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專題08 奇偶性、對(duì)稱性與周期性（新高考專用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 3
【考點(diǎn)突破】 12
【考點(diǎn)1】函數(shù)的奇偶性 12
【考點(diǎn)2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用 16
【考點(diǎn)3】函數(shù)的對(duì)稱性 22
【考點(diǎn)4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 28
【分層檢測(cè)】 33
【基礎(chǔ)篇】 33
【能力篇】 40
【培優(yōu)篇】 42
考試要求：
1.理解函數(shù)奇偶性的含義.
2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.
3.會(huì)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題.
1.函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸對(duì)稱
奇函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).
2.對(duì)稱性的四個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱.
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱；特別地，當(dāng)a＝b時(shí)，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱.
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)
8．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
10．（2021·全國(guó)·高考真題）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù) ．
①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．
11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則 .
【考點(diǎn)1】函數(shù)的奇偶性
一、單選題
1．（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，，都有，則（ ）
A．是奇函數(shù) B．
C．的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．
三、填空題
5．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為 .
6．（2024·廣東佛山·二模）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍為 .
反思提升：
1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：
(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.
2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.
3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問(wèn)題.
【考點(diǎn)2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（21-22高三上·四川攀枝花·階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的值域?yàn)?br/>B．圖象的對(duì)稱軸為直線
C．當(dāng)時(shí)，
D．方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解
二、多選題
3．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，則（ ）
A．為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C． D．
4．（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)的周期為2
D．
三、填空題
5．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則 ．
6．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則 ．
反思提升：
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.
2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題.
【考點(diǎn)3】函數(shù)的對(duì)稱性
一、單選題
1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（ ）
A．0 B．50 C．2509 D．2499
2．（22-23高三上·遼寧營(yíng)口·期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2020·山東淄博·一模）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意，都有成立，當(dāng)時(shí)，，給出下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．
B．點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則是的極值點(diǎn)
B．，使得
C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形
三、填空題
5．（23-24高三下·河南濮陽(yáng)·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若，則 .
6．（2024·寧夏固原·一模）已知定義在R上的函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，成立，若，則 ．
反思提升：
對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱.
(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
【考點(diǎn)4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·遼寧撫順·一模）函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥洠瑒t（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·河南開封·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t（ ）
A． B．
C．是周期函數(shù) D．的解析式可能為
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（ ）
A． B．恒成立
C． D．滿足條件的不止一個(gè)
三、填空題
5．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)滿足，.則 .
6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程的所有解的和為 .
反思提升：
1.比較函數(shù)值的大小問(wèn)題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；
2.對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1x2)求解.
3.周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.
4.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·廣東茂名·一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（ ）
A． B． C．0 D．2
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，則（ ）
A．2024 B． C．e D．
二、多選題
5．（2021·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域?yàn)椋遗c都為奇函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)
C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)
6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．的值域?yàn)?br/>C．是偶函數(shù) D．，
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（ ）
A．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象
B．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象
C．的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
三、填空題
8．（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期中）已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則 ， ．
9．（2024·陜西西安·二模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則 .
10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，若，則 .
四、解答題
11．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)在處取得極大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
12．（2020·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，且對(duì)任意滿足．
（1）求的值；
（2）判斷的單調(diào)性，并加以說(shuō)明；
（3）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多選題
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．的最小正周期為4
D．若，則
三、填空題
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)的解析式 ．
①；
②；
③的導(dǎo)數(shù)為且．
四、解答題
4．（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，其中.
(1)求證：是奇函數(shù)；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y滿足，且 ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．為偶函數(shù)
C．是周期函數(shù) D．
二、多選題
2．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（ ）
A．
B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．
D．
三、填空題
3．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則的中位數(shù)為 .
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【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 3
【考點(diǎn)突破】 12
【考點(diǎn)1】函數(shù)的奇偶性 12
【考點(diǎn)2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用 16
【考點(diǎn)3】函數(shù)的對(duì)稱性 22
【考點(diǎn)4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 28
【分層檢測(cè)】 33
【基礎(chǔ)篇】 33
【能力篇】 40
【培優(yōu)篇】 42
考試要求：
1.理解函數(shù)奇偶性的含義.
