資源簡介

第一章 整式的乘除
1 冪的乘除
第4課時 同底數冪的除法
※教學目標※
1．了解同底數冪的除法的運算性質，并能解決一些問題。（重點）
2．理解并掌握科學記數法表示小于1的數的方法。（重點）
3．能將用科學記數法表示的數還原為原數。（難點）
※教學過程※
一、新課導入
[情境導入]一種液體每升含有1012個有害細菌，為了試驗某種殺菌劑的效果，科學家們進行了實驗，發現1滴殺菌劑可以殺死109個此種細菌。要將1升液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴？
解：1012÷109==。
二、新知探究
（一）同底數冪的除法法則
[提出問題]探究1：計算下列各式，并說明理由（m>n）。
(1)108÷105; (2)10m÷10n; (3)(-3)m÷(-3)n。
解：(1)108÷105==103=108-5。
(2)10m÷10n===10m-n。
(3)(-3)m÷(-3)n===(-3)m-n。
這個驗證問題如何用數學的語言表示？
[合作探究]試證明：am÷an = am - n。
驗證：由冪的定義可知am÷an===am-n。
你能從中歸納出同底數冪除法的法則嗎？
[歸納總結]am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整數，且m>n)同底數冪相除，底數不變，指數相減。
[典型例題]例1 計算：(1)x6÷x2；　(2)(－3)7÷(－3)4； (3)(－ab2)5÷(－ab2)2；　(4)(a－b)4÷(b－a)。
解：(1)原式＝x6－2＝x4。　
(2)原式＝(－3)3＝－27。
(3)原式＝(－ab2)3＝－a3b6。　
(4)原式＝(b－a)4÷(b－a)＝(b－a)3。
[針對練習]計算：
(1)25÷23＝__4__；
(2)a9÷a3÷a＝__a5__；
(3)(－xy)3÷(－xy)2÷(－xy)＝__1__；
(4)(a－b)5÷(b－a)3＝__－(a－b)2__；
(5)(－y2)3÷y6＝__－1__；
(6)am＋1÷am－1·(am)2＝__a2m＋2__。
（二）同底數冪的除法法則的逆用
[典型例題]例2 已知：am = 8，an = 5。求：
(1) am－n 的值； (2) a3m－3n 的值。
解：(1) am－n = am÷an = 8÷5 = 1.6。
（2）a3m－3n = a3m÷a3n= (am)3÷(an)3 = 83÷53
= 512÷125 = 。
（三）零指數冪和負整數指數冪
探究2：
1.做一做：
104=10000， 24=16
10（3）=1000， 2（3）=8
10（2）=100， 2（2）=4
10（1）=10， 2（1）=2
2.猜一猜：下面的括號內該填入什么數？你是怎么想的？與同伴交流：
10（0）=1， 2（0）=1
10（-1）=， 2（-1）=
10（-2）=， 2（-2）=
10（-3）=， 2（-3）=
3.你有什么發現？能用符號表示你的發現嗎？
通過計算和觀察第一組算式，發現等式左邊的冪指數每減少1，等式右邊的數值就縮小為原來的。
用符號表示為：a0=1, a -p =。
4.對于同底數冪除法公式am÷an＝am－n(a≠0）中，有一個附加條件m＞n。請問同底數冪的除法性質對于m≤n時仍然成立嗎？為什么？
①當m＝n時，你有什么發現？
若m＝n，則am÷an＝am÷am，
所以am÷am＝1或am÷am=am－m＝a0，
所以得到a0＝1(a≠0)。
②當m＜n時，你有什么發現？
若m＜n，設m－n＝－p，則am÷an＝am－n＝a－p或am÷an＝＝，所以a－p＝(a≠0，p為正整數)。
[歸納總結]任何不等于零的數的零次冪都等于1。
a0=1(a≠0)。
任何不等于零的數的-p(p是正整數)次冪，等于這個數的p次冪的倒數。
p= (a≠0,p是正整數)。
[法則解讀]任意非0的數的0次冪為1，底數不能為0，負整數指數冪的底數不能為0。
[典型例題]例3 用小數或分數表示下列各數：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4。
解：（1）10－3=
（2）70×8－2=1×
（3）1.6×10－4=1.6×
議一議
計算下列各式，你有什么發現？與同伴進行交流。
（1）7-3÷7-5； （2）3-1÷36；
（3）； （4）（-8）0÷（-8）-2。
解：（1）7-3÷7-5=÷=×==7-3-（-5）。
（2）3-1÷36=×===3-1-6。
（3）=÷===（）-5-2。
（4）（-8）0÷（-8）-2=÷==-（-2）。
[歸納總結]同底數冪除法的運算性質中的m，n可以擴大到全體整數。
am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整數，且m>n)
[典型例題]例4 若a＝(－)－2，b＝(－1)－1，c＝(－)0，則a，b，c的大小關系是__a＞c＞b__。
[針對練習]1.下列算式：①0.0010＝1；②2－4＝；③10－3＝0.001；④(8－2×4)0＝1。其中正確的有(　C　)
A．1個 　B．2個　　　C．3個 　　　D．4個
2.若(x－3)0－2(3x－6)－2有意義，則x的取值范圍是(　B　)
A．x＞3 B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2 D．x＜2
