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第一章 整式的乘除
第二課時(shí) 冪的乘方
第一節(jié) 冪的乘除
數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)
1.了解冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，能用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言正確地表述該性質(zhì).
2.能熟練的運(yùn)用冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，并解決一些實(shí)際問(wèn)題.
3.經(jīng)歷探索冪的乘方的運(yùn)算法則的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)冪的運(yùn)算的意義及類比、歸納等方法的作用.
4.在合作探究的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生獲取成功的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，建立學(xué)習(xí)的自信心.
重點(diǎn)
難點(diǎn)
同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)是什么？
同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
(m，n都是正整數(shù)).
地球、木星、太陽(yáng)可以近似地看做是球體 .木星、太陽(yáng)的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？
木星
地球
太陽(yáng)
木星的半徑是地球的10倍，它的體積是地球的103倍！
太陽(yáng)的半徑是地球的102倍，它的體積是地球的(102)3倍！
你知道(102)3等于多少嗎？
球的體積公式是 ，其中V是體積，r是球的半徑.
102+2+2
問(wèn)題 如何計(jì)算(102)3呢？
106
冪的意義：3個(gè)102相乘
同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)
(102)3
102 102 102
(1) (62)4；
根據(jù)冪的意義及同底數(shù)冪的乘法，完成下式計(jì)算.
(62)4
62 62 62 62
62+2+2+2
68
冪的意義：4個(gè)62相乘
同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)
(62)4 68 62×4
做一做
(2) (a2)3；
根據(jù)冪的意義及同底數(shù)冪的乘法，完成下式計(jì)算.
(a2)3
a2 a2 a2
a2+2+2
a6
冪的意義：3個(gè)a2相乘
同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)
(a2)3 a6 a2×3
做一做
am am
(3) (am)2.
根據(jù)冪的意義及同底數(shù)冪的乘法，完成下式計(jì)算.
(am)2
am+m
a2m
冪的意義：2個(gè)am相乘
同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)
(am)2 a2m a2×m
做一做
通過(guò)上面的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么？
(am)2 a2m a2×m
(62)4 68 62×4
(a2)3 a6 a2×3
1.底數(shù)不變；
2.指數(shù)相加.
1.結(jié)果的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同；
2.結(jié)果的指數(shù)等于原來(lái)兩個(gè)指數(shù)的積.
想一想
你會(huì)計(jì)算(am)n 嗎
你發(fā)現(xiàn)了什么？
(am)n
n個(gè)am
n個(gè)m
1.底數(shù)不變；
2.指數(shù)相加.
1.結(jié)果的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同；
2.結(jié)果的指數(shù)等于原來(lái)兩個(gè)指數(shù)的積.
冪的意義
同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)
議一議
冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)：
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
歸納
(m，n都是正整數(shù)).
例1
計(jì)算：
(3) (an)3
(2) (b5)5
解： (1) (102)3
102 3
106.
(4) (x2)m
b5 5
b25.
an 3
a3n.
x2 m
x2m.
(m，n都是正整數(shù)).
例1
計(jì)算：
(6) 2(a2)6 -(a3)4
解： (5) (y2)3·y
y2 3·y
y6·y =y7.
=2a2×6 -a3×4
=2a12 -a12
=a12
(m，n都是正整數(shù)).
判斷下列計(jì)算是否正確：
(1) a3·a5 a15； (2) (a4)3 a7.
同底數(shù)冪的乘法
冪的乘方
a8
a12
相
同
點(diǎn)
不
同
點(diǎn)
符號(hào)表示
做一做
同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
例2 計(jì)算：
(1) [(a4)3]2； (2) [(a b)2]3； (3) (103)m n.
解：(1) [(a4)3]2
a4 3 2
a24
(2) [(a b)2]3
(a b)2 3
(a b)6
(3) (103)m n
103(m n)
(am)n amn中的底數(shù)a不僅可以代表數(shù)、單項(xiàng)式，還可以代表多項(xiàng)式等.
(am)n amn中的指數(shù)m，n也可以代表多項(xiàng)式.