2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.
3.會(huì)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題.
1.函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸對(duì)稱
奇函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).
2.對(duì)稱性的四個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱.
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱；特別地，當(dāng)a＝b時(shí)，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱.
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)
8．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．（2023·全國(guó)·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
10．（2021·全國(guó)·高考真題）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù) ．
①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．
11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則 .
參考答案：
1．D
【分析】
根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.
【詳解】
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，
又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
2．B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)?為偶函數(shù)，則 ，解得，
當(dāng)時(shí)，，，解得或，
則其定義域?yàn)榛颍P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
，
故此時(shí)為偶函數(shù).
故選：B.
3．A
【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．
【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)
因?yàn)椋羁傻茫裕羁傻茫矗院瘮?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)椋?br/>一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；
法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.
4．D
【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.
【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
因?yàn)椋裕矗?br/>因?yàn)椋裕?br/>代入得，即，
所以，
.
因?yàn)椋裕矗?
因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋?br/>聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以
因?yàn)椋?
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.
5．B
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，
所以，，即，
故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，
故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.
故選：B.
6．D
【分析】通過(guò)是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．
【詳解】[方法一]：
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因?yàn)椋裕?br/>令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
[方法二]：
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因?yàn)椋裕?br/>令，由①得：，所以．
思路二：從周期性入手
由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．
所以．
故選：D．
【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問(wèn)題的時(shí)候，我們通常可以借助一些二級(jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的效果．
7．ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.
方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】方法一：
因?yàn)椋?br/>對(duì)于A，令，，故正確.
對(duì)于B，令，，則，故B正確.
對(duì)于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，
對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故錯(cuò)誤.
方法二：
因?yàn)椋?br/>對(duì)于A，令，，故正確.
對(duì)于B，令，，則，故B正確.
對(duì)于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，
故可以設(shè)，則，
當(dāng)肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.
故選：.
8．BC
【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】[方法一]：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究
對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，則，故C正確；
對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.
由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因?yàn)椋鶠榕己瘮?shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．
9．2
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br/>所以，即，
則，故，
此時(shí)，
所以，
又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，
所以.
故答案為：2.
10．（答案不唯一，均滿足）
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.
【詳解】取，則，滿足①，
，時(shí)有，滿足②，
的定義域?yàn)椋?br/>又，故是奇函數(shù)，滿足③.
故答案為：（答案不唯一，均滿足）
11．1
【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)椋剩?br/>因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，
時(shí)，整理得到，
故，
故答案為：1
【考點(diǎn)1】函數(shù)的奇偶性
一、單選題
1．（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，，都有，則（ ）
A．是奇函數(shù) B．
C．的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．
三、填空題
5．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為 .
6．（2024·廣東佛山·二模）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍為 .
參考答案：
1．A
【分析】首先推導(dǎo)出，即函數(shù)的對(duì)稱中心為，再根據(jù)函數(shù)的平移只需將函數(shù)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)，則該函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即可判斷.
【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?br/>則，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，
所以將函數(shù)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)，
該函數(shù)的對(duì)稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).
故選：A.
2．A
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)定義求出函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)和切線相關(guān)知識(shí)求解切線方程即可.
【詳解】因?yàn)?br/>，
所以，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以對(duì)恒成立，
所以，代入函數(shù)表達(dá)式得，
所以，則，
所以在處的切線方程為，即.
故選：A
3．BC
【分析】利用是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，進(jìn)而可得，求導(dǎo)可得，結(jié)合為奇函數(shù)，計(jì)算可判斷B；進(jìn)可可得函數(shù)的周期為4，計(jì)算可判斷C；的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，取可判斷AD.
