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第02講 弧度制及其與角度制的換算
課程標準 學習目標
1.理解弧度制的概念及其在數學和物理中的應用； 2.掌握弧度與角度的換算關系； 3.能運用弧度制進行簡單的計算和推理； 4.了解弧度制在解決實際問題中的應用。 1.了解弧度制的概念、表示方法及其優點； 2.掌握弧度與角度的換算公式； 3.會進行弧度制下的簡單計算。
知識點01　角度制與弧度制
1．角度制
把圓周等分成380份，其中每一份所對應的圓心角為1度，這種用度作單位來度量角的制度稱為角度制．角度制還規定1度等于80分，1分等于80秒，即1°80′，1′80″．
2．弧度制
長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角，記作1 rad．如圖所示，因為的長等于半徑r，所以所對的圓心角∠AOB就是1弧度的角．這種以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制．
3．弧度數
由弧度制的定義可知，在半徑為r的圓中，若弧長為l的弧所對的圓心角為α rad，則α．弧度的大小與所在圓的半徑的大小無關，只與圓心角的大小有關．換句話說，弧度數是個比值，只和角的大小有關，弧長是半徑的幾倍，相對應的角的大小就是幾弧度．
【解讀】角度制與弧度制是兩種不同的度量單位，在表示角時，二者不可混用.
角度制 用度作為單位來度量角的單位制 角的大小與半徑無關 單位“°”不能省略 角的正負與方向有關 六十進制
弧度制 用弧度作為單位來度量角的單位制 角的大小與半徑無關 單位“rad”可以省略 角的正負與方向有關 十進制
【即學即練1】（24-25高一上學期課時作業）下列說法正確的是(　 )
A．1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑
B．大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大
C．所有圓心角為1弧度的角所對的弧長都相等
D．用弧度表示的角都是正角
知識點02　角度制與弧度制的互化
1．弧度制與角度制的換算公式
設一個角的角度數為n，弧度數為α，則.
2．角度與弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
度數×弧度數 弧度數×角度數
380°2π_rad 2π rad380°
180°π_rad π rad180°
1° rad≈0.017 45 rad 1 rad度≈57.30°
【解讀】角度與弧度互化的原則和方法
(1)原則：牢記180°π rad，
充分利用1° rad,1 rad進行換算．
(2)方法：設一個角的弧度數為α，角度數為n，則α rad；n°n· rad．
【即學即練2】（24-25高一上山東期中）下列轉化結果正確的是(　 )
A．72°化成弧度是
B．－π化成角度是－680°
C．－170°化成弧度是－π
D．化成角度是15°
知識點02 弧長公式與扇形面積公式
1．弧長公式
在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角為α，則α，變形可得lαr，此公式稱為弧長公式，其中α的單位是弧度．
2．扇形面積公式
圓心角為1 rad的扇形面積為r2，所以圓心角為α rad的扇形面積Sαr2，又因為lαr，代入上式可得Sαr2lr，此公式稱為扇形面積公式．
【解讀】(1)在應用公式lαr和Slrαr2時，要注意α的單位是弧度．
(2)在運用公式時，根據已知的是角度數還是弧度數，選擇合適的公式代入．　　
(3)弧度制下的扇形面積公式Slr，與三角形面積公式Sah(h是三角形底邊a上的高)有類似的形式．
(4)由α，r，l，S中的兩個量可以求出另外的兩個量．
【即學即練3】（24-25高一上·湖南·階段練習）已知弧長為的弧所對的圓心角為，則該弧所在的扇形面積為（ ）
A． B． C． D．
題型01 弧度制
【典例1】（24-25高一上·河北·月考）下面關于弧度的說法，錯誤的是(　 )
A．弧長與半徑的比值是圓心角的弧度數
B．一個角的角度數為n，弧度數為α，則
C．長度等于半徑的倍的弦所對的圓心角的弧度數為
D．航海羅盤半徑為10 cm，將圓周32等分，每一份的弧長為 cm
【變式1】下列說法中正確的是(　　)
A．1弧度是1度的圓心角所對的弧
B．1弧度是長度為半徑長的弧
C．1弧度是1度的弧與1度的角之和
D．1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，它是角的一種度量單位
【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業）關于弧度制，下列說法正確的是（ ）
A．正角或者負角的弧度數都是正數
B．四分之一圓所對的圓心角是
C．角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，角的終邊旋轉一周得到的角的大小等于
D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都與圓的半徑有關
【變式3】（25-26高一上·全國·課后作業）下列說法正確的是（ ）
A．1弧度的角與1°的角一樣大
B．若圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角是
C．經過5分鐘分針轉了30°
