資源簡介

第5章　軸對稱與旋轉
5.3 平面圖形變換的簡單應用
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．欣賞圖形的平移、軸對稱、旋轉等變換在現實生活中的應用．
2．使學生加深對圖形的平移、旋轉和軸對稱等圖形變換的理解，并能將一些基礎的圖形經過上述變換設計出一些美麗的圖案．
3．經歷對典型圖案設計意圖的分析，進一步發展學生的空間觀察能力，增強審美意識，培養學生積極進取的生活態度．
重點：運用圖形變換設計圖案，熟悉各種圖形變換的性質和特征．
難點：運用簡單圖形進行圖形變換，欣賞并設計一些簡單的圖案．
一、情境導入
請同學們欣賞下列圖案：
這些圖案很漂亮，它們是怎樣設計出來的呢？運用了我們所學過的哪些圖形變換的知識？
二、合作探究
探究點一：分析圖案的形成
下面的四個圖案中，既可用旋轉來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個圖案的形成過程的圖案有(　　)
A．4個 B．3個
C．2個 D．1個
解析：因為第一個圖案可以看做一個以正方形中心和相鄰兩個頂點形成的三角形，沿著大正方形的對角線所在的直線對折得到的，
也可以看做是以正方形中心和相鄰兩個頂點形成的三角形，圍繞正方形中心順時針(或逆時針)旋轉三次90°得到的；
第二個圖案可以看作正方形三個頂點形成的三角形沿著大正方形的對角線所在的直線對折得到的，
也可以看做是正方形三個頂點形成的三角形圍繞正方形中心順時針(或逆時針)旋轉180°得到的；
第三個圖案是正方形三個頂點形成的三角形沿著大正方形的對角線所在的直線對折得到的，
也可以看做是正方形三個頂點形成的三角形圍繞正方形中心順時針(或逆時針)旋轉180°得到的；
第四個圖案看做一個小正方形沿著大正方形對邊的中點所在的直線對折三次得到的，也可以看做是小正方形圍繞大正方形中心順時針(或逆時針)旋轉三次90°得到的．
所以是四個．故選A.
方法總結：圖形軸對稱的關鍵是找到對稱軸，看沿著對稱軸折疊的兩個圖形是否重合，圖形旋轉的關鍵是找到圖形的旋轉中心、旋轉方向和旋轉角．
探究點二：設計簡單的圖案
如圖是某設計師在方格紙中設計的圖案的一部分，請你幫他完成余下的工作：
(1)將原圖形繞點O逆時針旋轉90°；
(2)發揮你的想象，進一步設計圖案，讓圖案變得更加美麗．
解析：(1)由將原圖形繞點O逆時針旋轉90°可得旋轉后的圖形的邊與原圖形對應的邊垂直且相等，故可畫出旋轉后的圖形；
(2)可把(1)中所得圖形繼續旋轉．
解：(1)如圖所示：
(2)如圖所示．
方法總結：設計圖案時首先要根據條件對圖形進行整體構思，確定設計的總體方向，是運用平移、軸對稱、旋轉還是其中幾種的組合．設計的圖案要簡潔明了，而設計的方案往往是多樣的，解題時要充分利用圖形的特點和網格．
三、板書設計
本節課由圖形欣賞過渡到圖案設計，很容易調動學生的學習積極性．課堂上要注意引導學生對圖案的分析，通過找基礎圖形達到化繁為簡的目的．對于圖案設計，鼓勵學生大膽創新，拓寬學生的視野，培養學生的審美感．第5章　軸對稱與旋轉
5.1.2 軸對稱
　
1．理解并掌握軸對稱變換的基本性質，并會作軸對稱變換.
2．通過對軸對稱基本性質的探索過程，培養學生的動手操作能力．
3．感受軸對稱在生活中的廣泛應用，激發學生學習數學的熱情．
重點：探索軸對稱變換的性質；能畫出簡單平面圖形關于給定對稱軸的對稱圖形．
難點：軸對稱性質的推理．
一、情境導入
如圖，將一張長方形的紙對折，然后用筆尖扎出“14”這個數字，將紙打開后鋪平：
(1)兩個“14”有什么關系？
(2)設折痕所在的直線為l，連接點E和點E′的線段和l有什么關系？
(3)線段AB和A′B′，CD和C′D′有什么關系？
(4)∠1與∠2有什么關系？∠3與∠4呢？
二、合作探究
探究點一：軸對稱變換的性質
【類型一】 利用軸對稱變換的性質求圖形的周長
三角形ABC與三角形DEF是關于直線l成軸對稱，且三角形ABC的周長是16 cm，則三角形DEF的周長是(　　)
A．16 cm B．18 cm
C．20 cm D．22 cm
解析：軸對稱不改變圖形的形狀和大小，所以三角形DEF的周長與三角形ABC的周長相等，也是16 cm.故選A.
