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7_1_2 兩條直線垂直
【2025春人教新版七下數(shù)學(xué)精彩課堂（素材+教案）】
創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)場(chǎng)景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
實(shí)際情境置疑探究歸納探究復(fù)習(xí)探究類比探究懸念激趣
復(fù)習(xí)探究　如圖7-1-22,觀察圖形并填空:
圖7-1-22
(1)如圖①所示,直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O,其中對(duì)頂角有　2　對(duì),分別為　∠AOD和∠BOC,∠AOC和∠BOD　;鄰補(bǔ)角有　4　對(duì),分別為　∠AOD和∠AOC,∠AOC和∠BOC,∠BOC和∠BOD,∠AOD和∠BOD　.
(2)圖①中,當(dāng)直線AB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∠AOC=90°時(shí)(如圖②),你能求出其他角的度數(shù)嗎 此圖形有什么特點(diǎn) 此時(shí)這兩條直線有什么位置關(guān)系
[教學(xué)提示] 這節(jié)課所學(xué)習(xí)的兩條直線垂直是在上節(jié)學(xué)習(xí)兩條直線相交知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,垂直是相交的一種特殊情形.通過(guò)對(duì)兩條直線相交的復(fù)習(xí)引出本課內(nèi)容,體現(xiàn)由一般到特殊的認(rèn)識(shí)過(guò)程.通過(guò)學(xué)生畫圖、旋轉(zhuǎn)相交線模型等方式形象直觀地展現(xiàn)兩條直線相交的特殊情況,通過(guò)對(duì)特殊情況的分析,歸納出垂線的概念及特征.
質(zhì)量評(píng)價(jià)角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【評(píng)價(jià)角度1】 利用三角尺畫已知直線(線段、射線)的垂線
　　例　如圖7-1-23,∠ABC為鈍角.
(1)過(guò)點(diǎn)C畫AB的垂線;
(2)過(guò)點(diǎn)B畫AC的垂線;
(3)過(guò)點(diǎn)A畫BC的垂線段.
圖7-1-23
圖7-1-24
解:(1)(2)(3)如圖7-1-24所示.
　　【評(píng)價(jià)角度2】 考查垂線的唯一性
例　下列說(shuō)法正確的有 (B)
①在同一平面內(nèi),過(guò)直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線;
②在同一平面內(nèi),過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線;
③在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)可以任意畫一條直線垂直于已知直線;
④在同一平面內(nèi),有且只有一條直線垂直于已知直線.
A.1個(gè)　　　　　　　　B.2個(gè)　　　　　　　　C.3個(gè)　　　　　　　　D.4個(gè)
　　[解析] 根據(jù)垂線的確定性和唯一性可知①②是正確的.故選B.
【評(píng)價(jià)角度3】 點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用
例　如圖7-1-25,要把水渠中的水引到水池C中,在渠岸的什么地方開(kāi)溝,水溝的長(zhǎng)度才能最短 請(qǐng)把圖畫出來(lái),并說(shuō)明理由.
圖7-1-25
圖7-1-26
解:如圖7-1-26,過(guò)點(diǎn)C畫水渠的垂線段CD,D為垂足,即在渠岸的D處開(kāi)溝,水溝的長(zhǎng)度才能最短.理由:垂線段最短.
【評(píng)價(jià)角度4】 利用垂線的定義求角的度數(shù)
方法指引:已知兩條直線垂直,根據(jù)垂直的定義可得一個(gè)或幾個(gè)角是90°,再根據(jù)對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、角平分線的定義及余角、補(bǔ)角的性質(zhì)等,可求出其他相關(guān)的角的度數(shù).
例1　如圖7-1-27,點(diǎn)O在直線AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,則∠BOD的度數(shù)為 (A)
A.30° B.40° C.50° D.60°
例2　如圖7-1-28,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OE⊥CD,垂足為O.若∠BOE=40°,則∠AOC的度數(shù)為 (B)
A.40° B.50° C.60° D.140°
　圖7-1-27
圖7-1-28
圖7-1-29
例3　已知:如圖7-1-29所示,直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG的度數(shù).
