資源簡介

17.1勾股定理
一、教學指導思想
本節課的教學設計遵循新課標準中強調的“選擇能引發學生思考的教學方式”的原則，重視設計合理問題，在真實情境中提出能引發學生思考的數學問題，也可以引導學生提出合理問題。問題提出應引發學生認知沖突，激發學生學習動機，促進學生積極探究，讓學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程，體會數學是認識、理解、表達真實世界的工具、方法和語言，增強認識真實世界、解決真實問題的能力，樹立學好數學的自信心，養成良好的學習習慣。
二、內容分析
本節課是人教版八年級下第17章第一節第一課時，勾股定理在學習了三角形有關性質的基礎上提出來的，勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的數量關系，對前面的知識起到完善，延伸的作用。為下面學習勾股定理的逆定理作了鋪墊，也為以后學習“四邊形”和“解直角三角形”奠定基礎.
三、學情分析
（1）學生的知識技能基礎：學生已學過三角形的有關性質，以及三角形全等的判定方法；學生已學習了等腰三角形的性質，了解了直角三角形的基本特征.學過了軸對稱、平移等變換知識，也有一定操作經驗.
（2）學生心理特點：八年級學生具有好強、好勝、思維活躍的特點。在學習上有強烈的求知欲望，他們樂于探索及表現自我.
（3）學生活動經驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗和數學思考，具備了一定的合作與交流的能力. 但在數學說理和一些重要數學思想方法上尚不能熟練掌握，缺乏嚴謹的邏輯推理能力.
四、教學目標
了解勾股定理的文化背景，體驗勾股定理的探索過程。在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂；
用數格子（或割、補、拼等）的辦法體驗勾股定理的探索過程并理解勾股定理反映的直角三角形的三邊之間的數量關系，會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用．
讓學生經歷“觀察—猜想—歸納—驗證”的探索過程，并體會數形結合和特殊到一般的思想方法．
通過介紹勾股定理在中國古代的研究，激發學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想，激勵學生發奮學習．
五、教學重難點
【教學重點】
探索和驗證勾股定理
【教學難點】
勾股定理的證明
六、教學策略
1、以自學輔導為主，充分發揮教師的主導作用，運用各種手段激發學生學習欲望和興趣，組織學生活動，讓同學們主動參與學習全過程。
2、切實體現學生的主體地位，讓學生通過觀察、分析、討論、操作、歸納，理解定理，提高學生動手操作能力，以及分析問題和解決問題的能力。
3、通過演示實物，引導學生觀察、操作、分析、證明，使學生得到獲得新知的成功感受，從而激發學生鉆研新知的欲望。
七、課前準備
多媒體課件、三角尺、趙爽弦圖模型
八、教學過程
（一）、創設情境，引入課題
教師利用多媒體展示圖片．
問題1： 2002年在北京召開了第24屆國際數學家大會，它是最高水平的全球性數學科學學術會議，被譽為數學界的“奧運會”．這就是本屆大會的會徽的圖案．
（1）你見過這個圖案嗎？
（2）你聽說過“勾股定理”嗎？
學生觀察圖片發表見解．
教師作補充說明：
這個圖案是我國漢代數學家趙爽在證明勾股定理時用到的，被稱為“趙爽弦圖”．
問題2：出示圖片：這是1955年希臘發行的一枚紀念一位數學家的郵票，這郵標圖案中隱藏了什么數學奧妙呢？
【設計意圖】從現實生活中提出“趙爽弦圖”，希臘的郵票，為學生能夠積極主動地投入到探索活動創設情境，激發學生學習熱情，同時為探索勾股定理提供背景材料．
板書課題：17.1勾 股 定 理
（二）實驗探究，形成概念
問題3：相傳2500年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客時，發現朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數量關系．我們也來觀察下圖中的地面，看看能發現些什么？
1.圖中三個小正方形的面積有什么關系？
2.等腰直角三角形三邊之間有什么關系？
問題4：探究1：等腰直角三角形三邊關系
下圖中，每個小方格的面積均為1，請分別算出圖中正方形A，B，C的面積，看看能得出什么結論．
A的面積 B的面積 C的面積
圖1
圖2
A、B、C面積 關系
三邊關系
學生得出結論：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積．
【設計意圖】鼓勵學生從不同角度尋求解決正方形C面積的方法，并通過對方法的反思，獲得解決問題的經驗.讓學生積極參與對數學問題的討論，敢于發表自己的意見，能從交流中獲益.