方法總結：圖形經過軸對稱變換，長度、角度和面積等都不改變．
【類型二】 利用軸對稱變換的性質求角度
如圖，把一張長方形的紙沿OG折疊后，B，D兩點落在B′，D′點處，若得∠AOB′＝80°，則∠B′OG的度數為________．
解析：根據軸對稱的性質可得∠B′OG＝∠BOG，再根據∠AOB′＝80°，可得出∠B′OG的度數.
解：根據軸對稱的性質得：∠B′OG＝∠BOG.
由∠AOB′＝80°，得∠B′OG＋∠BOG＝100°，
∴∠B′OG＝×100°＝50°.
故答案為50°.
方法總結：本題考查軸對稱變換的性質，在解答此類問題時要注意數形結合的應用．
【類型三】 利用軸對稱變換的性質求陰影部分的面積
如圖，△ABC是面積為a的等邊三角形，AD是BC邊上的高，點E，F是AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積為________．
解析：觀察圖形，證明△BEF經過軸對稱變換得到△CEF，故△BEF與△CEF的面積相等，則陰影部分面積為等邊三角形面積的一半．
解：∵△ABC為等邊三角形，AD是BC邊上的高，
∴直線AD為△ABC的對稱軸．
∴S△BEF＝S△CEF.
∴陰影部分面積是△ABC面積的一半．
∵S△ABC＝a，
∴陰影部分的面積是.故答案為.
方法總結：先觀察圖形找到突破口——直線AD為△ABC的對稱軸，從突破口進行解題就顯得比較容易.
探究點二：軸對稱變換的作圖
如圖，作三角形ABC關于直線l的對稱圖形(不寫作法).
解析：分別作A，B，C關于直線l的對應點，順次連接即可．
解：如圖所示：
方法總結：作軸對稱圖形，關鍵是作出點關于對稱軸的對應點．畫對稱點的方法可總結如下：過已知點作對稱軸的垂線段，延長垂線段，使延長部分長度等于垂線段的長度．
三、板書設計
軸對稱變換
各小組派代表展示自己課前所做的“14”，再結合幻燈片引導學生探索得到本節課的核心內容——軸對稱的基本性質．活動過程中培養學生的動手能力、數學表達能力、團隊合作能力，講解中小組之間互相補充、互相競爭，使學生對軸對稱的基本性質認識更為深刻．第5章　軸對稱與旋轉
5.2　旋轉
　　　　　　　　　　　　　　　
1．通過具體實例認識旋轉，理解旋轉的概念和性質，并能按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形．
2．經歷對具有旋轉特征的圖形的觀察、分析、操作、畫圖等過程，使學生增強主動探索、發現數學知識的意識，提升運用數學知識解決生活中實際問題的能力．
3．通過師生互動、合作交流以及多媒體教學軟件的使用，使學生發現旋轉變換所蘊含的美，激發學生學習數學的興趣．
重點：掌握旋轉、旋轉中心和旋轉角等概念，并理解旋轉的性質．
難點：能畫出簡單圖形旋轉后的對應圖形．
一、情境導入
觀察下列三幅圖形，它們在旋轉過程中都具有什么共同特征？
二、合作探究
探究點一：旋轉的概念
能由左圖中的圖形旋轉得到的圖形是(　　)
解析：根據旋轉的概念可知，把已知圖形順時針旋轉180度，可得到選項B中的圖形，故選B.
方法總結：(1)根據旋轉的概念知，旋轉前后，圖形的大小、形狀都不改變．(2)旋轉的三要素：①定點——旋轉中心；②旋轉方向；③旋轉角度．
探究點二：旋轉的性質
【類型一】 利用旋轉的性質求角度
如圖，三角形OAB繞點O逆時針旋轉80°得到三角形OCD，若∠A＝110°，∠B＝40°，則∠C＋∠D的度數是________．
解析：由旋轉的性質可知，∠C＝∠A＝110°，∠D＝∠B＝40°，所以∠C＋∠D＝110°＋40°＝150°.故答案為150°.
方法總結：(1)旋轉不改變圖形的形狀和大小，旋轉前后，圖形的大小、形狀都不改變，對應線段相等，對應角相等．(2)旋轉中的相等角包含兩類：①旋轉前后圖形中的對應角；②各對應點與旋轉中心的連線的夾角．(3)旋轉中相等的線段包含兩類：①旋轉前后圖形中的對應線段；②各對應點到旋轉中心的距離．
【類型二】 利用旋轉求陰影部分的面積
如圖，在4×4的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△COD，則旋轉過程中形成的陰影部分的面積為________.
