資源簡介

第4章　平面內的兩條直線
4.2　 平移
1．通過具體實例認識平移，知道平移不改變圖形的形狀和大小．
2．認識和欣賞平移在現實生活中的應用．
重點：圖形平移的特征．
難點：理解平移不改變圖形的形狀和大小．
一、情境導入
如圖，高鐵在筆直的鐵軌上向前運行，它的形狀和大小發生了變化嗎？
二、合作探究
探究點一：平移的概念
【類型一】 生活中的平移
下面生活中的物體的運動情況可以看成平移的是(　　)
A．擺動的鐘擺
B．在筆直的鐵路上行駛的火車
C．隨風擺動的旗幟
D．汽車玻璃上雨刷的運動
解析：選項A，C，D中圖形的所有點不是按同一方向移動相同的距離，所以不是平移．選項B符合平移的條件，故選B.
方法總結：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移．注意平移是圖形整體沿某一直線方向移動．圖形繞某一點的旋轉不是平移．
【類型二】 圖形平移的判斷
下列哪個圖形是由左圖平移得到的(　　)
解析：只有選項C是平移得到的，故選C.
方法總結：本題考查了圖形的平移，圖形的平移是沿著某一直線方向移動只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小．
【類型三】 求平移的距離
如圖，三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，若EF＝7 cm，CE＝3 cm，求平移的距離．
解析：平移的距離可以看作是線段CF的長．
解：觀察圖形可知，平移的距離可以看作是線段CF的長．因為EF＝7 cm，CE＝3 cm，所以平移的距離為CF＝EF－EC＝7－3＝4(cm).
方法總結：平移既能產生線段相等，又能產生線段平行，平移前后的兩個圖形中，對應角相等，對應線段平行(或在同一條直線上)且相等．
探究點二：平移的性質
如圖，已知△ABC的面積為16，BC的長為8，現將△ABC沿BC向右平移m個單位長度到△A′B′C′的位置．若四邊形ABB′A′的面積為20，求m的值．
解析：首先根據三角形的面積，求出△ABC的邊BC上的高；然后根據平行四邊形的面積，求出BB′的值，即可求出m的值．
解：設△ABC的邊BC上的高為h，
則平行四邊形ABB′A′的邊BB′上的高為h.
∵△ABC的面積為16，BC＝8，
∴×BC×h＝16.
∴×8×h＝16，解得h＝4.
又∵四邊形ABB′A′的面積為20，
∴BB′×4＝20.
∴BB′＝20÷4＝5.
∴m＝BB′＝5.
即m的值是5.
方法總結：(1)此題主要考查了平移的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行(或在同一條直線上)且相等．(2)此題還考查了三角形、平行四邊形的面積的求法，要熟練掌握．
探究點三：平移的作圖
將圖中的三角形ABC向右平移6格．
解析：分別作出點A，B，C三點向右平移6格后的對應點A′，B′，C′，再順次連接即可．
解：如圖所示．
方法總結：(1)平移的作圖要注意兩個方面：平移的方向和平移的距離；(2)作直線型圖形平移后的圖形，關鍵是作出平移后的關鍵點的對應點．
三、板書設計
平移
本節課通過生活中的實例引入平移的概念，在學習中，引導學生觀察、分析、概括得出平移的性質，并通過例題和練習加深對平移性質的理解．平移的作圖是本節課的重點，應讓學生加強訓練，結合解題中的錯誤分析原因．第4章　平面內的兩條直線
4.5 第1課時　垂線
1．了解互相垂直的有關概念．
2．掌握垂線的有關性質并會用它們解答簡單的幾何問題.
3．在觀察、測量、畫圖等教學活動中，經歷認識垂線的過程.
4．聯系生活實際理解垂線的意義，感受數學與生活的聯系，體驗數學來源于生活又回到生活的過程．
重點：理解垂線的概念并會用它們解答簡單的幾何問題.
難點：垂線的概念及垂線與平行線的綜合運用．
一、情境導入
如圖是我們教室的一幅圖片，黑板相鄰兩邊的夾角等于多少度？這樣的兩條邊所在的直線有什么位置關系？
二、合作探究
探究點一：垂線
【類型一】 垂直與方程綜合求角的度數
如圖，MO⊥NO，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，求∠GOP的度數．
解析：由于∠PON＝3∠MOG，若設∠MOG＝x°，則∠PON＝3x°.OG平分∠MOP可得∠POG＝x°.又由于MO⊥NO，利用∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°可列出關于x的方程，從而求得x的值，進而解決問題．
解：設∠MOG＝x°，則∠PON＝3∠MOG＝3x°.