【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，
即，
所以，
即，
所以．
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
即，所以選項(xiàng)B正確．
又因?yàn)椋?br/>所以，
即函數(shù)的周期為4，所以．
因?yàn)椋裕?br/>所以選項(xiàng)C正確．
由為奇函數(shù)可知，
即的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
不妨取，
則滿足周期為4，關(guān)于成中心對(duì)稱的條件，
因?yàn)椋芍x項(xiàng)A，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的考查，注意合理運(yùn)用題中的條件，如本題中，由函數(shù)為奇函數(shù)，可得函數(shù)的對(duì)稱中心，判斷結(jié)論不成立，可舉反例，是一種有效的方法.
4．BC
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和題設(shè)條件，推得是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)求值，利用單調(diào)性比較大小，逐項(xiàng)判定即可求解.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以
,即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，C正確;
由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱可知,
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以
，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
則,
所以,即,
所以,所以是周期為4的周期函數(shù)，
所以,又,
所以,所以,所以,B正確;
是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤;
對(duì)任意的,且,都有,不妨設(shè),
則,由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增
又,,
所以,得，D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)，解題關(guān)鍵是合理利用抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性周期性分析題意，然后逐個(gè)選項(xiàng)分析即可．
5．4
【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得的值，結(jié)合計(jì)算即可.
【詳解】由題得，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以.
故答案為：4.
6．
【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得，再結(jié)合單調(diào)性計(jì)算即可得.
【詳解】由為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，
又，故當(dāng)，可得，
又，故等價(jià)于，
故x的取值范圍為.
故答案為：.
反思提升：
1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：
(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.
2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.
3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問(wèn)題.
【考點(diǎn)2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（21-22高三上·四川攀枝花·階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的值域?yàn)?br/>B．圖象的對(duì)稱軸為直線
C．當(dāng)時(shí)，
D．方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解
二、多選題
3．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，則（ ）
A．為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C． D．
4．（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)的周期為2
D．
三、填空題
5．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則 ．
6．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則 ．
參考答案：
1．C
【分析】先根據(jù)得出函數(shù)的周期；再根據(jù)為奇函數(shù)得出，利用賦值法求出；最后利用的周期即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以的周期為6.
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，即，即，
令，則，即
所以，
故選：C.
2．C
【分析】由給定條件可得的周期為4，并探討函數(shù)的奇偶性，舉例說(shuō)明判斷A；由是對(duì)稱軸判斷B；求出時(shí)的解析式判斷C；畫出函數(shù)的部分圖象判斷D作答.
【詳解】因，則的值域?yàn)椴徽_，A不正確；
R上的函數(shù)滿足，即，又，
則函數(shù)是最小正周期為4的周期函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，有，
當(dāng)時(shí)，，且，，
于是有，，即函數(shù)在上是偶函數(shù)，又周期為4，則是R上的偶函數(shù)，
由知，直線是函數(shù)的圖象對(duì)稱軸，不滿足，B不正確；
當(dāng)時(shí)，，則，C正確；
，在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)的部分圖象與直線，如圖，
觀察圖象知，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，即方程有4個(gè)實(shí)根，D不正確.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
3．BC
【分析】首先根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性，判斷函數(shù)的對(duì)稱性，以及周期，并結(jié)合條件轉(zhuǎn)化，判斷函數(shù)的對(duì)稱性，利用抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及周期性，求，最后利用函數(shù)與的關(guān)系求和.
【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則
由，可得，又，
所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，
所以，即，即函數(shù)的周期為4，
由，可得，因?yàn)榈闹芷跒?，
所以，
則，即，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則，
所以，所以，
因?yàn)榈闹芷跒?，所以的周期也為4.由，
可得，所以，故C正確；
由，可得，所以，
即
，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是以條件等式為橋梁，發(fā)現(xiàn)函數(shù)與的性質(zhì)關(guān)系，以及解析式的關(guān)系.
4．ABD
【分析】對(duì)A，根據(jù)函數(shù)圖象的變換性質(zhì)判斷即可；對(duì)B，由題意計(jì)算即可判斷；對(duì)C，由A可得，由B可得，進(jìn)而可判斷C；對(duì)D，由結(jié)合與的對(duì)稱性可得，進(jìn)而，結(jié)合C中的周期為4求得，進(jìn)而可得.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；
對(duì)B，，
，
又，故.
