資源簡介

專題09 冪函數與二次函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】冪函數的圖象和性質 4
【考點2】求二次函數的解析式 5
【考點3】二次函數的圖象與性質 6
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.了解冪函數的概念；結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖象，了解它們的變化情況；
2.理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.
1.冪函數
(1)冪函數的定義
一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.
(2)常見的五種冪函數的圖象
(3)冪函數的性質
①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
②當α>0時，冪函數的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調遞增；
③當α<0時，冪函數的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞減.
2.二次函數
(1)二次函數解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).
零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.
(2)二次函數的圖象和性質
函數 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
圖象 (拋物線)
定義域 R
值域
對稱軸 x＝－
頂點 坐標
奇偶性 當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數
單調性 在上是減函數； 在上是增函數 在上是增函數； 在上是減函數
1.二次函數的單調性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區間的范圍有關.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當時，恒有f(x)>0；當時，恒有f(x)<0.
3.(1)冪函數y＝xα中，α的取值影響冪函數的定義域、圖象及性質；
(2)冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限.
1．（2023·全國·高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全國·高考真題）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·高考真題）設，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津·高考真題）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時， ，則f(-8)的值是 .
三、解答題
6．（23-24高一下·上海·期中）已知冪函數為奇函數，且在區間上是嚴格減函數.
(1)求函數的表達式；
(2)對任意實數，不等式恒成立，求實數t的取值范圍.
【考點1】冪函數的圖象和性質
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預測）設命題，使是冪函數，且在上單調遞減；命題，則下列命題為真的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海黃浦·模擬預測）下列函數定義域為的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（20-21高三上·遼寧遼陽·期末）下列函數中是奇函數，且值域為的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·貴州·階段練習）現有4個冪函數的部分圖象如圖所示，則下列選項可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
三、填空題
5．（2024·北京延慶·一模）已知函數在區間上單調遞減，則的一個取值為 ．
6．（2022·全國·模擬預測）若冪函數的圖像關于y軸對稱，則實數 ．
反思提升：
(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式.
(2)在區間(0，1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸.
(3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵.
【考點2】求二次函數的解析式
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預測）設函數的定義域為，且，當時，，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知二次函數滿足對于任意的，，且.若，則的最大值與最小值之和是（ ）
A． B． C．4 D．
二、多選題
3．（2023·河北滄州·三模）已知二次函數滿足，；當時，.函數的定義域為，是奇函數，是偶函數，為自然對數的底數，則（ ）
A．函數的最小值為
B．
C．
D．函數的導函數的最小值為
4．（2023·全國·模擬預測）已知二次函數滿足對于任意的且．若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（21-22高二下·重慶沙坪壩·期末）已知函數（）的圖象關于軸對稱，且與直線相切，寫出滿足上述條件的一個函數 ．
反思提升：
求二次函數解析式的方法
【考點3】二次函數的圖象與性質
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數在區間上有最大值或最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·廣東韶關·模擬預測）已知方程和的解分別是和，則函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·湖南株洲·一模）已知是函數的零點，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河南信陽·模擬預測）若函數在上單調，則實數的值可以為（ ）
A． B． C． D．3
三、填空題
5．（23-24高三下·福建·開學考試）已知函數的值域為，則實數a的取值范圍為 ．
6．（23-24高三下·青海西寧·開學考試）已知函數在區間上單調遞減，則a的取值范圍為 ．
反思提升：
1.研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.
2.求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件.
3.閉區間上二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合圖象，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.