因為MO⊥NO，所以∠MON＝90°.
因為OG平分∠MOP，
所以∠GOP＝∠MOG＝x°.
因為∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°，
所以90＋x＋x＋3x＝360，解得x＝54.
所以∠GOP＝54°.
方法總結：當題目中出現形如“∠α＝k∠β”，“∠α∶∠β＝k∶1”這類等式的時候，常考慮設未知數，然后設法找出一個相等關系列出關于未知數的方程，從而解決問題．
【類型二】 利用垂線的概念判斷直線垂直
如圖所示，已知OA⊥OC于點O，∠AOB＝∠COD，試判斷OB和OD的位置關系，并說明理由．
解析：由于OA⊥OC，根據垂直的定義，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.又∵∠AOB＝∠COD，則∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°，再根據垂直的定義，得出OB⊥OD.
解：OB⊥OD.理由如下：
因為OA⊥OC，
所以∠AOC＝90°，
即∠AOB＋∠BOC＝90°.
因為∠AOB＝∠COD，
所以∠COD＋∠BOC＝90°.
所以∠BOD＝90°.
所以OB⊥OD.
方法總結：由垂直這一條件可得兩條直線相交構成的四個角為直角，反過來，由兩條直線相交構成的角為直角，可得這兩條直線互相垂直．判斷兩條直線垂直最基本的方法就是說明這兩條直線的夾角等于90°.
探究點二：垂線的性質
【類型一】 利用垂線的性質判斷兩直線平行
已知：如圖，CD⊥AB于D，點E為BC邊上的任意一點，EF⊥AB于F，且∠1＝∠2，那么BC與DG平行嗎？請說明理由．
解析：要說明BC∥DG，可說明∠2＝∠BCD，而∠1＝∠2，故只需說明∠1＝∠BCD，這可由EF與CD都與AB垂直，從而得出EF與CD平行而得到．
解：BC∥DG.理由如下：
因為CD⊥AB，EF⊥AB，
所以CD∥EF.
所以∠1＝∠BCD(兩直線平行，同位角相等).
又因為∠1＝∠2(已知)，
所以∠2＝∠BCD.
所以BC∥DG(內錯角相等，兩直線平行).
方法總結：要說明兩直線平行，除可根據同位角、內錯角、同旁內角判定外，還可由垂線的性質得到平行.
【類型二】 利用垂線的性質判斷兩直線垂直
已知：如圖，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，試說明：CD⊥AB.
解析：由DG⊥BC，AC⊥BC可得DG∥AC，再結合已知條件可得出EF∥DC，而EF⊥AB，從而有CD⊥AB.
解：∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴DG∥AC.
∴∠2＝∠3.
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3.
∴EF∥DC.
∵EF⊥AB，
∴DC⊥AB.
方法總結：判斷兩條直線垂直的方法有兩種：①根據垂直的定義，說明相交所成四個角中有一個角為直角；②利用垂線的性質“在同一平面，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條”．
三、板書設計
垂線
本節課學習了垂線的概念和垂線的性質，垂直是相交的一種特殊情況，要說明兩條相交線的位置關系，一般都是垂直(如本節課的例2).垂線的兩條性質中，不要遺漏條件“在同一平面內”，以保證定理的精確性．對于垂線的概念和性質，要讓學生理解記憶．第4章　平面內的兩條直線
第1課時　平行線的判定方法1
1．掌握平行線的判定方法1，并學會運用．
2．會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線，并能理解這種畫法的理論依據．
3．通過對平行線的判定方法的推理過程的學習，培養學生進行數學推理的習慣和方法，同時提高學生“觀察——推理——論證”的能力．
重點：能用平行線的判定方法1判定兩條直線平行．
難點：平行線的判定方法1的探究與推理論證．
一、情境導入
前面我們學行線的性質，知道兩直線平行，同位角相等．如果已知同位角相等，那么這兩條直線平行嗎？
二、合作探究
探究點一：平行線的判定方法1
如圖，直線AB，CD分別與EF相交于點G，H，若∠1＝70°，∠2＝70°，試說明：AB∥CD.
