資源簡介

第二章 實數
2.1 第2課時　無理數
1．經歷無理數的探索過程．
2．了解無理數的概念．
3．能用計算器求一個正數的算術平方根．
4．通過學生動手操作(做出面積為8 cm2的正方形)，發現新問題，在探討新問題的過程中學習無限不循環小數、無理數的概念．培養學生動手、觀察、推理的能力．激勵學生積極參與教學活動，提高大家學習數學的熱情．
重點：無理數的探索過程．
難點：無理數的認識．　　　　　　　　　
一、情境導入
在上節課中，我們學習了這個問題：
為了美化校園，學校打算建一個面積為225平方米的正方形植物園，這個正方形的邊長應取多少？你能計算出來嗎？
如果把“225”改為其他數字，如“200”，這時怎樣確定邊長？
二、合作探究
探究點一：無理數
【類型一】 無理數的識別
在下列實數中：，3.14，0，，π，，0.1010010001…(相鄰的兩個1之間依次多一個0)，無理數有(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解析：根據無理數的定義可以知道，上述實數中是無理數的有：π，，0.1010010001…(相鄰的兩個1之間依次多一個0).故選C.
方法總結：無限不循環小數叫無理數，常見無理數的三種形式：第一類是開方開不盡的數，第二類是化簡后含有π的數，第三類是有規律不循環的小數．
【類型二】 估計無理數的大小
設n為正整數，且n＜＜n＋1，則n的值為(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：根據特殊有理數找出最接近的完全平方數，問題可得到解決．
∵＜＜，
∴8＜＜9.
∵n＜＜n＋1，
∴n＝8，故選D.
方法總結：開不盡的平方根形式的無理數的估算一般步驟是首先將原數平方，看其在哪兩個相鄰的平方數之間，運用這種方法可以估計一個帶根號的數的整數部分，估計其大致范圍．
探究點二：用計算器求算術平方根
【類型一】 用計算器求算術平方根
用計算器計算：
(1)；
(2)(精確到0.001)；
(3)(精確到0.001).
解析：(1)按鍵：“”“1225”“＝”即可；
(2)按鍵：“”“36.42”“＝”，再取近似值即可；
(3)按鍵：“”“13”“＝”，再取近似值即可．
解：(1)＝35.
(2)≈6.035.
(3)≈3.606.
方法總結：取近似值時要看下一位，再四舍五入．
【類型二】 算術平方根的實際應用
在交通事故的處理中，警察常用公式v＝16來判斷該車是否超速，其中v表示車速(單位：千米/時)，d表示剎車后車輪滑過的距離(單位：米)，f表示摩擦系數．某日，在一段限速60千米/時的公路上，發生了一起兩車追尾事故，警察趕到后，經過測量，得出其中一輛車的d＝17.9米，f＝2.3.請問該車超速了嗎？
解析：把d＝17.9，f＝2.3代入計算，求出近似值，與60相比較．
解：∵v＝16＝16×≈102.66(千米/小時)，而102.66>60.∴該車超速了．
方法總結：按照規定的運算代值計算，求出近似值.
三、板書設計
1．無理數
2．用計算器求一個正數的算術平方根
本節課通過實際問題引入無理數，讓學生感知無理數是客觀存在的，激發學生的求知欲望．再讓學生用計算器求無理數的近似值，認識到無理數包括無限不循環小數．這樣突出學生的主體地位，整個課堂以學生參與為主線，老師起主導作用．第二章 實數
2．1 第1課時 平方根和算術平方根
1．了解平方根的概念，會用根號表示數的平方根、算術平方根．
2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方根定義求某些非負數的平方根、算術平方根．
3．通過問題情境使學生在計算、探索、交流的過程中能感悟平方根、算術平方根的意義，使學生認識數學與人類生活的密切關系．
重點：平方根和算術平方根的定義與求法．
難點：平方根的定義和性質的探索．
一、情境導入
為了美化校園，學校打算建一個面積為225平方米的正方形植物園，這個正方形的邊長應取多少？你能計算出來嗎？
二、合作探究
探究點一：平方根
【類型一】 求一個數的平方根
求下列各數的平方根．
(1)16; (2)；
(3)1； (4)(－2.1)2.
解析：根據平方根的性質知道，一個正數有兩個平方根，它們是互為相反數．所以只要找出一個數，使得它的平方等于這個數．
解：(1)由于42＝16，因此16的平方根是4與－4，即±＝±4.
(2)由于()2＝，因此的平方根是與－，即±＝±.
(3)1＝，由于()2＝，因此1的平方根是與－，即±＝±.
(4)(－2.1)2＝2.12.因此(－2.1)2的平方根是2.1與－2.1，即±＝±2.1.
