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專題05 二次函數與一元二次方程、不等式（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】一元二次不等式的求解 7
【考點2】三個二次之間的關系 11
【考點3】一元二次不等式恒成立問題 13
【分層檢測】 18
【基礎篇】 18
【能力篇】 24
【培優篇】 27
考試要求：
1.會結合一元二次函數的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數，了解函數的零點與方程根的關系.
2.會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現實意義.
3.能借助一元二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.一元二次不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.
2.三個“二次”間的關系
判別式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函數 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實根x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實根 x1＝x2＝－ 沒有實數根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a4.分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
1.絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集為
(－a，a).
記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)時不要忘記當a＝0時的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件要結合其對應的函數圖象決定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數x恒成立 或
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
2．（2023·全國·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
3．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習）若關于的不等式的解集為，則的取值范圍是 ．
4．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，則的取值范圍是 .
三、解答題
5．（2021·全國·高考真題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．
（1）求數列的通項公式；
（2）求使成立的n的最小值．
6．（23-24高一上·河南信陽·階段練習）已知：，：.
(1)若是真命題，求對應的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍.
【考點1】一元二次不等式的求解
一、單選題
1．（2021·上海徐匯·一模）已知，條件：，條件：，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·四川樂山·一模）已知，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知關于的不等式的解集是，則（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
4．（2023·廣東深圳·模擬預測）下列命題中的真命題有（ ）
A．當時，的最小值是3
B．的最小值是2
C．當時，的最大值是5
D．若關于的不等式的解集為，則
三、填空題
5．（2021·四川綿陽·模擬預測）若函數在區間(－2，1)上恰有一個極值點，則實數a的取值范圍為
6．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知，關于x的不等式的解集為M，設，當a變化時，集合N中的元素個數最少時的集合N為 ．
反思提升：
含有參數的不等式的求解，往往需要比較(相應方程)根的大小，對參數進行分類討論.
(1)若二次項系數為常數，可先考慮分解因式，再對參數進行討論；若不易分解因式，則可對判別式進行分類討論.
(2)若二次項系數為參數，則應先考慮二次項系數是否為零，然后再討論二次項系數不為零的情形及判別式Δ的正負，以便確定解集的形式.
(3)其次對相應方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集.
【考點2】三個二次之間的關系
一、單選題
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·新疆·模擬預測）已知函數，滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
3．（20-21高一上·浙江臺州·期中）若非負實數滿足，則的最大值為 .
三、解答題
4．（2022·江蘇鹽城·模擬預測）設函數．
(1)若函數在上不單調，求a的取值范圍；
(2)對任意，都存在，使得成立，求a的取值范圍．
反思提升：
1.一元二次方程的根就是相應一元二次函數的零點，也是相應一元二次不等式解集的端點值.
2.給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應二次函數的開口方向及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數的關系求待定系數.
【考點3】一元二次不等式恒成立問題
一、單選題
1．（2023·江西九江·二模）已知命題：，，若p為假命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·上海楊浦·階段練習）已知正實數a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列幾種說法中正確的是（ ）
A．若，則的最小值是4
B．命題“，”的否定是“，”
C．若不等式的解集是，則的解集是
D．“”是“不等式對一切x都成立”的充要條件
4．（22-23高三上·山東棗莊·開學考試）下列說法正確的是（ ）
A．若不等式的解集為，則
B．若命題，，則的否定為
C．在中，“”是“”的充要條件
D．若對恒成立，則實數的取值范圍為
三、填空題
5．（2022·湖北武漢·三模）若，使成立，則實數的取值范圍是 ．
6．（2018·天津·高考真題）已知，函數若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是 ．
反思提升：
(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區間上恒成立.
(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數.
①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，則有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，則有a＜0，且Δ＜0.②對第二種情況，要充分結合函數圖象利用函數的最值求解(也可采用分離參數的方法).
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）設等比數列，，是方程的兩根，則的值是（ ）
A．或 B．2或 C． D．
2．（23-24高一上·重慶·期末）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·廣東·模擬預測）若集合，，且，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三上·江蘇·開學考試）已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
二、多選題
5．（2022·廣東佛山·一模）下列說法正確的是（ ）
A．命題：，的否定是：，；
B．，是的充要條件；
C．是的充分非必要條件；
D．是命題：，恒成立的充分非必要條件
6．（23-24高一上·內蒙古呼倫貝爾·期末）命題“”是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·江西·模擬預測）下列命題正確的是（ ）
A．
B．集合的真子集個數是4
C．不等式的解集是
D．的解集是或
三、填空題
8．（2021·河北石家莊·二模）若命題“，”為真命題，則實數m的取值范圍為 .