即，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；
對(duì)C，由A，，且，
又因?yàn)椋剩?br/>即，故，即.
由B，，故，故的周期為4，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，由，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且定義域?yàn)镽，則，，
又，代入可得，則，
又，故，，，，又的周期為4，.
則
.
即，
則，故D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出，結(jié)合周期性以及的定義即可順利得解.
5．
【分析】由條件結(jié)合偶函數(shù)定義可得，由結(jié)合周期函數(shù)定義證明為周期函數(shù)，利用周期性及賦值法求結(jié)論.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以，又，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，
所以，
由，可得，
由，可得，
所以，
所以，
故答案為：.
6．
【分析】由是奇函數(shù)，可得，由可得，進(jìn)而得到，從而得出函數(shù)的周期為，根據(jù)條件賦值可求得，從而得解.
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
用替換上式中的，可得，
在中，用替換，可得，
所以，用替換該式中的，可得，
所以，所以函數(shù)的周期為，
在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問(wèn)題，常見結(jié)論：
（1）關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，反之也成立；
（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.
反思提升：
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.
2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題.
【考點(diǎn)3】函數(shù)的對(duì)稱性
一、單選題
1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（ ）
A．0 B．50 C．2509 D．2499
2．（22-23高三上·遼寧營(yíng)口·期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2020·山東淄博·一模）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意，都有成立，當(dāng)時(shí)，，給出下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．
B．點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則是的極值點(diǎn)
B．，使得
C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形
三、填空題
5．（23-24高三下·河南濮陽(yáng)·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若，則 .
6．（2024·寧夏固原·一模）已知定義在R上的函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，成立，若，則 ．
參考答案：
1．D
【分析】由圖象的對(duì)稱中心得圖象的對(duì)稱中心，由，構(gòu)造函數(shù)，求出圖象的對(duì)稱性和周期，由求值即可.
【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
即，從而，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
由，可得．
令，得，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．
，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有，
所以，，
兩式相減得，故是以4為周期的函數(shù)．
因?yàn)椋?br/>所以．
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
關(guān)于函數(shù)圖象對(duì)稱性的幾個(gè)結(jié)論：
1、函數(shù)滿足(T為常數(shù))的充要條件是的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
2、函數(shù)滿足(T為常數(shù))的充要條件是的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
3、函數(shù)滿足的充要條件是圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
4、若滿足，則的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
5、若滿足，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
6、若滿足，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
2．B
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期，且為偶函數(shù)，根據(jù)時(shí)，，求的值得此時(shí)解析式，即可求得的值.
【詳解】為奇函數(shù)，，所以關(guān)于對(duì)稱，所以①，且，
又為偶函數(shù)，，則關(guān)于對(duì)稱，所以②，
由①②可得，即，所以，
于是可得，所以的周期，
則，所以為偶函數(shù)
則，所以，所以
所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，
所以.
故選：B.
3．AB
【分析】由，賦值，可得，故A正確；進(jìn)而可得是對(duì)稱中心，故B正確；作出函數(shù)圖象，可得CD不正確.
【詳解】在中，令，得，又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，，故是一個(gè)周期為4的奇函數(shù)，因是的對(duì)稱中心，所以也是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故A、B正確；
作出函數(shù)的部分圖象如圖所示，易知函數(shù)在上不具單調(diào)性，故C不正確；
函數(shù)在上有7個(gè)零點(diǎn)，故D不正確.
故選：AB
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題目.
4．BD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有兩解，列表表示出導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)以及函數(shù)的單調(diào)情況，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.
【詳解】A：因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，不是極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B：由選項(xiàng)A的分析知，函數(shù)的值域?yàn)椋裕沟茫蔅正確；
C：由選項(xiàng)A的分析知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以若為的極小值點(diǎn)時(shí)，在上先遞增再遞減，故C錯(cuò)誤；
D：，
而，
則，
所以點(diǎn)為的對(duì)稱中心，即函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，故D正確.