[答案:∠DOG=55°]
例4　如圖7-1-30,直線BC與MN相交于點(diǎn)O,AO⊥BC,OE平分∠BON.若∠EON=21°,求∠AOM的度數(shù).
[答案:∠AOM=48°]
圖7-1-30
圖7-1-31
例5　如圖7-1-31,直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)O,EF⊥AB,OG,OH分別為∠COF,∠DOG的平分線.若∠AOC∶∠COG=4∶7,求∠DOF,∠DOH的度數(shù).
[答案:∠DOF=110°,∠DOH=72.5°]
【評(píng)價(jià)角度5】 利用垂直的定義判定兩條直線垂直
方法指引:如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角等于90°,那么這兩條直線互相垂直.依據(jù)是垂直的定義.因此,要判定兩條直線垂直,常用方法是:設(shè)法推理或求出其中一個(gè)夾角是90°.
圖7-1-32
例　如圖7-1-32,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=72°,求∠BOD的度數(shù);
(2)若∠DOE=2∠AOC,判斷射線OE與OD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
[答案:(1)∠BOD=36°　(2)OE⊥OD　理由略]
7.1.2　兩條直線垂直
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
課題 7.1.2　兩條直線垂直 授課人
學(xué)習(xí) 目標(biāo) 1.認(rèn)識(shí)生活中的垂直現(xiàn)象,理解垂直的定義,并能用符號(hào)表示. 2.掌握垂線的基本事實(shí),會(huì)過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線. 3.掌握垂線段最短與點(diǎn)到直線的距離.
學(xué)習(xí) 重點(diǎn) 　　垂直的定義;垂線的畫法;垂線的基本事實(shí):在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;垂線的性質(zhì):垂線段最短.
學(xué)習(xí) 難點(diǎn) 　　垂線的畫法;對(duì)點(diǎn)到直線的距離的概念的理解.
教學(xué)活動(dòng)
教學(xué) 步驟 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
活動(dòng) 一: 創(chuàng)設(shè) 情境 導(dǎo)入 新課 【課堂引入】 　　問(wèn)題1:如圖7-1-33. (1)∠AOC的對(duì)頂角是　∠BOD　,這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是　相等　. (2)∠AOC的鄰補(bǔ)角有　兩　個(gè),分別是　∠BOC和∠AOD　. 圖7-1-33 　圖7-1-34 問(wèn)題2:如圖7-1-34所示,當(dāng)∠AOC=90°時(shí),∠BOD=　90°　,∠AOD=　90°　,∠BOC=　90°　. 　　通過(guò)復(fù)習(xí)兩條直線相交所成的角,為理解垂直的定義做認(rèn)知準(zhǔn)備.
活動(dòng) 二: 探究 與 應(yīng)用 【探究1】 垂直的定義 1.垂直的定義. 圖7-1-35 (1)如圖7-1-35,取兩根木條a,b,將它們釘在一起,固定木條a,轉(zhuǎn)動(dòng)木條b,當(dāng)木條b轉(zhuǎn)到什么位置時(shí),這兩根木條互相垂直 (2)轉(zhuǎn)動(dòng)木條b時(shí),它和不動(dòng)的木條a互相垂直的位置有幾個(gè) (3)當(dāng)a,b相交所成的四個(gè)角中,有一個(gè)角是直角時(shí),其他三個(gè)角的度數(shù)分別是多少 通過(guò)模型展示及學(xué)生交流,使學(xué)生明白:當(dāng)b的位置變化時(shí),∠α從銳角變?yōu)殁g角,其中∠α是直角是特殊情況.其特殊之處還在于:當(dāng)∠α是直角時(shí),它的鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是直角,即直線a,b相交所成的四個(gè)角都是直角,都相等. 引導(dǎo)學(xué)生概括垂直的定義:當(dāng)兩條直線a,b相交所成的四個(gè)角中,有一個(gè)角是直角時(shí),我們說(shuō)a與b互相垂直,記作“a⊥b”.兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫作另一條直線的垂線,它們的交點(diǎn)叫作垂足.
