資源簡介

第七章 相交線與平行線
7.2.2平行線的判定
平行線的判定是“圖形與幾何”領域的基礎知識，是本節課的重點內容，在今后的學習中要經常用到.教材先通過提問“利用直尺和三角尺畫平行線的過程中，三角尺起著什么樣的作用”，從而引出平行線的判定方法:同位角相等兩直線平行，然后用“同位角相等兩直線平行”再去證明”內錯角相等，兩直線平行”，“同旁內角互補，兩直線平行“這兩個判定定理，引導學生用已經證明的結論證明未知結論的成立性，在本節課中，除了讓學生重點掌握以上的基礎知識外，還應通過大量的識圖和作圖訓練來培養學生的圖形感.平行線的判定教材中介紹了平行線的三種判定方法在解決問題的過程中，要注意學生推理能力的培養.
學生已學習了上冊《幾何初步》和本學期《平行線與相交線》內容，認識了線段公理，垂直公理、平行公理，通過以上知識的積累，已經具備一定的邏輯推理能力.平行線的判定方法是學生對圖形的判定的第一次系統的研究，對于推理，由于學生還比較陌生，不知道因為什么，根據什么，得出什么，對于推理所用的“三段論”的形式，一下子也很難適應.
1.掌握平行線的三種判定方法，會運用平行線的判定方法來判斷兩條直線是否平行；能用符號語言簡單的說理；
2.經歷探索兩條平行線平行的過程，領悟平行線的判定方法，理解兩條直線平行的條件；
3.感受數學與生活的緊密聯系，體會數學的價值，在自主探索和合作交流的過程中，激發學生學習數學的興趣.
重點：掌握平行線的三種判定方法，會運用平行線的判定方法來判斷兩條直線是否平行；能用符號語言簡單的說理；
難點:經歷探索兩條平行線平行的過程，領悟判定方法，理解兩條直線平行的條件.
復習回顧
問題1：什么是平行線？
問題2：平行公理及推論是什么？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
答：問題1：在同一平面內，當直線a，b不相交時，直線a與b互相平行，記作：a∥b.
問題2：平行公理：過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.
平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.
設計意圖：教師以復習的形式回顧上節課的重點內容，為下面的實際問題的出現做好鋪墊埋下伏筆.
探究新知
活動一 探究平行線的判定方法1
問題3：在利用直尺和三角尺畫平行線的過程中，三角尺起著什么樣的作用
追問：∠1和∠2有怎樣的位置關系和數量關系？
師生活動：教師演示:三角尺沿著直尺移動，教師引導:進行觀察比較，學生對問題充分討論與交流，大膽發表觀點，再以小組形式匯報展示．最后得出初步結論：在畫平行線的過程中實際上是保證了同位角的度數不變.
答：位置關系：∠1和∠2在是同位角. 數量關系：∠1=∠2.
三角尺起著保持同位角相等的作用.
如果同位角∠1=∠2，那么a∥b.
歸納：平行線的判定方法1
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.
簡單說成：同位角相等，兩直線平行.
幾何語言：
∵ ∠1=∠2 (已知),
∴ l1∥l2 (同位角相等，兩直線平行).
此處符號“∵”表示“因為”，符號“∴”表示“所以”.
設計意圖：以學生畫圖為主線展開探究,在畫圖的過程中親身體驗:在運動變化過程中，同位角的度數不變.進而得到猜想:同位角相等，兩直線平行.
活動二：探究平行線的判定方法2
問題4：兩條直線被第三條直線所截，同時得到同位角、內錯角和同旁內角，由同位角相等，可以判定兩條直線平行，能否利用內錯角或同旁內角來判定兩條直線平行呢？
問題：如圖，直線a，b被直線c所截.內錯角1與2滿足什么條件時，能得出a//b？
師生活動：教師再次提出問題，學生思考并解答問題.引導學生說出推理的依據正是判定方法1.