例3 計(jì)算：
(1) (a4)3·a6 a18 ； (2) ( x3)2· ( x2)3 (x4)3.
解：(1) 原式 a4 3·a6 a18
a12·a6 a18
a18 a18
2a18
(2) 原式 x6·( x6) x12
x12 x12
2x12
( x3)·( x3)
( x2)·( x2)·( x2)
混合運(yùn)算順序：
冪的乘方→同底數(shù)冪的乘法→加減法
1.計(jì)算：
解： (1) (103)3
103 3
109.
(2) (a2)5=
a2 5
= a10
(3) (x3)4·x2
x3 4·x2
x12·x2=x14.
2.計(jì)算：
(1) (x2)n (xn)2
(2) x4·x5·( x7) (x8)2
解：(1)原式 x2n x2n
0
(2)原式 x16 x16
2x16
3.填空：
(1) 若(a3)x a15，則x .
(2)若ax 5，ay 6 ，則ax y ，a2x .
5
30
4.若10α 2，10β 3，求102α 3β的值.
解：102α 3β
102α·103β
(10α)2·(10β)3
22 33
108.
25
冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)：
冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法的區(qū)別：
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
(am)n=amn； am ·an=am+n
冪的乘方
指數(shù)相乘
指數(shù)相加
(m，n都是正整數(shù)).數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)
第一章 整式的乘除
1.1 冪的乘除
第2課時(shí) 冪的乘方
一、教學(xué)目標(biāo)
1.了解冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，能用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言正確地表述該性質(zhì).
2.能熟練的運(yùn)用冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，并解決一些實(shí)際問(wèn)題.
3.經(jīng)歷探索冪的乘方的運(yùn)算法則的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)冪的運(yùn)算的意義及類比、歸納等方法的作用.
4.在合作探究的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生獲取成功的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，建立學(xué)習(xí)的自信心.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：掌握冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì).
難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.
三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境
【復(fù)習(xí)回顧】
教師活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考回答.
問(wèn)題：同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)是什么？
預(yù)設(shè)：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
(am)n=amn（m,n都是正整數(shù)）
【情境導(dǎo)入】
問(wèn)題：地球、木星、太陽(yáng)可以近似地看做是球體 .木星、太陽(yáng)的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？
木星的半徑是地球的10倍，它的體積是地球的103倍！
太陽(yáng)的半徑是地球的102倍，它的體積是地球的(102)3倍！
想一想：你知道(102)3等于多少嗎？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)，為新課的探究學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，通過(guò)情境導(dǎo)入,提出新的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
環(huán)節(jié)二 探究新知
教師活動(dòng)：先利用冪的意義和同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，探究情境導(dǎo)入中的計(jì)算問(wèn)題，再讓學(xué)生自主進(jìn)行做一做的練習(xí)，通過(guò)探究、交流，歸納總結(jié)出冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì).
問(wèn)題 如何計(jì)算(102)3呢？
預(yù)設(shè)：根據(jù)冪的意義，可以看成是3個(gè)102相乘，再按照同底數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可.
(102)3＝102×102×102
=102+2+2
=106
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用冪的意義和同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，探究情境導(dǎo)入的計(jì)算問(wèn)題，為接下來(lái)的做一做指明思路.
【做一做】
根據(jù)冪的意義及同底數(shù)冪的乘法，完成下式計(jì)算.
(1) (62)4；
(62)4=62×62×62×62=62+2+2+2=68
(a2)3；
(a2)3=a2×a2×a2=a2+2+2 =a6
(3) (am)2.
(am)2=am×am=am+m=a2m
【想一想】通過(guò)上面的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么？
預(yù)設(shè)：①結(jié)果的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同；
②結(jié)果的指數(shù)等于原來(lái)兩個(gè)指數(shù)的積.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)特殊過(guò)渡到一般，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些算式的規(guī)律，并在發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中不斷鞏固冪的意義和同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì).