9．（22-23高一上·河北滄州·期中）若“”為假命題，則實數的取值范圍為 .
10．（22-23高三上·河北衡水·階段練習）若命題“”是假命題，則實數的最大值為 ．
四、解答題
11．（2022·山東濟南·二模）已知函數
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
12．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）已知函數，且.
(1)求a的值；
(2)當時，恒成立，求m的取值范圍.
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·黑龍江大慶·二模）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知函數（且），且，，，則下列結論正確的是（ ）
A．為R上的增函數 B．無極值
C． D．
三、填空題
3．（2023·廣西·模擬預測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是 ．
四、解答題
4．（2022·上海青浦·一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內.已知汽車以公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數，不同型號汽車值不同，且滿足.
(1)若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為升，欲使這種型號的汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍；
(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.
【培優篇】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）已知函數是定義域為R的函數，，對任意，，均有，已知a，b為關于x的方程的兩個解，則關于t的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2022·山東濟南·一模）平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現的.已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，其軌跡為一條連續的封閉曲線C.則下列結論正確的是（ ）
A．曲線C與y軸的交點為， B．曲線C關于x軸對稱
C．面積的最大值為2 D．的取值范圍是
三、填空題
3．（2020·江蘇南通·模擬預測）已知函數，記，若集合，且恒成立，則的取值范圍是
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【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】一元二次不等式的求解 7
【考點2】三個二次之間的關系 11
【考點3】一元二次不等式恒成立問題 13
【分層檢測】 18
【基礎篇】 18
【能力篇】 24
【培優篇】 27
考試要求：
1.會結合一元二次函數的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數，了解函數的零點與方程根的關系.
2.會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現實意義.
3.能借助一元二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.一元二次不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.
2.三個“二次”間的關系
判別式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函數 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實根x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實根 x1＝x2＝－ 沒有實數根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a4.分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
1.絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集為
(－a，a).
記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)時不要忘記當a＝0時的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件要結合其對應的函數圖象決定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數x恒成立 或
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
2．（2023·全國·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
3．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習）若關于的不等式的解集為，則的取值范圍是 ．
4．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，則的取值范圍是 .
三、解答題
5．（2021·全國·高考真題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．
（1）求數列的通項公式；
（2）求使成立的n的最小值．
6．（23-24高一上·河南信陽·階段練習）已知：，：.
(1)若是真命題，求對應的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍.
參考答案：
1．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故選：C．
2．
【分析】
原問題等價于恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數的單調性可得實數的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數的取值范圍.
【詳解】
由函數的解析式可得在區間上恒成立，
則，即在區間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結合題意可得實數的取值范圍是.
故答案為：.
3．
【分析】先根據一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據端點得到兩個等式和一個不等式，求出的取值范圍，最后都表示成的形式即可.
【詳解】因為不等式的解集為，
所以二次函數的對稱軸為直線，
且需滿足，即，解得，
所以，所以，
所以.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：一元二次不等式的解決關鍵是轉化為二次函數問題，求出對稱軸和端點的值，繼而用同一個變量來表示求解.
4．
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定義即可求解.
【詳解】由，得,解得，
所以.
因為，
所以或，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
5．(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式；
(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數列的性質可得：，則：，
設等差數列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數列的通項公式為：.
(2)由數列的通項公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數，故的最小值為.
【點睛】等差數列基本量的求解是等差數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數列的有關公式并能靈活運用.
6．(1)
(2)
【分析】（1）解絕對值不等式即可得出答案；
（2）由是的必要不充分條件，可得，解不等式即可得出答案.
【詳解】（1）∵：是真命題，∴，
∴，解得，
∴的取值范圍是.
（2）由（1）知：：，：即
因為是的必要不充分條件，所以，解得：.
綜上所述的取值范圍是.
【考點1】一元二次不等式的求解
一、單選題
1．（2021·上海徐匯·一模）已知，條件：，條件：，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·四川樂山·一模）已知，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知關于的不等式的解集是，則（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
4．（2023·廣東深圳·模擬預測）下列命題中的真命題有（ ）
A．當時，的最小值是3
B．的最小值是2
C．當時，的最大值是5
D．若關于的不等式的解集為，則
三、填空題
5．（2021·四川綿陽·模擬預測）若函數在區間(－2，1)上恰有一個極值點，則實數a的取值范圍為
6．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知，關于x的不等式的解集為M，設，當a變化時，集合N中的元素個數最少時的集合N為 ．
參考答案：
1．C
【解析】分別求兩個命題下的集合，再根據集合關系判斷選項.