D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度
題型02 角度制與弧度制的互化
【典例2】（24-25高一上·陜西西安·階段練習）（多選）將下列角度與弧度進行互化正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）將化為弧度是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一下·安徽淮北·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是18°
C．化成弧度是 D．化成角度是
【變式4】（23-24高一下·陜西渭南·期中）（多選）下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型03 弧長公式及應用
【典例3】（24-25高三上·河北邢臺·階段練習）（多選）某日，分針長為的時鐘從走到，分針轉動的弧度為，分針的針尖走過的弧長為，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）已知半徑為的圓上，有一條弧的長是120mm，且該弧所對的圓心角的弧度數為2，則（ ）
A．30 B．80 C．90 D．100
【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·期末）若扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式3】（24-25高一上·浙江·階段練習）已知某扇形的半徑為4，弧長為，則該扇形的圓心角為
【變式4】（24-25高一上·江蘇·階段練習）“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號.當折扇所在扇形的圓心角為時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，若該折扇的傘骨長為，那么全部打開后的扇面弧長為多少
題型04 扇形面積公式
【典例4】（24-25高一上·廣西南寧·階段練習）若一個扇形的半徑為3，圓心角為，則這個扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高一上·天津河北·階段練習）半徑為，圓心角為的扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25高一上·黑龍江綏化·階段練習）已知某扇形的半徑為，圓心角為，則此扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業）已知扇形的圓心角為8rad，周長為70cm，則這條弧所對的圓的半徑為 cm；面積為 ．
題型05 扇形中的最值問題
【典例5】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圓心角為（為正角），周長為，面積為，所在圓的半徑為．
(1)若，，求扇形的弧長；
(2)若，求的最大值及此時扇形的半徑和圓心角．
【變式1】（24-25高一上·重慶萬州·階段練習）已知一扇形的周長為40，則這個扇形面積的最大值是 .
【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長為；
(1)若，求扇形的弧長；
(2)若扇形的周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大，最大值是多少？并求出此時的半徑.
【變式3】（23-24高一下·北京·階段練習）（1）一條弦的長等于它所在圓的半徑，求弦和劣弧所組成的弓形的面積;
（2）一扇形的周長為，那么扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大 并求出最大值
題型06 根據坐標運算求參數
【典例6】（23-24高一下·河南·開學考試）如圖1是一款扇形組合團圓拼盤，其示意圖如圖2所示，中間是一個直徑為的圓盤，四周是8個相同的扇環形小拼盤，組拼后形成一個大圓盤，寓意“八方來財，闔家團圓”.若的長為，則每個扇環形小拼盤的面積為（ ）
A． B． C． D．.
【變式1】（23-24高一下·內蒙古呼和浩特·期中）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積（弦×矢+矢2），弧田如圖，由圓弧和所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現有圓心角為，弦長為米的弧田，按照上述方法計算弧田的矢為 米；面積為 平方米.

【變式2】（24-25高一上·上海·單元測試）勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖，勒洛三角形的周長為，則該勒洛三角形的面積為 .
【變式3】（23-24高一下·遼寧本溪·期中）中國扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，其中扇面畫有著悠久的歷史.某扇面畫可看成一個扇環，其示意圖如圖所示.若，且該扇環的周長為，則該扇環的面積為 .

【變式4】（23-24高一下·河北保定·開學考試）一扇環形磚雕如圖所示，該扇環形磚雕可視為扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧長為分米，弧長為分米，則 分米，此扇環形磚雕的面積為 平方分米.
