資源簡介

第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第2課時 平方差公式的運用
※教學目標※
1．了解平方差公式的幾何背景，發展幾何直觀，培養數形結合思想。(重點）
2．會運用平方差公式進行數的簡便運算和整式的混合運算。(難點）　　　
※教學過程※
一、新課導入
某同學在計算97×103時將其變成(100-3)(100+3)并很快得出結果，你知道他運用了什么知識嗎？這節
課我們一起來探討上述計算的規律。
運用了平方差公式
二、新知探究
（一）平方差公式的幾何意義
[合作探究]如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。
(1) 請表示圖1中陰影部分的面積。
a2-b2
(2) 小穎將陰影部分拼成了一個長方形 (如圖2)，這個長方形的長和寬分別是多少 你能表示出它的面積嗎
(a+b)(a-b)
(3) 比較 (1) (2) 的結果，你能驗證平方差公式嗎
由于(1)(2)表示的面積相同，所以可以驗證平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2。
[歸納總結]通過幾何圖形面積之間的數量關系可對平方差公式做出幾何解釋。還有其他的幾何方法解釋嗎？
（二）平方差公式的運用
[典型例題]例1 利用平方差公式計算：
(1)20×19； (2)13.2×12.8。
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝202－()2＝400－＝399。
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96。
注意：不能直接應用公式的，要經過變形才可以應用。
[歸納總結]通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算。
[針對練習]1.用簡便方法計算：
(1)7×8； (2)99×101×10 001。
解：(1)原式＝(8－)(8＋)＝82－()2＝63。
(2)原式＝(100－1)×(100＋1)×10 001＝(1002－1)×10 001＝(10 000－1)×(10 000＋1)＝10 0002－1
＝99 999 999。
2.計算2 0252－2 024×2 026的結果是(　D　)
A．－2　　　　　　B．－1　　　　　　C．0　　　　　　D．1
[典型例題]例2 先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2。
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2。
當x＝1，y＝2時，
原式＝5×12－5×22＝－15。
[針對練習]先化簡，再求值：(1＋a)(1－a)＋a(a－2)，其中a＝。
解：原式＝1－a2＋a2－2a＝1－2a，當a＝時，原式＝1－2×＝1－1＝0。
[典型例題]例3 王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽。今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了。你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？
解：李大媽吃虧了。理由如下：
原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16。因為a2＞a2－16，所以李大媽吃虧了。
三、課堂小結
四、課堂訓練
1.如圖，在邊長為a的正方形中裁掉一個邊長為b的小正方形(如圖1)，將剩余部分沿虛線剪開后拼接(如圖2)，通過計算，用拼接前后兩個圖形中陰影部分的面積可以驗證等式(A )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
2.計算a2-(a+1)(a-1)的結果是( A )
A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1
3.簡便計算：（1）403×397；
解：原式=（400+3）（400-3）=4002-32=159991。
（2）(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)。
解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)
=(a4-1)(a4+1)(a8+1)
=(a8-1)(a8+1)
=a16-1。
※教學反思※
本節課經過對兩個圖形的面積的計算，使學生明白可以通過幾何圖形對平方差公式進行驗證。同時利用平方差公式進行簡便運算。通過練習的情況來看，學生對簡單的題目，能夠用平方差公式進行簡便運算，但需要變形之后再利用公式進行計算，學生掌握的不夠好，所以還需要加強練習。

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