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7_3 定義、命題、定理
【2025春人教新版七下數(shù)學(xué)精彩課堂（素材+教案）】
創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)場(chǎng)景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
實(shí)際情境置疑探究歸納探究復(fù)習(xí)探究類(lèi)比探究懸念激趣
置疑探究　分析下列語(yǔ)句:
(1)如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行;
(2)兩條直線被第三條直線所截,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ);
(3)對(duì)頂角相等;
(4)樹(shù)不是動(dòng)物;
(5)等式兩邊加同一個(gè)數(shù),結(jié)果仍相等.
這些語(yǔ)句有什么共同特點(diǎn)
共同特點(diǎn):以上每句話都對(duì)一件事情作出了判斷.
也有的語(yǔ)句沒(méi)有對(duì)一件事情作出任何肯定或否定的判斷,例如:
(6)過(guò)直線AB外一點(diǎn)P,可以作幾條直線與AB平行
(7)過(guò)直線AB外一點(diǎn)P,作AB的垂線;
(8)a與b的和的2倍.
像(1)~(5)這樣的語(yǔ)句,可以判斷為正確(或真)或錯(cuò)誤(或假)的陳述語(yǔ)句叫作什么呢
質(zhì)量評(píng)價(jià)角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【評(píng)價(jià)角度1】 命題的判斷與識(shí)別
例　判斷下列語(yǔ)句是不是命題.
(1)延長(zhǎng)線段AB; ()
(2)兩條直線相交,只有一個(gè)交點(diǎn); ()
(3)畫(huà)線段AB的中點(diǎn); ()
(4)若|x|=2,則x=2; ()
(5)角平分線是一條射線. ()
　　[答案:(1)不是　(2)是　(3)不是　(4)是　(5)是]
【評(píng)價(jià)角度2】 確定命題的題設(shè)和結(jié)論
例　指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論:
(1)兩點(diǎn)確定一條直線;
(2)等角的補(bǔ)角相等.
解:(1)改寫(xiě)成“如果已知兩點(diǎn),那么過(guò)這兩點(diǎn)的直線有且只有一條”.
題設(shè)是已知兩點(diǎn);結(jié)論是過(guò)這兩點(diǎn)的直線有且只有一條.
(2)改寫(xiě)成“如果兩個(gè)角是相等的角的補(bǔ)角,那么這兩個(gè)角相等”.
題設(shè)是兩個(gè)角是相等的角的補(bǔ)角;結(jié)論是這兩個(gè)角相等.
【評(píng)價(jià)角度3】 確定命題的真假
方法指引:要判斷一個(gè)命題是真命題,需要利用已知條件,也可以是學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等進(jìn)行說(shuō)明;要判斷一個(gè)命題是假命題,只要舉出一個(gè)反例即可.判斷時(shí)不能認(rèn)為肯定的命題就是真命題,否定的命題就是假命題.
例　下列命題中,哪些是真命題,哪些是假命題
(1)如果a>0,b>0,那么a+b>0;
(2)能被3整除的數(shù),一定能被6整除.
[答案:(1)是真命題,(2)是假命題.]
【評(píng)價(jià)角度4】 舉反例說(shuō)明原命題是假命題
例　(1)用一組a,b,c的值說(shuō)明命題“若a(2)舉反例說(shuō)明下列命題是假命題:
①若A,B,C是直線l上的三點(diǎn),則AC=AB+BC;
②兩個(gè)銳角的和是鈍角.
解:(1)1　2　-1(答案不唯一)
(2)①如圖7-3-1,A,B,C是直線l上的三點(diǎn),符合題設(shè),但AC=AB-BC,不滿足結(jié)論,所以“若A,B,C是直線l上的三點(diǎn),則AC=AB+BC”是假命題.
圖7-3-1
②3°+6°=9°,3°和6°的角都是銳角,符合題設(shè),但其和為9°的角也是銳角,不滿足結(jié)論,故原命題是假命題.
7.3　定義、命題、定理
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
課題 7.3　定義、命題、定理 授課人
學(xué)習(xí) 目標(biāo) 1.掌握命題、定理的概念,并能分清命題的題設(shè)和結(jié)論. 2.能判定真命題和假命題. 3.能根據(jù)已知條件對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行證明.
