資源簡介

第六章 實數
6.1 平方根、立方根
平方根 第1課時
1.了解平方根、算術平方根的概念、性質;明確平方根和算術平方根之間的聯系和區別;能用符號正確地表示一個數的平方根.
2.理解開平方運算和乘方運算之間的互逆關系.
3.能準確判斷一個數是否有平方根，會用平方運算求百以內整數的平方根.
4.通過探究平方根的定義與性質體驗數學與生活實際的密切關聯，培養數學的分類討論思想，進一步激發學生學習數學的興趣，逐步養成良好的學習品質.
重點：平方根的概念和求非負數的平方根.
難點：平方根和算術平方根的聯系與區別.
創設情境
裝修房屋，選用了某種型號的正方形地磚，用4塊這種地磚正好鋪1，如圖6-1，1塊這種地磚的邊長是多少？
師生活動：教師引導學生觀察圖形，回憶正方形的面積等于邊長的平方，然后要求學生思考問題.
學生思考、交流和討論，嘗試回答問題.
設計意圖：結合生活實際，從問題出發，充分引導學生進行思考、交流和討論，讓學生內心產生對數學知識的渴望，激發學生學習數學知識興趣.
預設答案：設一塊正方形地磚的邊長為，
根據題意，有 .
追問： 這是已知一個數的平方，求這個數的問題，進而引導學生如果不考慮實際問題，則的值是多少
師生活動：學生思考并討論，使學生明白這樣的數有兩個，它們是和.
設計意圖： 這個問題是引人平方根概念的切人點，要讓學生有充分的時間進行思考和體驗.
由此引人平方根的概念.
總結歸納：一般地，如果一個數的平方等于，那么這個數叫做的平方根.也叫做二次方根.
（二）探究新知
任務一：平方根的性質
思考1：(1)的平方根是什么？
(2) 的平方根是什么？
(3) 有沒有平方根？
預設答案：由于，所以 的平方根是；，所以的平方根是，由于沒有任何數的平方等于，所以沒有平方根.
師生活動：學生思考、交流和討論，嘗試回答問題.
設計意圖：通過此問題使學生明白平方根可以從平方運算中求得，并能規范地表述一個數的平方根.這個問題也為探討平方根的性質做好準備.
思考2：根據上面的計算請大家歸納，正數的平方根有什么特點 0的平方根是多少 負數有平方根嗎
師生活動：學生通過思考討論，對有理數的平方根有一個全面的認識，也是平方根概念的進一步深化，體驗分類思想，鞏固平方根概念.
師生共析，歸納得到:平方根的性質
(1)一個正數a的平方根有兩個，它們互為相反數.其中正的平方根也叫做a的算術平方根，用表示，讀作“根號a”，另一個負的平方根記為;
(2)的平方根是的算術平方根也是，即;
負數沒有平方根.
舉例：的平方根用表示，讀作“正負根號”
的算術平方根用表示，讀作“根號”
任務二：認識開平方
思考3：已知一個數，求它的平方的運算，叫做平方運算.反之，已知一個數的平方，求這個數的運算叫什么？
預設答案：開平方
師生活動：教師引導學生概念歸納： 求一個數的平方根的運算叫做開平方.
任務三：概括平方運算與開平方之間的關系
觀察以下圖片，你能發現什么？
預設答案：開平方是平方的逆運算
設計意圖：上圖表示了開平方是平方的逆運算，揭示了開平方運算的本質，同時讓學生體驗平方和開平方的互逆關系.
（三）應用舉例
例1：判斷下列各數是否有平方根，為什么
，
預設答案: 因為正數和零都有平方根，負數沒有平方根，所以， 都有平方根;沒有平方根.
例2：求下列各數的平方根和算術平方根:
(2) 81; (3) ; (4)
預設答案:
解：(1)因為 ,所以1的平方根是,即；1的算術平方根是1.
(2)因為,所以81的平方根是,即；81的算術平方根是9.
(3)因為 ,所以的平方根是,即；
的算術平方根是.
(4)因為 ，所以的平方根是，
即；的算術平方根是3.