【詳解】，則，
，則，因為，
所以是的充分必要條件.
故選：C
2．D
【分析】由題，分，兩種情況討論求解即可.
【詳解】解：當時，，
所以，即，解得，
當時，，
所以，即，解得，
所以，的取值范圍是
故選：D
3．ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韋達定理逐項判斷即可.
【詳解】由題意可知，1，3是方程的兩個根，且，，
A：由以上可知，故A正確；
B：當時，代入方程可得，故B正確；
C：因為，不等式的解集是，故將代入不等式左邊為，故C錯誤；
D：原不等式可變為，且，約分可得，解集為或，故D正確；
故選：ABD
4．AC
【分析】對于A、C：根據基本不等式分析判斷；對于B：根據對勾函數分析判斷；對于D：根據三個二次之間的關系分析判斷.
【詳解】對于選項A：因為，則，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，故選項A正確；
對于選項B：因為，
等號成立的條件是，所以等號不成立，不能使用基本不等式，
令，則在上單調遞增，所以時取得最小值，
故選項B錯誤；
對于選項C：因為，則
所以，
當且僅當，即時，等號成立，故選項C正確；
對于選項D：因為關于的不等式的解集為，
所以的根為2,3，
則，解得，
所以，故選項D錯誤.
故選：AC.
5．
【分析】轉化函數在區間(－2，1)上恰有一個極值點，為在區間(－2，1)上有唯一的變號零點，利用二次函數根的分布，轉化為，再驗證端點即得解
【詳解】由題意，
函數在區間(－2，1)上恰有一個極值點，即在區間(－2，1)上恰有一個變號零點
令，即在區間(－2，1)上有唯一的變號零點
根據二次函數根的分布可知：
，即
此時端點值是否成立不確定.
（1）當時，在區間(－2，1)上有唯一的變號零點，成立；
（2）當時，在區間(－2，1)上恒小于0，不成立；
綜上，實數a的取值范圍為
故答案為：
6．/
【分析】由基本不等式得到，得到不等式解集，要想集合N中的元素個數最少，則取最小值，得到答案.
【詳解】，令得，
其中，當且僅當，即時，等號成立，
其中，
則的解集為，
要想集合N中的元素個數最少，則取最小值，
此時解集為，此時.
故答案為：
反思提升：
含有參數的不等式的求解，往往需要比較(相應方程)根的大小，對參數進行分類討論.
(1)若二次項系數為常數，可先考慮分解因式，再對參數進行討論；若不易分解因式，則可對判別式進行分類討論.
(2)若二次項系數為參數，則應先考慮二次項系數是否為零，然后再討論二次項系數不為零的情形及判別式Δ的正負，以便確定解集的形式.
(3)其次對相應方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集.
【考點2】三個二次之間的關系
一、單選題
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·新疆·模擬預測）已知函數，滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
3．（20-21高一上·浙江臺州·期中）若非負實數滿足，則的最大值為 .
三、解答題
4．（2022·江蘇鹽城·模擬預測）設函數．
(1)若函數在上不單調，求a的取值范圍；
(2)對任意，都存在，使得成立，求a的取值范圍．
參考答案：
1．D
【分析】根據題意得出a、b、c的關系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【詳解】一元二次不等式的解為，
所以的解為，且，
由韋達定理得，代入得
，
故選：D.
2．C
【分析】由題設知關于對稱且開口向上，根據二次函數的對稱性有，求解集.
【詳解】依題意，有二次函數關于對稱且開口向上，
∴根據二次函數的對稱性：若，即有，
∴.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：由題設可得關于對稱且開口向上，根據對稱性求函數不等式的解集即可.
3．
【解析】令，結合題意，得到，根據關于的方程必須有解，利用，求得以，即可求解.
【詳解】令，
則，兩邊平方，可得， （1）
因為，
所以， （2）
由（1）（2）可得，
整理得，
因為關于的方程必須有解，所以，
解得，因為，所以，所以的最大值為16，
即的最大值為.
故答案為：.
【點睛】解答中把轉化為關于的方程必須有解，結合二次函數的性質求解是解答本題的關鍵.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由二次函數單調性知對稱軸在之間，則，解出即可.