故選：BD．
5．
【分析】先根據(jù)條件證明，然后由證明，再由此證明，最后由得到結(jié)果.
【詳解】對(duì)任意，由于，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>故點(diǎn)在曲線上，且曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
故點(diǎn)也在曲線上，從而，
從而對(duì)任意有.
從而對(duì)任意，由知，即.
根據(jù)條件又有，即.
現(xiàn)在對(duì)任意的整數(shù)，我們有：
，
所以，從而有：
.
故有：
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)方程的處理，通過(guò)其中取值的任意性，代入合適的值得到關(guān)鍵條件.
6．
【分析】由可得函數(shù)的對(duì)稱性，再對(duì)中的進(jìn)行賦值，依次得到，，，，即可求出.
【詳解】由可得函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
因，故，在中，令，代入可得，
再令，代入可得，再令，代入可得，，
故令，代入可得，故.
故答案為：.
反思提升：
對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱.
(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
【考點(diǎn)4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·遼寧撫順·一模）函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥洠瑒t（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·河南開封·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t（ ）
A． B．
C．是周期函數(shù) D．的解析式可能為
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（ ）
A． B．恒成立
C． D．滿足條件的不止一個(gè)
三、填空題
5．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)滿足，.則 .
6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程的所有解的和為 .
參考答案：
1．C
【分析】首先判斷函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.
【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，則，
即，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以
而也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，恒過(guò)點(diǎn)，
方程根，即為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且其中一個(gè)交點(diǎn)是，
如圖畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，
若，根據(jù)對(duì)稱性可知，軸左側(cè)和右側(cè)各有3個(gè)交點(diǎn)，如圖，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸右側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸右側(cè)有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
所以滿足條件的的取值范圍是，選項(xiàng)中滿足條件的只有.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是正確分析出函數(shù)的圖象，尤其是，并且會(huì)利用數(shù)形結(jié)合，分析臨界直線，即可求解.
2．A
【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及，利用賦值法即可計(jì)算出的大小.
【詳解】由可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即；
由可得，
顯然可得.
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可根據(jù)滿足的關(guān)系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解.
3．ABC
【分析】利用賦值法求判斷A；賦值法可得函數(shù)奇偶性即可判斷D；利用賦值法求得，化簡(jiǎn)得，即可判斷C,由周期性和奇偶性即可求解B.
【詳解】由，
令，，有，可得,故A正確；
令，則，則，
函數(shù)是偶函數(shù)， 而為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤，
，令，
則，
所以，
則，
，
所以，則周期為6，C正確．
由于為偶函數(shù)且周期為6，故，B正確，
故選：ABC
4．ABC
【分析】令即可判斷A；令即可判斷B；令即可判斷C；令即可判斷D.
【詳解】A：令，得．又，所以，故A正確．
B：令，得，即，所以，
令，得，即函數(shù)，所以，故B正確，D錯(cuò)誤；
C：令，得，代入，
可得，則，故C正確；
故選：ABC．
5．.
【分析】根據(jù)題意，取，求得，再令，得到，結(jié)合，利用等差數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)滿足，
取，可得，
令，可得，
即
則
.
故答案為：.
6．
【分析】由函數(shù)在上的解析式可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求出最值，并利用求出其他區(qū)間內(nèi)函數(shù)的表達(dá)式為，又可得出時(shí)關(guān)于的方程，利用韋達(dá)定理即可求得所有解的和.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
易知在上的圖象可由函數(shù)的圖象先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，又，且，
∴.
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，，∴，，
∴，，
此時(shí)的最小值為，最大值為..
易知，∴當(dāng)時(shí)，，，
∴，
整理得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上的最小值為，最大值為，，，∴方程必有2個(gè)解；
由韋達(dá)定理可知方程的所有解的和為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)在上的解析式判斷出其單調(diào)性求出最值，再結(jié)合求出其他區(qū)間內(nèi)函數(shù)的表達(dá)式，即可構(gòu)造關(guān)于的方程，即可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解.