探究2：直角三角形三邊關系
等腰直角三角形有上述性質，其他的直角三角形也有這個性質嗎？
學生：觀察思考，割補計算求面積，同學合作交流討論，歸納總結得出結論.
本次活動中，教師應重點關注：
（1）給學生留出充分的時間思考和交流，鼓勵學生大膽說出自己的看法；
（2）學生能否準確挖掘出圖形中的隱含條件，計算各個正方形的面積；
（3）學生能否用不同方法得到大正方形的面積（先補全再分割），引導學生重點學習趙爽弦圖的分割方法；
（4）學生能否將三個正方形面積的關系轉化為直角三角形三條邊之間的關系，并用自己的語言敘述出來；
（5）學生能否主動參與探究活動，在討論中發表自己的見解，傾聽他人的意見，對不同的觀點進行質疑，從中獲益．
【設計意圖】進一步讓學生體會觀察、猜想、歸納這一數學結論發現的過程，也讓學生的分析問題和解決問題的能力在無形中得到提高，讓學生體會到結論更具一般性，體會特殊到一般的數學方法.
猜想：直角三角形的三邊長、、之間存在什么關系？
學生得出命題.
命題1:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么.
（三）動手操作，證明定理
教師追問：是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要我們對一個一般的直角三角形進行證明．
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c.
求證：a2＋b2=c2.
問題5：利用拼圖來驗證勾股定理
1、拿出準備好的四個全等的直角三角形（設直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊c）；
2、你能用這四個直角三角形拼成一個正方形嗎？拼一拼試試看？
3、你拼的正方形中是否含有以斜邊c的為邊長的正方形？
4、你能否就你拼出的圖說明a2＋b2=c2？
師生互動：教師組織學生拼圖驗證結論，巡視參與并引導提示：①所拼圖形面積能用直角三角形的邊長來表示；②所拼圖形的面積要用兩種不同方法表示，并用等號連結，化簡驗證；③發揮學生的想象能力拼出不同的圖形，進行證明.
學生小組交流，動手拼圖驗證結論，小組代表展示驗證結果；師生共同評價，概括歸納勾股定理.
【設計意圖】通過學生動手操作，分組展示，老師點撥，讓學生更加深刻理解勾股定理的證明方法，滲透問題情境→觀察思考→提出猜想→驗證猜想，滲透數形結合思想和特殊到一般的數學方法.
老師板書并投影勾股定理的三種語言表述.
勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c，那么a2＋b2=c2.
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
在Rt△ABC中，∠C=90°，則a2＋b2=c2.
5.投影展示介紹數學史料：勾、股、弦和商高定理的來歷.
【設計意圖】教師講解勾股定理的有關歷史背景，學生體會古代學者的聰明才智，培養學生愛國主義精神.
（四）實際應用，鞏固新知
1、求下列圖中字母所表示的正方形的面積.
2、求出下列直角三角形中未知邊的長度.
【設計意圖】通過當堂訓練，幫助學生更好地理解和掌握勾股定理，提高數學思維和應用能力，同時也可以反饋學生的學習情況。
（五）感悟總結，提升能力
1.本節課我們學到了什么？
2.學了本節課后我們有什么感想？
【設計意圖】教師鼓勵學生結合本節課的學習，談自己的收獲與感想，教師適當地給予鼓勵，培養學生的語言表達能力、概括能力及善于歸納總結良好的學習習慣.
（六）課后作業，查疑補缺
必做題：請你利用今天學習的面積法證明教材習題17.1第13題.
選做題：課下每個同學制作一張勾股定理的數學小報，并自己上網查閱與勾股定理有關的知識，證明方法和應用等，然后小組交流、展示.
（七）板書設計
17.1勾股定理
勾股定理：

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