資源簡介

第七章 相交線與平行線
7.1.2 兩條直線垂直
本節課《兩條直線垂直》是人教版初中數學七年級下冊第七章第一節《相交線》第二課時的內容.本課在學生學習了直線、射線、線段以及角的基本概念后，進一步探究平面內兩條不重合直線的位置關系，特別是相交中互相垂直的的情形．通過本課的學習，學生將掌握兩條線垂直所形成的角的數量關系和兩條直線的位置關系，理解垂直、垂足等概念，并學會運用這些概念解決相關的幾何問題．
到了七年級下冊，學生已經具備了一定的數學基礎和幾何知識，對平面幾何的基本概念有了初步的了解．然而，由于學生之間存在個體差異，部分學生在理解兩條直線互相垂直的位置關系及角的數量關系時可能會遇到困難．因此，在教學過程中，教師需要關注學生的個體差異，采取因材施教的教學策略．
1. 學生能從木條轉動到特殊角時抽象出垂直的概念，從一般到特殊的過程中，培養出學生的幾何直觀能力.
2. 在對垂直認識過程中，能理解并掌握關于垂直的兩條重要性質.
3. 學生通過對垂直的理解，體會轉化思想，能利用這些知識解決實際生活中所遇到的問題.
4.經歷本節課的學習，學生能夠體會到幾何與生活的緊密聯系，培養學生空間想象和解決實際問題的能力.
重點：理解并掌握關于垂直的兩條重要性質.
難點：通過對垂直的理解，體會轉化思想，并利用這些知識解決實際生活中所遇到的問題.
復習回顧
問題1：在上一節中我們發現：隨著木條的轉動，木條間的夾角α也隨之變化，那么當∠α=90°時，木條a、b又是什么樣的位置關系呢？
師生活動：小組形式匯報．
結論：此時兩個木條垂直，垂直是一種特殊的相交.
概念歸納：一般地：當兩條直線a、b所成的四個角中有一個是直角時，我們說a與b互相垂直，記作a⊥b.
設計意圖：通過提前布置預習作業，觀察圖片，培養學生檢索整理信息的能力，并引發學生的思考，為學習新課做鋪墊.
探究新知
活動一：探究垂直的定義
問題2：如圖所示直線垂直，那么其中一條叫做另外一條的垂線，它們的交點叫做垂足，圖中：AB⊥CD，垂足為O.如果∠BOD=90°，那么AB、CD是什么位置關系呢？
答：因為∠BOD=90°所以AB⊥CD.
追問：如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？寫出推理過程.
答：因為AB⊥CD，所以∠AOD=90°.
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
活動二：作垂線
問題3：如圖，用三角尺或量角器畫出已知直線的垂線.
（1）經過直線l上一點A畫垂線，這樣的直線能畫出來幾條？
（2）經過直線l外一點B畫垂線，這樣的直線能畫出來幾條？
答：都只能畫出來一條直線.
概念歸納：基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設計意圖：通過讓學生操作，培養學生動手的能力，并引發學生的思考，加深對本節概念的印象.
活動三：探究垂線段
問題4：思考：在灌溉時要把河水中的水引到農田P處，如何挖渠能使渠道最短？
建模：實際問題我們可以將其抽象為數學幾何問題來思考.
答：P是直線l外一點，PO⊥l，PA1、PA2···都是點P到直l的點.
可以發現：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.
概念歸納：垂線段的長度叫做點到直線的距離.
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設計意圖：通過讓學生思考，培養學生數學建模的能力，通過將實際問題抽象為數學幾何問題，體會轉化思想.
應用新知
經典例題：例1：如圖，在線段PA、PB、PC、PD中，長度最小的是( ).
A.線段PA B.線段PD C.線段PC D.線段PD
答：由直線外一點到直線上所有點的連線中，垂線段最短，可知答案為B.
故選：B．
教材例題：例2：如圖所示，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線.
答：
師生活動：老師提問學生代表展示問題答案．
設計意圖：通過學生參與活動，激發學生參與課堂教學的熱情，使學生進入問題情境，讓學生加深對相交線的印象.激發學生的求知欲望，感受幾何的魅力.
課堂練習
【教材練習】
1. 當兩條直線相交所成的四個角都相等時，著兩條直線有什么位置關系？為什么？
答：互相垂直.
分析：兩條直線相交所成的四個角的和為360°，當兩條直線相交所成的四個角都相等時，每個角各為90°.即兩條直線互相垂直.
2. 如圖，三角形ABC中，∠C=90°.
（1）分別指出點A到直線BC，點B到直線AC的距離是哪些線段的長；
（2）三條邊AB，AC，BC中哪條邊最長？為什么？
答：（1）點A到直線BC的距離是線段AC的長；
點B到直線AC的距離是線段BC的長；
（2）AB邊最長，因為連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.
師生活動：學生先獨立思考再作答.
3. 點P為直線l外一點，點A，B，C為直線l上三點，PA=4cm，PB=5cm，PC=3cm，則點P到直線l的距離( ).
A.等于4cm B.等于5cm C.等于3cm D.不大于3cm
答：根據點到直線的距離為點到直線的垂線段（垂線段最短），所以點P到直線l的距離小于等于3，即不大于3.
故選D.
師生活動：學生先獨立思考再作答.
【限時訓練】
1. 如圖，小華的家在P處，他想盡快到馬路邊接到他外婆，他選擇沿PC去公路邊，他這一個選擇利用的數學知識是（ ）
A.兩點確定一條直線 B.兩點之間直線最短
C.兩點之間線段最短 D.垂線段最短
答：D.
師生活動：老師提問學生舉手回答問題．
2. 體育課上老師測量跳遠成績的依據是（ ）
A.垂直的定義 B.兩點之間線段最短
C. 垂線段最短 D.兩點確定一條直線
答：C.
3. 如圖所示，點P到直線l的距離是（ ）
A.線段PA的長度 B.線段PB的長度 C.線段PC的長度 D.線段 PD的長度
答：B.
4. 如圖，點A、B、C在直線l上，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，
則點P到直線l的距離是 cm.
答：5.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深理解幾何圖形所研究的方向.
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.垂直的概念是什么？
3.垂直的兩條重要的性質是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
在日常生活中兩條直線垂直的現象很常見，如窗戶上的木條、網球拍上的膠線···那么你還能從生活中找到哪些關于垂直的應用呢？快跟小伙伴們去找一找吧！
本節課是第七章“相交線與平行線”的第一節《相交線》中的第二課時《兩條直線垂直》，本節課是平面幾何學習中的重要組成部分．本課在學生學習了直線、射線、線段以及角的基本概念后，進一步探究平面內兩條不重合直線的位置關系，特別是相交中互相垂直的情形．七年級的學生正處于青春期，思維活躍，好奇心強，但注意力容易分散．因此，教師在設計教學活動時，應注重激發學生的學習興趣，通過生動的實例和有趣的練習，引導學生積極參與課堂活動，提高教學效果．
針對學生的學情，教師在備課時應充分準備，設計多樣化的教學活動，如小組討論、動手操作、游戲競賽等，以激發學生的學習興趣和主動性．同時，教師還應關注學生的學習過程，及時給予指導和幫助，確保每位學生都能在課堂上有所收獲．

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