解析：要說明AB∥CD，可轉化為說明∠1與其同位角相等，∠1的同位角又是∠2的對頂角．
解：因為∠2＝∠EHD(對頂角相等)，∠2＝70°，
所以∠EHD＝70°.
因為∠1＝70°，
所以∠EHD＝∠1.
所以AB∥CD(同位角相等，兩直線平行).
方法總結：要說明兩條直線平行，到目前為止我們學過的主要有兩種方法：①同位角相等；②平行線的基本事實或推論．
探究點二：平行線的判定方法1與性質的綜合運用
如圖，已知AB∥DC，∠D＝125°，∠CBE＝55°，AD與BC平行嗎？為什么？
解析：根據AB∥DC及∠D＝125°，可求出∠A的度數，從而說明∠A＝∠CBE.再根據同位角相等，兩直線平行可得AD∥BC.
解：AD∥BC.理由如下：
因為AB∥DC(已知)，
所以∠A＋∠D＝180°(兩直線平行，同旁內角互補).
因為∠D＝125°(已知)，
所以∠A＝180°－∠D＝180°－125°＝55°.
因為∠CBE＝55°(已知)，
所以∠A＝∠CBE.
所以AD∥BC(同位角相等，兩直線平行).
方法總結：本題綜合運用了平行線的性質和判定，由兩直線平行得出同旁內角互補(這是平行線的性質)，從而說明同位角相等，得到兩直線平行(這是平行線的判定).解題時不可混淆了性質和判定．
三、板書設計
平行線的判定方法1：同位角相等，兩直線平行．
解幾何題時，重在分析，應結合圖形分析題目給出的已知條件．本節課的易錯點是學生容易混淆平行線的判定和性質，應著重強調．由角之間的關系得到平行，這是平行線的判定；由平行得到角之間的關系，這是平行線的性質．第4章　平面內的兩條直線
4.1.1 平行線
1．理解平行線的意義，了解同一平面內兩條直線的位置關系．
2．理解并掌握過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行及直線平行關系的傳遞性等內容，學生在探索學習的過程中，學習用數學的眼光觀察生活，掌握知識．
3．會根據幾何語言畫圖，會用直尺和三角板畫平行線．
重點：平行線的概念與平行線的基本事實．
難點：對平行線的基本事實及直線平行關系的傳遞性的理解.
一、情境導入
觀察下圖，把鐵軌看作一條直線，圖中有哪些不同的位置關系？
二、合作探究
探究點一：平行線的概念
下列說法中，(1)在同一平面內不相交的兩條線段必平行；(2)在同一平面內不相交的兩條直線必平行；(3)在同一平面內不平行的兩條線段必相交；(4)在同一平面內不平行的兩條直線必相交．正確的個數有(　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解析：線段不相交，延長后不一定不相交，(1)錯誤；同一平面內，直線只有平行或相交兩種位置關系，故(2)(4)都正確；線段是有長度的，不平行也可以不相交，(3)錯誤；故選B.
方法總結：①線段、射線的平行是指它們所在的直線平行，在同一平面內，沒有公共點的兩條線段、射線可能平行，也可能不平行；②“在同一平面內”這一條件排除了立體圖形的可能．
探究點二：同一平面內兩條直線的位置關系
任意畫三條不重合的直線，交點的個數是(　　)
A.1 B．1或3
C．0或1或2或3 D．不能確定
解析：在平面上任意畫三條直線，相交的情況有四種可能．①三條直線平行，沒有交點；②三條直線相交于一點，一個交點；③兩直線平行被第三直線所截，得到兩個交點；④兩直線相交，得到一個交點，又被第三直線所截，共三個交點．故選C.
方法總結：在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系只有兩種：相交與平行．本題考查直線的相交情況，要注意分情況討論，做到不重不漏．
探究點三：平行線的基本性質
類型一】 對平行線的基本事實的理解
下列說法正確的是(　　)
A．經過一點有一條直線與已知直線平行
B．經過一點有無數條直線與已知直線平行
C．經過一點有且只有一條直線與已知直線平行
D．經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
解析：根據平行線的基本事實：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，可判斷只有D選項正確.
方法總結：理解并掌握平行線的基本事實是解題的基礎．
【類型二】 平行線的基本事實的運用
如圖，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三點是否共線？你能說明理由嗎？
解析：根據“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”解答．
解：C，D，E三點共線．理由如下：
因為過直線AB外一點C有且只有一條直線與AB平行，CD，DE都經過點C且與AB平行，
所以點C，D，E三點共線．
方法總結：“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”是我們后續學習中證明平行線的原始依據.