方法總結：求一個非負數的平方根，只要找出一個非負數，使得它的平方等于這個數，那么找出的那個非負數，連同它的相反數，就是所求的平方根．
【類型二】 利用平方根的意義求字母的值
已知一個正數的兩個平方根分別是2a－2和a－4，則a的值是________．
解析：∵一個正數的兩個平方根分別是2a－2和a－4，∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2.故答案為2.
方法總結：本題考查了平方根的概念．一個正數有兩個平方根，它們是互為相反數，兩個數互為相反數，它們的和為0.
探究點二：算術平方根
【類型一】 求一個數的算術平方根
求下列各數的算術平方根．
(1)1.69; (2)1；
(3)(－5)2; (4)0.
解析：根據算術平方根的定義，求算術平方根時，只取非負的平方根即可．
解：(1)由于1.32＝1.69，因此＝1.3.
(2)由于1＝，()2＝，因此＝.
(3)由于(－5)2＝52，因此＝5.
(4)由于02＝0，因此＝0.
方法總結：求一個數的算術平方根的一般步驟：①找出一個非負數，使得它的平方等于這個數；②寫成這個數的算術平方根等于這個非負數的形式．
【類型二】 求含根號式子的值
求下列各式的值．
(1)±； (2)－；
(3)； (4).
解析：(1)±表示49的平方根，所以結果為±7；(2)－表示16的算術平方根的相反數，所以結果為－4；(3)表示的算術平方根，所以結果為；(4)因為＝，而81的算術平方根為9，所以結果為9.
解：(1)±＝±7.
(2)－＝－4.
(3)＝.
(4)＝＝9.
方法總結：理解各個式子表示的意義是解題的關鍵：±表示a的平方根；表示a的算術平方根；－表示a的算術平方根的相反數．也就是說：只要題目中的式子有意義，結果的符號與式子前面的符號相同．
探究點三：算術平方根的非負性
已知a，b滿足|a－2|＋＝0，求ab的值．
解析：由絕對值的意義知：|a－2|≥0；由算術平方根的意義知：≥0，所以a－2＝0，b－3＝0.于是可以求得a，b的值，再代入ab計算即可．
解：因為|a－2|＋＝0，
所以解得
所以ab＝23＝8.
方法總結：幾個非負數的和為0，則這幾個非負數分別等于0.
三、板書設計
平方根 算術平方根
本節課的教學中，通過實例引入平方根的概念，并讓學生感悟“負數為什么沒有平方根”．引導學生歸納出正數、0、負數的平方根的情況．通過練習進一步理解平方根、算術平方根的概念．本節課易錯點是在表示平方根與算術平方根時學生容易混淆；式子表示與語言敘述相結合的題往往只看到一個方面，如“的算術平方根是________．”學生會誤填“9”．第二章 實數
2．2　立方根
1．了解立方根的概念．
2．能用立方根運算求某些數的立方根，能用科學計算器求立方根及其近似值．
3．在立方根概念、符號、運算及性質的探究過程中，培養學生聯系實際、善于觀察、勇于探索和勤于思考的精神．通過對實際問題的解決，體會數學的實用價值．
重點：立方根的概念及運算．
難點：立方根與平方根的區別．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境導入
一個正方體的體積為8立方米，這個正方體的棱長是多少？
二、合作探究
探究點一：立方根
【類型一】 求一個數的立方根
求下列各數的立方根．
(1)－27；　(2)0.008；　(3).
解析：根據立方根的定義，把題中各數分別化為一個數的立方即可．
解：(1)∵(－3)3＝－27，∴＝－3.
(2)∵(0.2)3＝0.008，∴＝0.2.
(3)∵()3＝，∴＝.
方法總結：任何一個數都只有一個立方根，其符號與原數的符號相同．
【類型二】 立方根與平方根的綜合問題
已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算術平方根．
解析：根據平方根、立方根的定義和已知條件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，從而解出x，y，最后代入x2＋y2，求其算術平方根即可．
解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.
∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8.
∵x2＋y2＝68＋82＝100，∴x2＋y2的算術平方根為10.
方法總結：本題先根據平方根和立方根的定義，運用方程思想求出x，y值，再根據算術平方根的定義求解.
探究點二：開立方
計算：
(1)； (2)；
(3)－； (4)＋.
解析：本題實質是求各數的立方根．
解：(1)＝－5.
(2)＝0.4.
(3)－＝－＝3.
(4)＋＝＋＝－＝1.
方法總結：①求立方根時要注意符號；②＝a.
探究點三：用計算器求立方根
用計算器求下列各式的值．
(1)；
(2)－(精確到0.001)；
(3)－(精確到0.001).
