資源簡介

第三章 概率初步
2 頻率的穩定性
第2課時 用頻率估計概率
※教學目標※
1.進一步了解在試驗次數很大時，隨機事件發生的頻率具有穩定性。（重點）
2.理解并掌握概率的概念，初步學會用頻率估計概率。（難點）
※教學過程※
一、新課導入
[情境導入] 擲一枚質地均勻的硬幣，硬幣落下后，會出現兩種情況：
正面朝上 正面朝下
你認為正面朝上和正面朝下的可能性相同嗎
二、新知探究
（一）概率的認識
例1. 某天氣預報軟件顯示“某市明天的降水概率為85%”，對這條信息的下列說法中，正確的是（　C　）
A．某市明天將有85%的時間下雨
B．某市明天將有85%的地區下雨
C．某市明天下雨的可能性較大
D．某市明天下雨的可能性較小
[歸納總結]
我們把刻畫事件 A 發生的可能性大小的數值，稱為事件 A 發生的概率，記為 P(A)。
（二）用頻率估計概率
[操作思考]
(1)同桌兩人做 20 次擲硬幣的游戲，并將數據記錄在下表中：
試驗總次數
正面朝上的次數
正面朝上的頻率
正面朝下的次數
正面朝下的頻率
(2)累計全班同學的試驗結果，并將數據匯總填入下表：
試驗總次數 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
正面朝上的次數
正面朝上的頻率
正面朝下的次數
正面朝下的頻率
(3)根據表格，完成下面的折線統計圖：
(4)觀察上面的折線統計圖，你發現了什么規律？
當試驗次數很多時，正面朝上的頻率折線差不多穩定在“0.5水平線”上。
(5) 下表列出了歷史上一些數學家所做的擲硬幣試驗的數據：
試驗者 試驗總次數n 正面朝上的次數m 正面朝上的頻率
布豐 4 040 2 048 0.506 9
德 摩根 4 092 2 048 0.500 5
費勒 10 000 4 979 0.497 9
皮爾遜 12 000 6 019 0.501 6
皮爾遜 24 000 12 012 0.500 5
維尼 30 000 14 994 0.499 8
羅曼諾夫斯基 80 640 39 699 0.492 3
分析試驗結果及下面數學家大量重復試驗數據，大家有何發現？
試驗次數越多，頻率越接近 0. 5。
[歸納總結]
一般地，在大量重復的試驗中，一個隨機事件發生的頻率會在某一個常數附近擺動，這個性質稱為頻率的穩定性。頻率反映了該事件發生的頻繁程度，頻率越大，該事件發生越頻繁，這就意味著該事件發生的可能性也越大，因而，我們就用這個常數來表示該事件發生的可能性的大小。
一般地，在大量重復的試驗中，我們可以用事件 A 發生的頻率來估計事件 A 發生的概率。
思考交流
1.事件A發生的概率可以通過什么來估算？
事件A發生的概率可以用隨機事件A發生的頻率來估算。
2.隨機事件A發生的頻率的計算公式是 ，你能得出什么發現？
由 m 和 n 的含義，可知 0≤m≤n，所以 0≤ ≤1， 即0≤P (A)≤1。
特別地，當A為必然事件時，P(A) = 1；當A為不可能事件時，P(A) = 0。
[歸納總結]
必然事件發生的概率為1，不可能事件發生的概率為0，隨機事件A發生的概率P（A）是0與1之間的一個常數。
[典型例題]
例2. 王老師將 1 個黑球和若干個白球放入一個不透明的口袋并攪勻，讓若干學生進行摸球試驗，每次摸出一個球(有放回)，下表是活動進行中的一組統計數據(結果保留兩位小數)：
(1) 補全上表中的有關數據，根據上表數據估計從袋中摸出一個球是黑球的概率是多少；
解：（1）0.25。
(2) 估算袋中白球的個數。
解：（2）設袋中白球的個數為，
由題意，得，解得=3。
答：袋中白球的個數約為3個。
[針對練習]
1. 小凡做了5次擲均勻硬幣的試驗，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他認為正面朝上的概率大約為，朝下的概率為，你同意他的觀點嗎？你認為他再多做一些試驗結果還是這樣嗎？
解：不同意。概率是針對大量重復試驗而言的，大量重復試驗反映的規律并非在每一次試驗中都發生。
2. 小明擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率為，那么，拋擲100次硬幣，你能保證恰好50次正面朝上嗎？
解：不能，這是因為頻數和頻率的隨機性，以及一定的規律性，或者說概率是針對大量重復試驗而言的，大量重復試驗反映的規律并非在每一次試驗中都發生。
三、課堂小結
1.頻率具有穩定性。
2.一般地，在大量重復的試驗中，我們可以用不確定事件A發生的頻率來估計事件A發生的概率，記為 P(A)。
3.必然事件發生的概率是 1；
不可能事件發生的概率是 0；
隨機事件A發生的概率 P(A) 是 0 與 1 之間的一個常數。
四、課堂訓練
1.已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，下列說法錯誤的是（　A ）
A．連續拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上
B．連續拋一枚均勻硬幣10次都可能正面朝上
C．大量反復拋一枚均勻硬幣，平均每100次出現正面朝上50次
D．通過拋一枚均勻硬幣確定誰先發球的比賽規則是公平的
2.下列事件發生的概率為 0 的是( D )
A. 擲兩枚骰子，同時出現數字“ 6 ”朝上
B. 小明從家里到學校用了10分鐘，從學校回到家里卻用了15分鐘
C. 今天是星期天，昨天必定是星期六
D. 小明步行的速度是每小時40千米
3. 口袋中有9個球，其中4個紅球，3個藍球，2個白球，在下列事件中，發生的概率為1的是 ( C )
A. 從口袋中拿一個球恰為紅球
B. 從口袋中拿出2個球都是白球
C. 拿出6個球中至少有一個球是紅球
D. 從口袋中拿出的5個球中恰為3紅2白
4.某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
根據頻率的穩定性，估計這名運動員射擊一次時“射中九環以上”的概率約是（　B　）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
5.一只不透明袋子中裝有1個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學習小組做摸球試驗：將球攪勻后從中任意摸出1個球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復這個過程，獲得數據如下：
（1）該學習小組發現，摸到白球的頻率在一個常數附近擺動，這個常數是 0.33 （精確到0.01），由此估計紅球有　 2 個。
（2）現從該袋中一次摸出2個球，請列出所有等可能的結果，并求恰好摸到1個白球、1個紅球的概率。
解：設紅球為A1，A2，白球為B。可能的結果有A1，A2；A1，B；A2，B。
P（恰好摸到1個白球、1個紅球）= 。
※教學反思※
拋硬幣試驗的結果只有兩個，再結合生活常識學生很容易想到拋硬幣得到正反兩面的結果都是0.5，這為后面學習等可能概型打下基礎。需要說明的是，雖然多次試驗的頻率漸趨穩定于其理論概率，但也不排斥無論做多少次試驗，試驗概率仍然是理論概率的一個近似值，兩者存在著一定的偏差，而且偏差的存在是正常的、經常的。

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