三、板書設計
從生活中的實例出發引出相交線與平行線的概念，通過觀察分析引導學生正確理解平行線的基本事實和推論．本節課重在對知識的理解，教學時注意結合圖形．第4章　平面內的兩條直線
4.1.2 相交直線所成的角
1．能通過對頂角的定義正確辨認對頂角，并通過對頂角相等解決實際問題，體會數學在生活中的應用．
2．能通過兩個角的位置關系正確辨認同位角、內錯角、同旁內角．
3．通過觀察、探究、辨別同位角、內錯角、同旁內角，培養對圖形的辨別能力、推理能力和表達能力．
重點：區別“兩條直線相交”和“兩條直線被第三條直線所截”；同位角、內錯角及同旁內角的位置特征．
難點：準確地找出兩條直線被第三條直線所截而構成的8個角之間的關系，用對頂角相等及等量代換得到它們之間的等量關系．
一、情境導入
如圖，兩條相交的公路構成四個角，這些角之間有什么關系？
二、合作探究
探究點一：對頂角的識別
下列圖形中∠1與∠2互為對頂角的是(　　)
解析：觀察∠1與∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同時滿足有公共頂點，且∠1的兩邊是另一個角∠2兩邊的反向延長線．故選C.
方法總結：判斷對頂角只看兩點：①有公共頂點；②一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線.
探究點二：對頂角的性質
【類型一】 直接求角度
如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度數．
解析：結合圖形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度數，根據對頂角相等可得∠2的度數．
解：因為∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.
因為∠BOF＝∠2 (對頂角相等)，
所以∠2＝70°(等量代換).
方法總結：兩條相交直線可構成對頂角，這時應注意“對頂角相等”這一隱含的結論．在圖形中正確找到對頂角，利用角的和差及平角等關系找到角的等量關系，然后結合已知條件進行轉化．
【類型二】 結合方程思想求角度
如圖，直線AC，EF相交于點O，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度數．
解析：已知量與未知量的關系較復雜，所以想到列方程解答，根據觀察可設∠BOE＝x，則∠AOF＝∠EOC＝2x，則可根據對頂角和鄰補角找到等量關系，列方程．
解：設∠BOE＝x，
則∠AOF＝∠EOC＝2x.
∵∠AOB與∠BOC互為鄰補角，
∴∠AOB＝180°－3x.
∵OD平分∠AOB，
∴∠DOB＝∠AOB＝90°－x.
∵∠DOE＝72°，
∴90°－x＋x＝72°，解得x＝36°.
∴∠AOF＝2x＝72°.
方法總結：在相交線中求角的度數時，就要考慮使用對頂角相等或鄰補角互補的性質．若已知關系較復雜，比如出現比例或倍分關系時，可列方程解決角度問題.
探究點三：同位角、內錯角、同旁內角的識別
如圖，找出圖中∠DEA，∠ADE的同位角、內錯角和同旁內角．
解析：結合圖形，找出“三線八角”．
解：圖中∠DEA的同位角為∠C、內錯角為∠BDE、同旁內角為∠A或∠ADE；
∠ADE的同位角為∠B、內錯角為∠CED、同旁內角為∠AED或∠A.
方法總結：兩個角的公共邊所在直線為截線，其余兩邊所在直線是被截的兩直線，在截線的同旁找同位角和同旁內角，在截線的兩旁找內錯角．
三、板書設計
1．對頂角
(1)概念；
(2)性質：對頂角相等．
2．“三線八角”：同位角、內錯角、同旁內角
名稱 同位角 內錯角 同旁內角
基本 圖形
與截線的 位置關系 同旁 兩旁 同旁
與被截 線的位 置關系 同一方向 內部 內部
圖象 形狀 “F”型 “Z”型 “U”型
本節課學習了兩個內容：對頂角及其性質和認識同位角、內錯角、同旁內角．教學中可讓學生自己畫這些角，結合圖形說出這些角的特征．“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角的識別是難點也是易錯點，讓學生在學習中不斷糾錯，不斷進步．第4章　平面內的兩條直線
4.5 第2課時　垂線段與點到直線的距離
1．理解垂線的性質并會過一點畫已知直線的垂線．
2．了解垂線、垂線段、點到直線的距離這幾個概念，掌握垂線段的性質．
3．通過畫圖等活動，經歷探索、發現垂線的性質的過程，提高觀察水平和空間想象能力，發展幾何語言表達能力.
