資源簡介

2.5.1橢圓的標準方程
課程標準 學習目標
1.通過橢圓的定義、標準方程的學習，培養 數學抽象素養 2.借助于標準方程的推導過程，提升邏輯推 理、數學運算素養 1.重點：掌握橢圓的定義，會用橢圓的定義解決實 際問題. 2.重點：掌握用定義法和待定系數法求橢圓的標準方程: 3.難點：理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題.
知識點01 橢圓的定義
1.定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．
2.焦點：兩個定點F1，F2.
3.焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.
4.半焦距：焦距的一半．
【即學即練1】（23-24高二上·吉林·階段練習）橢圓的焦點為為橢圓上一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用橢圓的定義求出結果.
【詳解】橢圓的長半軸長，依題意，，而，
所以.
【即學即練2】（2023高二·全國·專題練習）如果點在運動過程中，總滿足關系式，那么點P的軌跡為（ ）
A．線段 B．直線 C．橢圓 D．圓
【答案】D
【分析】根據兩點間距離公式結合橢圓的定義分析判斷.
【詳解】可設，，則，
可得，
由橢圓的定義可知：點P的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且，.
知識點02橢圓的標準方程
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋1(a＞b＞0) ＋1(a＞b＞0)
焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的關系 a2b2＋c2
【即學即練3】（23-24高二上·河南南陽·階段練習）焦點在x軸上，中心為坐標原點，經過點,.則橢圓的標準方程為（ ）
A． B．1
C． D．1
【答案】A
【分析】根據橢圓的幾何性質即可求解，代入坐標即可求解.
【詳解】由于橢圓焦點在x軸上，且經過點，所以，
設橢圓方程為，
將代入橢圓可得，解得，
所以橢圓方程為，
【即學即練4】（23-24高二上·全國·課后作業）過點且與有相同焦點的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據已知方程求出焦點即為所求橢圓焦點，設出所求橢圓方程，代入，解方程組即可.
【詳解】由知，焦點為，，即，.
設所求橢圓方程為，則，解得，
故所求橢圓方程為.
.
難點：和差最值、取值范圍問題
示例1：（23-24高二上·山西太原·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，點M在C上，點N的坐標為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據橢圓的定義轉化，結合三點共線來求得的取值范圍.
【詳解】依題意，，，，
，，
所以，當位于線段與橢圓交點處時等號不成立.
根據橢圓的定義可知，
如圖所示，設的延長線與橢圓相交于，
則當位于時，取得最大值為，
綜上所述，的取值范圍為.
【點睛】在橢圓中，求解橢圓上的點到焦點、定點的距離的和或差的最值，可以考慮通過橢圓的定義進行轉化，然后結合三點共線來確定最值.在解題過程中，要畫出對應的圖象，結合圖象來進行求解.
【題型1：橢圓定義辨析】
例1．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）已知圓與圓內含，且圓心不重合，動圓與兩圓相切，則圓心的軌跡為（ ）
A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．橢圓
【答案】A
【分析】運用圓與圓的位置關系的結論，結合橢圓定義可解.
【詳解】由題意，記圓半徑為．不妨令圓的半徑為，圓的半徑為，且，
則動圓與圓內切，與圓外切，可得：，
兩式相加得：，且，故圓心的軌跡為橢圓．
．
變式1．（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知橢圓上有一點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（ ）
A．6 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根據橢圓的定義即可求出.
【詳解】由橢圓，得，即，設左焦點為，右焦點為，
則，因為，所以，即點到左焦點的距離為2.
故選:D.
變式2．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）若復數滿足，則復數在復平面內所對應點的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．線段
【答案】A
【分析】根據題意，利用復數的幾何意義，以及橢圓的定義，即可求解.
【詳解】設，復數對應點，
因為復數滿足，
由復數的幾何意義，可得，
所以復數對應的點滿足橢圓的定義，復數在復平面內所對應點的軌跡是橢圓.
.
變式3．（24-25高二上·上海·隨堂練習）已知P是橢圓上的點，、是橢圓的兩個焦點．若，則 ．
【答案】14
【分析】利用橢圓的定義求解即可.
【詳解】因為所以又則
故答案為：14.
變式4．（23-24高二上·北京·期中）橢圓的焦點的坐標為 ，若為橢圓上任意一點，則 .