4不等式恒成立求參數范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數，直接借助于函數圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉化為求函數的最值問題.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2011·遼寧沈陽·一模）已知函數，若且，則它的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
2．（2023高三上·江蘇徐州·學業考試）已知冪函數在上單調遞減，則實數的值為（ ）
A． B． C．3 D．1
3．（2024·全國·模擬預測）若函數在上單調，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·模擬預測）已知集合，，則的子集的個數為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、多選題
5．（2021·遼寧·模擬預測）已知函數(即，)則（ ）
A．當時，是偶函數 B．在區間上是增函數
C．設最小值為，則 D．方程可能有2個解
6．（23-24高一上·浙江·期中）若實數，，滿足，則下列不等關系可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全國·模擬預測）下列函數中既是奇函數，又是定義域上的減函數的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2023·上海閔行·一模）已知二次函數的值域為，則函數的值域為 ．
9．（2023·廣東珠海·模擬預測）已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是 .
10．（2020·安徽蚌埠·三模）已知命題，使得，若命題p是假命題，則實數m的取值范圍是 .
四、解答題
11．（2023·山東·一模）已知二次函數滿足，頂點為.
(1)求函數的解析式；
(2)若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.
12．（21-22高一上·遼寧·階段練習）已知冪函數（）的定義域為，且在上單調遞增．
(1)求m的值；
(2)，不等式恒成立，求實數a的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·河南·模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數，則關于x的不等式的解集為 ．
四、解答題
4．（2022·黑龍江雞西·二模）已知冪函數在上為減函數.
(1)試求函數解析式；
(2)判斷函數的奇偶性并寫出其單調區間.
【培優篇】
一、單選題
1．（2023·陜西商洛·模擬預測）已知函數，，記函數，若函數恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·浙江·模擬預測）二次函數（a，b，c是常數，且）的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：
x … 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且當時，對應的函數值.下列說法不正確的有（ ）
A．
B．
C．關于x的方程一定有一正、一負兩個實數根，且負實數根在和0之間
D．和在該二次函數的圖象上，則當實數時，
三、填空題
3．（22-23高一下·福建福州·期中）已知函數，若存在，使得，則的取值范圍是 ．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題09 冪函數與二次函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 6
【考點1】冪函數的圖象和性質 6
【考點2】求二次函數的解析式 9
【考點3】二次函數的圖象與性質 13
【分層檢測】 18
【基礎篇】 18
【能力篇】 25
【培優篇】 27
考試要求：
1.了解冪函數的概念；結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖象，了解它們的變化情況；
2.理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.
1.冪函數
(1)冪函數的定義
一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.
(2)常見的五種冪函數的圖象
(3)冪函數的性質
①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
②當α>0時，冪函數的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調遞增；
③當α<0時，冪函數的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞減.
2.二次函數
(1)二次函數解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).
零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.
(2)二次函數的圖象和性質
函數 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
圖象 (拋物線)
定義域 R
值域
對稱軸 x＝－
頂點 坐標
奇偶性 當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數
單調性 在上是減函數； 在上是增函數 在上是增函數； 在上是減函數
1.二次函數的單調性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區間的范圍有關.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當時，恒有f(x)>0；當時，恒有f(x)<0.
3.(1)冪函數y＝xα中，α的取值影響冪函數的定義域、圖象及性質；
(2)冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限.
1．（2023·全國·高考真題）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全國·高考真題）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·高考真題）設，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津·高考真題）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時， ，則f(-8)的值是 .
三、解答題
6．（23-24高一下·上海·期中）已知冪函數為奇函數，且在區間上是嚴格減函數.
(1)求函數的表達式；
(2)對任意實數，不等式恒成立，求實數t的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．C
【分析】設，由，根據兩點間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可．
【詳解】設，由，因為 ，，所以
，
因為，當，即 時，，即 ，符合題意，由可得，即 ；
當，即時， ，即，化簡得， ，顯然該不等式不成立．
故選：C．
【點睛】本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數求指定區間上的最值，要根據定義域討論函數的單調性從而確定最值．
3．D
【分析】根據對應冪、指數函數的單調性判斷大小關系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
4．C
【分析】利用冪函數、對數函數的單調性結合中間值法可得出、、的大小關系.
【詳解】因為，故.
故答案為：C.