學(xué)習(xí) 重點(diǎn) 　　掌握命題、定理的概念,并能分清命題的組成.
學(xué)習(xí) 難點(diǎn) 　　分清命題的組成,并能把一個(gè)命題改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式.
教學(xué)活動(dòng)
教學(xué) 步驟 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
活動(dòng) 一: 創(chuàng)設(shè) 情境 導(dǎo)入 新課 【課堂引入】 　　下列6個(gè)語(yǔ)句,有什么不同 你能對(duì)它們進(jìn)行分類(lèi)嗎 如果你能分類(lèi),分類(lèi)的依據(jù)是什么 (1)熊貓沒(méi)有翅膀;(2)對(duì)頂角相等;(3)如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行;(4)你喜歡數(shù)學(xué)嗎 (5)作線段AB=CD;(6)清新的空氣;(7)不許講話. 像(1)(2)(3)這樣可以判斷為正確(或真)或錯(cuò)誤(或假)的陳述語(yǔ)句,叫作命題. 　　既復(fù)習(xí)了已學(xué)知識(shí),又讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了命題的多種表現(xiàn)形式.
(續(xù)表)
活動(dòng) 二: 探究 與 應(yīng)用 【探究1】 定義的概念 　　前面,我們?cè)趯W(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí),對(duì)它們進(jìn)行了清晰、明確的描述.例如: (1)規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫作數(shù)軸; (2)使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值,叫作方程的解; (3)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線,叫作這個(gè)角的平分線; (4)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫作點(diǎn)到直線的距離. 這樣的描述稱(chēng)為數(shù)學(xué)對(duì)象的定義.一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義揭示了它的本質(zhì)特征,能夠幫助我們準(zhǔn)確地理解它,并作出準(zhǔn)確的判斷. 【探究2】 命題的概念 我們?cè)賮?lái)看一些可以判斷正確與否的陳述語(yǔ)句,例如: (1)等式兩邊加同一個(gè)數(shù),結(jié)果仍相等; (2)對(duì)頂角相等; (3)如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行; (4)兩條平行直線被第三條直線所截,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ); (5)如果一個(gè)數(shù)能被2整除,那么它也能被4整除. 容易判斷,前4個(gè)語(yǔ)句都是正確的,第5個(gè)語(yǔ)句是錯(cuò)誤的.像這樣可以判斷為正確(或真)或錯(cuò)誤(或假)的陳述語(yǔ)句,叫作命題.被判斷為正確(或真)的命題叫作真命題,被判斷為錯(cuò)誤(或假)的命題叫作假命題. 【應(yīng)用舉例】 例1　下列語(yǔ)句是命題的是 (C) A.連接A,B兩點(diǎn)　　　　B.用三角尺畫(huà)∠AOB=30° C.兩點(diǎn)之間,線段最短　　D.一個(gè)數(shù)的立方大于它本身嗎 【探究3】 命題的題設(shè)和結(jié)論 數(shù)學(xué)中的命題常可以寫(xiě)成“如果……那么……”的形式,這時(shí)“如果”后接的部分是題設(shè),“那么”后接的部分是結(jié)論.有些命題的題設(shè)和結(jié)論不明顯,要經(jīng)過(guò)分析才能找出來(lái),從而將它們寫(xiě)成“如果……那么……”的形式. 判斷下列語(yǔ)句是不是命題,如果是命題,指出命題的題設(shè)和結(jié)論,并判斷此命題是真命題還是假命題. (1)畫(huà)射線AC; (2)同位角相等嗎 (3)兩條直線被第三條直線所截,如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行; (4)任意兩個(gè)直角都相等; (5)如果兩條直線相交,那么它們只有一個(gè)交點(diǎn); (6)若|x|=|y|,則x=y. 解:(1)(2)不是命題;(3)(4)(5)(6)是命題. (3)題設(shè)是兩條直線被第三條直線所截,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),結(jié)論是這兩條直線平行,是真命題; (4)題設(shè)是兩個(gè)角是直角,結(jié)論是這兩個(gè)角相等,是真命題; (5)題設(shè)是兩條直線相交,結(jié)論是它們只有一個(gè)交點(diǎn),是真命題; (6)題設(shè)是|x|=|y|,結(jié)論是x=y,是假命題. 　　通過(guò)各類(lèi)型的語(yǔ)句,探究命題的概念.