(續(xù)表)
活動(dòng) 二: 探究 與 應(yīng)用 辨析:“互相垂直”與“垂線”的異同:“互相垂直”是指兩條直線的位置關(guān)系;“垂線”是指在“互相垂直”的前提下,其中一條直線相對(duì)于另一條直線的名稱.二者都是針對(duì)兩條直線而言的,單獨(dú)一條直線不能稱為“垂直”或“垂線”. 2.垂直的概念. 利用相交線模型引入兩條直線互相垂直的概念. 如圖7-1-36②所示,若AB和CD相交,且∠1=90°,則直線AB和CD互相垂直,記作“AB⊥CD”,讀作“AB垂直于CD”.若垂足是O,則記作“AB⊥CD,垂足為O”.一般地,垂直在圖中用“┐”表示,在推理計(jì)算的過(guò)程中用“⊥”表示. 圖7-1-36 根據(jù)兩條直線互相垂直的定義可知:若兩條直線互相垂直,則相交所成的四個(gè)角為直角;反之,若兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角等于90°,則這兩條直線互相垂直. 如圖7-1-36②所示,這個(gè)推理過(guò)程可以寫成: 因?yàn)椤螦OC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直的定義); 反之,因?yàn)锳B⊥CD(已知), 所以∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°(垂直的定義). 【應(yīng)用舉例】 圖7-1-37 例1　如圖7-1-37,CO⊥AB于點(diǎn)O,∠AOE=∠COF,則射線OE與OF有什么位置關(guān)系 請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:射線OE與OF互相垂直.理由如下: 因?yàn)镃O⊥AB, 所以∠AOC=90°(垂直的定義), 所以∠AOE+∠COE=90°. 又因?yàn)椤螦OE=∠COF, 所以∠COF+∠COE=90°, 即∠EOF=90°, 所以O(shè)E與OF互相垂直(垂直的定義). 例2　如圖7-1-38,點(diǎn)O在直線BD上,OC⊥OA,則∠1和∠2的數(shù)量關(guān)系是　互余(或∠1+∠2=90°)　. 圖7-1-38 圖7-1-39 變式　如圖7-1-39,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,EO⊥AB,∠1=20°,則∠2的度數(shù)是 (C) A.40°　　　　B.60°　　　　C.70°　　　　D.80° 　　通過(guò)探究,讓學(xué)生獨(dú)立思考,動(dòng)手操作,經(jīng)歷探索過(guò)程,發(fā)現(xiàn)結(jié)論.培養(yǎng)學(xué)生歸納探究的能力及邏輯推理能力. 　　
(續(xù)表)
活動(dòng) 二: 探究 與 應(yīng)用 【探究2】 垂線的畫法及基本事實(shí) 利用三角尺或量角器可以過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線.下面我們來(lái)學(xué)習(xí)垂線的畫法. 問(wèn)題: 1.用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線,這樣的垂線能畫出幾條 2.經(jīng)過(guò)直線l上一點(diǎn)A畫l的垂線,這樣的垂線能畫出幾條 3.經(jīng)過(guò)直線l外一點(diǎn)B畫l的垂線,這樣的垂線能畫出幾條 畫法點(diǎn)撥:過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線,可以用三角尺來(lái)畫,具體步驟如下: (1)落:讓三角尺的一條直角邊落在已知直線上; (2)移:沿直線移動(dòng)三角尺,使三角尺的另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn); (3)畫:沿三角尺過(guò)已知點(diǎn)的那條直角邊畫直線,則這條直線就是經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的已知直線的垂線. 如圖7-1-40所示,圖①是點(diǎn)在直線l上,圖②是點(diǎn)在直線l外. 圖7-1-40 總結(jié):可以發(fā)現(xiàn),經(jīng)過(guò)一點(diǎn)(在已知直線上或直線外),能畫出已知直線的一條垂線,并且只能畫出一條垂線.由此得到關(guān)于垂線的基本事實(shí): 在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直. 【應(yīng)用舉例】 例3　如圖7-1-41,過(guò)點(diǎn)P畫出射線AB或線段AB的垂線. 圖7-1-41 解:如圖7-1-42所示. 圖7-1-42 變式　如圖7-1-43,點(diǎn)O在直線a上,若OA⊥a于點(diǎn)O,OB⊥a于點(diǎn)O,則直線OA,OB是同一條直線,根據(jù)是　在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直　. 圖7-1-43 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線的一般方法. 通過(guò)例題,讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫線段的垂線.