5．
【分析】先求，再根據奇函數求
【詳解】，因為為奇函數，所以
故答案為：
【點睛】本題考查根據奇函數性質求函數值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
6．(1)
(2)．
【分析】（1）根據在區間上是嚴格減函數可得，解不等式可得整數的值，檢驗是否符合奇函數即可；
（2）對任意實數，不等式恒成立，而在上為減函數，由此可得解．
【詳解】（1）依題意為奇函數，在區間上是嚴格減函數，
可得，解得，
由于,故，1，2，
當和時，，此時為奇函數，符合要求，
當時，，此時為偶函數，不符合要求，
；
（2）不等式，即，
又在上是減函數，在上為增函數，則在上為減函數，
所以，則，
所以實數的取值范圍為．
【考點1】冪函數的圖象和性質
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預測）設命題，使是冪函數，且在上單調遞減；命題，則下列命題為真的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海黃浦·模擬預測）下列函數定義域為的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（20-21高三上·遼寧遼陽·期末）下列函數中是奇函數，且值域為的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·貴州·階段練習）現有4個冪函數的部分圖象如圖所示，則下列選項可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
三、填空題
5．（2024·北京延慶·一模）已知函數在區間上單調遞減，則的一個取值為 ．
6．（2022·全國·模擬預測）若冪函數的圖像關于y軸對稱，則實數 ．
參考答案：
1．A
【分析】根據特稱命題與全稱命題判斷命題的真假，從而可得“或”、“且”、“非”命題的真假得結論.
【詳解】對于命題，當時，函數，是冪函數，且在上單調遞減，故命題為真命題；
對于命題，當時，，不滿足，故命題為假命題．
所以“”為真命題，“”為假命題，“”為假命題，“”為假命題．
故選：A．
2．C
【分析】根據反比例函數、對數函數、冪函數、正切函數的定義域逐一判斷即可得解.
【詳解】解：對于A，函數的定義域為，
對于B，函數的定義域為，
對于C，函數的定義域為，
對于D，函數的定義域為.
故選：C.
3．AC
【分析】根據奇函數的定義判斷四個函數的奇偶性，并求出值域可得答案.
【詳解】對于A，因為，所以是奇函數，且值域為，故A正確；
對于B，因為，所以為奇函數，但值域為，故B不正確；
對于C，因為，所以為奇函數，且且值域為，故C正確；
對于D，因為，所以為奇函數，但是值域為．故D不正確.
故選：AC
4．AB
【分析】
根據冪函數的圖象和性質結合已知圖象分析判斷即可.
【詳解】對于冪函數，若函數在上單調遞增，則，若函數在上單調遞減，則，所以，D選項錯誤；
當時，若的圖象在的上方，則，若的圖象在的下方，則，
所以，C選項錯誤；
因為當時，指數越大，圖象越高，所以，
綜上，，AB選項正確.
故選：AB
5．（不唯一）
【分析】根據冪函數的單調性奇偶性即可得解.
【詳解】因為在上單調遞增，又在區間上單調遞減，
所以可以為偶函數，不妨取，
此時，函數定義域為，
且，故為偶函數，
滿足在區間上單調遞減.
故答案為：（不唯一）
6．
【分析】根據冪函數的概念和性質計算即可
【詳解】由冪函數可得，解得或，
又因為函數圖像關于y軸對稱，則a為偶數，所以．
故答案為：
反思提升：
(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式.
(2)在區間(0，1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸.
(3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵.
【考點2】求二次函數的解析式
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預測）設函數的定義域為，且，當時，，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知二次函數滿足對于任意的，，且.若，則的最大值與最小值之和是（ ）
A． B． C．4 D．
二、多選題
3．（2023·河北滄州·三模）已知二次函數滿足，；當時，.函數的定義域為，是奇函數，是偶函數，為自然對數的底數，則（ ）
A．函數的最小值為
B．
C．
D．函數的導函數的最小值為
4．（2023·全國·模擬預測）已知二次函數滿足對于任意的且．若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（21-22高二下·重慶沙坪壩·期末）已知函數（）的圖象關于軸對稱，且與直線相切，寫出滿足上述條件的一個函數 ．
參考答案：
1．D
【分析】根據題意，通過賦值法求得，即可聯立方程解出.