師生活動：學生進行板演，寫出過程.
設計意圖：加深對符號意義的理解和對平方根概念的靈活應用
例3： 如果一個數的兩個平方根分別是與，那么這個數是多少？
預設答案:
解：∵一個數的兩個平方根互為相反數，
∴
解得：．
∴
∵=25，
∴這個數是．
設計意圖：強化對平方根性質的理解與運用.
（四）課堂練習
1.下列說法正確的是．( )
A. 的平方根是 B. 的平方根是
C. 的平方根是 D. 的平方根是
解：A.，的平方根是，故A錯誤；
B.的平方根是，故B錯誤；
C. 負數沒有平方根，故C錯誤；
D. ，的平方根是，故D正確．
故選D.
2.個自然數的算術平方根為，則和這個自然數相鄰的下一個自然數是( )
A. B. C. D.
解：一個自然數的算術平方根為，
這個自然數是．
和這個自然數相鄰的下一個自然數是．
故選B．
3.中，被開方數是非負數，即 ；
是非負數，即 ；
負數沒有算術平方根，即當 時，無意義．
解：(1) ；(2) ; (3)
4.已知和是一個正數的兩個不同的平方根，求的值和這個正數的平方根．
解：由題意，得，
解得；
所以，．
所以這個正數的平方根是．
5.已知，求的值．
解：由題意得，，，
解得，，，
則．
設計意圖：通過練習，使學生能準確認識到平方根、算術平方根的概念與性質，同時通過練習強化學生對于知識的靈活運用，提高學生分析問題解決問題的能力.
課堂總結
1.本節課你學到了什么？
2.平方根、算術平方根的定義、性質是什么，如何用符號來表示？
3.平方運算與開平方之間的關系是什么？
4.如何用平方運算求百以內整數的平方根？第六章 實數
6.1 平方根、立方根
平方根 第2課時
1.進一步理解平方根的定義、書寫、讀法．
2.能夠運用現代技術計算器將所給的數進行開方，讓學生學習知識的同時也能夠了解最先進的科學技術．
3.學生能夠運用所學的平方根知識，解決現實生活、科研中所遇到的問題.
4.通過本節課的學習，讓學生體會到學以致用，理論聯系實際的重要性，明確數學在現實生活中的重要性.
重點：利用計算器解決不能直接開方的數字問題.
難點：學會運用平方根相關知識解決實際生活中的問題.
創設情境
情境：
2020年11月24日，我國用長征五號遙五運載火箭成功發射探月工程嫦娥五號探測器，開啟我國首次地外天體采樣返回之旅.要使嫦娥五號探測器飛離地球，它的速度需大于v2，計算v2的公式為.（其中g取9.8m/，r取6.4×），上式中的v2如何計算呢？
回顧：
1.什么是平方根？
預設：一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根，也叫做二次方根.
2.什么是開平方？
預設：求一個數的平方根的運算叫做開平方.
師生活動：教師展示章頭問題的實例，引導學生觀察并思考解決方案；通過知識回顧自然地引入本節所要講述的內容.
設計意圖：通過實際情境引入，讓學生體會生活中的數學，并從生活實例把實際問題轉化為平方根的數學問題，進而引入本節課題，需要探究的知識.
（二）探究新知
任務一：用計算器求出一個數的平方根
思考：這些問題無法通過自行計算得出結果，故可借助計算器求出問題的答案.
求下列各式的值（精確到0.01）：
（1）； （2）； （3）； （4）
師生活動：引導學生回顧知識點，說一說自己所想到的求一個數的平方根的方法（不能直接開平方的）.
預設答案：
采用計算器進行計算.
設計意圖：引發學生思考，通過小組頭腦風暴活動，進而引出用計算器進行開平方運算.
任務二：本節情境導入的問題，即平方根的實際應用問題
思考：本節情境中提到的速度是第二宇宙速度，，（其中g取9.8m/，r取6.4×）.
師生活動：教師組織學生合作探究，小組合作，每小組同學進行討論，每小組挑選一名代表展示計算結果；教師可適當引導學生思考，待學生充分交流后，教師可選代表總結，教師補充.
