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專題06 函數的概念及其表示（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 5
【考點1】函數的概念 5
【考點2】求函數的定義域 9
【考點3】求函數的解析式 12
【考點4】分段函數 16
【分層檢測】 20
【基礎篇】 20
【能力篇】 25
【培優篇】 29
考試要求：
1.了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域和值域.
2.在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.
3.了解簡單的分段函數，并能簡單應用.
1.函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 x的取值范圍
值域 與x對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一個函數
(1)前提條件：①定義域相同；②對應關系相同.
(2)結論：這兩個函數為同一個函數.
3.函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.
4.分段函數
(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數.分段函數表示的是一個函數.
(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集.
1.直線x＝a(a是常數)與函數y＝f(x)的圖象至多有1個交點.
2.注意以下幾個特殊函數的定義域：
(1)分式型函數，分母不為零的實數集合.
(2)偶次方根型函數，被開方式非負的實數集合.
(3)f(x)為對數式時，函數的定義域是真數為正數、底數為正且不為1的實數集合.
(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}.
(5)正切函數y＝tan x的定義域為.
一、填空題
1．（2023·北京·高考真題）已知函數，則 ．
2．（2022·北京·高考真題）函數的定義域是 ．
3．（2022·浙江·高考真題）已知函數則 ；若當時，，則的最大值是 ．
4．（2022·北京·高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為 ；a的最大值為 ．
5．（2021·浙江·高考真題）已知，函數若，則 .
參考答案：
1．1
【分析】根據給定條件，把代入，利用指數、對數運算計算作答.
【詳解】函數，所以.
故答案為：1
2．
【分析】根據偶次方根的被開方數非負、分母不為零得到方程組，解得即可；
【詳解】解：因為，所以，解得且，
故函數的定義域為；
故答案為：
3． /
【分析】結合分段函數的解析式求函數值，由條件求出的最小值,的最大值即可.
【詳解】由已知，，
所以，
當時，由可得，所以，
當時，由可得，所以，
等價于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
4． 0（答案不唯一） 1
【分析】根據分段函數中的函數的單調性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據定義域討論可知或， 解得 .
【詳解】解：若時，，∴；
若時，當時，單調遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；
若時，
當時，單調遞減，，
當時，
∴或，
解得，
綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），1
5．2
【分析】由題意結合函數的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.
【詳解】，故，
故答案為：2.
【考點1】函數的概念
一、單選題
1．（2023·山東濰坊·一模）存在函數滿足：對任意都有（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山東濟南·二模）已知函數若，則m的值為（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
二、多選題
3．（21-22高一·全國·單元測試）下列函數中，與函數不是同一個函數的是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一上·陜西西安·期末）設集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數關系的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·上海青浦·二模）已知函數的圖像繞著原點按逆時針方向旋轉弧度，若得到的圖像仍是函數圖像，則可取值的集合為 .
6．（2023·遼寧大連·一模）已知可導函數，定義域均為，對任意滿足，且，求 .
參考答案：
1．D
【分析】根據函數的定義一一判斷各選項中函數是否符合，即可判斷出答案.
【詳解】對于A，當時，；當時，，
不符合函數定義，A錯誤；
對于B,令，則，令，則，
不符合函數定義，B錯誤；
對于C, 令，則，令，則，
不符合函數定義，C錯誤；
對于D, ,,則，則存在時，，
符合函數定義，即存在函數滿足：對任意都有，D正確，
故選：D
2．C
【分析】由題可得或，即求.
【詳解】∵函數，，
∴或，
解得.
故選：C.
3．ACD
【分析】根據兩函數定義域相同且解析式一致即為相等函數，一一判斷即可.
【詳解】解：的定義域為．
對于A，的定義域為，與的定義域不同，不是同一函數；
對于B，定義域為，與定義域相同，對應關系相同，是同一函數；
對于C，的定義域為，與定義域不同，不是同一函數；
對于D，，與的對應關系不同，不是同一函數．
故選：ACD．
4．BD
【分析】根據函數的定義分別檢驗各選項即可判斷．
【詳解】對于A：由圖象可知定義域不是，不滿足；
對于B：定義域為，值域為的子集，故符合函數的定義，滿足；
對于C：集合中有的元素在集合中對應兩個值，不符合函數定義，不滿足；
對于D： 由函數定義可知D滿足．
故選：BD．
5．
【分析】題中函數為圓的一段劣弧，在旋轉過程中，只需根據函數的定義考慮一個只有唯一確定的與之對應，即圖形與只有一個交點時旋轉的角度符合題意.
