資源簡介

第一章 整式的乘法
1.1.2　冪的乘方
1．理解冪的乘方的運算法則，能靈活運用法則進行計算．
2．在雙向運用冪的乘方運算法則的過程中，培養學生思維的靈活性．
3．在探索“冪的乘方法則”的過程中，讓學生體會從特殊到一般的數學歸納思想．初步培養學生運用“轉化”的數學思想方法的能力．
重點：能靈活運用冪的乘方法則進行計算．
難點：區別冪的乘方與同底數冪的乘法運算，提高推理能力和有條理的表達能力．
一、情境導入
根據乘方的意義計算：
(1)(32)3；
(2)(a2)3；
(3)(am)n.
解：(1)(32)3＝32×32×32＝32＋2＋2＝36；
(2)(a2)3＝a2×a2×a2＝a2＋2＋2＝a6；
(3)(am)n＝am×am×…×am,\s\do4(n個am))＝am＋m＋…＋m,\s\do4(n個m)) ＝amn.
觀察上述計算的結果，底數變化了嗎？指數發生了什么變化？你能總結出什么結論？
二、合作探究
探究點一：冪的乘方
計算：
(1)(－a3)5；
(2)(－a2)3·(－a4)2；
(3)2(－a3)4＋3(－a2)6.
解析：根據冪的乘方法則，同底數冪的乘法及合并同類項進行計算．
解：(1)(－a3)5＝－a3×5＝－a15；
(2)(－a2)3·(－a4)2＝－a6·a8＝－a14；
(3)2(－a3)4＋3(－a2)6＝2a12＋3a12＝5a12.
方法總結：在含有冪的乘方、同底數冪的乘法、合并同類項等運算中，要注意運算順序，先算乘方，再算乘法．
探究點二：冪的乘方法則的運用
【類型一】 運用冪的乘方法則求值
已知3×9m×27m＝316，求m的值．
解析：運用冪的乘方，把底數都化為3的形式，結合同底數冪的乘法，列出關于m的方程求解．
解：∵3×9m×27m＝316，∴3×(32)m×(33)m＝316.即3×32m×33m＝316.∴1＋2m＋3m＝16，解得m＝3.
方法總結：要注意區分同底數冪的乘法和冪的乘方兩種不同的運算，而這兩種運算在很多題目中是同時出現的．
【類型二】 方程與冪的乘方的綜合應用
已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y統一為底數為2的乘方的形式，最后根據同底數冪的乘法法則即可得到結果．
解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3.∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
方法總結：本題考查了冪的乘方的逆用及同底數冪的乘法，再結合整體代入求解．
【類型三】 運用冪的乘方法則比較大小
比較3555，4444，5333的大小．
解析：由于3個冪的底數與指數都不相同，觀察發現，它們的指數有最大公約數111，所以逆用冪的乘方的運算性質，可將3個冪都轉化為指數是111的冪的形式，然后只需比較它們的底數即可．
解：∵3555＝35×111＝(35)111＝243111，4444＝44×111＝(44)111＝256111，5333＝53×111＝(53)111＝125111，又∵256＞243＞125，∴256111＞243111＞125111，即4444＞3555＞5333.
方法總結：本題主要考查了冪的大小比較的方法．一般來說，比較幾個冪的大小，可以把它們的底數化為相同，也可以把它們的指數化為相同，再分別比較它們的指數或底數．
三、板書設計
冪的乘方
冪的乘方法則：底數不變，指數相乘．即(am)n＝amn(m，n都是正整數).
本節課通過特例，引導學生積極探究、大膽猜想，總結歸納出冪的乘方法則．教學中應注意讓學生區分同底數冪的乘法法則與冪的乘方法則的不同，特別注意：冪的乘方，不是把指數乘方．第一章 整式的乘法
1.2.2 第1課時　完全平方公式
1．會推導完全平方公式，理解公式的幾何背景，并能運用公式進行簡單運算．
2．經歷探索完全平方公式的過程，并從推導過程中，培養學生觀察、發現、歸納、概括、猜想等探究創新能力，培養學生的數形結合意識．
3．調動學生學習的積極性、主動性，增強學生學習數學的信心．
重點：運用完全平方公式進行計算．
難點：完全平方公式的推導．
一、情境導入
計算：
(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；
(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.