【議一議】
你會(huì)計(jì)算(am)n 嗎
預(yù)設(shè)：
(am)n
=(am·am·…·am)
n個(gè)am
n個(gè)m
=am+m+…+m
=amn
小結(jié)：我們同樣有，①結(jié)果的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同；
②結(jié)果的指數(shù)等于原來(lái)兩個(gè)指數(shù)的積.
設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生將上面發(fā)現(xiàn)的文字規(guī)律，學(xué)會(huì)用字母進(jìn)行表示和運(yùn)算.
【歸納】
冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)：
(am)n =amn(m，n都是正整數(shù))
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將上面發(fā)現(xiàn)的文字規(guī)律，學(xué)會(huì)用字母進(jìn)行表示和運(yùn)算.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【典型例題】
教師提出問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過(guò)程.
例1 計(jì)算.
分析：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
解：(1)（102）3= 102×3=106；
(2)（b5）5= b5×5=b25；
(3)（an）3= an×3=a3n；
(4)-(x2)m= -x2×m=-x2m；
(5) (y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7.
(6) 2(a2)6 -(a3)4=2a2×6- a3×4=2a12- a12=a12
設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步熟練冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力和應(yīng)用意識(shí).
【做一做】
判斷下列計(jì)算是否正確：
(1) a3·a5=a15； (2) (a4)3=a7.
預(yù)設(shè)：（1）（2）均錯(cuò)誤.
小結(jié)：冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法的區(qū)別：都是底數(shù)不變，一個(gè)是指數(shù)相乘，一個(gè)是指數(shù)相加.
例2 計(jì)算：
(1) [(a2)3]4； (2) [(ab)3]2； (3) (103)mn.
解：(1) [(a2)3]4a234a24
(2) [(ab)3]2(ab)32(ab)6
(3) (103)mn103(mn)
教師重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察第(2)問(wèn)的底數(shù)、第(3)問(wèn)的最外層的指數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生得出中的底數(shù)a、指數(shù)m，n不僅可以代表數(shù)、單項(xiàng)式，還可以代表多項(xiàng)式等.
例3 計(jì)算：
(1) (a4)3·a6a18 ；
(2) (x3)2· (x2)3(x4)3.
解：(1) 原式a43·a6a18
a12·a6a18
a18a18
2a18
(2) 原式x6·(x6)x12
x12x12
2x12
教師帶領(lǐng)學(xué)生觀察例3中兩個(gè)算式所包含的運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)的混合運(yùn)算的順序，類比得出式的混合運(yùn)算順序：先算冪的乘方，再算同底數(shù)冪的乘法，最后算加減法.再讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，計(jì)算時(shí)，教師提醒學(xué)生注意第(2)問(wèn)中 (x3)2、 (x2)3這兩個(gè)式子括號(hào)內(nèi)都帶有負(fù)號(hào)，分別表示2個(gè)x3相乘、3個(gè)x2相乘，但是結(jié)果的符號(hào)卻不相同.
設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生理解中的底數(shù)a指數(shù)m，n不僅可以代表數(shù)、單項(xiàng)式，還可以代表多項(xiàng)式等.
環(huán)節(jié)四 課堂練習(xí)
教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.
【隨堂練習(xí)】
1.計(jì)算：
(1)（103）3； （2）-(a2)5； (3)(x3)4· x2
解：(1) (103)3=103×3=109.
(2) -(a2)5=-a2×5=-a10
(3) (x3)4· x2=x3×4·x2=x12·x2=x14.
2.計(jì)算：
（1）(x2)n(xn)2
（2）x4·x5·(x7)(x8)2
解：（1）原式x2nx2n
0
（2）原式x16x16
2x16
3.填空：
（1）若(a3)xa15，則x .
（2）若ax5，ay6 ，則axy ，a2x .
答案：（1）5；（2）30，25.
4.若10α2，10β3，求102α3β的值.
解：102α3β
102α·103β
(10α)2·(10β)3
2233
108.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)的習(xí)慣.
環(huán)節(jié)五 總結(jié)歸納
思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容：
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)總結(jié)回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納、鞏固所學(xué)知識(shí).

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