資源簡介

第五章 圖形的軸對稱
2 簡單的軸對稱圖形
第3課時 角平分線的性質
※教學目標※
1.探索并證明角的平分線的性質。（重點）
2.能用角平分線的性質解決簡單問題。（難點）
3.會用尺規(guī)作一個角的平分線，知道作法的合理性。
※教學過程※
一、新課導入
[情境導入]
你發(fā)現(xiàn)了什么圖形？
角。
角是生活中常見的圖形，角是軸對稱圖形嗎？
二、新知探究
（一）角的軸對稱性
[提出問題]如圖，將∠AOB對折，你發(fā)現(xiàn)了什么？
[歸納總結]角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸。
（二）角平分線的性質
[提出問題]如圖，OP是∠AOB的平分線，點C是OP上的任意一點。在∠AOB中畫出以OP所在直線為對稱軸的一組對應點D和點D’，連接CD和CD’。
（1）你認為線段CD和線段CD’之間有什么關系？
解：CD=CD’。
（2）特別地，當CD⊥OA時，CD’與OB有怎樣的位置關系？此時，線段CD和線段CD’還有（1）中的關系嗎？
解：此時CD’⊥OB，CD=CD’。
由此你能得到什么結論？
已知：如圖，已知∠AOC =∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。
試說明PD = PE。
解：因為PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO =∠PEO = 90°。
在△PDO和△PEO中，
因為∠PDO =∠PEO，
∠AOC =∠BOC，OP = OP，
所以△PDO≌△PEO（AAS）。
所以PD= PE。
[歸納總結]角平分線的性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
幾何語言：
因為OC是∠AOB的平分線，CD⊥OA，CE⊥OB，
所以CD = CE。
注意：推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。
[針對練習]
判一判：（1）因為如下左圖，AD平分∠BAC（已知），
所以BD=CD （角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）。（×）
(2)因為如上右圖， DC⊥AC，DB⊥AB（已知），
所以BD=CD（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）。（ √ ）
[典型例題]例1 如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是點D，E，PD=4cm，則PE=__4____cm。
解析：因為AM 是∠BAC的平分線，
PD⊥OB,PE⊥OC，
所以PD=PE=4。
[針對練習]
如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB＝14。
(1) 則點P到AB的距離為 4 ；
(2) △APB的面積為 28 。
（三）角平分線的作法
[典型例題] 例2 如圖。
（1）已知∠AOB，請用尺規(guī)作∠AOB的平分線。
解：作法：
① 在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD=OE。
②分別以點D和點E為圓心，以大于DE的長為半徑畫弧，
兩弧在∠AOB內相交于點C。
③作射線OC。
射線OC就是∠AOB的平分線。
（2）你能說明這樣作的道理嗎
解：連接CD，CE，則CD=CE。
在△OCD和△OCE中，
因為，，，
所以△ACD≌△ACB（SSS），
所以∠COD=∠COE，
所以OC平分∠AOB。
[針對練習]先任意畫一個角，然后將它四等分。
作法：畫出已知角∠AOB 。
1.作∠AOB 的平分線OC。
2.分別作∠AOC和∠BOC的平分線OD，OE，即將∠AOB四等分。
三、課堂小結
四、課堂訓練
1.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上一個動點，若PA＝3，則PQ的最小值為（　C　）
A． B．2 C．3 D．4
2.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是(　D　)
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：過點D作DF⊥AC于F，
因為AD是△ABC的角平分線，
DE⊥AB，
所以DF=DE=2，
解得AC=3。
3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BE＝FC。試說明BD＝DF。
解：因為AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
所以DC＝DE。
在△DCF和△DEB中，因為DC=DE,∠C=∠BED,CF=BE,
所以△DCF≌△DEB（SAS）。所以BD＝DF。
4.如圖，某城市公園里有三個景點A，B，C，直線l1，l3表示直路，而l2表示彎路。想在S區(qū)里修建一座公廁P，使它到兩條路l1和l3的距離相等，且到兩個景點B和C的距離也相等。求點P的位置。
解：如圖，點P即為所求。
※教學反思※
本課時探索角的軸對稱性。本課教學設計較好地體現(xiàn)了“教為主導， 學為主體，探索為主線，思維為核心”的教學理念，在描述探究結果的過程中，學生通過有條理的語言表達，進一步提高了數(shù)學語言的運用能力，為八年級的推理和嚴格證明打下堅實基礎。

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