由上述計算，你發現了什么結論？
二、合作探究
探究點：完全平方公式
【類型一】 直接運用完全平方公式進行計算
利用完全平方公式計算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
解析：直接運用完全平方公式進行計算即可．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
方法總結：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
【類型二】 構造完全平方式
如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個完全平方式，求m的值．
解析：先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式確定m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y.∴m＋1＝±60.∴m＝59或－61.
方法總結：兩數的平方和加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．
【類型三】 完全平方公式的幾何背景
我們已經接觸了很多代數恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數恒等式．例如圖甲可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通過圖乙面積的計算，驗證了一個恒等式，此等式是(　　)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解析：空白部分的面積為(a－b)2，還可以表示為a2－2ab＋b2，所以此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故選C.
方法總結：通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．
三、板書設計
完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
兩數和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍．
本節課通過多項式乘法推導出完全平方公式，讓學生自己總結出完全平方公式的特征，注意不要出現如下錯誤：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.為幫助學生記憶完全平方公式，可采用如下口訣：首平方，尾平方，乘積兩倍在中央．教學中，教師可通過判斷正誤等習題強化學生對完全平方公式的理解記憶．第一章 整式的乘法
1.1.4　單項式的乘法
1．經歷探索單項式與單項式相乘的運算法則的過程，會進行單項式與單項式相乘的運算．
2．理解單項式與單項式相乘的算理，體會乘法交換律和結合律的作用和轉化的數學思想．
3．在探索單項式與單項式相乘的過程中，利用乘法的交換律、結合律將陌生的問題轉化為已知的問題，培養學生轉化的數學思想．
重點：單項式與單項式相乘的運算法則及其運用．
難點：靈活地進行單項式與單項式相乘的運算．
一、情境導入
根據乘法的運算律計算：
(1)2x·3y；
(2)5a2b·(－2ab3).
解：(1)2x·3y＝(2×3)(x·y)＝6xy；
(2)5a2b·(－2ab3)＝5×(－2)(a2·a)(b·b3)＝－10a3b4.
觀察上述運算，你能歸納總結出單項式乘法的運算法則嗎？
二、合作探究
探究點一：單項式的乘法
計算：
(1)(－a5b)·(－ab3c2)；
(2)(－x3y2)2·(－xy3z3)；
(3)(－2.5×102)×(－2×103)2×(5×103)3.
解析：(1)直接運用單項式乘法法則計算；(2)先計算積的乘方，再進行單項式乘法運算；(3)把10看作一項，先進行積的乘方計算，再進行單項式乘法運算．
解：(1)原式＝(－)×(－)(a5·a)(b·b3)c2＝a6b4c2；
(2)原式＝(x6y4)·(－xy3z3)＝×(－)(x6·x)(y4·y3)z3＝－5x7y7z3；
(3)原式＝(－2.5×102)×(4×106)×(125×109)＝(－2.5×4×125)×(102×106×109)＝－1250×1017＝－1.25×1020.
方法總結：(1)單項式乘以單項式，涉及的有三個方面：①系數相乘，運用有理數乘法法則；②相同字母的冪相乘，運用同底數冪的乘法法則；③只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式，不可漏乘．單項式乘以單項式的實質就是乘法交換律、結合律與冪的運算的綜合運用．(2)單項式乘以單項式的結果仍是單項式．
探究點二：單項式的乘法的應用
【類型一】 應用單項式乘法解決與積有關的問題
已知單項式9am＋1bn＋1和－2a2m－1b2n－1的積與5a3b6是同類項，求m，n的值．
解析：根據同底數冪的乘法，同類項的概念可求m，n的值．
解：9am＋1bn＋1·(－2a2m－1b2n－1)＝9×(－2)·am＋1·a2m－1·bn＋1·b2n－1＝－18a3mb3n.因為－18a3mb3n與5a3b6是同類項，所以3m＝3，3n＝6，解得m＝1，n＝2.
方法總結：單項式乘法的結果不會增加在各個單項式中沒有的字母．根據同類項的概念，利用單項式乘法法則，可得對應字母的指數相等，從而列出方程求解．
【類型二】 單項式乘法的實際應用
有一塊長為x m，寬為y m的長方形空地，現在要在這塊地中劃出一塊長為x m，寬為y m的長方形空地用于綠化，求綠化的面積和剩下的面積．
解析：先求出長方形的面積，再求出長方形空地綠化的面積，兩者相減即可求出剩下的面積．
解：長方形的面積是xy m2，長方形空地綠化的面積是x×y＝xy(m2)，則剩下的面積是xy－xy＝xy(m2).