分析：這些數據都不能直接被開平方，且比較大.
預設：我們可以借助計算器求得，
≈=11200（m/s）=11.2（km/s）.
思考：你會總結用計算器求平方根的步驟嗎？
預設答案：
1.借助計算器求一個數的平方根時，注意需要在計算器上依次輸入：√ 、需要求平方根的數字、=，再根據顯示結果依據所要求的精確度取近似值，最后寫出結果；
2.借助計算器解決求平方根的應用題時，需先依據題意列出對應的算式，化簡后，再利用計算器求出結果.
設計意圖：組織學生合作探究，重視知識的發生過程，讓學生掌握利用計算器的方法解決實際問題.加強動手能力，體會理論與實際相結合的思想.
（三）應用舉例
例1：用計算器求下列各式的值（精確到0.01）：
（1）； （2）； （3）； （4）
提示：這些數不能直接進行開方，要用計算器進行．
預設答案：解：（1）在計算器上依次輸入： 127 =，顯示結果是11.26942766958464，精確到0.01，得≈11.27；（2）≈0.80；（3）在計算器上依次輸入 = ，即可得≈0.07；（4）在計算器上依次輸入） = ，即可得≈ 0.58；
例2：如圖，跳水運動員要在空中下落的短暫過程中完成一系列高難度動作.如果不考慮空氣阻力等其他因素影響，彈跳到最高點后，人體下落到水面所需要的時間t與下落的高度 之間應遵循下面的公式：
=
其中 的單位是m，t的單位是s，g=9.8m/.假設跳板的高度是，運動員在跳板上起至高出跳板處開始下落，那么運動員下落到水面約需多長時間？
師生活動：教師嘗試讓學生小組討論該如何解決，并組內制定答案后后舉手發言.
提示：根據所給的公式，將題目中相關的數據代入即可，但是要用到計算器進行計算．
解：設運動員下落到水面約需ts，根據題意，得
=×9.8,
=
因而，運動員下落到水面約需

小結：
1.借助計算器求一個數的平方根時，注意需要在計算器上依次輸入：√ 、需要求平方根的數字、=，再根據顯示結果依據所要求的精確度取近似值，最后寫出結果；
2.借助計算器解決求平方根的應用題時，需先依據題意列出對應的算式，化簡后，再利用計算器求出結果.
設計意圖：通過學會使用計算器，從而讓學生能夠應對對所有數進行開方，層次漸進的二個例題，進一步鞏固利用計算器的方法解決實際問題的基本步驟，例1是利用教會學生如何使用計算器，例2用實際問題引入平方根再實際生活中的重大用處，二個例題層層遞進，也利于分階段達成本節的知識目標，并在解題過程中進一步滲透理論聯系實際的數學思想，培養了學生的動手能力.
（四）課堂練習
1.的平方根是( )
A. B. C. D.
答案：B
2.某數的平方根為和，則這個數是 .
答案：9
解析：由題意得： a+1+2a 7=0 ，
∴a=2 ，
∴a+1=3，
∴(a+1)2=9.
故答案為： 9.
3.周利用教材中的計算器依次按鍵如下：，則計算器顯示的結果與下列各數中最接近的一個是 ( )
A. B. C. D.
答案：B
4.填空找規律．
利用計算器分別求：
________，_______，_______，_______．
由的結果，我們發現所得的結果與被開方數間的規律是_____________________
運用中的規律，直接寫出結果：________，________
答案：解：
被開方數擴大倍算術平方根擴大倍

5.用計算器求下列各式的值保留到
．
答案
解： ；
；
；
．
設計意圖：通過練習，能恰當地應用計算器解決不能直接開方的數學問題，提高學生邏輯思維能力和解決實際問題的能力.
（五）課堂總結
1.本節課你學到了哪些知識？
2.使用計算器求不能直接開平方的數的步驟是什么？
3.怎么利用所學平方根的知識解決相關實際應用問題？
4.通過本節課的學習，你體會到了哪些數學思想？

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