(續(xù)表)
活動(dòng) 二: 探究 與 應(yīng)用 　　有些數(shù)學(xué)命題,如“對(duì)頂角相等”,沒(méi)有寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式,題設(shè)和結(jié)論不明顯,要認(rèn)真分析它是由什么來(lái)推斷什么,從而把它改寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式,這樣就容易找到它的題設(shè)和結(jié)論.如“對(duì)頂角相等”改寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式是“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角,那么這兩個(gè)角相等”.有些命題的題設(shè)之前還有題設(shè),那么把這兩個(gè)題設(shè)合起來(lái)作為命題的題設(shè),如“兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行”,題設(shè)是兩條直線被第三條直線所截,同位角相等,結(jié)論是這兩條直線平行. 【應(yīng)用舉例】 例2　下列語(yǔ)句中,哪些是命題 哪些不是命題 若是命題,則指出是真命題還是假命題,并改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式,再分別找出命題的題設(shè)和結(jié)論. (1)和為90°的兩個(gè)角互為余角; (2)-8小于-6嗎 (3)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù). 解:(1)是命題,是真命題. 改寫(xiě):如果兩個(gè)角的和為90°,那么這兩個(gè)角互為余角. 題設(shè):兩個(gè)角的和為90°.結(jié)論:這兩個(gè)角互為余角. (2)不是命題. (3)是命題,是真命題. 改寫(xiě):如果兩個(gè)數(shù)的乘積為1,那么這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù). 題設(shè):兩個(gè)數(shù)的乘積為1.結(jié)論:這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù). 【探究4】 定理與證明 我們已經(jīng)知道下列各命題都是正確的,即都是公認(rèn)的真命題: (1)兩點(diǎn)確定一條直線; (2)兩點(diǎn)之間,線段最短; (3)在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直; (4)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行. 有些命題可以從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā),用邏輯推理的方法判斷它們是正確的,并且可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù),這樣的真命題叫作定理. 歸納:定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性,而且還可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù). 探究證明:根據(jù)已知條件,也可以是學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等,經(jīng)過(guò)演繹推理,來(lái)判斷一個(gè)命題的正確性,這樣的推理過(guò)程叫作證明. 如圖7-3-2,有下列三個(gè)條件: ①DE∥BC;②∠1=∠2;③∠B=∠C. 圖7-3-2 (1)若從這三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為題設(shè),另一個(gè)作為結(jié)論,組成一個(gè)命題,則一共能組成幾個(gè)命題 請(qǐng)你把它們寫(xiě)出來(lái); 　　師生通過(guò)例題共同探究確定命題的題設(shè)和結(jié)論的方法. 引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分命題與定理的關(guān)系,且體會(huì)數(shù)學(xué)命題證明的必要性.
(續(xù)表)
活動(dòng) 二: 探究 與 應(yīng)用 　　(2)請(qǐng)你就其中的一個(gè)真命題給出推理過(guò)程. 解:(1)一共能組成3個(gè)命題,它們是:題設(shè)①②,結(jié)論③;題設(shè)①③,結(jié)論②;題設(shè)②③,結(jié)論①. (2)答案不唯一,如選擇命題:題設(shè)①②,結(jié)論③. 證明:∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C. 又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C. 歸納總結(jié): 幾何證明的一般步驟: 第一步:根據(jù)題意畫(huà)出圖形; 第二步:根據(jù)命題的題設(shè)和結(jié)論,結(jié)合圖形,寫(xiě)出已知、求證; 第三步:通過(guò)分析,找出證明的方法,寫(xiě)出證明過(guò)程. 在證明幾何命題時(shí),須注意以下幾點(diǎn): 1.明確題目的題設(shè)和結(jié)論; 2.證明過(guò)程中每一步結(jié)果所用的根據(jù)必須是得到這一結(jié)果的充分理由; 3.要防止利用未學(xué)過(guò)的定理來(lái)證明學(xué)過(guò)的命題,避免循環(huán)論證. 【應(yīng)用舉例】 例3　如圖7-3-3,已知直線a⊥b,b∥c,求證:a⊥c. 圖7-3-3 證明:∵a⊥b(已知), ∴∠1=90°(垂直的定義). ∵b∥c(已知), ∴∠1=∠2(兩直線平行,同位角相等), ∴∠2=90°(等式的基本事實(shí)), ∴a⊥c(垂直的定義). 　　 歸納證明的過(guò)程有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力,為后續(xù)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).