方法總結：掌握長方形的面積公式和單項式乘單項式法則是解題的關鍵．
三、板書設計
單項式的乘法
單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘．
本節課的知識是建立在前幾節課的基礎之上，利用運算律和冪的運算法則即可推導出單項式的乘法法則，單項式的乘法實際上只包含了兩個運算：系數相乘及同底數冪的指數相加，至于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數應作為積的一個因式．第一章 整式的乘法
1.2.2 第2課時　運用完全平方公式進行計算
1．能夠運用完全平方公式進行較復雜式子的運算及一些數的簡便運算．
2．通過學習運用完全平方公式進行計算，提高對完全平方公式綜合運用的能力，分析問題、解決問題的能力．
3．調動學生學習的積極性、主動性，增強學生學習數學的信心．
重點：運用完全平方公式進行較復雜式子的運算及一些數的簡便運算．
難點：靈活運用完全平方公式進行整式的簡便運算．
一、情境導入
1．請同學們用語言敘述并用式子表示完全平方公式.
2．下列各式相等嗎，為什么？
(1)(a＋b)2與(－a－b)2；
(2)(a－b)2與(b－a)2.
二、合作探究
探究點：運用完全平方公式進行計算
【類型一】 運用完全平方公式的變形進行計算
已知x－y＝6，xy＝－8.
(1)求x2＋y2的值；
(2)求代數式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．
解析：(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，將x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化簡(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy.∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；
(2)∵(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋[(x－y)2－z2]－xz－yz＝x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz＋x2＋y2－xy－z2－xz－yz＝x2＋y2，又∵x2＋y2＝20，∴原式＝20.
方法總結：通過本題要熟記(x－y)2＝x2＋y2－2xy，x2＋y2＝(x－y)2＋2xy.
【類型二】 運用完全平方公式進行簡便計算
利用乘法公式計算：
(1)982－101×99；
(2)20142－2014×4026＋20132.
解析：原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式計算即可得到結果．
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20142－2×2014×2013＋20132＝(2014－2013)2＝1.
方法總結：運用完全平方公式進行簡便運算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉化為能利用完全平方公式的形式．
【類型三】 逆用完全平方公式
已知a2＋b2－8a－10b＋41＝0，求5a－b2＋25的值．
解析：從已知中直接求出a，b是困難的，試著把已知的左邊轉化為兩個完全平方式．
解：由已知，得(a2－2·a·4＋42)＋(b2－2·b·5＋52)＝0，即(a－4)2＋(b－5)2＝0，所以a－4＝0，b－5＝0，即a＝4，b＝5.當a＝4，b＝5時，5a－b2＋25＝5×4－52＋25＝20.
方法總結：逆用完全平方公式，再結合平方或平方和的非負性是解答此題的關鍵．
三、板書設計
1．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．底數互為相反數的平方的關系：(－a＋b)2＝(a－b)2，(－a－b)2＝(a＋b)2.
本節課學習了運用完全平方公式進行計算，計算時應弄清是運用兩數和的完全平方公式還是兩數差的完全平方公式．如果底數同號，則運用兩數和的完全平方公式；若底數異號，則運用兩數差的完全平方公式．注意強調學生不要遺漏中間項．第一章 整式的乘法
1.1.5 第2課時　多項式與多項式相乘
1．經歷探索多項式乘多項式的運算法則的過程，理解多項式乘多項式的運算法則．
2．靈活運用多項式乘多項式的運算法則．
3．用數學的思維體會乘法對加法的分配律的作用與轉化思想，發展有條理的思考及語言表達能力．
4．充分調動學生學習的積極性、主動性，提高與他人溝通交流的能力．
重點：多項式乘多項式的運算法則的理解及運用．
難點：多項式乘多項式的運算法則的靈活運用．
　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境導入
某地區在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區的長、寬分別增加n米和b米．用兩種方法表示這塊林區現在的面積．
學生積極思考，教師引導學生分析，學生發現：
這塊林區現在長為(m＋n)米、寬為(a＋b)米，因而面積為(m＋n)(a＋b)平方米．
另外：如圖，這塊地由四小塊組成，它們的面積分別為ma平方米、mb平方米、na平方米、nb平方米，故這塊地的面積為(ma＋mb＋na＋nb)平方米．
由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我們就學習多項式乘以多項式．
二、合作探究
探究點一：多項式乘以多項式
【類型一】 直接利用多項式乘以多項式法則進行計算
計算：
(1)(3x＋2)(x＋2)；
(2)(4y－1)(5－y).