【詳解】由題意可得①；②．
令，由①得：，
令，由②得，因為，
所以，即.
令，由①得，
解得，所以．
故選：D．
2．C
【分析】設，根據題意求得，由得到，設，，即，，利用三角函數的性質求最大值最小值即可.
【詳解】設，
因為，令，得，故，所以，
令，得，故，即，
又，即，故，，所以，
由，得，設，，即，，
則
，
所以的最大值與最小值之和為，
故選：C
3．ACD
【分析】設，根據已知條件求出、、的值，可得出函數的解析式，利用二次函數的基本性質可判斷A選項；利用函數奇偶性的定義可得出關于、的等式組，求出的解析式，求出的值，可判斷B選項；利用函數的最值與導數的關系可判斷C選項；利用基本不等式求出的最小值，可判斷D選項.
【詳解】設，
由知函數的圖象關于直線對稱，
即，解得.
因為，由題意可得，
當時，，則，
所以，故，即，
所以.
又恒成立，即恒成立，
于是，整理可得，解得，
所以，，則，
因此，函數的最小值為，A正確；
因為函數為奇函數，則，①
又因為函數為偶函數，則，②
聯立①②可得，于是，，B錯誤；
于是，，即在上單調遞增.
注意到，從而，C正確；
由基本不等式可得，當且僅當時，
即當時，等號成立，故函數的最小值為，D正確，
故選：ACD.
4．BD
【分析】設，根據題意，求得，由，得到，設，得到，結合三角函數的性質，逐項計算，即可求解.
【詳解】設二次函數，
因為，令，可得，故，所以，
令，得，故，即；
又因為，即，解得，所以，
由，可得，
設，即，
從而，故A錯誤，B正確；
又由
，所以C錯誤、D正確．
故選：BD．
5．（答案不唯一）
【分析】由已知得到函數的對稱軸方程，從而得到，由與聯立方程消去整理成的一元二次方程，由得到的關系，分別取值寫出函數即可.
【詳解】已知，
∵的圖象關于y軸對稱，
∴對稱軸，∴，
∴，
聯立，整理得，即，
∵的圖象與直線相切，
∴，∴，
當時， .
∴滿足條件的二次函數可以為．
故答案為： .
反思提升：
求二次函數解析式的方法
【考點3】二次函數的圖象與性質
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數在區間上有最大值或最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·廣東韶關·模擬預測）已知方程和的解分別是和，則函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·湖南株洲·一模）已知是函數的零點，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河南信陽·模擬預測）若函數在上單調，則實數的值可以為（ ）
A． B． C． D．3
三、填空題
5．（23-24高三下·福建·開學考試）已知函數的值域為，則實數a的取值范圍為 ．
6．（23-24高三下·青海西寧·開學考試）已知函數在區間上單調遞減，則a的取值范圍為 ．
參考答案：
1．B
【分析】根據開口向上，故需在區間上有最小值，且，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】要使函數在區間上有最大值或最小值，
由于開口向上，
故需函數在區間上有最小值，且．
該函數圖像的對稱軸為直線，所以，
解得，
所以，且，即實數的取值范圍為．
故選：B．
2．A
【分析】根據給定條件，利用互為反函數的函數圖象特征求出即可作答.
【詳解】方程和依次化為：和，
因此和分別是直線與曲線和的交點橫坐標，
而函數和互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，
又直線垂直于直線，因此直線與曲線和的交點關于直線對稱，
于是，函數，
所以函數的單調遞減區間是.
故選：A
3．ABC
【分析】設，由可得，再根據選項依次判斷正誤即可.
