資源簡介

第七章 冪的運算
7.1同底數冪的乘法
本節課《同底數冪的乘法》是蘇科版初中數學七年級下冊第七章第一節，具有承上啟下的重要作用．從知識體系上看，它是在學生學習了有理數乘方的基礎上進行的拓展，為后續學習冪的其他運算性質、整式乘法等奠定了堅實基礎．
本課教材通過創設實際問題情境，如中國空間站的運行等，引導學生從具體問題中抽象出數學模型，進而引入同底數冪乘法的概念．這種從實際到抽象的過渡，有助于學生更好地理解同底數冪乘法的現實意義，激發他們的學習興趣．在探索同底數冪乘法法則的過程中，學生需要將復雜的冪運算轉化為簡單的指數相加問題，這有助于培養學生的數學思維能力和解決問題的能力礎，不僅傳授了重要的數學知識，更注重了學生數學素養的全面提升．
學生在學習《同底數冪的乘法》時，已具備一定的知識基礎和學習能力．因為學生在七年級上冊已學習了有理數的乘方和整式的加減，掌握了用字母表示數的技能，會判斷同類項、合并同類項，對乘方運算有了初步認識，這為學習同底數冪的乘法提供了知識支撐．
1.從具體的運算中抽象出同底數冪的乘法運算性質及其符號表示，提高數學抽象能力.
2.掌握同底數冪的乘法運算性質，培養學生的數學運算核心素養.
3.會運用同底數冪的乘法運算性質進行有關計算，提高學生的運算能力.
4.經歷各式各樣的生活情境，體會數學與生活的緊密聯系，培養學生代數運算和解決實際問題的能力.學情分析
重點：掌握同底數冪的乘法運算性質，培養學生的數學運算核心素養.
難點：會運用同底數冪的乘法運算性質進行有關計算，提高學生的運算能力.
本章引入
你還記得嗎？an= .
幾個相同因數a的乘積可以簡寫為冪an的形式．本章將學習冪的運算，進一步簡化代數式的運算過程．
光在真空中的速度約是3×108 m/s，光在真空中穿行1年的距離稱為1光年．
請你算算:
1光年約是多少千米(1年以3×107 s計算)
中國科學家利用位于貴州省的500 m口徑球面射電望遠鏡(FAST)，發現了1個尺度大約為200萬光年的巨大原子氣體結構，這個原子氣體結構的尺度約為多少千米
距離太陽系最近的恒星是比鄰星，它距離地球約4.25光年，如果一個探測器以6.4×104km/h的平均速度飛往比鄰星，那么大約需要多少年
師生活動：教師帶領學生回顧冪的定義，通過章頭圖，與學生共同感受，幾個相同因數a的乘積可以簡寫為冪an的形式．本章將學習冪的運算，進一步簡化代數式的運算過程．乘方的意義、乘法運算律是研究冪的運算性質的基礎．利用冪的運算性質，可以把冪的運算轉化為指數的運算．冪的運算是整式運算的基礎，有助于簡潔地表達現實生活中的數量和數量關系．本章我們將學習冪的運算，培養學生數學運算的核心素養．
設計意圖：讓學生對本章有一個初步的感知，有利于激發學生的學習興趣，學生在頭腦中建立全章的思維導圖，形成體系．
情境導入
中國空間站的運行速度大約是7.68×103m/s，運行3h的路程大約是多少？
答：3h=3×60×60s=1.08×104s，
中國空間站運行3h的路程約為
7.68×103×1.08×104
=（7.68×1.08）×（103×104）
≈ 8.29×（103×104）（m）.
103×104
=（10×10×10）×（10×10×10×10）
= 107，
所以，中國空間站運行3h的路程約為8.29×107m．
師生活動：教師演示，學生傾聽，獨立思考．
設計意圖：通過情境創設，讓學生感悟數學來源于生活并應用于生活的辯證思想，鍛煉學生的獨立思考能力，為推導同底數冪的乘法法則埋下伏筆．
探究新知
活動一：探究同底數冪的乘法運算性質
問題1 計算：
（1）102×105 ； （2）10m 10n（m、n是正整數）.
答：（1）解：原式=（10×10）×（10×10×10×10×10）= =107.
解：原式=×==10m+n.
師：追問指數從特殊到一般、從具體到抽象，底數有變化嗎？
生：底數不變.
問題2 計算：
（1）23×24 ; （2）a3 a4.
答：（1）解：原式=（2×2×2）×（2×2×2×2）= = 27.
（2）解：原式=（a a a） （a a a a）= = a7.
活動二：同底數冪的乘法運算性質
問題3 從上面的計算中，你發現了什么？
師追問：說一說如何計算同底數冪的乘法？
答：同底數冪的乘法運算性質：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.
用符號表示為：am an=am+n（m、n是正整數）．
師生活動：第（1）題，教師演示，學生傾聽，第（2）題，學生模仿，類比完成，師生互動交流．
設計意圖：借助乘方的意義，獲得同底數冪的乘法法則，在此過程中培養學生的表達能力和總結能力，讓學生學會用數學思維思考，用數學的語言表達．
應用新知
例1 計算:(1)(－3) 4 × (－3) 3 ； (2) x · x7；
(3)a3m · a2m-1(m 是正整數)； (4)(m－n) · (m－n) .