解析：利用多項式乘以多項式法則計算，即可得到結果．
解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；
(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.
方法總結：多項式乘以多項式，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．
【類型二】 混合運算
計算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4).
解析：根據整式混合運算的順序和法則分別進行計算，再把所得結果合并即可．
解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.
方法總結：在計算時要注意混合運算的順序和法則以及運算結果的符號．
探究點二：多項式乘以多項式的化簡求值及應用
【類型一】 化簡求值
(1)計算：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)；
(2)當a取－1，b取1時，求(1)中多項式的值．
解析：先將式子利用整式乘法展開，合并同類項化簡，再代入計算．
解：(1)(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
(2)將a＝－1，b＝1代入，(1)中多項式的值為－8b3＋2a2b＋15ab2＝－8＋2－15＝－21.
方法總結：化簡求值是整式運算中常見的題型，一定要注意先化簡，再求值，不能先代值，再計算．
【類型二】 多項式乘以多項式與方程的綜合
解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.
解析：方程兩邊利用多項式乘以多項式法則計算，移項、合并同類項，將x系數化為1，即可求出解．
解：去括號，得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移項、合并同類項，得－15x＝7，解得x＝－.
方法總結：解答本題就是利用多項式的乘法，將原方程轉化為已學過的方程解答．
【類型三】 多項式乘以多項式的實際應用
千年古鎮楊家灘的某小區的內壩是一塊長為(3a＋b)米、寬為(2a＋b)米的長方形地塊，物業部門計劃將內壩進行綠化(如圖陰影部分)，中間部分將修建一仿古小景點(如圖中間的正方形)，則綠化的面積是多少平方米？并求出當a＝3，b＝2時的綠化面積．
解析：根據長方形的面積公式，可得內壩、景點的面積，根據面積的和差，可得答案．
解：由題意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab，當a＝3，b＝2時，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63，故綠化的面積是63 m2.
方法總結：用代數式表示圖形的長和寬，再利用面積(或體積)公式求面積(或體積)是解決問題的關鍵．
【類型四】 多項式乘以單項式后，不含某一項，求字母系數的值
已知ax2＋bx＋1(a≠0)與3x－2的積不含x2項，也不含x項，求系數a，b的值．
解析：首先利用多項式乘法法則計算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根據積不含x2的項，也不含x的項，可得含x2的項和含x的項的系數等于零，即可求出a與b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2，∵積不含x2的項，也不含x的項，∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝，a＝.∴系數a，b的值分別是，.
方法總結：解決此類問題首先要利用多項式乘法法則計算出展開式，合并同類項后，再根據不含某一項，可得這一項系數等于零，再列出方程解答．
三、板書設計
多項式與多項式相乘
多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．
本節知識的綜合性較強，要求學生熟練掌握前面所學的單項式與單項式相乘及單項式與多項式相乘的知識，同時為了讓學生理解并掌握多項式與多項式相乘的法則，教學中一定要精講精練，讓學生從練習中再次體會法則的內容，為以后的學習奠定基礎．第一章 整式的乘法
1.1.1同底數冪的乘法
1．幫助學生在了解同底數冪乘法定義的基礎上，掌握冪的運算法則，并進行基本運算．
2．在推導“法則”的過程中，培養學生觀察、概括與抽象的能力．
3．通過對具體事例的分析、歸納，總結同底數冪乘法的公式．培養學生分析、歸納、總結的思維能力，體現由特殊到一般的數學思想．
重點：運用同底數冪的乘法法則進行計算．
難點：正確理解和運用同底數冪的乘法法則．
一、情境導入
通過上述計算，你發現了什么？
二、合作探究
探究點一：同底數冪的乘法
【類型一】 底數為單項式的同底數冪的乘法
計算：(1)23×24×2；
(2)－a3·(－a)2·(－a)3；
(3)mn＋1·mn·m2·m.
解析：(1)根據同底數冪的乘法法則進行計算即可；(2)先算乘方，再根據同底數冪的乘法法則進行計算即可；(3)根據同底數冪的乘法法則進行計算即可．
解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；
(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；
(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.