(續(xù)表)
活動(dòng) 二: 探究 與 應(yīng)用 【探究3】 垂線的性質(zhì) 思考:如圖7-1-44,在灌溉時(shí),要把河中的水引到農(nóng)田P處,如何挖掘能使渠道最短 圖7-1-44 將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題: 如圖7-1-45,P是直線l外一點(diǎn),PO⊥l,垂足為O,我們稱PO為點(diǎn)P到直線l的垂線段.A是直線l上除點(diǎn)O外一點(diǎn),連接PA.測(cè)量并比較線段PO與PA的長(zhǎng)度,你能得到什么結(jié)論 改變點(diǎn)A的位置呢 　圖7-1-45 你也可以利用信息技術(shù)工具,在直線l上拖動(dòng)點(diǎn)A,改變點(diǎn)A的位置,探究PO與PA的長(zhǎng)度關(guān)系. 可以發(fā)現(xiàn):連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短. 簡(jiǎn)單說(shuō)成:垂線段最短. 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫作點(diǎn)到直線的距離. 注意:垂線是直線;垂線段是一條線段;點(diǎn)到直線的距離是指垂線段的長(zhǎng)度,它是一個(gè)數(shù)量. 對(duì)于圖7-1-44,現(xiàn)在你知道如何挖渠能使渠道最短了嗎 【應(yīng)用舉例】 例4　如圖7-1-46所示,在三角形ABC中,AB⊥BC,其中AC=2.5,AB=1,P是邊BC上的任意一點(diǎn),那么線段AP的長(zhǎng)度可能為 (C) 圖7-1-46 A.0.5　　　　B.0.7　　　　C.1.5　　　　D.4 [解析] 因?yàn)辄c(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng),且AB⊥BC,根據(jù)“垂線段最短”可知線段BC上所有點(diǎn)中,與點(diǎn)A的最近距離為線段AB的長(zhǎng),即1,最遠(yuǎn)距離為線段AC的長(zhǎng),即2.5,故1≤AP≤2.5,所以滿足條件的選項(xiàng)為C.故選C. 　　培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力、說(shuō)理能力以及思考問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性.
(續(xù)表)
活動(dòng) 二: 探究 與 應(yīng)用 【拓展提升】 例5　如圖7-1-47,平原上有A,B,C,D四個(gè)村莊,為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題,政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池. (1)不考慮其他因素,請(qǐng)你畫圖確定蓄水池H的位置,使它到四個(gè)村莊的距離之和最小; (2)計(jì)劃把河水引入蓄水池H中,怎樣開(kāi)渠最短 請(qǐng)說(shuō)明根據(jù). 圖7-1-47 圖7-1-48 解:(1)如圖7-1-48,連接AD,BC,交于點(diǎn)H,則點(diǎn)H即為蓄水池的位置. (2)如圖7-1-48,過(guò)點(diǎn)H作HG⊥EF,垂足為G,則沿HG開(kāi)渠最短. 根據(jù):垂線段最短. 　　讓學(xué)生運(yùn)用垂線段最短的性質(zhì)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題,讓他們感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,從而增加他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
活動(dòng) 三: 課堂 總結(jié) 反思 【小結(jié)】 垂線 　　框架圖式總結(jié),更容易形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).