【答案】
【分析】將橢圓化為標準方程即可求出焦點，再利用橢圓定義即可得到.
【詳解】該橢圓的方程是，即，，故，所以焦點坐標為.
根據橢圓的定義，有.
故答案為：，.
變式5．（23-24高二下·上海·階段練習）已知點，有，則點的軌跡是 .
【答案】線段
【分析】
根據，得到軌跡.
【詳解】由于，故點的軌跡為線段.
故答案為：線段
變式6．（多選）（24-25高二上·河南南陽·階段練習）下列說法中錯誤的是（ ）
A．方程表示的曲線是圓
B．若兩條直線平行，則它們的斜率相等
C．直線的一個法向量的坐標是
D．平面內到兩定點距離之和為常數的點的軌跡是橢圓
【答案】ABD
【分析】根據圓的標準方程即可判斷A，根據直線無斜率的情況即可判斷B，根據法向量的定義即可求解C，由橢圓定義即可求D.
【詳解】對于A, 由可得，故軌跡不存在，A錯誤，
對于B，若兩條直線都和軸平行時，此時斜率不存在，故B錯誤，
對于C，直線的斜率為2，故一個法向量的坐標是，C正確，
對于D，平面內到兩定點距離之和（大于兩個定點之間的距離）為常數的點的軌跡是橢圓，故D錯誤，
BD
變式7．（多選）（23-24高二上·河南焦作·階段練習）下列是真命題的是（ ）
A．已知定點，則滿足的點的軌跡為橢圓
B．已知定點，則滿足的點的軌跡為線段
C．到定點距離相等的點的軌跡為橢圓
D．若點到定點的距離的和等于點到定點的距離的和，則點的軌跡為橢圓
【答案】CD
【分析】根據橢圓定義可依次判斷各個選項.
【詳解】對于A，，根據橢圓定義，點的軌跡不存在，故A錯誤；
對于B，點的軌跡為線段，故B正確；
對于C，到定點距離相等的點的軌跡為線段的垂直平分線，故錯誤；
對于D，到定點的距離的和為，
所以點的軌跡為橢圓，故D正確．
D.
【方法技巧與總結】
橢圓是在平面內定義的，所以“平面內”這一條件不能忽視．
定義中到兩定點的距離之和是常數，而不能是變量．
常數(2a)必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件．
【題型2：橢圓標準方程的求解】
例2．（23-24高二上·北京西城·期中）一個橢圓的兩個焦點分別是，，橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，則該橢圓的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用橢圓的定義求解即可.
【詳解】橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，故，
且，故，
所以橢圓的標準方程為.
變式1．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知橢圓的焦點在x軸上，，，則其標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據橢圓的性質即可求解.
【詳解】由，可得，
由于焦點在x軸上，所以橢圓方程為，
變式2．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習）已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于y軸的直線交C于A，B兩點，且，則橢圓C的標準方程為 ．
【答案】
【分析】根據題意，由橢圓的幾何性質求出、的值，結合橢圓的標準方程計算可得答案．
【詳解】解：根據題意，如圖：
，由橢圓的對稱性可得：，
又，由勾股定理可得：，
所以，，
又，則，
橢圓標準方程為．
故答案為：．
變式3．（24-25高二上·上海·隨堂練習）已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，且，則該橢圓的方程是 ．
【答案】
【分析】先設點的坐標，再根據已知模長及向量垂直化簡得出橢圓方程.
【詳解】設點,
又因為,,，
所以，
所以，
所以，根據橢圓定義可得,
所以橢圓的方程是.
故答案為：.
變式4．（24-25高二上·上海·單元測試）已知橢圓E：的焦距為4，平行四邊形ABCD內接于橢圓E，且直線AB與AD的斜率之積為，則橢圓E的方程為 ．
【答案】
【分析】由條件列關于的方程，解方程可得，由此可得橢圓方程.
【詳解】設，由對稱性可得，
則，
所以兩式相減可得，
因為直線AB與AD的斜率之積為，
所以，即，所以，
設橢圓的半焦距為，
因為橢圓的焦距為4，所以，所以，
又，所以，
所以橢圓的標準方程為，
故答案為：.