方法總結：同底數冪的乘法法則只有在底數相同時才能使用；單個字母或數可以看成指數為1的冪，進行運算時，不能忽略了冪指數1.
【類型二】 底數為多項式的同底數冪的乘法
計算：
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；
(2)(x－y)2·(y－x)5.
解析：將底數看成一個整體進行計算．
解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；
(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7.
方法總結：底數互為相反數的冪相乘時，先把底數統一，再進行計算．(a－b)n＝
探究點二：同底數冪的乘法法則的運用
【類型一】 運用同底數冪的乘法，求代數式的值
若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
解析：根據同底數冪的乘法法則，底數不變指數相加，可得a，b的關系式，根據a，b的關系式求代數式的值．
解：∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
方法總結：將等式兩邊化為同底數冪的形式，若底數相同，那么指數也相同．
【類型二】 同底數冪的乘法的實際應用
經濟發展和消費需求的增長促進了房地產的發展，使得房價持續上漲，某市5個月共銷售商品房8.31×104平方米．據監測，商品房平均售價為每平方米4.7×103元，則這5個月該市的商品房銷售總額是多少元？
解：8.31×104×4.7×103＝(8.31×4.7)×(104×103)＝3.9057×108(元).
答：這5個月該市的商品房銷售總額是3.9057×108元．
方法總結：本題考查了同底數冪的乘法的實際應用，關鍵是根據題意列出算式，注意結果要用科學記數法表示．
探究點三：逆用同底數冪的乘法法則
已知2a＝5，2b＝3，求2a＋b＋3的值．
解析：根據同底數冪的乘法法則的逆運算展開，再整體代入計算即可．
解：2a＋b＋3＝2a·2b·23＝5×3×8＝120.
方法總結：根據同底數冪的乘法法則：am·an＝am＋n，可得am＋n＝am·an.由此可整體代入求值．
三、板書設計
同底數冪的乘法
同底數冪的乘法法則：am·an＝am＋n.(m，n都是正整數)
本節課從特殊到一般引入同底數冪的乘法法則，讓學生感知、理解法則，并掌握法則的正用和逆用．本節課的難點和易錯點是底數互為相反數的冪轉化為同底數的冪，特別要注意符號．第一章 整式的乘法
1.1.5 第1課時 單項式與多項式相乘
1．探索并了解單項式與多項式的乘法運算法則，會進行簡單的整式乘法運算．
2．經歷探索單項式與多項式相乘的運算過程，體會分配律的作用和轉化思想，發展有條理的思考及語言表達能力．
3．培養良好的探究意識與合作交流的能力，體會整式運算的應用價值，培養學生學習的興趣．
重點：單項式乘多項式的運算法則的推導及運用．
難點：單項式乘單項式的運算法則及單項式乘多項式的運算法則的綜合運用．
一、情境導入
計算：(－12)×(－－).我們可以根據有理數乘法的分配律進行計算，那么怎樣計算2x·(3x2－2x＋1)
二、合作探究
探究點：單項式與多項式相乘
【類型一】 直接利用單項式乘以多項式法則進行計算
計算：
(1)(ab2－2ab)·ab；
(2)－x·(x2－2y＋5).
解析：直接利用單項式乘多項式的法則計算即可．
解：(1)(ab2－2ab)·ab＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2；
(2)－x·(x2－2y＋5)＝－x·x2＋x·2y－x·5＝－x3＋xy－2x.
方法總結：單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
【類型二】 單項式與多項式乘法的實際應用
一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬a米，下底寬(2a＋3b)米，壩高a米．
(1)求防洪堤壩的橫斷面面積；
(2)如果防洪堤壩長400米，那么這段防洪堤壩的體積是多少立方米？
解析：(1)根據梯形的面積公式，然后利用單項式乘多項式的法則計算；(2)防洪堤壩的體積＝梯形面積×壩長．
解：(1)防洪堤壩的橫斷面面積S＝[a＋(2a＋3b)]×a＝a(3a＋3b)＝(a2＋ab)(平方米).故防洪堤壩的橫斷面面積為(a2＋ab)平方米；
(2)堤壩的體積V＝(a2＋ab)×400＝(150a2＋150ab)(立方米).故這段防洪堤壩的體積是(150a2＋150ab)立方米．
方法總結：本題要知道梯形的面積公式及堤壩的體積(堤壩體積＝梯形面積×長度)的計算方法，同時掌握單項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵．
【類型三】 化簡求值
(1)計算：2a(a2－3a＋4)－3a2(2a＋5)；
(2)當a取－1時，求(1)中多項式的值．
解析：首先根據單項式與多項式相乘的法則去掉括號，然后合并同類項，最后代入已知的數值計算即可．
解：(1)2a(a2－3a＋4)－3a2(2a＋5)＝2a3－6a2＋8a－6a3－15a2＝－4a3－21a2＋8a.