解析：根據OA＝3，再根據△OAB所掃過的面積＝S扇形AOC＋S△DOC－S△AOB＝S扇形AOC求解即可．
解：將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，得到△COD，
所以S△DOC＝S△AOB.
所以旋轉過程中形成的陰影部分的面積＝S扇形AOC＋S△DOC－S△AOB＝S扇形AOC＝π×32＝π.
故答案為π.
方法總結：利用旋轉前后，圖形的大小、形狀都不改變，將不規則圖形轉化為規則圖形是解題的關鍵．
探究點三：旋轉的作圖
如圖，在正方形網格中，三角形ABC的頂點都在格點(小正方形的頂點)上，將三角形ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到三角形AB1C1.請你作出三角形AB1C1.
解析：作∠CAC1＝90°，且AC＝AC1，得到C的對應點C1，由同樣的方法得到其余各點的對應點．
解：如圖所示：
方法總結：(1)畫旋轉后的圖形，要善于抓住圖形特點，作出特殊點的對應點；(2)旋轉作圖時要明確三個方面：旋轉中心、旋轉角度及旋轉方向(順時針或逆時針).
三、板書設計
旋轉
本節課的內容主要包括三個方面：旋轉的概念、旋轉的性質、旋轉作圖．結合身邊的旋轉實例讓學生理解旋轉的概念，可類比軸對稱的性質與作圖學習旋轉的性質與作圖．教學中應注重讓學生積極參與課堂活動，通過大膽質疑、師生互動、小組合作，實現教學目標．第5章　軸對稱與旋轉
5.1.1　初步認識軸對稱圖形
1．認識軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱，會判斷軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱，并找出它們的對稱軸．
2．通過判定軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱，促進學生形成積極探索的態度，發展歸納總結的能力．
3．通過觀察生活中的軸對稱現象，發展識圖和想象能力.
重點：識別軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱，并畫出它們的對稱軸．
難點：識別軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱，并畫出它們的對稱軸．
一、情境導入
觀察下列臉譜圖形，它們具有什么共同特征？
二、合作探究
探究點一：軸對稱圖形
【類型一】 軸對稱圖形的識別
下面四個圖形分別是節能、節水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是(　　)
解析：根據軸對稱圖形的概念和圖案的特點解答，確定軸對稱圖形的關鍵是能找出對稱軸，把這個圖形沿某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合．觀察發現只有D選項有一條豎直過中心的直線為圖形的對稱軸，其他三個都不是軸對稱圖形．故選D.
方法總結：判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，關鍵看是否能找到對稱軸．軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的對稱性；符合要求的“某條直線(對稱軸)”可能不止一條，但至少要有一條．
【類型二】 軸對稱圖形的對稱軸
已知圖中的圖形都是軸對稱圖形，請你畫出它們的對稱軸．
解析：找到對折后能使圖形兩旁完全重合的這一條直線，再作出這條直線即可．
解：作圖如下：
方法總結：①對稱軸是一條直線；②在軸對稱圖形中，對稱軸把圖形分成完全相同的兩部分；③在軸對稱圖形中，對稱軸可以是一條或多條．
【類型三】 軸對稱圖形的作圖
如圖是由三個陰影的小正方形組成的圖形，請你在三個網格圖中，各補畫出一個有陰影的小正方形，使補畫后的圖形為軸對稱圖形．
解析：因為正方形有四條對稱軸，因此我們可以參考這四條對稱軸來構建圖形．
解：所補畫的圖形如下所示：
方法總結：本題是一道開放性題目，作圖后判斷所作的圖形是否是軸對稱圖形，關鍵看是否能找出對稱軸．
探究點二：兩個圖形成軸對稱
下列三個圖形分別關于直線對稱嗎？如果是，畫出它們的對稱軸，并標出一對對應點．
解析：找到對折后能使兩個圖形完全重合的這一條直線，再作出這條直線即可．
解：作圖如下，各圖中的A，B點即為一組對應點：
方法總結：兩個圖形成軸對稱只有一條對稱軸．判斷兩個圖形是不是成軸對稱，關鍵是尋找對稱軸，看直線兩邊的圖形折疊后能否重合．
三、板書設計
軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱：
(1)概念
(2)識別這兩種圖形
(3)確定這兩種圖形的對稱軸
本節課學習了軸對稱圖形，易錯點是確定軸對稱圖形的對稱軸的條數時考慮不完整．軸對稱圖形的特點是“折”，即沿某條直線折疊后直線兩旁的部分能完全重合．判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，關鍵看是否能找出對稱軸．在教學中，讓學生積極參與課堂，讓學生自主歸納，并對易錯點加強練習．

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