（2）將題目轉化為對任意的實數關于y的方程有解，
∴，對任意恒成立，即轉化為，對任意恒成立，然后設二次函數，，對對稱軸分，和討論即可.
【詳解】（1）∵函數在上不單調，
∴，即，
所以實數a的取值范圍是；
（2）由已知，對任意的實數，
關于y的方程有解，
即對任意的實數關于y的方程有解，
∴，對任意恒成立，
即，對任意恒成立，
記，，
①當，即時，在上單調遞增，
則，解得或，故；
②當時，，解得，故；
③當，即時，在上單調遞減，
則，而，故，
綜上所述a的范圍是．
反思提升：
1.一元二次方程的根就是相應一元二次函數的零點，也是相應一元二次不等式解集的端點值.
2.給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應二次函數的開口方向及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數的關系求待定系數.
【考點3】一元二次不等式恒成立問題
一、單選題
1．（2023·江西九江·二模）已知命題：，，若p為假命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·上海楊浦·階段練習）已知正實數a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B．3 C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列幾種說法中正確的是（ ）
A．若，則的最小值是4
B．命題“，”的否定是“，”
C．若不等式的解集是，則的解集是
D．“”是“不等式對一切x都成立”的充要條件
4．（22-23高三上·山東棗莊·開學考試）下列說法正確的是（ ）
A．若不等式的解集為，則
B．若命題，，則的否定為
C．在中，“”是“”的充要條件
D．若對恒成立，則實數的取值范圍為
三、填空題
5．（2022·湖北武漢·三模）若，使成立，則實數的取值范圍是 ．
6．（2018·天津·高考真題）已知，函數若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是 ．
參考答案：
1．D
【分析】首先由為假命題，得出為真命題，即，恒成立，由，即可求出實數a的取值范圍．
【詳解】因為命題：，，
所以：，，
又因為為假命題，所以為真命題，
即，恒成立，
所以，即，
解得，
故選：D．
2．C
【分析】由題設條件有，令則有、，應用基本不等式求范圍且恒成立，進而求的范圍，即可得結果.
【詳解】由，則，且，
所以，
令，則，且，
所以，即，僅當時等號成立，
對于恒成立，僅當，即時等號成立，
綜上，若，則，
而，則，只需，
所以，僅當，即時等號成立，
綜上，，僅當，即時等號成立.
所以目標式最小值為.
故選：C
3．BCD
【分析】A：取進行分析；B：根據含一個量詞的命題的否定方法得到結果；C：先根據韋達定理求解出的值，然后可求的解集；D：分析不等式對一切x都成立時的取值范圍，然后作出判斷.
【詳解】對于A：當時，，但，故A錯誤；
對于B：修改量詞，否定結論可得命題的否定為：“，”，故B正確；
對于C：因為的解集是，所以，所以，
所以，解得，故C正確；
對于D：當時，恒成立，
當時，若不等式對一切x都成立，
則，解得，
綜上，時，不等式對一切x都成立，
所以“”是“不等式對一切x都成立”的充要條件，故D正確；
故選：BCD.
4．ABD
【分析】選項A，利用韋達定理，求得和的值，即可判斷；
選項B，根據全稱量詞命題的否定形式，即可判斷；
選項C，結合輔助角公式，可得，進而知或；
選項D，參變分離可得對恒成立，進而知，解得即可．
【詳解】解：選項A，由題意知，和2是方程的兩根，所以，
解得，，所以，即選項A正確；
選項B，根據全稱量詞命題的否定形式，可知的否定為，，即選項B正確；
選項C，由，知，
所以或，即或，所以選項C錯誤；
選項D，不等式可整理為，即對恒成立，
所以，即，解得，即選項D正確．
故選：ABD．
5．
【分析】利用不等式的基本性質分離參數，利用函數的單調性求相應最值即可得到結論.
【詳解】由可得，，
因為，所以，根據題意，即可，
設，易知在單調遞減，在單調遞增，
所以，
所以，
故答案為：
6．
【分析】由題意分類討論和兩種情況，結合恒成立的條件整理計算即可求得最終結果.
【詳解】分類討論：①當時，即：，
整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結合二次函數的性質可知：
當時，，則；
②當時，即：，整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結合二次函數的性質可知：
當或時，，則；
綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.
點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析．
反思提升：
(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區間上恒成立.
(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數.
①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，則有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，則有a＜0，且Δ＜0.②對第二種情況，要充分結合函數圖象利用函數的最值求解(也可采用分離參數的方法).