一、單選題
1．（24-25高一上·全國·隨堂練習）與80°角終邊相同的角可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·山東威海·階段練習）時間經過1小時40分鐘，時針轉過的弧度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·吉林四平·階段練習）已知圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·江蘇常州·期中）若扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（25-26高一上·全國·課后作業）現行的二十四節氣是根據地球在黃道（即地球繞太陽公轉的軌道）上的位置變化而制定的，每個節氣對應地球在黃道上運動15°所到達的一個位置，根據描述，從立冬到立春對應地球在黃道上運動所對圓心角的弧度數為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·天津河西·期末）如圖，在扇形中，，，則下列說法正確的個數是（ ）
①； ②的長等于；
③扇形的周長為； ④扇形的面積為．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（23-24高一下·北京·階段練習）是圓心為的單位圓上兩個動點，當面積最大時，則下列判斷錯誤的是（ ）
A． B．弧的長為
C．扇形的面積為 D．等邊三角形
8．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是劉慈欣的科幻小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強互作用力（）材料所制成的宇宙探測器，因為其外形與水滴相似，所以被人類稱為水滴．如圖所示，水滴是由線段，和圓的優弧圍成，其中，恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半徑為2，點A到圓弧所在圓圓心的距離為4，則該封閉圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高一上·全國·課后作業）下列各說法，正確的是（　　）
A．半圓所對的圓心角是π rad
B．圓周角的大小等于2π
C．1 弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑
D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1 弧度
10．（23-24高一上·山西朔州·階段練習）已知一根長為L的鐵絲，現在要把這根鐵絲正好折成一個扇形，且使得扇形的面積最大．則下列選項中正確的是（ ）
A．當扇形的面積最大時，扇形的半徑為
B．扇形面積的最大值為
C．當扇形的面積最大時，扇形的半徑為
D．扇形面積的最大值為
11．（23-24高一下·安徽淮南·階段練習）折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1甲）圖乙是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧，所在圓的半徑分別是3和12，且，則該圓臺的（ ）
A．高為 B．上底面積和下底面積之比為1:4
C．表面積為 D．體積為
三、填空題
12．（24-25高一上·全國·課后作業）已知角，角，角，則角，角，角間的大小關系為 ．
13．（24-25高一上·天津·階段練習）已知扇形的圓心角為 ，其周長是 ，則該扇形的面積是
14．（24-25高一上·全國·課后作業）中國古代數學著作《五曹算經》是算經十書之一．“田曹”卷中有這樣一個問題：“今有環田，外周三十步，內周一十二步，徑三步，一人繞內圓行二步，問其圍田幾何？”意思是：有一個環形的田地，外圓周長30步，內圓周長12步，圓環寬3步，一個人繞著內圓走了2步，已知圓心與此人的起點和終點形成的射線分別與內外圓相交，問此人在內圓行走的曲線和外圓圍成的田地面積為 平方步（圓周率取3）．
四、解答題
15．（24-25高一上·全國·課后作業）已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪有24齒，小輪有16齒．
(1)當小輪轉動一周時，求大輪轉動的弧度數；
(2)當小輪的轉速是（轉/分）時，大輪上每1s轉過的弧長是，求大輪的半徑．
16．（24-25高一·上海·隨堂練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．
(1)若，，求扇形的弧長；
(2)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角．
17．（24-25高一上·全國·課后作業）如圖，一長為，寬為1的長方形木塊在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第四次時被一小木塊擋住，使木塊底面與桌面所成角為，試求點A走過的路程及走過的弧所在的扇形的總面積．（圓心角為正）
18．（24-25高一上·吉林·期中）萊洛三角形是定寬曲線所能構成的面積最小的圖形，它是由德國機械學家萊洛首先發現的，故而得名．如圖所示：它是分別以正三角形的頂點為圓心，以正三角形邊長為半徑作三段圓弧組成的一條封閉曲線，若，求：
(1)萊洛三角形的周長；
(2)萊洛三角形的面積．
19．（24-25高一上·全國·課后作業）某單位擬建一個扇環形的花壇（如圖所示），該花壇是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和通過點O的兩條線段圍成的．按設計要求扇環形花壇的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角（正角）為θ弧度．
(1)求θ關于x的函數關系式；
(2)已知在花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關于x的函數關系式，并求出x為何值時，y取得最大值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 弧度制及其與角度制的換算
課程標準 學習目標
1.理解弧度制的概念及其在數學和物理中的應用； 2.掌握弧度與角度的換算關系； 3.能運用弧度制進行簡單的計算和推理； 4.了解弧度制在解決實際問題中的應用。 1.了解弧度制的概念、表示方法及其優點； 2.掌握弧度與角度的換算公式； 3.會進行弧度制下的簡單計算。
知識點01　角度制與弧度制
1．角度制
把圓周等分成380份，其中每一份所對應的圓心角為1度，這種用度作單位來度量角的制度稱為角度制．角度制還規定1度等于80分，1分等于80秒，即1°80′，1′80″．
2．弧度制
長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角，記作1 rad．如圖所示，因為的長等于半徑r，所以所對的圓心角∠AOB就是1弧度的角．這種以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制．
3．弧度數
由弧度制的定義可知，在半徑為r的圓中，若弧長為l的弧所對的圓心角為α rad，則α．弧度的大小與所在圓的半徑的大小無關，只與圓心角的大小有關．換句話說，弧度數是個比值，只和角的大小有關，弧長是半徑的幾倍，相對應的角的大小就是幾弧度．
【解讀】角度制與弧度制是兩種不同的度量單位，在表示角時，二者不可混用.
角度制 用度作為單位來度量角的單位制 角的大小與半徑無關 單位“°”不能省略 角的正負與方向有關 六十進制
弧度制 用弧度作為單位來度量角的單位制 角的大小與半徑無關 單位“rad”可以省略 角的正負與方向有關 十進制
【即學即練1】（24-25高一上學期課時作業）下列說法正確的是(　 )
A．1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑
B．大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大
C．所有圓心角為1弧度的角所對的弧長都相等
D．用弧度表示的角都是正角
【答案】A
【解析】對于A，根據弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯誤；對于C，只有在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是相等的，故C錯誤；對于D，用弧度表示的角也可以是負角或零角，故D錯誤．
知識點02　角度制與弧度制的互化
1．弧度制與角度制的換算公式
設一個角的角度數為n，弧度數為α，則.
