資源簡介

第五章 圖形的軸對稱
2 簡單的軸對稱圖形
第2課時 線段垂直平分線的性質及作法
※教學目標※
1.理解線段垂直平分線的性質。（重點）
2.能運用線段垂直平分線的性質解決實際問題。（難點）
3.會用尺規作線段的垂直平分線，了解作圖的道理。
※教學過程※
一、新課導入
[復習導入]
1.什么是軸對稱圖形？
解：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸。
2.軸對稱的性質是什么？
解：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等。
3.線段是軸對稱圖形嗎？
解：是。
二、新知探究
（一）線段垂直平分線的定義
[提出問題]在紙上畫一條線段，你能不用任何工具找到這條線段的對稱軸嗎？
解：1.線段本身所在的直線是它的一條對稱軸。
對折，使點A，B重合，折痕OC與AB相交于點C，折痕OC也是它的一條對稱軸。
[歸納總結]線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸。
垂直平分線的定義：
垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線（簡稱中垂線）。
（二）線段垂直平分線的性質
[提出問題]如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是l上的任意一點。在線段AB上畫出以直線l為對稱軸的一組對應點D和D’，連接CD和CD’。
（1）你認為線段CD和CD’之間有什么關系？說說你的理由。
（2）特別地，當點D與點A重合時，點D’位于什么位置？此時，線段CD和CD’之間還有（1）中的關系嗎？
解：（1）CD=CD’。
因為點D和點D’關于直線l對稱，所以OD=OD’，∠COD=∠COD’=90°。
又因為OC=OC，所以△COD≌△COD’（SAS），所以CD=CD’。
（2）當點D與點A重合時，點D’與點B重合，此時CD和CD’依然相等，即AC=BC。
[歸納總結]線段垂直平分線上的點到這兩條線段兩個端點的距離相等。
幾何語言:因為點C在線段AB的垂直平分線上，所以AC=BC。
[典型例題]例1 如圖，DE是AC的垂直平分線，AB＝12厘米，BC＝10厘米，則△BCD的周長為 (　A　)
A．22厘米 B．16厘米
C．26厘米 D．25厘米
解析：根據線段垂直平分線的性質，得CD＝AD，
故△BCD的周長為DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)。
[針對練習]
1.如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為( B )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如圖，AB是△ABC的一條邊，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC于點D，已知AB=8cm，BD=6cm，那么EA= 4 cm，DA= 6 cm。
（三）線段的垂直平分線的作法
[典型例題]例2 如圖，已知線段AB，請用尺規作線段AB的垂直平分線。
作法：
1.分別以點A和點B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，
兩弧相交于點C和D；
2.作直線CD。
直線CD就是線段AB的垂直平分線。
[針對練習]如圖，某地由于居民增多，要在公路l旁增加一個公共汽車站，A，B是路邊兩個新建小區，這個公共汽車站C建在什么位置，能使兩個小區到車站的路程一樣長？（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
解：如圖所示，點O即為所求。
解析：連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于O，交AB于E。
因為EO是線段AB的垂直平分線，
所以點O到點A，B的距離相等。
所以這個公共汽車站C應建在O點處，才能使到兩個小區的路程一樣長。
三、課堂小結
四、課堂訓練
1.如圖，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，若△ABC的周長為16，AC＝6，則DC為（　A　）
A．5 B．8 C．9 D．10
2.如圖，∠BAC＝140°，若DM和EN分別垂直平分AB和AC，則∠DAE等于（　A　）
A．100° B．90° C．80° D．70°
3.如圖，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，則四邊形ADBC的周長是　20　。
4.如圖，在△ABC中，分別以點A，點B為圓心，以大于的長為半徑畫弧交于M，N兩點，作直線MN交AB于點E，交AC于點D，若AE＝4，△BCD的周長是12，則△ABC的周長為 　20　。
5.如圖，已知AD是△ABC的高線，AD的垂直平分線分別交AB，AC于點E，F。
（1）若∠B＝40°，求∠AEF的度數；
（2）試說明∠B∠AED。
解：（1）因為EF是AD的垂直平分線，
所以EF⊥AD，
因為AD是△ABC的高線，
所以BC⊥AD，
所以EF∥BC，
所以∠AEF＝∠B＝40°。
（2）因為EF是AD的垂直平分線，
所以EA＝ED，EF⊥AD，
所以∠AEE＝∠DEF，
由（1）可知，∠AEF＝∠B，
所以∠B∠AED。
6.如圖，已知點A，B分別在直線l異側。
（1）在直線l上求作一點P，使PA＝PB；
（2）在直線l上求作一點Q，使l平分∠AQB。
（以上兩小題保留作圖痕跡，標出必要的字母，不要求寫作法）
解：（1）如圖所示，點P即為所求。（2）如圖所示，點Q即為所求。
※教學反思※
本課時探索線段的軸對稱性，以操作性活動以及“你發現了什么”的問題引入線段的軸對稱性，學生在回答“線段是軸對稱圖形”后，建議要求其說明線段的對稱軸的特點，為下面給出垂直平分線的定義做鋪墊。

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