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）設等比數列，，是方程的兩根，則的值是（ ）
A．或 B．2或 C． D．
2．（23-24高一上·重慶·期末）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·廣東·模擬預測）若集合，，且，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三上·江蘇·開學考試）已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
二、多選題
5．（2022·廣東佛山·一模）下列說法正確的是（ ）
A．命題：，的否定是：，；
B．，是的充要條件；
C．是的充分非必要條件；
D．是命題：，恒成立的充分非必要條件
6．（23-24高一上·內蒙古呼倫貝爾·期末）命題“”是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·江西·模擬預測）下列命題正確的是（ ）
A．
B．集合的真子集個數是4
C．不等式的解集是
D．的解集是或
三、填空題
8．（2021·河北石家莊·二模）若命題“，”為真命題，則實數m的取值范圍為 .
9．（22-23高一上·河北滄州·期中）若“”為假命題，則實數的取值范圍為 .
10．（22-23高三上·河北衡水·階段練習）若命題“”是假命題，則實數的最大值為 ．
四、解答題
11．（2022·山東濟南·二模）已知函數
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
12．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）已知函數，且.
(1)求a的值；
(2)當時，恒成立，求m的取值范圍.
參考答案：
1．C
【分析】由根與系數的關系可得，，且，都是負數，再由等比數列得，且，從而得解.
【詳解】因為，是方程的兩根，
所以，，且，都是負數，
又因為為等比數列，所以，所以，
且，所以.
故選：C
2．A
【分析】首先化簡集合，然后求出交集即可.
【詳解】，
，
.
故選：A
3．C
【分析】化簡集合，然后分類討論結合即得.
【詳解】依題意，，
方程或.
當時，，此時，不合題意；
當時，，此時，不合題意；
當時，，此時，不合題意；
當時，，此時，適合題意；
綜上，.
故選：C.
4．C
【分析】根據不等式的解集求出的值和的取值范圍，在代入中利用對勾函數的單調性求出它的最小值.
【詳解】由的解集為，
則，且，是方程的兩根，
由根與系數的關系知，
解得，，當且僅當時等號成立，
故， 設，
函數在上單調遞增，
所以
所以的最小值為5.
故選：C
5．AC
【分析】依次判斷，根據命題的否定定義可知A的正誤，計算，可知B的正誤，計算可知C正誤，計算，恒成立的條件可知D的正誤，可得結果.
【詳解】對A，，的否定是，，A正確；
對B，或，
故，是的充分不必要條件，故B錯；
對C，或，所以是的充分非必要條件，故C正確；
對D，，恒成立的條件為
所以是命題：，恒成立的必要不充分條件
故選：AC
6．BCD
【分析】先將恒成立問題轉化為最值問題求出的范圍，然后利用充分不必要條件的概念選擇答案.
【詳解】，
則對都成立，
又，所以，
觀察選項可得命題“”是真命題的一個充分不必要條件是BCD.
故選：BCD.
7．AC
【分析】A. 利用集合相等判斷；B.根據集合的真子集定義判斷；C.利用一元二次不等式的解法判斷；D.利用分式不等式的解法判斷.
【詳解】A. ，故正確；
B.集合的真子集個數是3，故錯誤；
C.不等式的解集是，故正確；
D. 的解集是或，
故選：AC
8．
【分析】由題意可得不等式有解，然后通過判別式即可求出實數m的取值范圍.
【詳解】由題意可知，不等式有解，，即，
∴實數m的取值范圍為，
故答案為：.
9．
【分析】由“”為真命題，利用判別式法求解.
【詳解】解：由條件可知“”為真命題，
則，即.
故答案為：
10．
【分析】由命題的否定轉化為恒成立問題，利用二次函數的性質即可求解.
【詳解】由題知命題的否定“”是真命題．令，則 解得，故實數的最大值為
故答案為：
11．(1)3或-2
(2)
【分析】（1）結合分段函數解析式列方程，由此求得的值.
（2）首先判斷的取值范圍，然后解一元二次不等式求得的取值集合.
【詳解】（1）當時，，
解得或（舍去）；
當時，，
解得.
∴m的值為3或-2.
（2）對任意實數，，
，，
解得.
∴a的取值集合是.
12．(1)1
(2)
【分析】（1）根據，即可由對數運算代入求解.
（2）根據一元二次不等式與二次函數的性質即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以,
因為，所以，
則.
（2）由（1）可知，等價于.
