資源簡介

第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第3課時 完全平方公式的認(rèn)識
※教學(xué)目標(biāo)※
1．經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號感和推理能力。(重點(diǎn)）
2．會推導(dǎo)完全平方公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計算。（難點(diǎn)）
※教學(xué)過程※
一、新課導(dǎo)入
【情境導(dǎo)入】計算：
(1)(x＋1)2； (2)(y－2)2；
解：（1）原式＝(x＋1)(x＋1)＝x2＋x＋x＋1＝x2＋2x＋1。 　　　　
（2）原式＝(y－2)(y－2)＝y(tǒng)2－2y－2y＋4＝y(tǒng)2－4y＋4。
思考：由上述計算，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？
發(fā)現(xiàn)：左邊是兩數(shù)和(或差)的平方，右邊是這兩數(shù)平方和與它們2倍的和(或差)。
二、新知探究
（一）完全平方公式
[合作探究]計算(a＋b)2，(a－b)2，并歸納計算結(jié)果。
解：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2。
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2。
[總結(jié)歸納]完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
兩數(shù)和(或差)的平方，等于兩數(shù)的平方和加上(或減去)兩數(shù)積的2倍。簡記為：
“首平方，尾平方，積的2倍放中間”。
思考：你能根據(jù)下圖中的面積說明完全平方公式嗎
和的完全平方(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。
差的完全平方(a-b)2＝a2-2ab＋b2。
公式特征：1. 積為二次三項式；
2. 積中的兩項為兩數(shù)的平方；
3. 另一項是兩數(shù)積的 2 倍，且與原式中間的符號相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示數(shù)、單項式和多項式。
[典型例題]例1利用完全平方公式計算：
(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2；（4）(a＋b＋c)2。
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2。
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2。
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2。
（4）原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。
注意：當(dāng)公式中的兩個數(shù)的系數(shù)絕對值不為1時，平方時不要漏掉系數(shù)的平方。　　
思考：(a+b)2與(-a-b)2 相等嗎
(a-b)2與(b-a)2相等嗎
(a-b)2與a2-b2相等嗎 為什么
解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2。
(a-b)2與a2-b2不一定相等，
只有當(dāng)b=0或a=b時，(a-b)2=a2-b2。
[針對練習(xí)]1. 下面各式的計算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2(×) (x+y)2 =x2+2xy+y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2(×) (x -y)2 =x2-2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2(×) (-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2(×) (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
2.計算：(1)(2x－3y)2；　(2)(－a＋b)2；　(3)(－ab2－3a2b)2。
解：(1)原式＝4x2－12xy＋9y2。
(2)原式＝(a－b)2＝a2－ab＋b2。
(3)原式＝(ab2＋3a2b)2＝a2b4＋3a3b3＋9a4b2。
[典型例題]例2 如果36x2＋mxy＋25y2是一個完全平方式，求m的值。
解：因為36x2＋mxy＋25y2＝(6x)2＋mxy＋(5y)2，
所以mxy＝±2·6x·5y，
所以m＝±60，
所以m＝60或－60。
[方法總結(jié)]完全平方式要分清是哪兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，已知完全平方式求中間系數(shù)中字母值要考慮兩種情況。
[針對練習(xí)]1.下列各式中，是完全平方式的有(　C　)
①a2－a＋；②x2＋xy＋y2；③m2＋m＋9；④x2－xy＋y2；⑤m2＋4n2＋4mn；⑥a2b2＋ab＋1。
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2.已知16x2－2(m＋1)xy＋49y2是一個完全平方式，則m的值為(　D　)
A．28 B．29 C．－27 D．27或－29
（二）完全平方公式的幾何意義
[典型例題]例3 我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖甲可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通過圖乙面積的計算，驗證了一個恒等式，此恒等式是(　C　)
A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
[方法總結(jié)]通過幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋。
三、課堂小結(jié)
四、課堂訓(xùn)練
1.若x＋y＝4，則x2＋2xy＋y2的值是(　D　)
A．2　　　　　　B．4　　　　　　C．8　　　　　　D．16
2.如圖，從邊長為（a+1）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則該矩形的面積是（ C ）
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2
3.若(3x－b)2＝ax2－12x＋4，則a，b的值分別為(　B　)
A．3，2 B．9，2 C．3，－2 D．9，－2
4.若4x2＋mx＋是完全平方式，則m＝__±2__。
5.利用完全平方公式計算：
(1)(-1-2x)2； (2)(-2x+1)2。
解：（1）原式=(-1)2-2×(-1)×(2x)+（2x)2=1+4x+4x2。
（2）原式=(-2x)2+2(-2x)×1+12=4x2-4x+1。
※教學(xué)反思※
本節(jié)課通過多項式乘法推導(dǎo)出完全平方公式，讓學(xué)生自己總結(jié)出完全平方公式的特征，注意不要出現(xiàn)如下錯誤：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2。為幫助學(xué)生記憶完全平方公式，可采用如下口訣：首平方，尾平方，乘積兩倍在中央。教學(xué)中，教師可通過判斷正誤等習(xí)題強(qiáng)化學(xué)生對完全平方公式的理解記憶。

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