2．角度與弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
度數×弧度數 弧度數×角度數
380°2π_rad 2π rad380°
180°π_rad π rad180°
1° rad≈0.017 45 rad 1 rad度≈57.30°
【解讀】角度與弧度互化的原則和方法
(1)原則：牢記180°π rad，
充分利用1° rad,1 rad進行換算．
(2)方法：設一個角的弧度數為α，角度數為n，則α rad；n°n· rad．
【即學即練2】（24-25高一上山東期中）下列轉化結果正確的是(　 )
A．72°化成弧度是
B．－π化成角度是－680°
C．－170°化成弧度是－π
D．化成角度是15°
【答案】AD
【解析】因為72°72×，所以A正確．因為－π rad－800°，所以B不正確．因為－170°－ rad，所以C不正確．因為 rad15°，所以D正確．
知識點02 弧長公式與扇形面積公式
1．弧長公式
在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角為α，則α，變形可得lαr，此公式稱為弧長公式，其中α的單位是弧度．
2．扇形面積公式
圓心角為1 rad的扇形面積為r2，所以圓心角為α rad的扇形面積Sαr2，又因為lαr，代入上式可得Sαr2lr，此公式稱為扇形面積公式．
【解讀】(1)在應用公式lαr和Slrαr2時，要注意α的單位是弧度．
(2)在運用公式時，根據已知的是角度數還是弧度數，選擇合適的公式代入．　　
(3)弧度制下的扇形面積公式Slr，與三角形面積公式Sah(h是三角形底邊a上的高)有類似的形式．
(4)由α，r，l，S中的兩個量可以求出另外的兩個量．
【即學即練3】（24-25高一上·湖南·階段練習）已知弧長為的弧所對的圓心角為，則該弧所在的扇形面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出扇形的半徑，利用扇形的面積公式可求得結果.
【詳解】由題意可知，扇形的半徑為，
因此該扇形的面積為.
.
題型01 弧度制
【典例1】（24-25高一上·河北·月考）下面關于弧度的說法，錯誤的是(　 )
A．弧長與半徑的比值是圓心角的弧度數
B．一個角的角度數為n，弧度數為α，則
C．長度等于半徑的倍的弦所對的圓心角的弧度數為
D．航海羅盤半徑為10 cm，將圓周32等分，每一份的弧長為 cm
【答案】A
【解析】根據弧度數定義可知A正確；根據弧度與角度的轉化關系，可知B正確；根據三角形關系可知，長度等于半徑的倍的弦所對的圓心角為120°，即弧度數為，故C正確；圓周長為2πr20π cm,32等分后，每一份弧長為 cm，故D錯誤．
【變式1】下列說法中正確的是(　　)
A．1弧度是1度的圓心角所對的弧
B．1弧度是長度為半徑長的弧
C．1弧度是1度的弧與1度的角之和
D．1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，它是角的一種度量單位
【答案】A　
【解析】利用弧度的定義及角度的定義判斷，長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度是角的一種度量單位，而不是長度的度量單位，故A、B、C錯誤，選D.
【變式2】（24-25高一上·全國·課后作業）關于弧度制，下列說法正確的是（ ）
A．正角或者負角的弧度數都是正數
B．四分之一圓所對的圓心角是
C．角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，角的終邊旋轉一周得到的角的大小等于
D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都與圓的半徑有關
【答案】C
【分析】根據弧度制的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，A錯誤；
整圓的圓心角是，故四分之一圓所對的圓心角是，B正確；
角的終邊順時針旋轉一周得到的角是，角的終邊逆時針旋轉一周得到的角是，C錯誤；
無論是角度制還是弧度制，角的大小都與圓的半徑無關，D錯誤．
【變式3】（25-26高一上·全國·課后作業）下列說法正確的是（ ）
A．1弧度的角與1°的角一樣大
B．若圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角是
C．經過5分鐘分針轉了30°
D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度
【答案】C
【分析】利用弧度制的定義對選項逐一分析即可.
【詳解】對于A，根據弧度制定義可知A錯誤；
對于B，若圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角為，即，故B正確；
對于C，經過5分鐘分針轉了，故C錯誤；
對于D，由弧度制的定義可知，長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小是1弧度，則長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小不是1弧度，故D錯誤.
．
題型02 角度制與弧度制的互化
【典例2】（24-25高一上·陜西西安·階段練習）（多選）將下列角度與弧度進行互化正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CCD
【分析】利用角度與弧度的換算公式計算即可一一判斷.