變式5．（23-24高二下·全國·課堂例題）求滿足下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點坐標分別為，，經過點；
(2)經過點兩點．
(3)過且與有相同的焦點；．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設橢圓的標準方程為，依題意求出和可得結果；
（2）過兩點的橢圓方程，可設為，代入計算即可．
（3）由焦點坐標得值，設出橢圓方程將點代入方程待定系數可得．
【詳解】（1）設橢圓的標準方程為，
依題可得，將代入到方程中得，
故，
所以橢圓的標準方程為．
（2）設方程為
則，解得，則所求橢圓方程為
（3）由方程可知，其焦點的坐標為，即．
則， 設所求橢圓方程，
因為橢圓過點，代入方程得，
解得（舍去），，
故橢圓的標準方程為；
變式6．（23-24高二下·全國·課后作業）求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)經過兩點.
(2)經過點，且與橢圓有共同的焦點；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意，設橢圓的一般式方程，代入兩點，列出方程組，求解即得；
（2）由已知橢圓求出半焦距并判斷焦點位置，設出所求橢圓方程，列方程組，求解后即得.
【詳解】（1）設所求橢圓的方程，
將代入上式得，解得，
所以所求橢圓的標準方程為；
（2）橢圓，即，故，
則焦點為，，
依題意，設所求橢圓的標準方程，
則有，解得，
所以所求橢圓的標準方程為.
變式7．（24-25高二上·全國·課前預習）求適合下列條件的橢圓的標準方程．
(1)焦點在軸上，且經過兩個點和；
(2)已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經過點．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由條件可設橢圓方程為，再由條件列方程求，即可得橢圓方程；
（2）結合焦點坐標知可設橢圓方程為，且，結合橢圓定義可求，由此可求及橢圓方程.
【詳解】（1）因為橢圓的焦點在軸上，
所以設它的標準方程為．
又橢圓經過點和，
所以解得
所以所求橢圓的標準方程為．
（2）由于橢圓的焦點在軸上，
所以設它的標準方程為，
設橢圓的半焦距為，則，
又，
所以，
所以，
所以所求橢圓的標準方程為．
變式8．（23-24高二上·黑龍江雞西·期末）求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10；
(2)焦點在y軸上，且經過兩個點和；
(3)經過和點．
【答案】(1)1
(2)
(3)．
【分析】（1）由焦點坐標求，由橢圓定義得即可求，從而得方程；
（2）結合圖形，已知點是長短軸的頂點，則可得；
（3）設橢圓方程的簡化形式，待定系數解方程組可得.
【詳解】（1）由題意，橢圓焦點在軸上，且，
則，
∴橢圓方程為1；
（2）根據題意，所求橢圓的焦點在y軸上，且經過兩個點和，
則，則橢圓的標準方程為；
（3）根據題意，要求橢圓經過（，）和點（，1）兩點，
設其方程為，
則有，解可得，
則所求橢圓的方程為．
【方法技巧與總結】
求橢圓方程有兩種方法：
1.用定義法求橢圓的標準方程
先根據橢圓的定義確定a2，b2的值，再結合焦點位置求出橢圓的方程．其中常用的關系有：
①b2a2－c2；
②橢圓上任意一點到橢圓兩焦點的距離之和等于2a；
③橢圓上一短軸頂點到一焦點的距離等于長半軸長a.
2.用待定系數法求橢圓的標準方程的步驟
【題型3：橢圓定義的應用】
例3．（24-25高二上·福建三明·階段練習）已知方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據橢圓的標準方程，結合題意，建立方程組，可得答案.
【詳解】由題意可得，解得.
.
變式1．（24-25高二上·江西·階段練習）若方程表示橢圓，則m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據橢圓標準方程的形式求解即可.
【詳解】因為方程表示橢圓，
所以，解得，
.
變式2．（23-24高二上·云南昆明·階段練習）方程表示橢圓的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】借助橢圓定義與充要條件的定義計算即可得.
【詳解】若表示橢圓，則有，
解得或.
.
變式3．（24-25高二上·江西·階段練習）如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先判斷，再將方程化為標準式，即可結合焦點的位置得到不等式，解得即可.
【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，顯然，則方程可化為，
所以，解得，所以實數的取值范圍是.
故答案為：
變式4．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據焦點在軸上的橢圓的特征，列不等式即可求解.