解析：先按，，再按根號下的各數字，最后按鍵即可．(2)(3)小題可先確定結果的符號：(2)小題結果為負，(3)小題結果為正．
解：(1)＝9.
(2)－≈－4.806.
(3)－≈1.751.
鍵是第二功能鍵，相繼按，鍵，意思是執行上方所指的功能運算.Ｋ
探究點四：立方根的實際應用
有一塊體積為343 cm3的正方體木塊，現在要把它分成大小相等的8塊小正方體，求每塊小正方體的表面積．
解析：先由體積開立方求得邊長，再由邊長求得表面積．
解：每塊小正方體的邊長為：＝(cm).
表面積為：6××＝(cm2).
方法總結：正確理解題意，把實際問題轉化為數學問題是解題的關鍵．
三、板書設計
立方根 開立方
本節課通過實例引入了立方根的概念，通過合作探究得出了立方根的性質，激發了學生的學習興趣，培養了學生的合作意識．要注意立方根與平方根的區別，在教學時可引導學生對比平方根進行學習．第二章 實數
2.3 第二課時　實數的運算
1．了解有理數的運算在實數范圍內仍然適用．
2．會進行實數大小的比較．
3．通過實際問題探討近似值取值，讓學生感受到生活中處處存在著數學，激發學生的學習興趣．
重點：在實數范圍內近似值的取值．
難點：實數的大小比較技巧．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境導入
如圖所示，小明家有一正方形廚房ABCD和一正方形臥室CEFG，其中正方形廚房ABCD的面積為10平方米，正方形臥室CEFG的面積為15平方米，他想知道這兩個正方形的邊長之和BG的長是多少米，你能幫他計算出來嗎？
二、合作探究
探究點一：實數的運算
計算下列各式的值．
(1)2－5－(－5)；
(2)|－|＋|1－|＋|2－|.
解析：按照實數的混合運算順序進行計算．
解：(1)2－5－(－5)
＝2－5－＋5
＝(2－)＋(5－5)
＝.
(2)因為－＞0，1－＜0，2－＞0，
所以|－|＋|1－|＋|2－|
＝(－)－(1－)＋(2－)
＝－－1＋＋2－
＝(－)＋(－)＋(2－1)
＝1.
方法總結：進行實數的混合運算時，要注意運算順序以及正確運用運算律．
探究點二：實數的估算和大小比較
【類型一】 估算法
不用計算器，分別估計和－在哪兩個相鄰整數之間．
解析：估算116介于哪兩個完全平方數之間，800介于哪兩個立方數之間，再開方得出范圍．
解：因為102＝100＜116，112＝121＞116，所以介于10和11之間，即10＜＜11.因為93＝729＜800，103＝1000＞800，所以介于9和10之間，即－10＜－＜－9.
方法總結：估計算術平方根或立方根的大小，先估算被開方數介于哪兩個完全平方數或立方數之間，再開方即可．
【類型二】 作差法和作商法
比較大小：(1)與；(2)1－與1－.
解析：把兩個數直接相減，根據差的正負比較大小．
解：(1)∵－＝<0，∴<.或÷＝－1＜1，∴＜.
(2)∵(1－)－(1－)＝－>0，∴1－>1－.
方法總結：作差法：設a，b為任意兩個實數，先求出a與b的差，再根據“當a－b<0時，a0時，a>b.”來比較a與b的大小．作商法：當a＞0，b＞0時，＞1則a＞b，＜1則a＜b，＝1，則a＝b.
【類型三】 平方法
比較2與3的大小．
解析：兩個數都是正數，把它們分別平方后再比較大小．
解：∵(2)2＝12，(3)2＝18，又∵12<18，∴2<3.
方法總結：平方法：比較含有無理數的式子的大小時，先將要比較的兩個數分別平方，再根據“在a＞0，b＞0時，可由a2＞b2得到a＞b”比較大小．也就是說，兩個正數比較大小時，如果一個數的平方比另一個數的平方大，則這個數大于另一個數．
【類型四】 近似值法
比較大小：(1)π與；(2)－與－4.
解析：借助計算器分別求出它們的近似值，再比較大小．
解：(1)∵π≈3.142，≈3.162，
∴π<.
(2)∵－≈－0.4714，－4≈－0.6834，
－0.4714>－0.6834，
∴－>－4.