【詳解】畫出函數的圖象，如圖1所示：
圓弧所在的圓方程為，，，在圖象繞原點旋轉的過程中，當從圖1的位置旋轉到點時，根據函數的定義知這個旋轉過程所得的圖形均為函數的圖象，如圖2所示：
此時繞著原點旋轉弧度為；
若函數圖象在圖2位置繞著原點繼續旋轉，當點在軸上方，點在軸下方時，根據函數的定義知，所得圖形不是函數的圖象，如圖3所示：
此時轉過的角度為，不滿足題意；
若函數的圖象在圖3位置繞著原點繼續旋轉，當整個圖象都在軸下方時，根據函數的定義知，所得圖形是函數的圖象，如圖4所示：
此時轉過的角度為；
故答案為：.
6．
【分析】利用函數值的定義及函數的求導法則，結合導數值的定義即可求解.
【詳解】由題意可知，令，則，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
故答案為：.
反思提升：
（1）函數的定義要求非空數集A中的任何一個元素在非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素.
（2）構成函數的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同
【考點2】求函數的定義域
一、單選題
1．（2023·湖北·三模）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）若函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·河南·模擬預測）已知函數在R上單調遞增，函數在上單調遞增，在上單調遞減，則（ ）
A．函數在R上單調遞增
B．函數在上單調遞增
C．函數在上單調遞減
D．函數在上單調遞減
4．（2022·海南·模擬預測）下面關于函數的性質，說法正確的是（ ）
A．的定義域為 B．的值域為
C．在定義域上單調遞減 D．點是圖象的對稱中心
三、填空題
5．（23-24高一上·新疆·期中）已知函數的定義域是，則函數的定義域是 .
6．（2023·山東棗莊·模擬預測）已知函數是定義在上的減函數，且，則的取值范圍是 ．
參考答案：
1．D
【分析】利用根式及對數函數的定義建立不等式組，解不等式組得到定義域即可.
【詳解】由，得，解得，
所以函數的定義域為.
故選：D．
2．C
【分析】利用抽象函數定義域的求解原則可求出函數的定義域，對于函數，可列出關于的不等式組，由此可得出函數的定義域.
【詳解】因為函數的定義域為，則，可得，
所以，函數的定義域為，
對于函數，則有，解得，
因此，函數的定義域為.
故選：C.
3．AB
【分析】由復合函數的單調性判斷方法逐一判斷即可.
【詳解】因為在R上單調遞增，所以在R上單調遞增，故A正確；
因為在R上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，故B正確；
因為在上單調遞增，所以在上單調遞減，因為的值域是否在上無法判斷，
所以在上的單調性無法判斷，故C錯誤；
因為在R上單調遞減，在上單調遞減，因的值域是否在上無法判斷，所以在上的單調性無法判斷，故D錯誤.
故選：AB.
4．AD
【分析】由，可知由向右平移個單位，再向上平移個單位得到，根據的性質得到的性質，即可判斷；
【詳解】解：
由向右平移個單位，再向上平移個單位得到，
因為關于對稱，所以關于對稱，故D正確；
函數的定義域為，值域為，故A正確，B錯誤；
函數在和上單調遞減，故C錯誤；
故選：AD
5．
【分析】根據抽象函數定義域求法和分式、根式有意義的要求可構造方程組求得結果.
【詳解】由題意知：，解得：，的定義域為.
故答案為：.
6．
【分析】根據函數的定義域，結合函數的單調性求解即可.
【詳解】函數是定義在上的減函數，且，
∴，解得．
故答案為：
反思提升：
1.求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.
2.求抽象函數定義域的方法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.