【詳解】設，
，，，
即，
所以要使為系數都是整數的整式方程的根，則方程必須包含因式.
由中的最高次數為4，是它的一個零點，
因此，
即.
對選項，，是正確的；
對選項，，是正確的；
對選項，，是正確的；
對選項，，當時，最小值為，當時，無最小值，因此選項是錯誤的.
故選：.
【點睛】關鍵點睛：本題解題關鍵在于將含有無理數的平方根式通過兩次平方化成有理數，得到含有無理數解的有理數整式方程，從而得解.
4．BD
【分析】分別討論和兩種情況，結合二次函數的圖像分析，即可得到答案.
【詳解】①當，即時，，所以的對稱軸為，則的圖象如下：
結合圖象可知，要使函數在上單調，則或，解得：或，即或；
②當，即或，令，則的對稱軸為，則的圖象如下：
結合圖象可知，要使函數在上單調，
則，或，或，或
解得：，或，
綜上：或；
故選：BD
5．
【分析】
利用分段函數的值域是各段值域的并集，結合二次函數的單調性列不等式求解即可.
【詳解】當時，
若，可得；
若，，函數的值域不可能為；
②當時，，
所以函數在 ，上單調遞增，
若函數的值域為，只需，可得．
由上知，實數a的取值范圍為．
故答案為：
6．
【分析】將可看作由復合而成，根據復合函數的單調性，列出不等式，即可求得答案.
【詳解】設，則可看作由復合而成，
由于在上單調遞增，
故要使得函數在區間上單調遞減，
需滿足在區間上恒成立，且在區間上單調遞減，
故，解得，
故a的取值范圍為，
故答案為：
反思提升：
1.研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.
2.求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件.
3.閉區間上二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合圖象，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.
4不等式恒成立求參數范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數，直接借助于函數圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉化為求函數的最值問題.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2011·遼寧沈陽·一模）已知函數，若且，則它的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
2．（2023高三上·江蘇徐州·學業考試）已知冪函數在上單調遞減，則實數的值為（ ）
A． B． C．3 D．1
3．（2024·全國·模擬預測）若函數在上單調，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·模擬預測）已知集合，，則的子集的個數為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、多選題
5．（2021·遼寧·模擬預測）已知函數(即，)則（ ）
A．當時，是偶函數 B．在區間上是增函數
C．設最小值為，則 D．方程可能有2個解
6．（23-24高一上·浙江·期中）若實數，，滿足，則下列不等關系可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全國·模擬預測）下列函數中既是奇函數，又是定義域上的減函數的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2023·上海閔行·一模）已知二次函數的值域為，則函數的值域為 ．
9．（2023·廣東珠海·模擬預測）已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是 .
10．（2020·安徽蚌埠·三模）已知命題，使得，若命題p是假命題，則實數m的取值范圍是 .
四、解答題
11．（2023·山東·一模）已知二次函數滿足，頂點為.
(1)求函數的解析式；
(2)若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.
12．（21-22高一上·遼寧·階段練習）已知冪函數（）的定義域為，且在上單調遞增．
(1)求m的值；
(2)，不等式恒成立，求實數a的取值范圍．
參考答案：
1．D
【分析】根據條件確定，從而拋物線開口向上，，通過排除法得出選項.
【詳解】由且，得，
所以函數是二次函數，圖象開口向上，排除A，C；
又，所以排除B；只有D符合.
故選：D.
2．A
【分析】根據冪函數的定義，求得或，結合冪函數的單調性，即可求解.
【詳解】由函數為冪函數，可得，
即，解得或，
當時，函數在上單調遞減，符合題意；
當時，函數在上單調遞增，不符合題意.
故選：A.
3．C
【分析】由題意，根據二次函數的圖象與性質建立不等式組，解之即可求解.
【詳解】令，
則或或或
解得或，
即實數m得取值范圍為.
故選：C．
4．B
【分析】化簡集合，求，再確定其子集個數.