3.填空：
(1)(－)3÷(－)5·(－)5÷(－2)－3＝__1__；
(2)[－2－3－8－1×(－1)4]×()－2×80＝__－1__。
（四）用科學記數法表示絕對值不大于1的數
科學記數法除了可以表示一些絕對值很大的數外，也可以很方便地表示一些絕對值較小的數。
一個小于1的正數可以表示為a×10n，其中1≤a＜10，n是負整數。
[典型例題]例5 0.000 1＝____＝__1×10－4__；
0.000 000 001＝____＝__1×10－9__；
0．000 000 000 000 000 342 0＝__3.42×__＝__3.42×10－16__；
0．000 000 000 1＝1×10－10；
0.000 000 000 002 9＝2.9×10－12；
0．000 000 001 295＝1.295×10－9。
[方法總結]用科學記數法表示數時應注意：
(1)1后面0的個數與10的n次方對應．如＝10n；
(2)絕對值小于1的數1前0的個數與10的負n次方對應．如＝10－n。
[針對練習]1.下列科學記數法表示正確的是(　C　)
A．0.008＝8×10－2　　　　　　　　B．0.005 6＝5.6×10－2
C．0.003 6＝3.6×10－3 D．15 000＝1.5×103　　
2.實驗表明，人體內某細胞的形狀可以近似地看成球狀，并且它的直徑為0. 000 001 56 m，則這個數可用科學記數法表示為(　C　)
A．0.15×10－5 m　　　　　　　　B．0.156×105 m
C．1.56×10－6 m D．1.56×106 m
3.一塊900 mm2的芯片上能集10億個元件，每一個這樣的元件約占多少平方毫米？約占多少平方米？(用科學記數法表示)
解：9×10－7mm2; 9×10－13m2。　
[典型例題]例6 用小數表示下列各數：
(1)2×10－7; (2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3; (4)2.17×10－1。
解：(1)2×10－7＝0. 000 000 2。
(2)3.14×10－5＝0.000 031 4。
(3)7.08×10－3＝0. 007 08。
(4)2.17×10－1＝0.217。
[針對練習]1.用科學記數法表示為(　D　)
A．5×10－5 B．5×10－6
C．2×10－5 D．2×10－6
2.長度單位1 nm＝10－9 m，目前發現一種新型病毒的直徑為25 100 nm，用科學記數法表示該病毒直徑是____m (　D　)
A．251×10－6 B．0.251×10－4
C．2.51×105 D．2.51×10－5
三、課堂小結
1．同底數冪的除法法則：
同底數冪相除，底數不變，指數相減。am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整數，且m>n)
2．零次冪：
任何一個不等于零的數的零次冪都等于1，即a0＝1(a≠0)。
3．負整數次冪：
任何一個不等于零的數的－p(p是正整數)次冪，等于這個數p次冪的倒數，即a－p＝(a≠0，p是正整數)。
課堂訓練
1. 一種花瓣的花粉顆粒直徑約為0.000 006 5米，0.000 006 5用科學記數法表示為( B )
A.6.5×10-5 B.6.5×10-6
C.6.5×10-7 D.65×10-6
2.一種細菌半徑是1.21×10-5米，用小數表示為____0.000 012 1_______.
3.下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正：
（1）a6÷ a1 =a； 錯誤，應等于a6-1 = a5
（2）b6÷b3 = b2； 錯誤，應等于b6-3 = b3
（3）a10÷a9 =a； 正確
（4）(-bc )4÷(-bc )2 =-b2c2； 錯誤，應等于(-bc)4-2= (-bc)2 =b2c2
4.（1）(a-b)7÷(b-a)3= -(a-b)4
（2）m19÷m14×m3÷m=m7
（3）(b2)3×(-b3)4÷(b5)3=b3
（4）98×272÷(-3)18=81
5.計算：
(1)()－1＝___4____；
(2)()－2＝________；
(3)22＋2－2－()-2＝_______。
6.計算：－22＋(－)－2＋(2025－π)0－|2－|.
解：－22＋(－)－2＋(2025－π)0－|2－|
＝－4＋4＋1－2＋
＝－1。
※教學反思※
1.從計算具體問題中的同底數冪的除法，逐步歸納出同底數冪除法的一般性質。教學時要多舉幾個例子，讓學生從中總結出規律，體驗自主探究的樂趣和數學學習的魅力，為以后的學習奠定基礎。
2.課前先布置了預習作業讓學生在自己熟悉的生活場景中查找絕對值較小的數據，在記錄的時候學生會充分感受到這些數據書寫的復雜性，從而自己產生尋求簡便表示方法的強烈愿望，這時課上再引入科學記數法就順理成章了。這樣的設計巧妙地提高了他們的學習興趣，使學生了解了數學的價值，體會了數學與生活之間的密切聯系。（在引入環節中，如果能讓學生將課前收集的資料，用圖片或課件的形式在課上展示，給學生更強烈的視覺沖擊，會更好的激發學生的探究興趣）

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