【考點3】求函數的解析式
一、單選題
1．（2023·河南鄭州·二模）若函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北保定·二模）若函數，則函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·一模）設a為常數，，則（ ）．
A．
B．成立
C．
D．滿足條件的不止一個
4．（2023·江西·模擬預測）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，．則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·全國·模擬預測）若函數滿足關系式，則 .
6．（22-23高一下·上海浦東新·階段練習）已知對任意的實數a均有成立，則函數的解析式為 ．
參考答案：
1．A
【分析】根據函數圖象，利用待定系數法求出函數解析式，即可得解.
【詳解】由圖象知，的兩根為2，4，且過點，
所以，解得，
所以，
所以，
故選：A
2．D
【分析】先利用配湊法求出的解析式，則可求出的解析式，從而可求出函數的最小值
【詳解】因為，
所以.
從而，
當時，取得最小值，且最小值為.
故選：D
3．ABC
【分析】
對已知條件進行多次賦值，結合已知數據，再對每個選項進行逐一判斷即可.
【詳解】
對A：對原式令，則，即，故A正確；
對B： 對原式令，則，故，
對原式令，則，故非負；
對原式令，則，解得，
又非負，故可得，故B正確；
對C：由B分析可得：，故C正確；
對D：由B分析可得：滿足條件的只有一個，故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】關鍵點點睛：本題考察抽象函數的性質，處理問題的關鍵是對已知條件合理的賦值，屬中檔題.
4．CD
【分析】由為奇函數與為偶函數，得到函數的對稱性與周期性，先由特值待定，再根據性質求值即可， CD選項結合周期特點進行數列求和，使用并項求和法.
【詳解】由為奇函數，
得關于對稱，且滿足；
由為偶函數，
得關于直線對稱，且滿足.
故，
所以是周期函數，且周期.
對選項A，由，
令，解得，故A錯誤；
對選項B，已知當時，，
則，
故當時，.
則，故B錯誤；
對選項C，，，
，，且周期.
則，故C正確．
對選項D，
，故D正確．
故選：CD．
5．6
【分析】用方程組法求得，代入求值即可解答.
【詳解】因為，所以，
解得，所以.
故選：6
6．
【分析】先利用方程組思想結合誘導公式求出或，再利用換元法即可得解，注意函數的定義域.
【詳解】由，①
得，
即，②
得：，
所以，
令，則，
所以.
故答案為：.
反思提升：
函數解析式的求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.
(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法.
(3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關于f(x)與f或f(－x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
【考點4】分段函數
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，則 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
2．（2023·山西·模擬預測）十九世紀德國數學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數”它在現代數學的發展過程中有著重要意義，若函數，則下列實數不屬于函數值域的是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多選題
3．（2021·重慶沙坪壩·模擬預測）已知是定義在上的函數，則（ ）
A．若為增函數，則的取值范圍為
B．若為增函數，則的取值范圍為
C．若為減函數，則的取值范圍為
D．若為減函數，則的取值范圍為
4．（21-22高三上·江蘇常州·開學考試）已知函數，若函數有個零點，則實數的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2023·貴州遵義·模擬預測）若函數，則不等式的解集為 .
6．（2022·全國·模擬預測）已知，若存在，使得，則的取值范圍為 .
參考答案：
1．A
【分析】
由分段函數解析式，利用周期性求得，進而求目標函數值.
【詳解】
由分段函數知：當時，周期，
所以，
所以．
故選：A
2．C
【分析】
根據已知條件求出，利用分段函數分段處理及函數值域的定義即可求解.
【詳解】由題意可知
所以，，，而無解.
故選：C.
3．BD
【分析】根據分段函數單調增和單調減的條件分別列出不等式組，即可求得相應的實數a的取值范圍.
【詳解】解：此函數為增函數的條件是：，解得,
此函數為減函數的條件是：，解得,
故選：BD.
【點睛】本題考查分段函數的單調性，涉及指數函數，分式函數的單調性，屬基礎題，分段函數單調增(減),需要各段上單調增(減),而且銜接點處是非減(增)的.
4．BD
【分析】由分段函數解析式判斷函數性質并畫出函數圖象，討論參數判斷不同a對應值域的的范圍，結合函數圖象判斷解的情況，即可確定有個零點時的范圍.
