資源簡介

第一章 整式的乘除
2 整式的乘法
第2課時 多項式的乘法
※教學目標※
1.能根據乘法分配律和單項式與單項式相乘的法則探究單項式與多項式相乘的法則。
2.掌握單項式與多項式相乘的法則并會運用。(重點，難點)
3.經歷探索多項式乘法法則的過程，理解多項式乘法的法則，并會進行多項式乘法的運算。(重點，難點)
4.進一步體會乘法分配律的作用和轉化的思想，發(fā)展有條理地思考和語言表達能力。
　　　
※教學過程※
一、新課導入
[情境導入]寧寧作了一幅畫，所用紙的大小如圖所示，她在紙的左、右兩邊各留了x m的空白，這幅畫的畫面面積是多少？
法一：先表示出畫面的長和寬，由此得到畫面的面積為x(nx-x)㎡；
法二：先求出紙的面積，再減去兩塊空白處的面積，由此得到畫面的面積為(nx2-x2)㎡.
思考：上面問題的兩種方法得到的答案不一樣，由此你可以得到什么？
x(nx-x)= nx2-x2
二、新知探究
（一）單項式與多項式相乘
[合作探究](1)ab·(abc+2x)及c2(m+n-p)等于什么 你是怎樣計算的
ab·(abc+2x)
=ab·abc+ab·2x 根據（乘法分配律)
=(a·a)(b·b)c+ 2abx=a2b2c+ 2abx 根據（同底數冪的乘法性質)
c2(m+n-p)=c2·m+cn-c2·p=c2m+c2n-c2p
(2)如何進行單項式與多項式相乘的運算
[歸納總結]單項式與多項式的乘法法則：
單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
注意：（1）依據是乘法分配律；
（2）結果的項數與原多項式的項數相同。
[典型例題]例1 計算：(1)(ab2－2ab)·ab；　(2)－2x·(x2y＋3y－1)。
解：(1)原式＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2。
(2)原式＝－2x·x2y＋(－2x)·3y＋(－2x)·(－1)＝－x3y－6xy＋2x。
[方法總結]單項式乘多項式，單項式要乘多項式的每一項；注意符號變化和運算順序。
[針對練習]1.計算：（1）(－2ab)2·(3a＋2b－1)；
（2）2x(x2－3x＋3)－x2(2x－1)；
（3）(3x2＋y－y2)·(－xy)3。
解：（1）原式＝12a3b2＋8a2b3－4a2b2.
（2）原式＝－5x2＋6x.
（3）原式＝－x5y3－x3y4＋x3y5.
[典型例題]例2 一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬a米，下底寬(a＋2b)米，壩高a米。
(1)求防洪堤壩的橫斷面面積；
(2)如果防洪堤壩長100米，那么這段防洪堤壩的體積是多少立方米？
解：(1)防洪堤壩的橫斷面面積S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a(2a＋2b)＝(a2＋ab)(平方米)。故防洪堤壩的橫斷面面積為(a2＋ab)平方米。
(2)堤壩的體積V＝Sl＝(a2＋ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)。故這段防洪堤壩的體積是(50a2＋50ab)立方米。
[針對練習]1.一個長方體的長、寬、高分別是3x－4，2x和x，則它的表面積是__22x2－24x__。
2.已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為2ab和(a＋b)，則這個三角形的面積是__a2b＋ab2__。
3.先化簡，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2。
解：原式＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2
＝－28a2＋15a，
當a＝2時，原式＝－82。
（二）多項式與多項式相乘
[提出問題]某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長為m 、寬為a 的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n 和b ，用兩種方法表示這塊林區(qū)現在的面積。
解：由圖可知林區(qū)面積可表示為(a＋b)(m＋n)，也可以表示成ma＋mb＋na ＋nb，由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb。
這就是我們將學習的多項式乘多項式。
[合作探究]如何計算(m＋a)(n＋b)，你能找到一種方法嗎：
解：設m＋a＝A，則(m＋a)(n＋b)
＝A(n＋b)
＝An＋Ab
＝(m＋a)n＋(m＋a)b
＝mn＋an＋mb＋ab。
[歸納總結]
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