解： 當1=2時，a//b.理由如下：
如圖，∵ 1=2(已知)，
2=4(對頂角相等)，
∴ 1=4(等量代換).
∴ a//b(同位角相等，兩直線平行）.
歸納：平行線的判定方法2
兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.
簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.
幾何語言：
∵ ∠1=∠2 (已知)，
∴ a∥b (內錯角相等，兩直線平行).
設計意圖：拋出問題，引導學生合作交流，運用已學的知識去推導出平行線的判定方法二，讓學生說出自己的想法，教師指導學生形成數學語言，培養學生的邏輯推理思維.
活動三：探究平行的判定方法3
問題：如圖，直線a，b被直線c所截.同旁內角1與3滿足什么條件時，能得出a//b？
師生活動：學生思考并解答問題.引導學生說出推理的依據正是平行線的判定方法1和判定方法2.
答：解： 當1與3互補時，a//b.
理由如下：
∵ 如圖，1與3互補(已知)，
4與3互補(鄰補角互補)，
∴ 1=4(同角的補角相等).
∴ a//b(同位角相等，兩直線平行).
追問：還有其他證明方法嗎？
答： 當1與3互補時，a//b.
理由如下：
∵ 如圖，1與3互補(已知)，
2與3互補(鄰補角互補)，
∴ 1=2(同角的補角相等).
∴ a//b(內錯角相等，兩直線平行).
歸納：平行線的判定方法3
兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.
簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行.
幾何語言：
∵ ∠1+∠3=180° (已知)，
∴ a∥b (同旁內角互補，兩直線平行).
設計意圖：通過一題多證,多種思路分析事物,培養學生思維的多樣性.讓學生在這個過程中深刻理解運用轉化解決問題的思想,進一步培養學生邏輯推理能力.
應用新知
【教材例題】
在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎 為什么
師生活動:教師引導學生先根據條件和結論畫出幾何圖形，學生踴躍回答結論之后，引導學生運用多種方法解決問題的同時，鼓勵學生寫出像如下的推理過程.
分析：垂直總與直角聯系在一起，進而可以用相應角的關系來判斷兩條直線是否平行.
方法一：解:這兩條直線平行.理由如下:
如圖, ∵b⊥a，
∴∠1=90°.
同理∠2=90°，
∴∠1=∠2.
又 ∠1和∠2是同位角，
∴b∥c(同位角相等，兩直線平行).
追問：還有其他證明方法嗎？
方法二：
這兩條直線平行.理由如下:
如圖,.∵b⊥a，
∴∠1=90°.
同理∠2=90°,
∴∠1+∠2=180°.
∵∠1和∠2是同旁內角,
∴b∥c(同旁內角互補，兩直線平行).
方法三：
這兩條直線平行.理由如下:
如圖,∵b⊥a，
∴∠1=90°.
同理∠2=90°，
∴∠1=∠2.
∵∠1和∠2是內錯角，
∴b∥c(內錯角相等，兩直線平行).
設計意圖：本題相當于文字題目，是以半開放的形式給出,根據條件寫出結論.本題意滲透簡單邏輯推理的思想，可以有效的鞏固學生對平行線三種判定方法的認識,增強三種判定方法的聯系，讓學生在交流中逐步培養學生的邏輯推理能力.
課堂練習
【教材練習】
1.如圖，E是AB上一點，F是DC上一點，G是BC的延長線上一點.
(1)如果∠B=∠DCG，那么可以判斷哪兩條直線平行 為什么
(2)如果∠D=∠DCG，那么可以判斷哪兩條直線平行 為什么
(3)如果∠D+∠DFE=180°，那么可以判斷哪兩條直線平行 為什么
解： (1) AB∥CD，因為同位角相等，兩直線平行；
(2) AD∥BC，因為內錯角相等，兩直線平行；
(3) AD∥EF，同旁內角互補，兩直線平行.
