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第四章　三角形
1 認識三角形
第3課時 三角形的高、中線與角平分線
※教學目標※
1．掌握三角形的高、中線、角平分線的定義。(重點)
2．能夠準確地畫出三角形的高線、中線、角平分線，并能夠對其進行簡單的應用。(難點)
一、新課導入
[情境導入]如圖，在△ABC中有一條線段，一端點在頂點A處，另一端點從點B沿著BC邊移動到點C，觀察移動過程中形成的無數條線段（AD，AE，AF，AG…），有沒有特殊位置的線段？你認為有哪些特殊位置？
［生甲］我觀察到，有一條線段的端點是BC的中點。
［生乙］在這些線段中，有一條線段平分∠BAC，即是∠BAC的平分線。
［生丙］還有一條線段垂直邊BC。
［師］很好，同學們通過觀察，找到了具有特殊位置的線段，這三條線段是三角形的重要線段，它們分別是三角形的中線、角平分線和高線。我們先來認識三角形的高線。
二、新知探究
（一）三角形的高線
[定義]從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高。
作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(　D　)
做一做：準備一個銳角三角形紙片。
（1）你能畫出這個三角形的高嗎？能用折紙的方法得到它嗎？
（2）這三條高之間有怎樣的位置關系呢？
銳角三角形的三條高在三角形的內部且交于一點。
議一議：畫出一個直角三角形和一個鈍角三角形。畫出它們的三條高，并觀察其有怎樣的位置關系？
三角形的三條高所在的直線交于一點。
直角三角形的三條高交于直角頂點處.鈍角三角形的三條高所在直線交于一點，此點在三角形的外部。
[典型例題]例1如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為________。
（二）三角形的中線
[定義]三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段，叫作這個三角形的中線。
如圖，點E是BC的中點，線段AE是△ABC的中線，則BE=EC=BC。
思考:在一個三角形中，有幾條中線呢？它們的位置關系又如何呢？同學們來畫一畫，議一議。
（1）在紙上畫一個銳角三角形，并畫出它的所有中線，它們有怎樣的位置關系？
（2）鈍角三角形和直角三角形的中線有幾條，它們也有同樣的位置關系嗎？折一折，畫一畫，并與同伴交流。
[歸納總結]三角形的三條中線交于一點。這個點稱為三角形的重心。
[典型例題]例2 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝____7cm____。
例3 如圖，在△ABC中，E是BC上的一點，EC＝2BE，點D是AC的中點，設△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，則S△ADF－S△BEF＝____2____。
方法總結：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時，面積的比等于底邊的比；底相等時，面積的比等于高的比。
（三）三角形的角平分線
[歸納總結]在三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線。
如圖，如果AD是∠BAC的平分線，那么有∠BAD=∠DAC=∠BAC。
做一做：大家拿出準備好的銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個，來動手做一做。
（1）你能分別畫出銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形這三個三角形的三條角平分線嗎？
（2）你能用折紙的辦法得到它們嗎
（3）在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關系？
[歸納總結]三角形的三條角平分線交于一點。
[典型例題]例4 如圖，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分線，則∠CAD的度數為(　A　)
A．40°　 B．45° 　C．50° 　D．55°
[針對練習]如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，則∠B＝__50°__。
三、課堂小結
1．三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高。三角形的三條高所在的直線交于一點。
2．三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段叫作三角形的中線。三角形的三條中線交于一點。
3．三角形的角平分線：在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線。三角形的三條角平分線交于一點。
四、課堂訓練
1．如圖，AE⊥BC交BC的延長線于點E，BF⊥AC交AC的延長線于點F，CD⊥AB于點D，則在△ABC中，AC邊上的高是（　D　）
A．AE B．CD C．AF D．BF
2．下列說法正確的是（　B　）
A．三角形的角平分線是射線
B．銳角三角形的三條高交于一點
C．過三角形的頂點，且過對邊中點的直線是三角形的一條中線
D．三角形的高、中線、角平分線一定在三角形的內部
3．如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（　C　）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
※教學反思※
課堂上通過同學們在折紙、畫圖等實踐活動，充分調動學生自主學習的潛能，豐富學生對此內容的體驗和理解，同時發展他們的空間觀念，從而發展他們的創新能力，以更好地激發學生積極思考，得到更大的收獲。其次通過對三角形的三種情況的分析，即銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，培養學生分類討論思想。同時，可以在學生頭腦中對這三種線段留下清晰的形象，然后結合這些具體形象敘述它們的定義以及表示方法，最后通過例題進一步鞏固。

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