【當(dāng)堂訓(xùn)練】 1.有下列四種說(shuō)法: (1)兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等時(shí),這兩條直線互相垂直; (2)在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直; (3)直線的垂線和該直線上的任一線段垂直; (4)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段,叫作點(diǎn)到直線的距離. 其中說(shuō)法正確的有 (C) A.1個(gè)　　　　B.2個(gè)　　　　C.3個(gè)　　　　D.4個(gè) 2.如圖7-1-49所示,已知點(diǎn)O在直線AB上,CO⊥DO于點(diǎn)O,若∠1=145°,則∠2的度數(shù)為 (C) A.35° B.45° C.55° D.65° 圖7-1-49 圖7-1-50 3.如圖7-1-50,已知O為直線AB上一點(diǎn),OP⊥CD于點(diǎn)P,則線段OP的長(zhǎng)是點(diǎn)　O　到直線　CD　的距離.
(續(xù)表)
活動(dòng) 三: 課堂 總結(jié) 反思 4.如圖7-1-51,分別過(guò)點(diǎn)P畫直線AB,CD的垂線,并量出點(diǎn)P到直線AB的距離. 圖7-1-51 5.如圖7-1-52,在三角形ABC中,∠C=90°. (1)分別指出點(diǎn)A到直線CB,點(diǎn)B到直線AC的距離是哪些線段的長(zhǎng)度; (2)三條邊AB,AC,CB中哪條邊最長(zhǎng) 為什么 圖7-1-52 解:(1)點(diǎn)A到直線CB的距離是線段AC的長(zhǎng);點(diǎn)B到直線AC的距離是線段BC的長(zhǎng). (2)邊AB最長(zhǎng).理由:因?yàn)锳是線段BC外一點(diǎn),根據(jù)垂線段最短可知AB>AC.同理,可知AB>BC,所以邊AB最長(zhǎng). 　　通過(guò)練習(xí),進(jìn)一步鞏固所學(xué)垂線的概念及性質(zhì),且能使教師及時(shí)掌握本課教學(xué)效果,為后續(xù)教學(xué)的安排提供依據(jù).
【教學(xué)反思】 ①[授課流程反思] 復(fù)習(xí)導(dǎo)入,溫故知新,圖形簡(jiǎn)單,問(wèn)題直接,新舊聯(lián)系較緊密,過(guò)渡自然,也能使學(xué)生的注意力時(shí)刻集中在要學(xué)習(xí)的知識(shí)上,不分散. ②[講授效果反思] 本節(jié)采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)”法鼓勵(lì)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題,使學(xué)生在自己動(dòng)手的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)垂線的性質(zhì),又借助于教具、實(shí)物、圖形,從直觀的感性認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)抽象的概念,使他們成為探求知識(shí)的主體,同時(shí)還利用邊講邊練的教法讓學(xué)生對(duì)新知加以鞏固理解.通過(guò)變式訓(xùn)練習(xí)題、開(kāi)放性習(xí)題,幫助學(xué)生逐步樹(shù)立轉(zhuǎn)化的思想和發(fā)展性思維.在授課過(guò)程中努力遵循由學(xué)生置疑——感知——概括——應(yīng)用的過(guò)程,通過(guò)學(xué)生積極參與、積極思維,使學(xué)生從被動(dòng)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化到主動(dòng)探索和發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí),使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)與探索的樂(lè)趣. ③[師生互動(dòng)反思] ④[習(xí)題反思] 好題題號(hào)　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　 　　　　　 錯(cuò)題題號(hào)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　 　　回顧反思,找出差距與不足,形成知識(shí)及教學(xué)體系,更進(jìn)一步提升教師教學(xué)能力.
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