(2)將a＝－1代入，(1)中多項式的值為－4a3－21a2＋8a＝－4×(－1)3－21×(－1)2＋8×(－1)＝－25.
方法總結：在做乘法計算時，一定要注意單項式和多項式中每一項的符號，不要搞錯．
【類型四】 單項式乘多項式，利用展開式中不含某一項求未知系數的值
如果(－3x)2(x2－2nx＋)的展開式中不含x3項，求n的值．
解析：先算乘方，再利用單項式乘多項式法則計算，根據結果不含x3項，求出n的值即可．
解：(－3x)2(x2－2nx＋)＝(9x2)(x2－2nx＋)＝9x4－18nx3＋6x2，由展開式中不含x3項，得到－18n＝0，解得n＝0.
方法總結：單項式與多項式相乘，注意當要求多項式中不含有哪一項時，應讓這一項的系數為0.
三、板書設計
單項式與多項式相乘
單項式與多項式相乘，先用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加．
本節課在已學過的單項式乘單項式的基礎上，學習單項式乘多項式．教學中注意發揮學生的主體作用，讓學生積極參與課堂活動，通過不斷糾錯來提高．第一章 整式的乘法
1.1.3　積的乘方
1．通過探索積的乘方法則，進一步體會和鞏固冪的意義，在推理得出積的乘方的運算法則的過程中，領會這個法則．
2．經歷探索積的乘方的過程，發展學生的推理能力和有條理的表達能力，培養學生的綜合能力．
3．通過小組合作與交流，培養學生團結協作的精神和探索精神，有助于塑造他們挑戰困難、挑戰生活的勇氣和信心．
重點：積的乘方的運算．
難點：積的乘方的推導過程的理解和靈活運用．
一、情境導入
根據乘方的意義計算：
(1)(2x)3；
(2)(ab)3；
(3)(ab)n.
解：(1)(2x)3＝2x×2x×2x＝(2×2×2)·(x·x·x)＝23x3＝8x3；
(2)(ab)3＝ab×ab×ab＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；
(3)(ab)n＝ab·ab·…·ab,\s\do4(n個ab))＝(a·a·…·a,\s\do4(n個a)))·(b·b·…·b,\s\do4(n個b)))＝anbn.
觀察上述計算的結果，你能總結出這種運算的法則嗎？試試看，你一定行！
二、合作探究
探究點一：積的乘方
【類型一】 直接利用積的乘方法則進行計算
計算：(1)(－5ab)3；(2)－(3x2y)2；
(3)(－ab2c3)3；(4)(－xmy3m)2.
解析：直接應用積的乘方法則計算即可．
解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；
(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；
(3)(－ab2c3)3＝(－)3a3b6c9＝－a3b6c9；
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m.
方法總結：運用積的乘方法則進行計算時，注意每個因式都要乘方，尤其是字母的系數不要漏乘方．
【類型二】 積的乘方在實際中的應用
太陽可以近似地看作是球體，如果用V，R分別代表球的體積和半徑，那么V＝πR3，太陽的半徑約為6×105千米，它的體積大約是多少立方千米？(π取3)
解析：將R＝6×105千米代入V＝πR3，即可求得答案．
解：∵R＝6×105千米，∴V＝πR3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米).
答：它的體積大約是8.64×1017立方千米．
方法總結：讀懂題目信息，理解球的體積公式并熟記積的乘方的性質是解題的關鍵．
【類型三】 含積的乘方的混合運算
計算：(1)－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解析：(1)先進行積的乘方，然后根據同底數冪的乘法法則求解；(2)先進行積的乘方和冪的乘方，然后合并同類項．
解：(1)原式＝4xy2·x2y4·8x6＝8x9y6；
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
方法總結：先算積的乘方，再算乘法，然后算加減，最后合并同類項．
探究點二：逆用積的乘方法則計算
計算：(－3)2024×(－)2025.