反思提升：
1.比較函數(shù)值的大小問(wèn)題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；
2.對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1x2)求解.
3.周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.
4.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·廣東茂名·一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（ ）
A． B． C．0 D．2
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，則（ ）
A．2024 B． C．e D．
二、多選題
5．（2021·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域?yàn)椋遗c都為奇函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)
C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)
6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．的值域?yàn)?br/>C．是偶函數(shù) D．，
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（ ）
A．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象
B．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象
C．的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
三、填空題
8．（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期中）已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則 ， ．
9．（2024·陜西西安·二模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則 .
10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，若，則 .
四、解答題
11．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)在處取得極大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
12．（2020·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，且對(duì)任意滿足．
（1）求的值；
（2）判斷的單調(diào)性，并加以說(shuō)明；
（3）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域以及奇偶性即可求得答案．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋懦鼵D，
又，即為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除B．
故選：A．
2．D
【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，且，得到，再根據(jù)在上單調(diào)遞減求解.
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且，，
所以，
又在上單調(diào)遞減，
所以，即或
解得，或
故選：D
3．A
【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出的周期為4，利用周期性、奇偶性求函數(shù)值.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，即，
又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，有，
所以的周期為4，故.
故選：A
4．D
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)解析式，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，再代入計(jì)算即得.
【詳解】函數(shù)中，，即函數(shù)定義域?yàn)镽，
有，
于是，
所以．
故選：D
5．ABC
【分析】由題設(shè)可得，進(jìn)而可得、，即可判斷A、B、D的正誤，又可判斷C的正誤.
【詳解】由題意知：且，
∴，即，可得，
∴是周期為2的函數(shù)，且、為奇函數(shù)，故A、B正確，D錯(cuò)誤；
由上知：，即為奇函數(shù)，C正確.
故選：ABC.
6．AC
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】，，，A正確；
，則的值域?yàn)椋珺錯(cuò)誤；
時(shí)，，，，所以，時(shí)，，，，，所以為偶函數(shù)，C正確；
時(shí)，取，此時(shí)，，則，D錯(cuò)誤.
故選：AC
7．BD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換及對(duì)稱性可判斷各項(xiàng).
【詳解】因?yàn)榈膱D象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
，所以A錯(cuò)誤，
因?yàn)榈膱D象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
，故B正確；
與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)為
，故C錯(cuò)誤；
與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)為
，所以D正確；
故選：BD．
8．
【分析】由，可求，由，結(jié)合奇函數(shù)可求．
【詳解】由，解得，所以，
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以1或，解得(舍去)．
故答案為：①-1；②1．
9．
【分析】利用函數(shù)的奇偶性與周期性計(jì)算即可.
【詳解】由已知可得，所以，
所以，即是函數(shù)的一個(gè)周期，
所以.
故答案為：
10．
【分析】利用和的關(guān)系求解即可.
【詳解】，
，
.
故答案為：
11．(1)
(2)最大值為52，最小值為
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性可得，再由在上取得極大值2可求得，可得解析式；
（2）由（1）中解析式求導(dǎo)可得其在上的單調(diào)性，得出極值并比較端點(diǎn)處的函數(shù)值即可求出其最值.
【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則.
由，得.
因?yàn)樵谏先〉脴O大值2，
所以解得
經(jīng)經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，在處取得極大值2，
故.
（2）由（1）可知，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；
即函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值；
又因?yàn)椋?br/>所以在上的最大值為52，最小值為.
12．（1）；（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.
【分析】（1）取，利用已知條件求解即可．
（2）利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義，轉(zhuǎn)化求解判斷即可．
（3）推出，，然后求解與，利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】解：（1）由題意對(duì)任意滿足．
取得，．
（2）任取且，則，，
∴，
∴即，所以在上單調(diào)遞增．
（3）因?yàn)椋恚?br/>所以．
又因?yàn)椋遥裕?br/>又由（2）知在上單調(diào)遞增，所以，
即，
所以．
【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多選題
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．的最小正周期為4
D．若，則
三、填空題
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)的解析式 ．
①；
②；
③的導(dǎo)數(shù)為且．
四、解答題
4．（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，其中.