【詳解】由題意可得解得，故實數的取值范圍是.
故答案為：.
變式5．（24-25高二上·全國·課后作業）已知，橢圓的焦點在軸上，則的半焦距的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由橢圓性質可知，則，結合三角恒等變換可得半焦距及其取值范圍.
【詳解】依題意，則，
故半焦距，
因為，所以，
所以，
即，
故答案為：.
變式6．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）討論方程＋表示的曲線.
【答案】答案見詳解
【分析】根據橢圓定義討論判斷.
【詳解】表示點到點的距離，表示點到點的距離，
所以表示點到點和的距離之和，
當時，方程表示的曲線是橢圓；
當時，方程表示的曲線是線段；
當時，方程表示的曲線不存在.
【方法技巧與總結】
把方程寫成橢圓的標準方程形式，得到形式，要想表示：
1.焦點在軸上的橢圓，必須要滿足，解這個不等式就可求出實數k的取值范圍．
2.焦點在x軸上的橢圓，必須要滿足A>B>0，解這個不等式就可求出實數k的取值范圍
【題型4：焦點三角形問題】
例4．（23-24高二下·上海·期末）已知橢圓的焦點為、，為該橢圓上任意一點（異于長軸端點），則的周長為（ ）
A．10 B．13 C．14 D．16
【答案】A
【分析】根據方程可得，結合橢圓的定義運算求解.
【詳解】由題意可知：，
則，
所以的周長為.
.
變式1．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）已知橢圓的左 右焦點分別為，點在橢圓上.若，則的面積為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】A
【分析】在中，結合橢圓定義及勾股定理可得，進而求得的面積.
【詳解】由橢圓定義可得，
又因為，所以由勾股定理可得，
即，解得，
則的面積為.
.
變式2．（23-24高二上·吉林延邊·期中）點P是橢圓上一點，，是橢圓的兩個焦點，且的內切圓半徑為1，當點P在第一象限時，P點的縱坐標為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據橢圓方程求出，由橢圓的定義可求出，然后利用等面積法可求出P點的縱坐標.
【詳解】由，得，
所以，
所以，
設的內切圓半徑為，
因為
所以，得.
變式3．（23-24高二下·天津·階段練習）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】由題意結合橢圓定義推導出△是直角三角形，再求面積即可.
【詳解】由可得：，
則橢圓得長軸長為，
，
可設，，
由題意可知，，
，，，
△是直角三角形，
其面積．
．
變式4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為和，點在橢圓上且在軸的上方若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意得到垂直平分線段，則，再根據橢圓的定義式和勾股定理即可求解．
【詳解】
因為橢圓方程為，
所以，，，
又線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，
所以垂直平分線段，所以，
又因為，所以，，
在直角三角形中，，
于是的面積為．
．
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于將線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上轉化為垂直平分線段，再結合橢圓定義求解.
變式5．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知橢圓的兩個焦點為、，過的直線交橢圓于M、N兩點，則的周長為 ．
【答案】8
【分析】根據橢圓定義求解.
【詳解】由橢圓可知，即，
由橢圓的定義可知，的周長為，
故答案為：
變式6．（24-25高二上·上海·課堂例題）（1）已知點P在橢圓上，與分別為左、右焦點.若，則的面積為 .
（2）若F為橢圓C：的右焦點，A、B為橢圓C上兩個動點，則的周長的最大值為 .
【答案】 20
【分析】（1）焦點三角形中運用余弦定理可得，由三角形面積公式得解；
（2）根據橢圓的定義及兩邊之和不下于第三邊求解即可.
【詳解】（1）由橢圓可知，，
所以，即，，
由余弦定理得，
解得，
所以.
（2）設橢圓的左焦點為，
由橢圓C：可得，，
則的周長為，
由，可得，
當且僅當三點共線時等號不成立，即的周長的最大值為20.
故答案為：；
變式7．（24-25高二上·江西·階段練習）已知，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，P為C上一點.
(1)若，點P的坐標為，求橢圓C的標準方程；
(2)若，的面積為4，求b的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知可求出，點坐標可代入橢圓方程求出，進而求出；
（2）得到橢圓標準方程根據，利用三角形面積公式和橢圓定義以及勾股定理來求解的值.