解析：逆用積的乘方an·bn＝(ab)n計算．
解：原式＝(－3)2024×(－)2024×(－)
＝[(－3)×(－)]2024×(－)＝－.
方法總結：積的乘方法則為(ab)n＝anbn(n是正整數)，左右互換即為anbn＝(ab)n(n是正整數)，這樣得到積的乘方法則的逆用，巧妙地運用能簡化運算，學會這些方法，能提高解題能力．
探究點三：冪的乘方與積的乘方的綜合應用
若2a＝3，2b＝5，2c＝75，試說明：a＋2b＝c.
解析：首先根據冪的乘方的運算方法，求出(2b)2＝25，然后根據同底數冪的乘法法則，判斷出2a＋2b＝2c，即可判斷出a＋2b＝c.
解：∵2b＝5，∴(2b)2＝25，即22b＝25.又∵2a＝3，∴2a×22b＝3×25＝75.∴2a＋2b＝2c.∴a＋2b＝c.
方法總結：(1)此題主要考查了冪的乘方和積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①(am)n＝amn(m，n是正整數)；②(ab)n＝anbn(n是正整數).
三、板書設計
積的乘方
積的乘方法則：把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．即(ab)n＝anbn(n是正整數).
本節課通過特例引入，讓學生感悟并理解積的乘方法則．冪的運算法則是整式乘法的基礎，在教學中注意讓學生掌握同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的區別與聯系，在運算時避免符號和指數的錯誤．第一章 整式的乘法
1.2.1　平方差公式
1．經歷探索平方差公式的過程，會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算，進一步培養學生逆向思維能力和數學應用意識，感悟整體思想．
2．讓學生在合作探究學習的過程中體驗成功的喜悅，在感悟數學美的同時激發學習數學的興趣和信心．
重點：平方差公式的推導和運用．
難點：理解平方差公式的結構特征，靈活運用平方差公式．
一、情境導入
計算：
(1)(x＋1)(x－1)；
(2)(x＋2)(x－2)；
(3)(a＋b)(a－b).
由上述計算，你發現了什么結論？
二、合作探究
探究點：平方差公式
【類型一】 直接應用平方差公式進行計算
利用平方差公式計算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4).
解析：直接利用平方差公式進行計算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法總結：應用平方差公式進行計算時，應注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式．
【類型二】 應用平方差公式進行簡便運算
利用平方差公式簡算：
(1)20×19；(2)13.2×12.8.
解析：(1)把20×19寫成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式進行計算；(2)把13.2×12.8寫成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式進行計算．
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
方法總結：熟記平方差公式的結構并構造出公式結構是解題的關鍵．
【類型三】 化簡求值
先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展開并合并同類項，然后把x，y的值代入進行計算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當x＝1，y＝2時，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法總結：利用平方差公式先化簡再求值，切忌代入數值直接計算．
【類型四】 平方差公式的實際應用
王大伯家把一塊邊長為a(a＞4)米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？
解析：根據題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長后的面積，然后比較二者的大小即可．
解：李大媽吃虧了．理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長后的面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大媽吃虧了．
方法總結：解決實際問題的關鍵是根據題意列出算式，然后根據公式化簡解決問題．
【類型五】 平方差公式的幾何背景
如圖①，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一個梯形(如圖②)，利用這兩幅圖形的面積，可以驗證的乘法公式是______________.
解析：∵左圖中陰影部分的面積是a2－b2，右圖中梯形的面積是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可驗證的乘法公式為(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
方法總結：通過幾何圖形之間的數量關系可對平方差公式做出幾何解釋．
三、板書設計
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
本節課通過多項式乘法推導出平方差公式，注意引導學生正確認識公式的特征：公式左邊是兩個二項式的積，這兩個二項式中有一項相同，另一項互為相反數；公式右邊是用符號相同項的平方，減去符號相反項的平方．對于例題和練習，讓學生通過小組合作、自主探究的方式完成，提高學生學習的積極性．第一章 整式的乘法
1.2.3　運用乘法公式進行計算和推理
1．會熟練地運用乘法公式進行計算；能正確地根據題目要求選擇不同的乘法公式進行計算．
2．通過學習運用乘法公式進行計算，提高學生對乘法公式綜合運用的能力，特別是觀察、分析、解決問題的能力．
3．運用乘法公式解決代數推理類問題．
4．在學習的過程中，培養學生實事求是、科學、嚴謹的學習態度．
重點：綜合運用平方差和完全平方公式進行多項式乘法的計算．
難點：正確選擇乘法公式進行計算并規范書寫解答過程．
一、情境導入
1．我們學過了哪些乘法公式？
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．怎樣計算：(a＋2b－c)(a－2b＋c).