重點：過一點畫已知直線的垂線；垂線段的性質、點到直線的距離的概念及其簡單應用．
難點：垂線的畫法及垂線段最短的理解與應用．
一、情境導入
如圖，要想從圖中的點P處修一條小路與公路相連，應怎樣修才能使路程最短？
二、合作探究
探究點一：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
如圖，已知ON垂直于直線l，OM垂直于直線l，所以OM與ON重合，其理由是(　　)
A.兩點確定一條直線
B．在同一平面內，經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．在同一平面內，過一點只能作一條直線
D．垂線段最短
解析：A.點M，N可以確定一條直線，但不可以確定三點O，M，N都在直線l的垂線上，故本選項錯誤；B.直線OM，ON都經過一個點O，且都垂直于直線l，故本選項正確；C.在同一平面內，過直線外一點只能作一條垂線，但可作無數條直線，故本選項錯誤；D.此題沒涉及線段的長度，故本選項錯誤．故選B.
方法總結：本題考查了垂直的定義、兩點確定一條直線、垂線段最短．正確理解它們的含義是解題的關鍵．
探究點二：垂線段
【類型一】 垂線段的性質
A為直線l外一點，B為直線l上一點，點A到l的距離為3 cm，則AB________3 cm，根據是________________．
解析：當AB⊥l時，AB為垂線段，垂線段最短，此時AB＝3 cm；當AB與l不垂直時，AB>3 cm，故AB≥3 cm.故答案為≥，垂線段最短．
方法總結：本題是“垂線段最短”的靈活應用題，解答此題時要注意體會從特殊到一般的思維方式的運用．
【類型二】 有關垂線段的作圖
如圖所示，修一條路從A村到B村，再到公路MN，怎樣修才能使所修的路最短？畫出線路圖，并說明理由．
解析：連接AB，過點B作BC⊥MN即可．
解：連接AB，作BC⊥MN，C是垂足，線段AB和BC就是符合題意的線路圖．
因為從A到B，線段AB最短，從B到MN，垂線段BC最短，
所以AB＋BC最短．
方法總結：與垂線段有關的作圖，一般是過一點作已知直線的垂線，作圖的依據是“垂線段最短”．
探究點三：點到直線的距離
如圖，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.
(1)試說出點A到直線BC的距離；點B到直線AC的距離；
(2)點C到直線AB的距離是多少？
解析：(1)點A到直線BC的距離就是線段AC的長；點B到直線AC的距離就是線段BC的長；(2)過點C作CD⊥AB，垂足為D.點C到直線AB的距離就是線段CD的長，可利用面積法求得．
解：(1)點A到直線BC的距離是3；點B到直線AC的距離是4；
(2)過點C作CD⊥AB，垂足為D.S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
所以5CD＝3×4，
所以CD＝.
所以點C到直線AB的距離為.
方法總結：垂線段與點到直線的距離是兩個不同的概念，垂線段是一條線段，而點到直線的距離是垂線段的長度．
三、板書設計
1．在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
2．垂線段最短
3．點到直線的距離
通過實際生活中的情景引入課題，激發學生的學習興趣．本節課概念容易混淆，如垂線、垂線段、點到直線的距離等，可結合圖形進行說明，幫助學生理解．第4章　平面內的兩條直線
4．6　兩條平行線間的距離
1．知道兩條平行線的所有公垂線段都相等，并理解平行線之間的距離的有關概念．
2．能夠將平行線之間的距離轉化為點到直線的距離．
3．在探究的過程中，逐步培養合作學習的精神，體驗轉化的數學思想．
重點：公垂線段定理．
難點：能夠利用公垂線段定理解決簡單問題．
一、情境導入
如圖是兩條筆直的鐵軌，它們之間的距離處處相等嗎？
二、合作探究
探究點一：公垂線段的概念及其性質
如圖，點A，B在直線l1上，點C，D在直線l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3 cm，則BD＝________cm.
解析：因為l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，所以AC，BD是l1與l2的公垂線段．因此AC＝BD，又因為AC＝3 cm，所以BD＝3 cm.故答案為3 cm.