【詳解】（1）已知，因為，所以.點在橢圓上，將其代入橢圓方程，可得，即，解得.
又因為，，，所以.
所以橢圓的標準方程為.
（2）因為，所以的面積，則.根據橢圓定義，.
由勾股定理可得.
又，即.
在橢圓中有，將變形為，即，解得.
【方法技巧與總結】
求橢圓中焦點三角形面積的方法：
①根據橢圓的定義求出|PF1|+PF2|2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關系式；
③利用公式×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式×|F1F2|×|yP|(yP為P點的縱坐標)求得面積
④結論：
【題型5：和差最值問題】
例5．（23-24高二上·福建寧德·期末）已知是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由題意得圓的圓心是橢圓的左焦點，利用圓和橢圓的定義，結合圖象得到，然后由即可求解.
【詳解】如圖，由題意，橢圓的焦點為，，
則圓的圓心是橢圓的左焦點，由橢圓定義得，所以，
又，
所以.
.
變式1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知點 在橢圓 上，點 ，則 的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】D
【分析】作出橢圓的另一個焦點，轉化線段，最后利用三角不等式解決即可.
【詳解】
作橢圓的左焦點，則，
當且僅當點為線段的延長線與橢圓的交點時取得，由兩點間距離公式得，
故，C正確，
變式2．（23-24高二上·吉林長春·期末）已知是橢圓的上頂點，點是橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】設出點坐標，利用坐標表示出并進行化簡，再根據橢圓的有界性結合二次函數的性質求解出的最大值.
【詳解】設，，且，
所以
，
又因為，所以當時取最大值，
所以，
.
變式3．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）為橢圓：上一點，，則最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角換元得，即可根據兩點距離公式求解.
【詳解】設，
則
，
由于，故當時，取最小值，
變式4．（2024高二下·云南曲靖·學業考試）已知橢圓的左、右焦點分別為在橢圓上且關于原點對稱，則的最大值與最小值之和為 ．
【答案】/
【分析】設，得出，整理，令，利用單調性求值域，即可求解．
【詳解】解：設，
，
，
，
，
，
令，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
，
，
則的最大值與最小值之和為，
故答案為：．
變式5．（23-24高二上·全國·期末）已知橢圓的左 右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據橢圓定義可將轉化為，再根據可得的最小值為，結合兩點間距離公式即得答案.
【詳解】由為橢圓上任意一點，則
又為圓上任意一點，則（當且僅當M、N、E共線時取等號），
∴，
當且僅當M、N、E、共線時等號不成立.
∵，，則，
∴的最小值為．
故答案為：．
變式6．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知P是橢圓上的一個動點，點，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據橢圓方程以及點坐標，利用橢圓定義并結合三角形邊長即可求得其最小值.
【詳解】易知為橢圓的下焦點，點在橢圓內部；
設為橢圓的上焦點，連接，
由橢圓定義可得，則，
所以，
當且僅當三點共線時，取得最小值，如下圖所示：
因此則的最小值為.
故答案為：
變式7．（2024高二上·全國·專題練習）設實數滿足的最小值為 .
【答案】
【分析】根據題意，利用橢圓的定義，即可求代數式的最小值，得到答案.
【詳解】設，則在橢圓上，
因為，
設，則為橢圓的右焦點，
如圖所示，設橢圓的左焦點為，
則，
當且僅當三點共線且在之間時等號不成立，
而，故的最小值為.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
總體理論依據：
1.線段公理——兩點之間，線段最短。
2.對稱的性質——①關于一條直線對稱的兩個圖形全等。②對稱軸是兩個對稱圖形對應點連線的垂直平分線
3.三角形兩邊之和大于第三邊。
4.三角形兩邊之差小于第三邊。
5.垂直線段最短
【題型6：軌跡方程問題】
例6．（24-25高二上·江西·階段練習）已知圓：和：，若動圓P與這兩圓一個內切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據圓的位置關系及橢圓的定義可判斷P點軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.
【詳解】圓：和：的圓心、半徑分別為，
由可知圓內含于圓內，
設動圓半徑為,
由題意，，,
兩式相加可得,
故P點的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，
所以，
所以橢圓方程為.
變式1．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數，則動點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件列方程，化簡整理即可求解.