方法總結：在比較含有無理數的兩個數的大小時，也可以先用計算器求出它們的近似值，不過取它們的近似值時，要保持精確度相同，再通過比較有理數的大小，即比較它們的近似值的大小來確定它們的大小．
三、板書設計
實數的運算 實數的大小比較
由實際問題引入實數的運算，激發學生的學習興趣．同時復習有理數的運算法則和運算律，并強調這些法則和運算律在實數范圍內同樣適用．教學中，讓學生通過具體的運算(包含無理數的運算)感知運算法則和運算律，培養學生嚴謹務實、一絲不茍的學習態度．在涉及到用計算器求近似值時，一定要注意題目中的精確度．第二章 實數
2.3 第一課時 認識實數
1．了解無理數和實數的概念，會對實數按照一定的標準進行分類，培養分類能力．
2．了解分類的標準與分類結果的相關性，進一步了解體會“集合”的含義．
3．了解實數范圍內相反數、絕對值的意義，運算律的意義．
4．通過對實數分類的探索，學會分類的方法．類比有理數范圍內相反數、絕對值、運算律的意義運用到實數范圍內．領會數形結合的思想，在運用實數運算解決實際問題的過程中，增強應用意識，提高解決問題的能力，體會數學的應用價值．
重點：實數的概念與分類；在實數范圍內求相反數、絕對值；實數范圍內的四則運算．
難點：實數的分類；實數范圍內的四則運算．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境導入
前面我們學習了有理數和無理數，把數的范圍又擴大了，那么這個大范圍的數叫作什么數？怎樣分類？
二、合作探究
探究點一：實數的概念和分類
把下列各數分別填到相應的集合內：
－3.6，，，5，，0，，－，，3.14，0.101001…(相鄰的兩個1之間依次多1個0).
(1)有理數集合{　　　　…}；
(2)無理數集合{　　　　…}；
(3)整數集合{　　　　…}；
(4)負實數集合{　　　　…}．
解析：實數分為有理數和無理數兩類，也可以分為正實數、0、負實數三類．而有理數分為整數和分數．
解：(1)有理數集合{－3.6，，5，0，－，，3.14，…}；
(2)無理數集合{，，，0.101001…(相鄰的兩個1之間依次多1個0)，…}；
(3)整數集合{，5，0，－，…}；
(4)負實數集合{－3.6，，－，…}．
方法總結：正確理解實數和有理數的概念，做到分類不遺漏不重復．
探究點二：實數與數軸上的點一一對應
【類型一】 求數軸上的點對應的實數
如圖所示，數軸上A，B兩點表示的數分別是－1和，點B關于點A的對稱點為C，求點C所表示的實數．
解析：首先結合數軸和已知條件可以求出線段AB的長度，然后利用對稱的性質即可求出C所表示的實數．
解：∵數軸上A，B兩點表示的數分別為－1和，∴點B到點A的距離為1＋.則點C到點A的距離也為1＋.
設點C表示的實數為x，則點A到點C的距離為－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.
∴點C所表示的實數為－2－.
方法總結：本題主要考察了實數與數軸之間的對應關系，兩點之間的距離為兩數差的絕對值．
【類型二】 利用數軸進行估算
如圖所示，數軸上A，B兩點表示的數分別是和5.1，則A，B兩點之間表示整數的點共有(　　)
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
解析：∵≈1.414，∴和5.1之間的整數有2，3，4，5，∴A，B兩點之間表示整數的點共有4個，故選C.
方法總結：要確定兩點間的整數點的個數，也就是需要比較兩個端點與鄰近整點的大小，牢記數軸上右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大．
【類型三】 結合數軸進行化簡
實數在數軸上的對應點如圖所示，化簡：－|b－a|－.
解析：由于＝|a|，＝|b＋c|，所以解題時應先確定a，b－a，b＋c的符號，再根據絕對值的意義化簡．
解：由圖可知，a<0，b－a>0，b＋c<0.
所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.
方法總結：根據實數的絕對值的意義正確去絕對值符號是解題的關鍵：|a|＝
探究點三：相反數和絕對值
求下列各數的相反數和絕對值．
(1)；　(2)－；　(3)－1＋.
解析：根據相反數、絕對值的定義求解．
解：(1)的相反數是－，絕對值是.
(2)－的相反數是－＋，絕對值是－＋.
(3)－1＋的相反數是1－，絕對值是－1＋.
方法總結：只有符號不同的兩個數互為相反數，求一個數的相反數時，只需在這個數的前面加上“－”號再去括號即可．求一個數的絕對值，需要分清這個數是正數、0還是負數．正數的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數.
三、板書設計
本節課學習了實數的有關概念和實數的分類，把我們所學過的數在有理數的基礎上擴充到實數．在學習中，要求學生結合有理數理解實數的有關概念．本節課要注意的地方有兩個：一是所有的分數都是有理數，如；二是形如，等之類的含有π的數不是分數，是無理數．

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