已知5=135，y=61求 的值.
分析：先解關于x的方程，然后再求 的值.
解：由題意得 x3 =27
解得 x=3
又 y=61
所以x+y=64
故 = = 4.
總結：
（1）先解關于x的方程再求解.
（2）注意做題格式 .
設計意圖：通過前面所學知識和求立方根相結合，來培養學生的綜合應用能力.
（四）鞏固新知
1. 的立方根是 . .
答案：4
知識點：立方根.
[分析]先進行平方運算，然后再根據立方根的定義進行求解即可.
[詳解] 因為 = 64，64 的立方根是4.
所以 的立方根是4.
2.若與互為相反數，則a，b之間的關系是 ____ .
答案：3b-2a=0或3b=2a或b=a
知識點：立方根，相反數.
解析：因為與互為相反數，
所以b-a與2b-a也互為相反故，
即(b- a)+(2b- a)=0，整理得3b-2a=0.故3b-2a=0或3b=2a或b=a
3.若-27=0則x =____ .
答案：3
知識點：立方根，解方程.
[分析] 本題主要考查求一個數的立方根，解題關鍵在于掌握立方根的定義，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根.解答此題，首先根據x3-27=0可得x3=27，再根據立方根的定義解答即可.
[詳解] 因為 -27=0. =27.所以x =3.
4.計算=____ .
答案：-3
知識點：立方根.
[分析] 本題主要考查求一個數的立方根，解題關鍵在于掌握立方根的定義，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根.解答此題.
[詳解] 因為（-3）3=-27， 所以=-3
5.下列說法中正確的是( )
①立方根是它本身的數只有3個； ②的立方根是-與--；③-81無立方根；④互為相反數的兩個數的立方根也互為相反數.
A ① ② B ① ③ C ① ④ D ② ④
答案：C
知識點：立方根.
解析：立方根等于它本身的數有0，1，-1 故說法①正確；
因為一個數的立方根只有一個所以說法②錯誤；
雖然-81沒有平方根，但它有立方根，所以說法③錯誤；
因為= — 所以說法④正確.故選C .
6.下列式子表達不正確的是( )
A =2 B -=-10 C = D =-4
答案：C
知識點：平方根、立方根.
解析：A =2 正確，不符合題意.； B -=-10 正確，不符合題意. ；
C = 不正確，符合題意.； D =-4 正確，不符合題意.
故選C
7.下列說法正確的是( ).
A. 一個數總大于它的立方根. B.非負數才有立方根.
C . 任何數的符號和它的立方根的符號相同. D.任何數都有兩個立方根.
答案：C
知識點：立方根.
解析：
A.0的立方根等于它本身，-27小于它的立方根-3，故此選項錯誤;
B.任何一個數都有立方根，故此選項錯誤;
C.正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數，故此選項正確;
D.任何數的立方根都只有一個，故此選項錯誤.
故選C
8..下列計算正確的是( ).
A. = B = 4 C = 3 D - = -2
答案：B
知識點：立方根.
解析：A. = 故此選項錯誤；
B == 4故此選項正確.
C =- 3 故此選項錯誤；
D - = -=-（-2）= 2 故此選項錯誤.
9.如果2x-1的平方根是，x+y是的立方根，那么3x+4y的值是多少？
答案：-3
知識點：平方根、立方根.
[分析] 本題考查的是平方根和立方根的概念，如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根、如果一個數的立方等于a，這個數就叫做a的立方根。根據平方根和立方根的概念列出方程，解方程求出x，y的值即可解答.
[詳解] 解: 因為2x-1的平方根是，
所以2x-1=9解得x=5；
因為x+y是的立方根
所以x+y= 即y= - 5 = -
所以3x+4y=3×5+4×（ - ）=-3
10.如果為a-3b的算術平方根，為1-a2的立方根，求2a-3b的立方根
答案：2
知識點：立方根、算術平方根.
[分析] 本題考查了算術平方根和立方根的定義，注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0； 負數沒有平方根.由于算術平方根的根指數為2，立方根的根指數為3，由此可以列出關于a、b的方程，解方程即可求出a、b，然后即可求出題目結果.
[詳解] 解::由題意，有b +4=2，a+2=3，解得a=1，b= -2
得: 2a -3b=2×1-3×（-2）=8.
所以 2a-3b 立方根是 = 2 故2a-3b的立方根為2.
（五）課堂總結
1.本節課學習了立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根.
2.會用立方運算求一個數的立方根；了解開立方與立方互為逆運算.
3.了解立方根的性質.
① 正數有一個正的立方根；
② 負數有一個負的立方根；
③0的立方根是0.
4.會區分立方根與平方根的不同.
5.通過觀察、比較、分析活動，提高學生的探究能力和抽象概括能力，并體會類比的數學思想.

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