【詳解】設是點到直線的距離，
根據題意，動點的軌跡就是集合.
由此得，將上式兩邊平方并化簡，得，
即.
所以動點的軌跡方程為.
.
變式2．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習）如圖：已知圓 內有一點 ，Q是圓C上的任意一點，線段AQ的垂直平分線與CQ相交點M ，當點Q在圓C上運動時，點M 的軌跡方程為
【答案】
【分析】利用線段的中垂線性質，即可推導出動點到兩定點的距離之和為定值，所以動點軌跡是橢圓，即可出橢圓方程.
【詳解】
連接，由線段的垂直平分線與相交點M，可得，
則有，
所以點M 的軌跡是以為焦點，以5為長軸長的橢圓，
則，即，
所以點M 的軌跡方程為：，即，
故答案為：.
變式3．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）已知點和點，是動點，且直線與的斜率之積等于，則動點的軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】設動點，斜率用坐標表示，由斜率之積為可得出之間的關系式，進而得的軌跡方程.
【詳解】設動點的坐標為，又，，
所以的斜率，的斜率，
由題意可得，
化簡，得點的軌跡方程為.
故答案為：
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知，過點且斜率不為零的直線交于，兩點，過點作交于，則 ；點的軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】根據等腰三角形性質可得，即可得，再根據橢圓定義可得軌跡方程.
【詳解】

如圖所示，
由的方程得圓心，半徑為，
因為，所以，
又，所以，
則，所以，
又，
所以，
又斜率不為，所以點不在軸上，
所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且點不在軸上，
則，，所以，
即點的軌跡方程為，
故答案為：，.
變式5．（24-25高二上·全國·課后作業）已知過點的直線與相交于點C，過點的直線與相交于點D，若直線CD與圓相切，則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】設點，，，，根據切線可得，結合交點運算求解即可.
【詳解】設點，，，，
則直線CD的方程為，
因為直線CD與圓相切，則，可得；
又因為直線AC與BD的交點為M，
所以，解得，可得，
所以點M的軌跡方程為．
故答案為：.
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業）已知定點，動點滿足.設點的軌跡為，則軌跡的方程為 .
【答案】
【分析】設，利用平面向量數量積的坐標表示計算化簡即可.
【詳解】設動點，則.
又，
.
化簡得，即，
動點的軌跡的方程為.
故答案為：.
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業）如圖所示，的頂點，直角頂點，頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點．
(1)求邊BC所在直線的方程；
(2)M為外接圓的圓心，求圓M的方程；
(3)若動圓N過點P且與圓M內切，求動圓N的圓心N的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知，可得，又，則，即可求得BC所在直線的方程；
（2）由BC的直線方程，可得，則得圓心，又，即可求得圓M的方程；
（3）由已知，可得是該圓的半徑，因為動圓N與圓M內切，可得，則點N的軌跡是以M，P為焦點的橢圓，即可由待定系數法求橢圓方程.
【詳解】（1）因為點，點，
則，又，所以，
所以邊BC所在直線的方程為，
即．
（2）因為邊BC所在直線的方程為，
令，得，
所以圓心，又因為，
∴圓M的方程為．
（3）因為點P為線段OA的中點所以，
又，且圓N過點，
所以是該圓的半徑，
因為動圓N與圓M內切，所以，
即，
所以點N的軌跡是以M，P為焦點的橢圓，且，
所以，，，
所以圓心N的軌跡方程為．
【方法技巧與總結】
解決與橢圓有關的軌跡問題的三種方法：
1.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數法求解即可．
2.方程法：直接根據條件列方程化簡即可。
3.相關點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，
只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關點法．
一、單選題
1．（24-25高二上·湖南·階段練習）若橢圓的右焦點坐標為，則的值為（ ）
A．1 B．1或3 C．9 D．1或9
【答案】D
【分析】根據橢圓中的關系即可求解.
【詳解】根據右焦點坐標為，可得，且焦點在軸上，
故，
2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知方程表示橢圓，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據橢圓的標準方程即可求解m的范圍.
【詳解】依題意，解得或
3．（23-24高二上·湖北孝感·階段練習）已知橢圓，則橢圓的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判斷焦點位置，求出值即可求.
【詳解】方程可化為，
則橢圓的焦點在軸，且，
則，
故其焦點坐標為．
.