變式1 計算:(1) 34 × (－3) 3； (2)(m－n) · (n－m) ．
變式2 設n是正整數，計算：2n+1 2n．　　
答：例1 (1)(－3) 4 ×(－3) 3 = (－3) 4+3 = (－3) 7= －37= －2187；
(2) x·x7 = x1+7 = x8；
(3)a3m · a2m-1 =a3m+2m-1 =a5m-1；
(4)(m－n) · (m－n) 2= (m－n) 3+2= (m－n) 5．
變式1 (1) 34 × (－3) 3 =34 × (－3 3) =－(34 ×3 3)=－34+3 =－37= －2187；
(m－n) · (n－m) 2=(m－n) · (m－n) 2 =(m－n) 3+2= (m－n) 5．　
師總結：運用同底數冪的乘法運算性質的前提條件: 底數相同或互為相反數的冪相乘.特別地，當底數為多項式時，也必須滿足這個條件.
變式2 2n+1 2n=2n×2 2n=2n×(2－1)=2n．
師總結：逆用同底數冪的乘法運算性質可以對代數式進行化簡計算.
師生活動：教師板演示范，學生模仿．
設計意圖：通過例題講解，及時練習鞏固所學，培養學以致用、積極思考的習慣，提升學生計算能力．讓學生理解運用同底數冪的乘法運算性質的前提：底數相同或互為相反數的冪相乘．特別地，當底數為多項式時，也必須滿足這個條件．
例2 我國的“神威 太湖之光”超級計算機全部采用中國國產處理器構件，是世界上首臺峰值計算速度超過 10 億億次/s的超級計算機.如果它的持續計算能力為 9.3 億億次/s，那么按這個速度運算1天能運算多少次？
解：24 h＝24×3.6×103 s，9.3億億次＝9.3×108×108次.
（9.3×108×108）×（24×3.6×103）
=（9.3×24×3.6）×（108×108×103）
= 803.52×1019
= 8.0352×1021（次）.
答：按這個速度運算1天能運算8.0352×1021次.
師生活動：教師板演示范，學生模仿．
設計意圖：這個環節不僅可以鞏固本課知識點，還可以發揮學生作為教學主體的主動性，讓學生感受數學來源于生活，服務于生活，生活是數學的寶庫，體驗到學習的樂趣和成功的喜悅．
探究 已知m、n、p是正整數，計算am·an·ap．
答：原式= = = am+n+p
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流討論，共同探究．
設計意圖：類比同底數冪的乘法公式，拓展延伸到三個或三個以上的同底數冪相乘．理解并識記同底數冪的乘法法則，培養學生的運算能力．
課堂練習
【教材習題】
1. 計算：
（1）a8·a3 ； （2）x5·x；
（3）1010×(－10)13； （4）－b6 b6；
（5）(－a)2 (－a) (－a)3； （6）()2 ×()5 ×(－)3.
2.下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正.
（1）x2 x2 =2x； （ ）
（2）x2 x4 =x8； （ ）
（3）a3 +a3 =a6； （ ）
（4）3m×32m =93m. （ ）
3. 計算：
（1）x3 x7 +x5 x5 ； （2）a2 a6 －a4 a4；
（3）(a－b)3 (b－a)4.
答：1.（1）a11 ； （2）x6 ；（3）－1023； （4）－b12 ； （5）a6； （6）－ .
2.（1）×，x4； （2）×，x6； （3）×，2a3； （4）×，33m.
3.（1）2x10； （2）0； （3）(a－b)7.
　　【限時訓練】
　　1.填空：
（1） 8=2x，則x= ； （2） 8×4=2x，則x= ；
（3） 3×27×9=3x，則x= ； （4）an-2 an+1=a11, 則n= ；
（5）x2·x（ ）=x2n+1.
2. 計算:
(1) (a+b)2 ·(a+b)5；
(2) (x－y)3 · (y－x)4 ·(x－y)2 ；
(3) x2·x5－2x·x2·x4.
3.設n是正整數，計算：4×5n－5n+1.
　答：1.（1）3； （2）5 ； （3）6； （4）6； （5）2n－1 .
2.（1）(a+b)7 ； （2）(x－y)9； （3）－x7 .
3.－5n.
師生活動：學生獨立完成，教師批閱.
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
尋找生活中同底數冪的例子，如細胞分裂、計算機存儲單位換算等，記錄下來并說明其符合同底數冪乘法的依據.
本課通過引入一個實際問題——“中國空間站的運行”來吸引學生的注意力。這種情境創設有助于學生理解數學知識在現實生活中的應用，激發他們的學習興趣，引導學生自主思考，讓學生自己發現問題與同底數冪乘法之間的聯系，以增強學生探究和解決問題的能力.
通過幾個簡單的同底數冪乘法的例子來引入新知識。學生對于指數運算的性質理解不夠深刻，通過對比不同底數的冪的乘法，幫助學生掌握同底數冪乘法的規律.鼓勵學生參與討論，自主推導出同底數冪的乘法運算性質，加深學生對知識的理解.
本課時選擇了一些典型的同底數冪乘法的例子，通過逐步分析和解答，幫助學生理解并掌握解題方法.學生在解題時容易忽略指數的變化，因此應該更多地讓學生自己嘗試解題，而不是僅僅依賴于老師的講解，從而提高學生的獨立解題能力.
通過思維導圖和快速回顧的方式，幫助學生鞏固本節課的知識點.注重學生的反饋，通過讓學生自己總結學到的內容，更好地檢測他們對知識的掌握情況，追尋數學本質，力爭全體學生正確理解同底數冪的性質的形成過程，并規范使用.

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