【詳解】對于A，因，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D正確.
CD.
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）將化為弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據角度制轉化為弧度制的方法求得正確答案.
【詳解】．
【變式2】（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據角度制與弧度制的互化公式求解
【詳解】因為，所以.
【變式3】（23-24高一下·安徽淮北·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是18°
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】AB
【分析】掌握的弧度制與角度制的數量關系計算即得.
【詳解】對于A項，因，故A項正確；
對于B項，因，故B項正確；
對于C項，因，故C項錯誤；
對于D項，因，故D項錯誤.
B.
【變式4】（23-24高一下·陜西渭南·期中）（多選）下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【分析】根據弧度制與角度值不能混用即可排除AB，根據角度制與弧度制的互化以及終邊相同角的概念即可判斷CD.
【詳解】對A,B在同一個表達式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯誤．
對C，，則與終邊相同，而與終邊相同，
且化為角度制即為，則與的終邊相同，
則是與的終邊相同的角的表達式，故C正確；
對D，由C得與終邊相同，
則與終邊相同的角可以寫成的形式，則D正確．
D．
題型03 弧長公式及應用
【典例3】（24-25高三上·河北邢臺·階段練習）（多選）某日，分針長為的時鐘從走到，分針轉動的弧度為，分針的針尖走過的弧長為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據任意角定義可得弧度的大小，再由弧長公式計算可得弧長.
【詳解】因為分針是按照順時針旋轉的，所以轉動的弧度為負數，可得，
由分針長為可得，弧長
C
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）已知半徑為的圓上，有一條弧的長是120mm，且該弧所對的圓心角的弧度數為2，則（ ）
A．30 B．80 C．90 D．100
【答案】C
【分析】根據弧長公式列方程，從而求得正確答案.
【詳解】由弧長公式可得，，解得．
【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·期末）若扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根據題意直接利用弧長公式求解即可.
【詳解】設該扇形的半徑為，則由題意得，解得.
【變式3】（24-25高一上·浙江·階段練習）已知某扇形的半徑為4，弧長為，則該扇形的圓心角為
【答案】
【分析】利用扇形的弧長公式即可得解.
【詳解】因為扇形的半徑為4，弧長為，
所以該扇形的圓心角為.
故答案為：.
【變式4】（24-25高一上·江蘇·階段練習）“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號.當折扇所在扇形的圓心角為時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，若該折扇的傘骨長為，那么全部打開后的扇面弧長為多少
【答案】
【分析】利用弧長公式進行求解.
【詳解】，由弧長公式得cm.
故答案為：
題型04 扇形面積公式
【典例4】（24-25高一上·廣西南寧·階段練習）若一個扇形的半徑為3，圓心角為，則這個扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據扇形面積公式求解即可.
【詳解】.
【變式1】（24-25高一上·天津河北·階段練習）半徑為，圓心角為的扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據扇形的面積公式直接計算.
【詳解】已知扇形的半徑為，圓心角為，
則扇形弧長，
面積.
.
【變式2】（24-25高一上·黑龍江綏化·階段練習）已知某扇形的半徑為，圓心角為，則此扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據扇形的面積公式，即可求得此扇形的面積，得到答案.
【詳解】由題意，某扇形的半徑為，圓心角為，
根據扇形的面積公式，可得
所以此扇形的面積為.
【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業）已知扇形的圓心角為8rad，周長為70cm，則這條弧所對的圓的半徑為 cm；面積為 ．
【答案】 5 100
【分析】根據扇形的弧長、面積公式等知識來求得正確答案.
【詳解】設扇形的弧長為，半徑為，由題得，，
解得，故面積為．
故答案為：；
題型05 扇形中的最值問題
【典例5】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圓心角為（為正角），周長為，面積為，所在圓的半徑為．
(1)若，，求扇形的弧長；
(2)若，求的最大值及此時扇形的半徑和圓心角．
【答案】(1)
(2)的最大值為，此時扇形的半徑是，圓心角．
【分析】（1）根據弧度與角度的關系，用弧度表示圓心角，結合弧長公式求弧長；
（2）由條件確定弧長與半徑的關系，再由扇形面積公式用表示，并求其最小值即可.
【詳解】（1），
扇形的弧長；
（2）設扇形的弧長為，半徑為，
則，，
則，
當時，，此時，，
的最大值是，此時扇形的半徑是，圓心角．
【變式1】（24-25高一上·重慶萬州·階段練習）已知一扇形的周長為40，則這個扇形面積的最大值是 .
【答案】
【分析】根據扇形弧長和半徑的關系，將扇形面積表示為關于的二次函數，求最值.