令，則，
原不等式等價于在上恒成立，
則，解得，
故m的取值范圍為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·黑龍江大慶·二模）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知函數（且），且，，，則下列結論正確的是（ ）
A．為R上的增函數 B．無極值
C． D．
三、填空題
3．（2023·廣西·模擬預測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是 ．
四、解答題
4．（2022·上海青浦·一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內.已知汽車以公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數，不同型號汽車值不同，且滿足.
(1)若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為升，欲使這種型號的汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍；
(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.
參考答案：
1．A
【分析】結合對數函數定義域和分式不等式解法化簡集合A，B，由集合交集的定義求解即可．
【詳解】函數的定義域為，
不等式，可化為或，所以，
所以，，
所以．
故選：A．
2．ABC
【分析】先求導，分析函數的單調性和極值，再利用指數函數和對數函數的單調性比較a，b，c的大小，利用函數的單調性比較對應函數值的大小.
【詳解】解：已知函數（且），
則，則，
所以，故在R上單調遞增，A選項正確；
因為為R上的增函數，所以無極值，B選項正確；
因為是增函數，所以，
因為是減函數，所以，
因為是減函數，所以，
綜上可知，，又為增函數，則，C選項正確，D選項錯誤；
故選：ABC.
3．
【分析】通過參數分離等價轉化不等式，再求二次函數在給定區間的最值，即可求出a的取值范圍．
【詳解】由不等式對恒成立，
可轉化為對恒成立，即，
而，
當時，有最大值，所以，
故答案為：．
4．(1)；
(2)當時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升；
當時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升.
【分析】（1）根據題意，可知當時，求出的值，結合條件得出，再結合，即可得出車速的取值范圍；
（2）設該汽車行駛100千米的油耗為升，得出關于與的函數關系式，通過換元令，則，得出與的二次函數，再根據二次函數的圖象和性質求出的最小值，即可得出不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.
【詳解】（1）解：由題意可知，當時，，解得：，
由，即，解得：，
因為要求高速公路的車速（公里/小時）控制在范圍內，
即，所以，
故汽車每小時的油耗不超過9升，求車速的取值范圍.
（2）解：設該汽車行駛100千米的油耗為升，
則，
令，則，
所以，，
可得對稱軸為，由，可得，
當時，即時，
則當時，；
當，即時，
則當時，；
綜上所述，當時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升；
當時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升.
【培優篇】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）已知函數是定義域為R的函數，，對任意，，均有，已知a，b為關于x的方程的兩個解，則關于t的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2022·山東濟南·一模）平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現的.已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，其軌跡為一條連續的封閉曲線C.則下列結論正確的是（ ）
A．曲線C與y軸的交點為， B．曲線C關于x軸對稱
C．面積的最大值為2 D．的取值范圍是
三、填空題
3．（2020·江蘇南通·模擬預測）已知函數，記，若集合，且恒成立，則的取值范圍是
參考答案：
1．D
【分析】由題可得函數關于點對稱，函數在R上單調遞增，進而可得，利用函數的單調性即得.
【詳解】由，得且函數關于點對稱．
由對任意，，均有，
可知函數在上單調遞增．
又因為函數的定義域為R，
所以函數在R上單調遞增．
因為a，b為關于x的方程的兩個解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，則，
則由，得，
所以．
綜上，t 的取值范圍是.
故選：D．
2．ABD
【分析】根據給定條件，求出曲線C的方程，由判斷A；由曲線方程對稱性判斷B；取特值計算判斷C；求出的范圍計算判斷D作答.
【詳解】設點，依題意，，整理得：，
對于A，當時，解得 ，即曲線C與y軸的交點為，，A正確；
對于B，因，由換方程不變，曲線C關于x軸對稱，B正確；
對于C，當時，，即點在曲線C上，，C不正確；
對于D，由得：，解得，
于是得，解得，D正確.
故選：ABD
【點睛】結論點睛：曲線C的方程為，(1)如果，則曲線C關于y軸對稱；
(2)如果，則曲線C關于x軸對稱；(3)如果，則曲線C關于原點對稱.
3．
【分析】由、有、，由、有、，結合不等條件及可求得，而即可求的范圍
【詳解】由
且
∴，且，
又且有：，
∴，
故，而
∴
∴，有
，有
故
若令，則，解得
∴，即，而
即，所以
故答案為：
【點睛】本題考查了集合、二次函數與一元二次方程、不等式；根據集合的描述及其元素，結合二次函數對應一元二次方程的解的性質及根與系數關系，求得相關參數的表達式，應用已知不等式恒成立求目標式的范
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