【詳解】因為，，
所以，
所以有2個子集．
故選：B．
5．ABD
【分析】結合奇偶函數的定義和二次函數的性質逐一判斷選項即可.
【詳解】：當時，，即，
所以，所以是偶函數，故正確；
：當時，，的對稱軸為，開口向上，
此時在上是增函數，
當時，，的對稱軸為，開口向上，
此時在上是增函數，
綜上，在上是增函數，故正確；
：當時，，
當時，，
因為不能確定的大小，所以最小值無法判斷，故錯誤；
：令，
當時，，有2個解，故正確.
故選：ABD
6．ABC
【分析】將條件轉化為，在同一平面直角坐標系中作出函數，，的函數圖象，判斷他們與有交點時橫坐標的大小情況.
【詳解】實數，，滿足，
∴，，
如圖在同一平面直角坐標系中作出函數，，的函數圖象，再作直線，
變換的值發現，，，的大小關系可能為，，，，，，，故、、正確，錯誤．
故選：．
7．AD
【分析】由解析式直接判斷函數的奇偶性與單調性即可得解.
【詳解】對于A，是奇函數，在其定義域上單調遞減，故A正確；
對于B，是在其定義域上單調遞增的指數函數，故B錯誤；
對于C，，故在其定義域上不單調遞減，故C錯誤；
對于D，是奇函數，在其定義域上單調遞減，故D錯誤.
故選：AD.
8．
【分析】由二次函數的值域為，分析求出參數，然后代入中求出值域即可
【詳解】由二次函數的值域為得：
解得：或（舍去）
所以
因為
所以函數的值域為：
故答案為：.
9．
【分析】利用二次函數的單調性可得出關于實數的不等式，解之即可.
【詳解】二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，
因為函數在區間上是增函數，則，解得.
因此，實數的取值范圍是.
故答案為：.
10．
【分析】將問題轉化為對，恒成立，進一步轉化為不等式右邊的最大值，再構造函數，利用二次函數可求得最大值，從而可得結果.
【詳解】因為命題p是假命題，所以非：對，恒成立為真命題，
設，則，
因為，且，
所以當時，取得最大值，
所以.
故答案為：
【點睛】本題考查了命題的真假，考查了不等式恒成立問題，考查了二次函數求最大值，考查了同角公式，屬于基礎題.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由二次函數頂點為可設，由即可求出a，則求出的解析式.
（2）根據二次函數的開口和對稱軸即可求得實數的取值范圍.
【詳解】（1）設，
則由得：，
，
.
（2）由（1）知，開口向上，對稱軸為，
則若函數在區間上單調遞增，
需滿足，
，
∴實數a的取值范圍為.
12．(1)或
(2)
【分析】（1）根據冪函數的性質求解即可.
（2）首先根據題意轉化為，恒成立．再利用換元法求解即可.
【詳解】（1）或，
又因為函數在上單調遞增，
，（舍），
，.
（2），恒成立，
，恒成立．
令，，
則在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
，
故．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·河南·模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數，則關于x的不等式的解集為 ．
四、解答題
4．（2022·黑龍江雞西·二模）已知冪函數在上為減函數.
(1)試求函數解析式；
(2)判斷函數的奇偶性并寫出其單調區間.
參考答案：
1．D
【分析】令，，結合基本不等式可得，化簡可得，轉化為求關于的二次函數在區間上的最小值即可.
【詳解】不妨設，，則，，
所以，當且僅當時取等號，
即，當且僅當時取等號，
所以
，（）
所以當時，取得最小值，
故選：D．
2．AC
【分析】根據對數函數的單調性可判斷A；根據余弦函數的單調性可判斷B；根據冪函數的單調性可判斷C；根據指數函數的單調性可判斷D.