【詳解】設扇形所在圓的半徑為，弧長為，則，，
則，
當時，扇形面積最大，最大值為.
故答案為：
【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·階段練習）已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長為；
(1)若，求扇形的弧長；
(2)若扇形的周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大，最大值是多少？并求出此時的半徑.
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）利用弧長公式可得答案；
（2）利用周長和面積公式，結合二次函數可得答案.
【詳解】（1），
.
（2）由已知得，，
所以，，
所以當時，面積取得最大值，
此時，所以.
【變式3】（23-24高一下·北京·階段練習）（1）一條弦的長等于它所在圓的半徑，求弦和劣弧所組成的弓形的面積;
（2）一扇形的周長為，那么扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大 并求出最大值
【答案】（1）；（2）扇形半徑，扇形圓心角為，扇形面積最大值.
【分析】（1）要怕給定條件，求出劣弧所對的圓心角，再求出扇形面積及三角形面積即得.
（2）設出扇形的半徑，結合已知建立函數關系，借助二次函數求解即得.
【詳解】（1）如圖，在圓中，弦，則是正三角形，，邊上的高為，
因此，而扇形面積為，
所以弦和劣弧所組成的弓形的面積是.

（2）設扇形的半徑為，則扇形弧長，
扇形面積，當且僅當時取等號，
所以扇形半徑，扇形的圓心角為時，扇形面積取得最大值.
題型06 根據坐標運算求參數
【典例6】（23-24高一下·河南·開學考試）如圖1是一款扇形組合團圓拼盤，其示意圖如圖2所示，中間是一個直徑為的圓盤，四周是8個相同的扇環形小拼盤，組拼后形成一個大圓盤，寓意“八方來財，闔家團圓”.若的長為，則每個扇環形小拼盤的面積為（ ）
A． B． C． D．.
【答案】D
【分析】利用扇形面積公式即可求得每個扇環形小拼盤的面積.
【詳解】如圖，
設小圓的圓心為，則，
設，每個扇環形小拼盤對應的圓心角為，
則的長為，解得，
所以每個扇環形小拼盤的面積為
.
【變式1】（23-24高一下·內蒙古呼和浩特·期中）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積（弦×矢+矢2），弧田如圖，由圓弧和所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現有圓心角為，弦長為米的弧田，按照上述方法計算弧田的矢為 米；面積為 平方米.

【答案】
【分析】如圖所示，過作于，的延長線交于，利用銳角三角函數求出、，即可求出，再由弧田面積公式計算可得.
【詳解】如圖所示，過作于，的延長線交于.

則，，所以，，
所以，，
所以矢為，
則弧田面積是.
故答案為：；.
【變式2】（24-25高一上·上海·單元測試）勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖，勒洛三角形的周長為，則該勒洛三角形的面積為 .
【答案】
【分析】,運用弧度之下的扇形面積公式，弧長公式求解即可.
【詳解】因為勒洛三角形的周長為，所以每段圓弧長為，解得，
即正三角形的邊長為1.由題意可得
.
故答案為：.
【變式3】（23-24高一下·遼寧本溪·期中）中國扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，其中扇面畫有著悠久的歷史.某扇面畫可看成一個扇環，其示意圖如圖所示.若，且該扇環的周長為，則該扇環的面積為 .

【答案】
【分析】利用扇形弧長公式結合題設條件列出方程，求出小扇型的半徑，利用扇形面積公式計算大小扇形面積，作差即得扇環面積.
【詳解】設，依題意可得，，解得，
故該扇環的面積為.
故答案為：.
【變式4】（23-24高一下·河北保定·開學考試）一扇環形磚雕如圖所示，該扇環形磚雕可視為扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧長為分米，弧長為分米，則 分米，此扇環形磚雕的面積為 平方分米.
【答案】 6
【分析】根據弧長公式計算得，然后利用扇形面積公式求解磚雕面積即可.
【詳解】設圓心角，則，解得分米，所以分米，
則此扇環形磚雕的面積為平方分米.
故答案為：6，
一、單選題
1．（24-25高一上·全國·隨堂練習）與80°角終邊相同的角可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】運用終邊相同角的概念，結合弧度制可判斷.
【詳解】A,B弧度角度混用，錯誤.
與角終邊相同的角可以表示，則C錯誤．
弧度制下表示為，則D正確.
.
2．（23-24高一下·山東威海·階段練習）時間經過1小時40分鐘，時針轉過的弧度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用弧度制定義計算即可得.
【詳解】，
故時針轉過的弧度數為.
.
3．（24-25高一上·吉林四平·階段練習）已知圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據弧度和角度的換算得到，然后利用弧長公式和扇形面積公式計算.
