資源簡介

第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第4課時 完全平方公式的運用
※教學目標※
1．綜合運用平方差公式和完全平方公式進行乘法運算。（重點）
2．準確分辨并利用乘法公式進行運算。（難點）
※教學過程※
一、新課導入
【情境導入】有一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們。來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊糖，來三個，就給每人三塊糖，……
第一天，有 a 個男孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子__a2__塊糖；
第二天，有 b 個女孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子__b2 __塊糖；
第三天，這(a+b)個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子__(a＋b)2__塊糖。
問：這些孩子第三天得到的糖果數與前兩天他們得到的糖果總數哪個多？多多少？為什么？
孩子們前兩天得到的糖果總和為：a2＋b2
第三天得到的糖果數為：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
所以(a＋b)2－（a2＋b2）＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab
二、新知探究
（一）完全平方公式的運用
[提出問題]怎樣計算992，4012更簡單呢？
(1)992； (2)4012。
解：（1）992＝(100－1)2 ＝1002－2×100×1＋1＝9 801。
（2）4012＝(400＋1)2＝4002＋2×400×1＋1＝160 801。
[典型例題]例1 運用完全平方公式計算：
(1)1022； （2）1972。
解：（1）1022＝（100+2）2
=10 000+400+4
=10 404。
（2）1972＝（200-3）2
=40 000-1 200+9
=38 809。
[針對練習]1.計算：
(1)0.982＝(1－__0.02__)2＝__0.960 4__；
(2)(－99)2＝(____－__100__)2＝__9 900.25__。
2.計算：1 9992－1 992×2 008。
解：原式＝(2 000－1)2－(2 000－8)(2 000＋8)＝2 0002－2×2 000×1＋1－(2 0002－82)＝－4 000＋1＋64＝－3 935。
（二）公式法的綜合運用
[典型例題]例2 計算：(1)(3x－2y)2＋(3x－2y)(－2y－3x)；
解：原式＝9x2－12xy＋4y2＋4y2－9x2＝8y2－12xy。
(2)(x－1＋y)(x＋1＋y)；
解：原式＝[(x＋y)－1][(x＋y)＋1]＝(x＋y)2－1＝x2＋2xy＋y2－1。
(3)4(a＋2)2－7(a＋3)(a－3)＋3(a－1)2。
解：原式＝4(a2＋4a＋4)－7(a2－9)＋3(a2－2a＋1)＝4a2＋16a＋16－7a2＋63＋3a2－6a＋3＝10a＋82。
[方法總結] 運用平方差公式計算（2）(x－1＋y)(x＋1＋y)要注意分組方法，將括號內不變號的項作第一項，變號項作為第二項，然后利用平方差公式計算。運用完全平方公式時要注意乘積的2倍項的符號。　　
[針對練習] 用乘法公式計算：
(1)(a－b＋3)(a＋b－3)；
解：原式＝[a－(b－3)][a＋(b－3)]
＝a2－(b－3)2
＝a2－b2＋6b－9。
(2)(a＋b＋c)2；
解：原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。
(3)[(a－b)2－(a＋b)2]2。
解：原式＝{[(a－b)＋(a＋b)][(a－b)－(a＋b)]}2＝[2a·(－2b)]2＝16a2b2。
[方法總結]計算 (a＋b＋c)2要把其中兩項看成一個整體，再按照完全平方公式進行計算。
[典型例題]例3 已知：x＋y＝－3，x－y＝7。
求：(1)xy的值；(2)x2＋y2的值。
解：(1)因為x＋y＝－3，x－y＝7，所以(x＋y)2＝9，(x－y)2＝49，所以xy＝[(x＋y)2－(x－y)2]＝(9－49)＝×(－40)＝－10。
(2)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝9－2×(－10)＝9＋20＝29。
[方法總結]
1.本題要熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy。
2.所求的展開式中都含有xy或x＋y時，我們可以把它們看作一個整體代入到需要求值的代數式中，整體求解。
[針對練習]已知a－b＝3，ab＝1，求a2＋b2及(a＋b)2的值。
解：a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝9＋2＝11。(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝11＋2＝13。
三、課堂小結
1. 利用完全平方公式進行簡便運算；
2. 完全平方公式和平方差公式一起的綜合應用；
3. 把一個式子看成一個整體的思考方式。
四、課堂訓練
1.利用整式乘法公式計算：
（1）89.82； (2)472-94×27+272； （3）（a-b-3）(a-b+3)。
解：(1)原式=（90-0.2）2=902-2×0.2×90+0.22=8064.04。
(2)原式=472-2×47×27+272=（47-27）2=202=400。
(3)原式=（a-b）2-32=a2-2ab+b2-9。
2.運用乘法公式計算：(1)(3x－2y)2＋(3x－2y)(－2y－3x)； (2)(x－1＋y)(x＋1＋y)；
(3)4(a＋2)2－7(a＋3)(a－3)＋3(a－1)2。
解：（1）原式＝9x2－12xy＋4y2＋4y2－9x2＝8y2－12xy。
（2）原式＝[(x＋y)－1][(x＋y)＋1]＝(x＋y)2－1＝x2＋2xy＋y2－1。
（3）原式＝4a2＋16a＋16－7a2＋63＋3a2－6a＋3＝10a＋82。
3.一個底面是正方形的長方體，高為6cm，底面正方形邊長為5cm，如果它的高不變，底面正方形邊長增加了 a cm，那么它的體積增加了多少？
原體積：V原=52×6=150（cm3 ）。
變化之后：V變=（a+5）2×6=（6a2+60a+150）cm3。
增加的體積：V增=V原-V變=（6a2+60a）cm3。
4.計算：（a+b）3。
（a+b）3=（a+b）2（a+b）=（a2+2ab+b2）（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3。
5.已知x-y＝6，xy=-8。
求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值。
解：(1)因為x-y＝6，xy=-8，
(x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy
＝36-16＝20。
(2)因為x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy
＝20-16＝4。
※教學反思※
本節課定位為探究式教學活動，通過對教材進行適當的整合，主要采用引導探索法教學，倡導學生自主學習、嘗試學習、探究學習、合作交流學習，鼓勵學生用所學的知識解決問題，注重教學效果的有效性。學生在動手操作中，可以活躍課堂氣氛，消除心理壓力，在愉快的環境中學習知識， 有效地拓展學生思維，成功地培養學生的觀察能力、思維能力、合作探究能力、交流能力和數學化能力。有針對性的讓學生進行課堂練習，體現學以致用的觀念，消除學生學無所用的思想顧慮，使學生對公式的理解獲得升華。

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