【詳解】在上單調遞增且值域為；
在上單調遞減且值域為；
在上單調遞增且值域為；
故的圖象如下：
由題設，有個零點，即有7個不同解，
當時有，即，此時有1個零點；
當時有，即，
∴有1個零點，有3個零點，此時共有4個零點；
當時有或或，
∴有1個零點，有3個零點，有3個零點，此時共有7個零點；
當時有或或，
∴有1個零點，有3個零點，有2個零點，此時共有6個零點；
當時有或，
∴有3個零點，有2個零點，此時共有5個零點；
綜上，要使有7個零點時，則，()
故選：BD
【點睛】關鍵點點睛：由解析式確定分段函數的性質并畫出草圖，進而討論參數確定對應的取值范圍，結合函數圖象判斷零點情況.
5．
【分析】分和兩種情況，結合指、對數函數的單調性運算求解.
【詳解】因為，則有：
當時，可得，解得；
當時，可得，則，解得；
綜上所述：不等式的解集為.
故答案為：.
6．
【分析】先討論、與1的大小關系確定、，進而確定的取值范圍，再結合函數的單調性進行求解.
【詳解】①當時，則，，
又由，得，
所以，則；
②當時，因為，，
所以不存在，使得；
③當時，則，，
又由，得，
則，，
令，則在上單調遞增，
所以，則；
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
反思提升：
1.根據分段函數解析式求函數值，首先確定自變量的值屬于哪個區間，其次選定相應的解析式代入求解.
2.已知函數值或函數的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·陜西西安·模擬預測）已知函數滿足，，則下列說法正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2023·江西九江·模擬預測）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·模擬預測）設函數，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林長春·模擬預測）已知函數滿足，則（ ）
A．的最小值為2 B．
C．的最大值為2 D．
二、多選題
5．（2023·云南昆明·模擬預測）函數分別是定義在上的奇函數和偶函數，且，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．在上為增函數
B．
C．若在上單調遞增，則或
D．當時，的值域為
7．（2024·廣東·模擬預測）給定數集，，滿足方程，下列對應關系為函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空題
8．（23-24高一上·江蘇揚州·期末）已知的定義域為A，集合，若，則實數a的取值范圍是 .
9．（2022·山東濟南·二模）已知函數，則 ．
10．（2021·廣東·模擬預測）若a＞0且a≠1，且函數在R上單調遞增，那么a的取值范圍是 ．
四、解答題
11．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數．
（1）當時，求曲線在處的切線方程．
（2） 時，若，求的定義域，并分析其單調性．
12．（2020·山東·高考真題）已知函數.
（1）求的值；
（2）求，求實數的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】用換元法求出，再用代入法即可解出答案．
【詳解】設，則，∴，．
由，有，即，∴．
故選：D
2．C
【分析】由題可知解即可得答案.
【詳解】解：因為函數的定義域為，
所以，，即，解得，
所以，函數的定義域為
故選：C
3．A
【分析】先求的定義域，再利用復合函數求的定義域.
【詳解】由題意得，，解得函數滿足，解得，
即函數的定義域為.
故選:A
4．B
【分析】首先根據題意得到，再結合二次函數的性質依次判斷選項即可.
【詳解】因為，，
所以.
所以，所以的最小值，無最大值，為故A，C錯誤.
對選項B，，
因為，所以，即，
故B正確.
對選項D，，
因為，所以，即，
故D錯誤.
故選：B
5．AC
【分析】根據奇函數和偶函數定義可構造方程組求得，由此依次判斷各個選項即可.
【詳解】由得：，
又分別是定義在上的奇函數和偶函數，；
由得：，；
對于A，，A正確；
對于B，，B錯誤；
對于CD，，C正確，D錯誤.
故選：AC.
6．BC
【分析】結合分段函數的單調性對選項逐一辨析即可.
【詳解】易知在(－∞，0]，(0，＋∞)上單調遞增，A錯誤，
，，B正確；
若在(a，a＋1)上單調遞增，則或，即或，故C正確；
當時，，當時，，
故時，的值域為，故D錯誤.