方法總結：兩條平行線的所有公垂線段都相等，可利用它求線段長或與線段有關的問題．
探究點二：兩條平行線間的距離
【類型一】 兩條平行線間的距離
如圖，直線AB∥MN∥CD.直線MN上一點P到直線AB，AC，CD的距離相等，即PE＝PF＝PG.直線AB與MN的距離和直線CD與MN的距離相等嗎？說明理由．
解析：根據兩平行線間的距離的概念可知，直線AB與MN的距離就是點P到AB的距離，直線CD與MN的距離就是點P到CD的距離，故可知所要說明的兩個距離相等．
解：相等．理由如下：
因為PE，PG的長分別是直線AB與MN的距離和直線CD與MN的距離，而PE＝PG，
所以直線AB與MN的距離和直線CD與MN的距離相等．
方法總結：我們可以把求兩條平行直線的距離轉化為求點到直線的距離．
【類型二】 平行線間的距離與分類討論
已知直線a∥b∥c，a與b的距離是6 cm，a與c的距離是4 cm，求b與c之間的距離．
解析：分兩種情況：c在a與b之間與c不在a與b之間．
解：①當c在a與b之間時，c與b的距離為6－4＝2(cm)；
②當c不在a與b之間時，c與b相距為6＋4＝10(cm).
所以b與c之間的距離是2 cm或10 cm.
方法總結：本題考查的是求兩條平行線間的距離，注意分類討論，不要漏解．
三、板書設計
1．公垂線段
(1)概念
(2)性質
2．兩條平行線間的距離
本節課通過生活中的實例引入，讓學生理解公垂線、公垂線段、兩條平行線間的距離等概念，對于沒有給出圖形的三條平行線，在求距離時要注意分情況討論，不要漏解．第4章　平面內的兩條直線
4.3　 平行線的性質
1．通過對圖形的感知，理解平行線的性質，并依據性質進行有關的推理和計算．
2．經歷探索平行線性質的過程，掌握平行線的性質，并能解決一些問題．
3．在自己獨立思考的基礎上，積極參與小組活動．在對平行線的性質進行討論的過程中，敢于發表自己的看法，并從中獲益．
重點：探索并掌握平行線的性質，能用平行線的性質進行簡單的推理和計算．
難點：有條理地寫出推理的過程．
一、情境導入
窗戶內窗的兩條豎直的邊是平行的，在推動過程中，兩條豎直的邊與窗戶外框形成的兩個角∠1，∠2有什么數量關系？
二、合作探究
探究點一：平行線的性質
【類型一】 直接利用平行線的性質求角度
已知：如圖，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度數．
解析：利用“兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補”的性質可求出結論．
解：∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠B＝65°.
∵BE∥FD，
∴∠BED＋∠D＝180°.
∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.
方法總結：已知平行線求角度，應根據平行線的性質得出同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補，再結合已知條件進行轉化．
【類型二】 角平分線與平行線綜合求角度
如圖，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD的度數．
解析：先利用GF∥CE，易求∠CAG，而∠PAG＝12°，易求∠PAC.AP是∠BAC的平分線，可求∠BAP，從而可求∠BAG＝36°＋12°＋12°＝60°，根據平行線的性質，即可求∠ABD.
解：∵FG∥EC，
∴∠ACE＝∠CAG＝36°.
∵∠PAC＝∠CAG＋∠PAG，
∴∠PAC＝36°＋12°＝48°.
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAC＝∠BAP＝48°.
∵DB∥FG，
∴∠ABD＝∠BAG＝∠BAP＋∠PAG＝48°＋12°＝60°.
方法總結：(1)利用平行線的性質可以得出角之間的相等關系或互補關系，利用角平分線的定義，可以得出角之間的倍分關系；(2)求角的度數，可把一個角轉化為一個與它相等的角或轉化為已知角的和差．
探究點二：平行線性質的應用
【類型一】 利用平行線的性質解決長方形的折疊問題
把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，ED與BC的交點為G，D，C分別在D′，C′的位置上，如圖所示，若∠EFG＝55°，求∠1與∠2的度數．
解析：由∠1＋∠3＋∠4＝180°和∠3＝∠4＝∠EFG＝55°，可求∠1.由AD∥BC，得∠1＋∠2＝180°，可求∠2.
解：由題意可得∠3＝∠4.
因為∠EFG＝55°，AD∥BC，
所以∠3＝∠4＝∠EFG＝55°.