【詳解】圓心角，由弧長，得，
所以該扇形的面積為．
．
4．（23-24高一下·江蘇常州·期中）若扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】直接根據扇形弧長公式求解即可．
【詳解】由扇形弧長公式，解得，
．
5．（25-26高一上·全國·課后作業）現行的二十四節氣是根據地球在黃道（即地球繞太陽公轉的軌道）上的位置變化而制定的，每個節氣對應地球在黃道上運動15°所到達的一個位置，根據描述，從立冬到立春對應地球在黃道上運動所對圓心角的弧度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由弧度與角度的關系即可得解.
【詳解】根據題意，從立冬到立春對應地球在黃道上逆時針運動所對圓心角的度數為，即弧度數為．
．
6．（23-24高一上·天津河西·期末）如圖，在扇形中，，，則下列說法正確的個數是（ ）
①； ②的長等于；
③扇形的周長為； ④扇形的面積為．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據題意，結合角度制與弧度制的互化，以及扇形的弧長與面積公式，逐項判定，即可求解.
【詳解】因為，根據角度制與弧度制的互化，可得，所以①不正確；
由，且，可得為等邊三角形，所以，所以②不正確；
由扇形的弧長公式，可得的長度為，
所以扇形的周長為，所以③正確；
由扇形的面積公式，可得扇形的面積為，所以④不正確.
.
7．（23-24高一下·北京·階段練習）是圓心為的單位圓上兩個動點，當面積最大時，則下列判斷錯誤的是（ ）
A． B．弧的長為
C．扇形的面積為 D．等邊三角形
【答案】A
【分析】求出面積取最大值時，再逐項分析判斷即得.
【詳解】面積，當且僅當，
對于A，，A正確；
對于B，弧的長為，B正確；
對于C，扇形的面積為，C正確；
對于D，是等腰三角形，不是等邊三角形，D錯誤.
8．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是劉慈欣的科幻小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強互作用力（）材料所制成的宇宙探測器，因為其外形與水滴相似，所以被人類稱為水滴．如圖所示，水滴是由線段，和圓的優弧圍成，其中，恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半徑為2，點A到圓弧所在圓圓心的距離為4，則該封閉圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出輔助線，得到，，利用扇形面積公式和三角形面積公式得到答案.
【詳解】取優弧所在圓的圓心，連接，，則⊥，⊥，
則，所以，則，
，
故優弧對應的圓心角為，對應的扇形面積為，
而，
所以該封閉圖形的面積為.
二、多選題
9．（23-24高一上·全國·課后作業）下列各說法，正確的是（　　）
A．半圓所對的圓心角是π rad
B．圓周角的大小等于2π
C．1 弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑
D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1 弧度
【答案】ABC
【分析】根據弧度制的定義即可判斷．
【詳解】由弧度制的定義可知：長度等于半徑的弧所對的圓心角的大小是1弧度，則長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小不是1弧度，D的說法錯誤，
根據弧度的定義及角度與弧度的換算可知，ABC的說法正確．
BC
10．（23-24高一上·山西朔州·階段練習）已知一根長為L的鐵絲，現在要把這根鐵絲正好折成一個扇形，且使得扇形的面積最大．則下列選項中正確的是（ ）
A．當扇形的面積最大時，扇形的半徑為
B．扇形面積的最大值為
C．當扇形的面積最大時，扇形的半徑為
D．扇形面積的最大值為
【答案】CC
【分析】由題意可知由扇形面積公式，結合基本不等式即可求解最值.
【詳解】設扇形的半徑和弧長分別為，由題意知：
則，當且僅當時，即時等號不成立，
故BC正確，AD錯誤，
C．
11．（23-24高一下·安徽淮南·階段練習）折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1甲）圖乙是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧，所在圓的半徑分別是3和12，且，則該圓臺的（ ）
A．高為 B．上底面積和下底面積之比為1:4
C．表面積為 D．體積為
【答案】ACD
【分析】根據題意，求得圓臺的上、下底面半徑和母線長、以及圓臺的高，結合圓臺的幾何結構特征以及側面積和體積公式，逐項計算，即可求解.
【詳解】對于A中，設圓臺的上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，
則且，解得，
由圓臺的母線長為，所以圓臺的高為，故A正確；
對于B中，圓臺的上、下底面面積比為，故B不正確；
對于C中，圓臺的上、下底面面積為，
圓臺的側面積為，
圓臺的表面積為，故C正確；
對于D中，圓臺的體積為，故D正確.
CD.
三、填空題
12．（24-25高一上·全國·課后作業）已知角，角，角，則角，角，角間的大小關系為 ．
【答案】
【分析】將弧度轉化為角度，由此確定大小關系.
【詳解】因為，
所以．
故答案為：
13．（24-25高一上·天津·階段練習）已知扇形的圓心角為 ，其周長是 ，則該扇形的面積是
【答案】
【分析】根據弧長公式以及面積公式即可求解.