故選：BC.
7．ABD
【分析】
根據給定條件，利用函數的定義，結合指數函數、對數函數的性質逐項判斷即得.
【詳解】對于A，，，均有唯一確定，符合函數定義，A正確；
對于B，，，均有唯一確定，符合函數定義，B正確；
對于C，，取，，不符合函數定義，C錯誤；
對于D，，，均有唯一確定，符合函數定義，D正確.
故選：ABD
8．
【分析】先求出的定義域得到集合A，再根據子集的定義即可求得a的取值范圍.
【詳解】，則或，即或.
①當時，，滿足，符合題意；
②當時，，所以若，
則有或（舍），解得；
③當時，，所以若，
則有或（舍），解得.
綜上所述，.
故答案為：
9．
【分析】代入函數解析式計算即可.
【詳解】解：因為，所以，
.
故答案為：.
10．
【分析】利用函數的單調性，列出不等式組，然后求解即可．
【詳解】且，函數在上單調遞增，
可得：，解得，
故答案為：.
11．（1）；（2）定義域為，單調性見解析.
【分析】（1）根據導數的幾何意義，可得切線斜率為，再由根據點斜式即可得解；
（2）由可得，再通過導數研究函數單調性即可.
【詳解】（1） 當 時，，
所以
又，
所以曲線 在 處的切線方程為 ．
（2）當時， ，
∴函數 的定義域為 ，
∴，
當時，，當時，，，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，在 上單調遞減.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）根據分段函數的解析式，代入計算即可；
（2）先判斷的取值范圍，再代入分段函數解析式，得到的具體不等式寫法，解不等式即可.
【詳解】解：（1）因為，
所以，因為，
所以.
（2）因為，
則，
因為，所以，
即，解得.
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·全國·三模）已知對于每一對正實數，，函數滿足：，若，則滿足的的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、多選題
2．（2023·重慶·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域為
B．在上的值域為
C．若在上單調遞減，則
D．若，則在定義域上單調遞增
三、填空題
3．（2022·上海浦東新·模擬預測）函數的圖象是兩條線段（如圖），它的定義域為，則不等式的解集為 ．
四、解答題
4．（2023·寧夏銀川·模擬預測）已知函數.
(1)求不等式的解集；
(2)若且滿足，記是的最大值，證明：.
參考答案：
1．A
【分析】利用遞推式判斷在上的符號及單調性，并得到，即可判斷的個數.
【詳解】令且均屬于，則，
所以，故，
又，故在上恒成立，且在上單調遞增，
所以，滿足僅有，即僅有1個.
故選：A
2．AC
【分析】求得的定義域判斷選項A；求得在上的值域判斷選項B；求得a的取值范圍判斷選項C；求得時的單調性判斷選項D.
【詳解】選項A：由得，則的定義域為.判斷正確；
選項B：，
由，可得，則，
當時，，則在上的值域為；
當時，，，
即在上的值域為；
當時，，，
即在上的值域為.
綜上，當時，在上的值域為；
當時，在上的值域為；
當時，在上的值域為.判斷錯誤；
選項C：，
若在上單調遞減，則，解之得.判斷正確；
選項D：，
則時，在和上單調遞增.判斷錯誤.
故選：AC
3．
【分析】首先求得函數的解析式，然后利用函數的解析式分類討論即可求得最終結果．
【詳解】解：
當x∈時，設線段所在直線的方程為，線段過點（﹣1，0），（0，1），
根據一次函數解析式的特點，可得出方程組 ，
解得 ．故當x∈[﹣1，0）時，f（x）＝x+1；
同理當x∈（0，1]時，f（x）＝x1；
當x∈[﹣1，0）時，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化為：
x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．
當x∈（0，1]時，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化為：
x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，
綜上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集為 ．
故答案為：
4．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，分段解含絕對值符號的不等式作答.
（2）利用（1）中信息，借助函數單調性求出c，再利用作差法結合均值不等式推理作答.
【詳解】（1）依題意，，于是不等式化為：
或或，解得，
所以不等式的解集.
（2）由（1）可知：函數在上單調遞增，在上單調遞減，，即，
由得，即，
于是
，當且僅當，即時取等號，
所以.