特別解讀：
1. 多項式乘多項式法則的實質是將多項式與多項式相乘轉化為幾個單項式相乘的和的形式。
2. 多項式與多項式相乘的結果仍為多項式，在合并同類項之前，積的項數應該是兩個多項式的項數之積。
3. 計算結果一定要注意合并同類項。
[典型例題]例3 計算：(1)(3x＋2)(x＋2)； (2)(4y－1)(5－y)。
解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4。
(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5。
[方法總結]多項式乘以多項式，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積。
[典型例題]例4 先化簡，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1。
解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)
＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2。
當a＝－1，b＝1時，原式＝－8＋2－15＝－21。
[方法總結]化簡求值是整式運算中常見的題型，一定要注意先化簡，再求值，不能先代值，再計算。
[典型例題]例5 千年古鎮(zhèn)楊家灘的某小區(qū)的內部有一塊長為(3a＋b)米，寬為(2a＋b)米的長方形空地，物業(yè)部門計劃將空地進行綠化(如圖陰影部分)，中間部分將修建一仿古小景點(如圖中間的正方形)，則綠化的面積是多少平方米？并求出當a＝3，b＝2時的綠化面積。
解：由題意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2
＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2
＝（5a2＋3ab）(平方米)。
當a＝3，b＝2時，
5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)。
故綠化的面積是63平方米。
三、課堂小結
1.單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
2.多項式與多項式的乘法法則：多項式和多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
四、課堂訓練
1.下列說法不正確的是（ D ）
A.兩個單項式的積仍是單項式
B.兩個單項式的積的次數等于它們的次數之和
C.單項式乘以多項式，積的項數與多項式項數相同
D.多項式乘以多項式，合并同類項前，積的項數等于兩個多項式的項數之和
2.下列多項式相乘的結果是a2-a-6的是（ B ）
A.（a-2）（a+3） B.（a+2）（a-3） C.（a-6）（a+1） D.（a+6）（a-1）
3.計算：(1)(3x＋4)(2x－1)；　
解：（1）原式＝6x2＋5x－4?！?br/>(2x－3y)(x＋5y)；
解：原式＝2x2＋7xy－15y2。
(3)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)。
解：原式＝x2－6x＋7x－42－(x2＋x－2x－2)
＝2x－40。
4.先化簡，再求值：3a(2a2 - 4a + 3) - 2a2(3a + 4)，其中a = -2。
解：3a(2a2 - 4a + 3) - 2a2(3a + 4)
= 6a3 - 12a2 + 9a - 6a3 - 8a2
= -20a2 + 9a。
當 a = -2 時，原式= -20×(－2)2 + 9×(－2) = -98。
5.如圖，在長為10，寬為6的長方形鐵皮四角截去四個邊長為x的正方形、再將四邊沿虛線折起，制成一個無蓋的長方體盒子，求盒子的體積。
解：(10－2x)(6－2x)x＝4x3－32x2＋60x。
※教學反思※
本節(jié)課在已學過的單項式與單項式相乘的基礎上，繼續(xù)學習單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的法則。這一板塊的知識前后銜接緊密、環(huán)環(huán)相扣,因此采用了先回顧，再呈現問題情境的引入方法實現“溫故知新”。但是在教學過程中，我們不應僅僅讓學生感受知識需要“溫故知新”，更應該讓他們體會到解決這些“新”都是用了同樣的數學思想方法——轉化。整式的乘法中這三個法則的探索在難度上是逐漸深入的，在方法和思路上卻又是統(tǒng)一的，通過學習讓學生體會：當他們遇到新問題時，可以效仿之前用到的數學思想方法來解決，從而真正掌握數學學習方法，提高數學學習能力。

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