【詳解】對于A，由，得，又單調遞增，
所以，故A正確；
對于B，由于在上不單調，所以與的大小關系無法確定，故B錯誤；
對于C，由，得，又單調遞增，所以，故C正確；
對于D，由，得，又單調遞增，所以，故D錯誤．
故選：AC．
3．
【分析】分析函數的性質，借助函數單調性和代入求解不等式作答.
【詳解】當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，是增函數，且，
因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，而，
則當，即時，恒有成立，則，
當時，，不等式化為，解得，則，
所以不等式的解集為.
故答案為：
4．(1)
(2)奇函數，其單調減區間為，
【分析】（1）根據冪函數的定義，令，求解即可；
（2）根據冪函數的性質判斷函數的單調性，繼而可得其單調區間.
【詳解】（1）由題意得，，解得或，
經檢驗當時，函數在區間上無意義，
所以，則.
（2），要使函數有意義，則，
即定義域為，其關于原點對稱.
，
該冪函數為奇函數.
當時，根據冪函數的性質可知在上為減函數，
函數是奇函數，在上也為減函數，
故其單調減區間為，.
【培優篇】
一、單選題
1．（2023·陜西商洛·模擬預測）已知函數，，記函數，若函數恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·浙江·模擬預測）二次函數（a，b，c是常數，且）的自變量x與函數值y的部分對應值如下表：
x … 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且當時，對應的函數值.下列說法不正確的有（ ）
A．
B．
C．關于x的方程一定有一正、一負兩個實數根，且負實數根在和0之間
D．和在該二次函數的圖象上，則當實數時，
三、填空題
3．（22-23高一下·福建福州·期中）已知函數，若存在，使得，則的取值范圍是 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據已知條件畫出函數圖像，得到與的交點的橫坐標一個在上，另一個在上，轉化為研究，的最值問題，利用導數研究即可解決.
【詳解】由的解析式，可知在上單調遞增，
且值域為，在上單調遞增，且值域為，
函數的圖像如圖所示，
所以在的值域上，任意函數值都有兩個值與之對應，
在值域上，任意函數值都有一個值與之對應.
要使恰有三個不同的零點，
則與的交點的橫坐標一個在上，另一個在上，
由的圖像開口向上且對稱軸為，易知，
此時，且，
結合的圖像及，得，
則，
所以，且，
令，，則.
當時，單調遞增；當時，單調遞減.
所以，故的最大值為.
【點睛】思路點睛：本題考查函數與導數的綜合問題.復合函數要層層分析，通過圖像加以輔助，多變量問題要尋找變量之間的關系，實現消元，從而解答.
2．BCD
【分析】
先根據二次函數圖象上的點求得，再由當時，對應的函數值求得，從而求得，判斷A，求出后求解范圍判斷B，根據拋物線的對稱性及函數過點得函數零點范圍即可判斷C，由列不等式求解判斷D.
【詳解】將代入得，解得，
所以二次函數，當時，對應的函數值，
所以，解得，所以，
所以，所以，故A錯誤；
當時，，當時，，
所以，因為，所以，故B正確；
因為二次函數過，所以其對稱軸為，
又當時，對應的函數值，
根據二次函數的對稱性知，當時，對應的函數值，
而當時，，所以二次函數與x軸負半軸的交點橫坐標在和0之間，
所以關于x的方程一定有一正、一負兩個實數根，且負實數根在和0之間，故C正確；
因為和在該二次函數的圖象上，
所以，，
若，則，
因為，所以，解得，故D正確.
故選：BCD
3．
【分析】由分段函數解析式，可分、、三種情況分別寫出與，結合，可得關于的表達式，再由函數的單調性求解的取值范圍．
【詳解】當時，則，
可得，即，求得，
則，
函數在上遞增，；
當時，，
，可知不存在，使得；
當時，則，
由，得，
令，，則，
，，
，則，即，
函數在上單調遞增，可得，
即．
綜上所述，的取值范圍是．
故答案為：．
【點睛】
關鍵點睛：本題的關鍵通過分、以及進行討論，通過構造函數利用其單調性得到范圍.
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