【培優篇】
一、單選題
1．（22-23高三上·山東濰坊·期末）已知定義在上的函數滿足，對，，有，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·二模）已知定義在上的函數為減函數，對任意的，均有，則函數的最小值是（ ）
A．2 B．5 C． D．3
3．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）已知函數，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
參考答案：
1．A
【分析】由已知可推得，令，得出.設，則，由，可得.又，代入求和即可得出結果.
【詳解】令，由已知可得.
令，由已知可得，
設，則，整理可得.
又，所以，所以.
則，
所以.
故選：A.
【點睛】方法點睛：對于抽象函數的問題，常用賦值法：賦確定值求解函數值，賦確定值及可變值可得函數關系式.
2．D
【分析】根據題意由帶入，可得：整理化簡可得，解方程求得函數解析式，再結合基本不等式即可得解.
【詳解】由任意的，均有，
由帶入可得：
，
所以
所以，
由為減函數，所以
所以
即
由，
所以，
化簡整理可得，
所以或，
由為減函數所以，
故當時，
，
當且僅當時，等號成立.
故選：D.
【點睛】本題考查了求函數解析式，考查了單調性求解過程中的應用，考查了較高的計算能力，屬于較難題.本題的關鍵點有：
（1）帶入化簡，把帶入在利用原式進行化簡，是本題的關鍵；
（2）掌握利用基本不等式求最值.
3．C
【分析】
根據函數解析式，作出函數圖象，繼而作出的圖象，數形結合，求得不等式的解集.
【詳解】根據題意當時,，
當時, ,
作出函數的圖象如圖，
在同一坐標系中作出函數的圖象，
由圖象可得不等式解集為，
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是正確的作出函數的圖象，數形結合，求得不等式解集.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題06 函數的概念及其表示（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 3
【考點1】函數的概念 3
【考點2】求函數的定義域 4
【考點3】求函數的解析式 5
【考點4】分段函數 6
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域和值域.
2.在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.
3.了解簡單的分段函數，并能簡單應用.
1.函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 x的取值范圍
值域 與x對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一個函數
(1)前提條件：①定義域相同；②對應關系相同.
(2)結論：這兩個函數為同一個函數.
3.函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.
4.分段函數
(1)若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數.分段函數表示的是一個函數.
(2)分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集.
1.直線x＝a(a是常數)與函數y＝f(x)的圖象至多有1個交點.
2.注意以下幾個特殊函數的定義域：
(1)分式型函數，分母不為零的實數集合.
(2)偶次方根型函數，被開方式非負的實數集合.
(3)f(x)為對數式時，函數的定義域是真數為正數、底數為正且不為1的實數集合.
(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}.
(5)正切函數y＝tan x的定義域為.
一、填空題
1．（2023·北京·高考真題）已知函數，則 ．
2．（2022·北京·高考真題）函數的定義域是 ．
3．（2022·浙江·高考真題）已知函數則 ；若當時，，則的最大值是 ．
4．（2022·北京·高考真題）設函數若存在最小值，則a的一個取值為 ；a的最大值為 ．
5．（2021·浙江·高考真題）已知，函數若，則 .
【考點1】函數的概念
一、單選題
1．（2023·山東濰坊·一模）存在函數滿足：對任意都有（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山東濟南·二模）已知函數若，則m的值為（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
二、多選題
3．（21-22高一·全國·單元測試）下列函數中，與函數不是同一個函數的是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一上·陜西西安·期末）設集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數關系的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·上海青浦·二模）已知函數的圖像繞著原點按逆時針方向旋轉弧度，若得到的圖像仍是函數圖像，則可取值的集合為 .
6．（2023·遼寧大連·一模）已知可導函數，定義域均為，對任意滿足，且，求 .
反思提升：
（1）函數的定義要求非空數集A中的任何一個元素在非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素.