【拓展提升】 圖7-3-4 例4　如圖7-3-4,已知DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)P,∠1+∠3=90°,∠2=∠4. 求證:DP⊥PC. 證明:∵DP平分∠ADC,∴∠3=∠4. ∵∠2=∠4,∴∠2=∠3. 又∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°. 又∵∠1+∠2+∠DPC=180°, ∴∠DPC=90°,∴DP⊥PC. 　　知識(shí)的綜合與拓展,提高學(xué)生的應(yīng)考能力.
活動(dòng) 三: 課堂 總結(jié) 反思 【小結(jié)】 命題 　　框架圖式總結(jié),更容易形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).
(續(xù)表)
活動(dòng) 三: 課堂 總結(jié) 反思 【當(dāng)堂訓(xùn)練】 1.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論: (1)若a=b,則5a=5b; (2)如果AB⊥CD,垂足為O,那么∠AOC=90°; (3)如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3; (4)兩直線平行,同位角相等. 　圖7-3-5 2.在下面的括號(hào)內(nèi),填上推理的依據(jù). 如圖7-3-5,∠A+∠B=180°,求證:∠C+∠D=180°. 證明:∵∠A+∠B=180°, ∴AD∥BC(　　　　　　　　　　), ∴∠C+∠D=180°(　　　　　　　　　　). 3.命題“同位角相等”是正確的嗎 如果是,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不是,請(qǐng)舉出反例. 4.已知:如圖7-3-6,∠1+∠2=180°,∠A=∠D. 　圖7-3-6 求證:∠B=∠C. 證明:∵∠1與∠CGD是對(duì)頂角, ∴∠1=∠CGD(　　　　　　　). 又∵∠1+∠2=180°(　　　　), ∴∠CGD+∠2=180°(　　　　　　), ∴AE∥FD(　　　　　　　　　　　　), ∴∠A=∠BFD(　　　　　　　　　　). 又∵∠A=∠D(　　　　　), ∴∠BFD=∠D(　　　　　　), ∴AB∥CD(　　　　　　　　　　), ∴∠B=∠C(　　　　　　　　　　). [答案:對(duì)頂角相等　已知　等量代換　同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),兩直線平行　兩直線平行,同位角相等　已知　等量代換　內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行　兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等] 　　通過(guò)練習(xí),進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí),使教師及時(shí)了解學(xué)生對(duì)本課所學(xué)知識(shí)的掌握情況.
【教學(xué)反思】 ①[授課流程反思] 既復(fù)習(xí)了已學(xué)知識(shí),又讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了命題的多種表現(xiàn)形式,從而使學(xué)生明白命題我們都已接觸過(guò),只是沒(méi)有從概念上加以澄清,從而消除學(xué)生對(duì)新知識(shí)的恐懼感,增加親切感. ②[講授效果反思] 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容較簡(jiǎn)單,通過(guò)本節(jié)課的教學(xué),學(xué)生在區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論的基礎(chǔ)上知道命題有真假之分,其中有的真命題又叫作定理.對(duì)于假命題只要舉出反例加以說(shuō)明即可,其中推理過(guò)程叫作證明. ③[師生互動(dòng)反思] 學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)的積極性較高,體現(xiàn)出學(xué)生愿學(xué)、樂(lè)學(xué)的心態(tài),教師要及時(shí)地給予鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng). ④[習(xí)題反思] 好題題號(hào)　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 錯(cuò)題題號(hào)　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　回顧反思,找出差距與不足,形成知識(shí)及教學(xué)體系,更進(jìn)一步提升教師教學(xué)能力.

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