(1)求證：是奇函數(shù)；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．A
【分析】利用奇偶性和對(duì)稱性求得函數(shù)周期為4，然后由周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，即，
又，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
所以，是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，，
所以，，故，
所以是以4為周期的周期函數(shù)，
所以.
故選：A
2．CD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，周期性，以及函數(shù)的奇偶性，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則是奇函數(shù)，且，所以A不正確；
對(duì)于B中，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以B不正確；
對(duì)于C中，因?yàn)椋裕?br/>所以，所以的最小正周期為4，所以C正確．
對(duì)于D中，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以，所以D正確．
故選：CD．
3．（答案不唯一）
【分析】借助函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、奇偶性計(jì)算即可得.
【詳解】由①得，所以函數(shù)圖象的周期為4，
由②得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
由③得關(guān)于對(duì)稱，為常數(shù)，
則同時(shí)滿足三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)可以為．
故答案為：（答案不唯一）.
4．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）結(jié)合奇偶性的定義以及對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算法則即可得證；
（2）分離參數(shù)，將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為在上有解，由此轉(zhuǎn)換為求函數(shù)值域問(wèn)題.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，
在中任取一個(gè)實(shí)數(shù)，都有，并且.
因此，是奇函數(shù).
（2）等價(jià)于即在上有解.
記，因?yàn)樵谏蠟閲?yán)格減函數(shù)，
所以，，，
故的值域?yàn)椋虼耍瑢?shí)數(shù)的取值范圍為.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y滿足，且 ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．為偶函數(shù)
C．是周期函數(shù) D．
二、多選題
2．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（ ）
A．
B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．
D．
三、填空題
3．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則的中位數(shù)為 .
參考答案：
1．C
【分析】對(duì)于A，令，結(jié)合即可判斷；對(duì)于B，令結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，令即可判斷；對(duì)于D，得出遞推關(guān)系，由此即可驗(yàn)算.
【詳解】令，得，因?yàn)椋裕珹正確;
令，則，所以，則為偶函數(shù)，B正確；
令，得，即 ，所以不是周期函數(shù)，C錯(cuò)誤；
當(dāng)x取正整數(shù)n時(shí)， ，則 ，D正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出，由此即可順利得解.
2．BD
【分析】用特殊值法，假設(shè)，可判斷選項(xiàng)A；對(duì)進(jìn)行變形處理，即可判斷其對(duì)稱性，從而判斷選項(xiàng)B；對(duì)兩邊求導(dǎo)，可得，根據(jù)可判斷的周期性和對(duì)稱性，再根據(jù)特殊值關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)C；由特殊值關(guān)系得到，，化簡(jiǎn)，即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】假設(shè)，則，則，與都為偶函數(shù)，
則所設(shè)函數(shù)符合題意，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，
令，則，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即，即，
因?yàn)椋裕裕?br/>則，故，
所以，所以，又，，
所以，所以無(wú)法確定的值，所以C錯(cuò)誤；
又，，所以，
由，得，則，所以，
由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則
，所以 D正確.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：
對(duì)稱性有關(guān)結(jié)論：
若，則關(guān)于直線對(duì)稱；
若，則關(guān)于直線對(duì)稱；
若，則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；
若，則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；
周期性結(jié)論：
若，則函數(shù)的周期為.
3．/
【分析】根據(jù)題意整理出，求出，；由此判斷出為遞增的等差數(shù)列，進(jìn)而求解即可.
【詳解】由的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
得，
兩式相減得，所以，
由時(shí)，由，得；
由時(shí)，由，得；
又由，結(jié)合，，
所以成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，且此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，
所以的中位數(shù)為：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是判斷出為遞增的等差數(shù)列，從而得解.
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