（2）構成函數的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同
【考點2】求函數的定義域
一、單選題
1．（2023·湖北·三模）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）若函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·河南·模擬預測）已知函數在R上單調遞增，函數在上單調遞增，在上單調遞減，則（ ）
A．函數在R上單調遞增
B．函數在上單調遞增
C．函數在上單調遞減
D．函數在上單調遞減
4．（2022·海南·模擬預測）下面關于函數的性質，說法正確的是（ ）
A．的定義域為 B．的值域為
C．在定義域上單調遞減 D．點是圖象的對稱中心
三、填空題
5．（23-24高一上·新疆·期中）已知函數的定義域是，則函數的定義域是 .
6．（2023·山東棗莊·模擬預測）已知函數是定義在上的減函數，且，則的取值范圍是 ．
反思提升：
1.求給定解析式的函數定義域的方法
求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.
2.求抽象函數定義域的方法
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.
【考點3】求函數的解析式
一、單選題
1．（2023·河南鄭州·二模）若函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北保定·二模）若函數，則函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·一模）設a為常數，，則（ ）．
A．
B．成立
C．
D．滿足條件的不止一個
4．（2023·江西·模擬預測）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，．則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·全國·模擬預測）若函數滿足關系式，則 .
6．（22-23高一下·上海浦東新·階段練習）已知對任意的實數a均有成立，則函數的解析式為 ．
反思提升：
函數解析式的求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.
(2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法.
(3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關于f(x)與f或f(－x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
【考點4】分段函數
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，則 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
2．（2023·山西·模擬預測）十九世紀德國數學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數”它在現代數學的發展過程中有著重要意義，若函數，則下列實數不屬于函數值域的是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多選題
3．（2021·重慶沙坪壩·模擬預測）已知是定義在上的函數，則（ ）
A．若為增函數，則的取值范圍為
B．若為增函數，則的取值范圍為
C．若為減函數，則的取值范圍為
D．若為減函數，則的取值范圍為
4．（21-22高三上·江蘇常州·開學考試）已知函數，若函數有個零點，則實數的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2023·貴州遵義·模擬預測）若函數，則不等式的解集為 .
6．（2022·全國·模擬預測）已知，若存在，使得，則的取值范圍為 .
反思提升：
1.根據分段函數解析式求函數值，首先確定自變量的值屬于哪個區間，其次選定相應的解析式代入求解.
2.已知函數值或函數的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·陜西西安·模擬預測）已知函數滿足，，則下列說法正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2023·江西九江·模擬預測）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·模擬預測）設函數，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林長春·模擬預測）已知函數滿足，則（ ）
A．的最小值為2 B．
C．的最大值為2 D．
二、多選題
5．（2023·云南昆明·模擬預測）函數分別是定義在上的奇函數和偶函數，且，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．在上為增函數
B．
C．若在上單調遞增，則或
D．當時，的值域為
7．（2024·廣東·模擬預測）給定數集，，滿足方程，下列對應關系為函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空題
8．（23-24高一上·江蘇揚州·期末）已知的定義域為A，集合，若，則實數a的取值范圍是 .
9．（2022·山東濟南·二模）已知函數，則 ．
10．（2021·廣東·模擬預測）若a＞0且a≠1，且函數在R上單調遞增，那么a的取值范圍是 ．
四、解答題
11．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數．
（1）當時，求曲線在處的切線方程．
（2） 時，若，求的定義域，并分析其單調性．
12．（2020·山東·高考真題）已知函數.
（1）求的值；
（2）求，求實數的取值范圍.
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·全國·三模）已知對于每一對正實數，，函數滿足：，若，則滿足的的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、多選題
2．（2023·重慶·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域為
B．在上的值域為
C．若在上單調遞減，則
D．若，則在定義域上單調遞增
三、填空題
3．（2022·上海浦東新·模擬預測）函數的圖象是兩條線段（如圖），它的定義域為，則不等式的解集為 ．
四、解答題
4．（2023·寧夏銀川·模擬預測）已知函數.
(1)求不等式的解集；
(2)若且滿足，記是的最大值，證明：.
【培優篇】
一、單選題
1．（22-23高三上·山東濰坊·期末）已知定義在上的函數滿足，對，，有，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·二模）已知定義在上的函數為減函數，對任意的，均有，則函數的最小值是（ ）
A．2 B．5 C． D．3
3．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）已知函數，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
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