所以∠1＝180°－∠3－∠4＝180°－55°×2＝70°.
又因為AD∥BC，
所以∠1＋∠2＝180°.
所以∠2＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.
方法總結：本題考查圖形折疊的性質與平行線性質的應用．由圖形的折疊能夠得到對應圖形的對應角相等，對應線段也相等．根據平行線的性質，可以得到角之間的關系．
【類型二】 平行線的性質的實際應用問題
一大門的欄桿如圖所示，∠BAE＝90°，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝________°.
解析：過B作BF∥AE，則CD∥BF∥AE，∴∠BCD＋∠1＝180°.又∵∠BAE＝90°，BF∥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝180°.∴∠ABF＝90°.∴∠ABC＋∠BCD＝90°＋180°＝270°.故答案為270.
方法總結：解本題時既可以過點B作BF∥AE，也可以過點C作CM∥AB，方法不唯一．
三、板書設計
平行線的性質
平行線的性質是幾何證明的基礎，教學中注意基本的推理格式的書寫，培養學生嚴謹的邏輯思維能力，鼓勵學生勇于嘗試．在課堂上，力求體現學生的主體地位，把課堂交給學生，讓學生在動口、動手、動腦中學數學．第4章　平面內的兩條直線
4.4 第2課時　平行線的判定方法2、3
1．了解平行線的判定方法2，3的證明過程．
2．掌握平行線的判定方法2，3，并能正確運用．
3．在數學活動中，體驗平行線的判定方法2，3的探索過程，并在學習活動中學會與他人合作、交流．
重點：能用平行線的判定方法2，3判定兩條直線平行．
難點：綜合運用平行線的判定方法進行推理論證．
一、情境導入
通過上節課的學習，我們知道：同位角相等，兩直線平行．如果有內錯角相等，這時兩條直線平行嗎？同旁內角互補呢？
二、合作探究
探究點一：平行線的判定方法2，3
【類型一】 利用一次判定證明平行
如圖，BE平分∠ABC，且∠1＝∠2，DE∥BC嗎？
解析：結合已知條件說明∠2＝∠EBC，從而可得DE∥BC.
解：DE∥BC.理由如下：因為BE平分∠ABC，所以∠1＝∠EBC.因為∠1＝∠2，所以∠2＝∠EBC.所以DE∥BC.
方法總結：利用角之間的關系說明兩直線平行，有三種方法：同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．解題時能正確識別圖形中的“三線八角”，是正確答題的關鍵．只有同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，才能推出被截的兩條直線平行．
【類型二】 利用兩次判定證明平行
如圖，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，試說明：BD∥CE.
解析：由∠A＝∠F，根據“內錯角相等，得兩條直線平行”，即AC∥DF；根據平行線的性質，得∠C＝∠CEF，借助等量代換可以證明∠D＝∠CEF，從而根據同位角相等，證明BD∥CE.
解：∵∠A＝∠F(已知)，
∴AC∥DF(內錯角相等，兩直線平行).
∴∠C＝∠CEF(兩直線平行，內錯角相等).
∵∠C＝∠D(已知)，
∴∠D＝∠CEF(等量代換).
∴BD∥CE(同位角相等，兩直線平行).
方法總結：此題綜合運用了平行線的判定及性質，比較簡單．
探究點二：平行線的判定與性質的綜合運用
如圖，已知∠A＝∠F，∠DBA＋∠DEC＝180°.試問BD是否與CE平行？為什么？
解析：先由∠A＝∠F可推出DF∥AC，利用平行線的性質結合已知條件，得到∠DBA＝∠C，進而判斷出BD∥EC.
解：BD∥EC.理由如下：
因為∠A＝∠F，
所以DF∥AC.
所以∠DEC＋∠C＝180°.
又因為∠DBA＋∠DEC＝180°，
所以∠DBA＝∠C.
所以BD∥EC.
方法總結：由兩條直線平行只能得到相應的同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補，而要判定兩直線平行，只能根據相應的同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補．
三、板書設計
平行于同一直線的兩直線平行
平行線的判定
本節課學行線的判定，平行線的判定與性質是幾何的一個重要內容，初學時學生容易混淆．教師應注意引導學生分析，做到言必有據，書寫時應體現幾何邏輯思維的嚴密性．讓學生從例題和練習中不斷感悟．

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