【詳解】設扇形所在圓的半徑為，圓心角為，則，
根據周長可得，故，
所以扇形面積為，
故答案為：
14．（24-25高一上·全國·課后作業）中國古代數學著作《五曹算經》是算經十書之一．“田曹”卷中有這樣一個問題：“今有環田，外周三十步，內周一十二步，徑三步，一人繞內圓行二步，問其圍田幾何？”意思是：有一個環形的田地，外圓周長30步，內圓周長12步，圓環寬3步，一個人繞著內圓走了2步，已知圓心與此人的起點和終點形成的射線分別與內外圓相交，問此人在內圓行走的曲線和外圓圍成的田地面積為 平方步（圓周率取3）．
【答案】
【分析】先設外圓，內圓的半徑分別為，步，根據題意得， ，然后利用扇形面積公式計算即可.
【詳解】設外圓的半徑為步，內圓的半徑為步，
則，
解得
因為圓環寬3步，所以， ，
又由題意得該人所走過的弧長對應的圓心角，
所以圍成的面積為:
平方步．
故答案為：.
四、解答題
15．（24-25高一上·全國·課后作業）已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪有24齒，小輪有16齒．
(1)當小輪轉動一周時，求大輪轉動的弧度數；
(2)當小輪的轉速是（轉/分）時，大輪上每1s轉過的弧長是，求大輪的半徑．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根據已知條件列方程，求得大輪轉動的周數，從而求得大輪轉動的弧度數.
（2）先求得大輪的轉速，根據大輪上每1s轉過的弧長列方程，從而求得大輪的半徑.
【詳解】（1）設小輪轉動一周時大輪轉動周，則，
故大輪轉動的弧度數為．
（2）設大輪的半徑為，易知大輪的轉速為，
所以大輪上每1s轉過的弧長為，故．
16．（24-25高一·上海·隨堂練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．
(1)若，，求扇形的弧長；
(2)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角．
【答案】(1)
(2)弧度
【分析】（1）由扇形的弧長公式即可求解；
（2）由扇形的周長和面積公式即可求解.
【詳解】（1）因為弧度，
所以；
（2）由題意得，
解得（舍去）或，
故扇形圓心角為弧度．
17．（24-25高一上·全國·課后作業）如圖，一長為，寬為1的長方形木塊在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第四次時被一小木塊擋住，使木塊底面與桌面所成角為，試求點A走過的路程及走過的弧所在的扇形的總面積．（圓心角為正）
【答案】
【分析】由已知，分別計算木塊翻滾四次點A走過的路程，即三個弧長，及走過的弧所在的扇形的總面積即可．
【詳解】由已知，在扇形中，圓心角恰為，
弧長，
面積．
在扇形中，圓心角也為，
弧長，
面積．
在扇形中，圓心角為，
弧長，
面積，
所以點A走過的路程長，
點A走過的弧所在的扇形的總面積．
18．（24-25高一上·吉林·期中）萊洛三角形是定寬曲線所能構成的面積最小的圖形，它是由德國機械學家萊洛首先發現的，故而得名．如圖所示：它是分別以正三角形的頂點為圓心，以正三角形邊長為半徑作三段圓弧組成的一條封閉曲線，若，求：
(1)萊洛三角形的周長；
(2)萊洛三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出一個扇形的弧長，進一步求出勒洛三角形的周長即可；
（2）分別求出一個扇形的面積及正三角形的面積，進一步求出勒洛三角形的面積；
【詳解】（1）因為，由于三角形為正三角形，
所以以為圓心的扇形的弧長是，
萊洛三角形的周長為；
（2）因為，由于三角形為正三角形，
所以以為圓心的扇形的面積是，
又的面積是，
所以勒洛三角形的面積為3個扇形面積減去2個正三角形面積，
即．
19．（24-25高一上·全國·課后作業）某單位擬建一個扇環形的花壇（如圖所示），該花壇是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和通過點O的兩條線段圍成的．按設計要求扇環形花壇的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角（正角）為θ弧度．
(1)求θ關于x的函數關系式；
(2)已知在花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關于x的函數關系式，并求出x為何值時，y取得最大值．
【答案】(1)
(2)，當時，y取得最大值，最大值為
【分析】（1）通過表示出扇環形花壇的周長即可得出θ關于x的函數關系式；
（2）列出y關于x的函數關系式，利用基本不等式求最大值即可.
【詳解】（1）由題意得，故．
（2）花壇的面積為．
裝飾總費用為，
所以花壇的面積與裝飾總費用的比為．
令，則，則，
當且僅當，即時，
y取得最大值，最大值為，此時，．
故當時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．
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