二、合作探究
探究點：運用乘法公式進行計算
【類型一】 乘法公式的綜合運用
計算：
(1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)；
(2)(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2；
(3)(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)；
(4)(2a＋b)2(b－2a)2.
解析：(1)可添加(2－1)，與首項結合起來用平方差公式，再把結果依次與下一項運用平方差公式；
(2)逆用完全平方公式，能簡化運算；
(3)兩個因式都是三項式，且各項的絕對值對應相等，所以可先運用平方差公式；
(4)先利用積的乘方把原式變形為[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括號內的多項式的乘法展開，然后再利用完全平方公式展開即可．
解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1；
(2)原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2；
(3)原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2＋12yz－9z2；
(4)原式＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4.
方法總結：運用乘法公式計算時，先要分析式子的特點，找準合適的方法，能起到事半功倍的作用．同時由于減少了運算量，能提高解題的準確率．
【類型二】 運用乘法公式求值
如圖，立方體每個面上都寫有一個自然數，并且相對兩個面所寫兩數之和相等．若18的對面寫的是a，14的對面寫的是b，35的對面寫的是c，試求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．
解析：根據相對兩個面所寫的兩數之和相等可得a－b，a－c，b－c的值，然后逆用完全平方公式對代數式進行整理，最后代入數值計算即可得到結果．
解：根據相對兩個面所寫兩數之和相等，可得18＋a＝14＋b，即a－b＝－4，18＋a＝35＋c，即a－c＝19，14＋b＝35＋c，即b－c＝21.∴2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝(－4)2＋172＋212＝16＋289＋441＝746.∴a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝×746＝373.
方法總結：本題主要考查了完全平方公式的運用，注意正方體是空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題，本題根據質數的定義判斷出c的值是解題的關鍵．
已知a－b＝3，b－c＝2，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
解析：根據已知先求出a－c的值，然后根據(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)求解．
解：因為a－b＝3，b－c＝2，所以a－c＝5.因為(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝9＋4＋25＝38，所以2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝38.因為a2＋b2＋c2＝1，所以2－2(ab＋bc＋ca)＝38.所以ab＋bc＋ca＝－18.
方法總結：運用乘法公式求值，往往涉及乘法公式的變形，并把其中某部分看作一個整體，如把a2＋b2與2ab看作一個整體，利用列方程或列方程組求解．
【類型三】 運用乘法公式進行代數推理
在月歷上，我們可以發現其中某些數滿足一定的規律．
(1)圖①是2023年11月份的月歷，我們用如圖所示的“Z”字形框架任意框住月歷中的5個數(如圖①中的陰影部分)，將位置B，D上的數相乘，位置A，E上的數相乘，再相減，例如：7×21－6×22＝________，4×18－3×19＝________，不難發現，結果都等于________．(請完成填空)
(2)設“Z”字形框架中位置C上的數為x，請利用整式的運算對(1)中的規律加以說明．
解析：(2)用含x的式子表示出A，B，D，E.再用乘法公式化簡．
解：(1)15　15　15
(2)因為“Z”字形框架中位置C上的數為x，所以A，B，D，E四個數依次為x－8，x－7，x＋7，x＋8.由題意得(x－7)(x＋7)－(x－8)(x＋8)＝(x2－49)－(x2－64)＝x2－49－x2＋64＝15，故(1)中的規律正確．
方法總結：觀察幾個式子或圖表中的規律，列出代數式，再利用乘法公式化簡，解釋說明規律．
三、板書設計
運用乘法公式進行計算和推理
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
本節課學習了運用乘法公式進行計算和推理，計算時要注意兩個方面，一是正確運用公式，判斷題目所給出的式子是否適用公式進行計算，運用公式時是用平方差公式還是完全平方公式；二是注意運算的準確性，運算時必須細心，注意符號及項數，避免出現錯誤．在教學中可采取小組競賽的方式進行，提高學生的積極性和主動性．

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