2.如圖，木工常用角尺畫平行線，你能說出其中的道理嗎
分析：根據同位角相等，兩直線平行即可得出結論.
答：解：用角尺畫平行線，實際上是畫出兩個直角，根據“同位角相等，兩直線平行”即可得出平行線.
3.在鋪設鋼軌時，兩條鋼軌必須是互相平行的.如圖，已知∠2是直角，要判斷兩條鋼軌是否平行，只需要再度量圖中標出的哪個角 為什么
分析：根據圖形可知:∠2和∠3互為同旁內角，∠2和∠5互為內錯角，∠2和∠4互為同位角，然后結合平行線的判定定理即可判斷出需要再度量哪個角.
答：解： 再度量∠3或∠4或∠5的度數，就可以判斷兩條鋼軌是否平行.理由：
當∠3是直角時，∵∠2=90°，∴∠2+∠3=180°，
∴兩條鋼軌平行（同旁內角互補，兩直線平行）；
當∠4是直角時，∵∠2=90°，∴∠2=∠4，
∴兩條鋼軌平行（同位角相等，兩直線平行）；
當∠5是直角時，∵∠2=90°，∴∠2=∠5，
∴兩條鋼軌平行（內錯角相等，兩直線平行）.
4.如圖是兩條道路互相垂直的交叉路口.你能畫出它的平面示意圖(用兩條平行線段表示一條道路)嗎 你能用類似的方法，畫出兩條道路成 45°角的交叉路口的平面示意圖嗎
分析：用直角三角板畫出互相垂直的道路平面示意圖；用量角器畫出成45°角的交通路口的示意圖即可.
答： 解：如圖所示：
【限時訓練】
1.如圖，可以確定AB∥CE的條件是( )
A.∠2=∠B B. ∠1=∠A
C. ∠3=∠B D. ∠3=∠A
分析：根據平行線的判定定理可知當∠2=∠A或∠3=∠B或∠B+∠BCE=180°,AB∥CE.故選C.
答：C
2.用兩塊相同的三角尺按圖所示的方式作平行線AB和CD，能解釋其中的道理的依據是(　　)
A.內錯角相等，兩直線平行
B.同位角相等，兩直線平行
C.同旁內角互補，兩直線平行
D.平行于同一條直線的兩條直線平行
分析：利用三角板完全相同得到∠ADC=∠BAD，然后根據平行線的判定方法可對各選項進行判斷.故選A.
答：A.
3.如圖.(1)從∠1=∠4，可以推出　 ∥ ，理由是__
(2)從∠ABC +∠ =180°，可以推出AB∥CD ，理由是 .
(3)從∠ =∠ ，可以推出AD∥BC，理由是 .
(4)從∠5=∠ ，可以推出AB∥CD， 理由是 .
答：：(1) AB，CD， 內錯角相等，兩直線平行
(2) BCD；同旁內角互補，兩直線平行
(3)3；2（5 ADC）；內錯角相等，兩直線平行
ABC; 同位角相等，兩直線平行
總結：解答此類要判定兩直線平行的題目，可圍繞截線找同位角、內錯角和同旁內角.
4.如圖， 直線AE，CD 相交于點O， 如果∠A=110°，∠1=70°，就可以說明AB∥ CD，這是為什么？
分析：找出AB，CD 被AE 所截形成的同旁內角，利用兩個角之間的數量關系來說明這兩條直線平行.
答：解：∵∠ 1= ∠ AOD(對頂角相等)，∠ 1=70°，
∴∠ AOD=70°.
又∵∠ A=110°，
∴∠ A+ ∠ AOD=180°.
∴AB ∥ CD(同旁內角互補，兩直線平行).
設計意圖：通過課堂練習鞏固新知，加深對本節課的理解及應用.
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.如何判定兩條直線是平行線？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
找兩幅相同的三角尺擺出不同的圖案，用筆描出平行的邊，并說明理由，看誰擺的樣式多.

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