4．（23-24高二下·貴州六盤水·期中）設，分別為橢圓：的兩個焦點，過且不與坐標軸重合的直線橢圓C于A，B兩點，則的周長為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【分析】由橢圓定義求焦點三角形周長.
【詳解】根據題意，橢圓中，
根據橢圓定義，的周長為
.
5．（23-24高二下·北京·階段練習）設P是橢圓：上的動點，則P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據橢圓定義即可得結果.
【詳解】由橢圓方程可知：，
所以P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為.
.
6．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知,則方程可表示焦點在軸上的不同橢圓的個數為（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】利用橢圓的定義與性質判定即可.
【詳解】由題意可知，則有如下，
，
共7種情況.
7．（24-25高二上·全國·隨堂練習）設為橢圓上的任意一點，，為其上、下焦點，則的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【分析】利用橢圓的定義和基本不等式求解即可.
【詳解】橢圓，
故，
故，當且僅當時，等號不成立.
8．（23-24高二下·湖北·開學考試）已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A．1 B．4 C．9 D．6
【答案】C
【分析】由橢圓定義和基本不等式進行求解.
【詳解】由橢圓定義得，
由基本不等式得，
當且僅當時，等號不成立，
故的最大值為4.
二、多選題
9．（23-24高二上·云南昆明·期末）設橢圓的右焦點為F，直線與橢圓交于A，B兩點，則（ ）
A．為定值 B．的周長的取值范圍是
C．當時，為直角三角形 D．當時，的面積為
【答案】AC
【分析】由橢圓定義可判斷A；由為定值以及的范圍可判斷B；求出，的坐標，由數量積公式得出，可判斷C；求出，的坐標，由三角形面積公式可判斷D.
【詳解】設橢圓的左焦點為，則，所以為定值6，故A正確；
的周長為，因為為定值6，
易知的范圍是，所以的周長的范圍是，故B錯誤；
將與橢圓方程聯立，可解得，，
又易知，所以，
所以為直角三角形，故C正確；
將與橢圓方程聯立，解得，，
所以，故D錯誤.
C．
10．（23-24高二上·福建漳州·階段練習）已知橢圓：的兩個焦點為，，是上任意一點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】根據橢圓的定義可判定A、B，根據橢圓方程及二次函數的性質可判定C，根據基本不等式可判定D.
【詳解】對AB，設該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為，
因為，所以，，，
所以，，故A錯誤，B正確；
對C，設，，，
則，
即，當時取得最大值，故C正確；
對D，由橢圓定義及基本不等式可知：，故D正確．
CD
11．（23-24高二上·河南·階段練習）已知，分別是橢圓的左、右焦點，點在上，且，，則的值可能為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】AC
【分析】根據橢圓的焦點三角形的性質，結合余弦定理即可求解.
【詳解】由，，得.
,
由，得.
在中，由余弦定理得，
得或，所以或.
C

三、填空題
12．（23-24高二下·上海寶山·期末）設P是橢圓第一象限部分上的一點，過P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M、N，則矩形OMPN的面積的最大值為 .
【答案】1
【分析】寫出橢圓的參數方程，所以點，進而表示出矩形的面積，結合三角函數的知識求解最大值即可.
【詳解】橢圓的參數方程為（為參數），
則可設點,
所以矩形的面積為，
所以，
因為點在第一象限，所以當且僅當，即時，等號不成立，
故矩形面積的最大值為1.
故答案為：1.
13．（23-24高二下·上海浦東新·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若過且斜率為的直線與橢圓在第一象限交于點，且，則的值為 ．
【答案】4
【分析】由向量垂直的充要條件得出，然后根據橢圓的定義求出，再根據直線的斜率為，得到，，最后利用橢圓定義得到：，從而列出關于的方程，解出的值即可．
【詳解】
由，，
又直線的斜率為，
則，，
又橢圓方程為：，.
,解得，
又，， ，即.
故答案為：4．
14．（23-24高二下·安徽六安·開學考試）在平面直角坐標系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則 ．
【答案】
【分析】先利用橢圓的定義求得，進而由正弦定理把原式轉換成邊的問題，進而求得答案．
【詳解】
由橢圓可知和為其焦點，
的頂點在橢圓上，則，
則對于，有，，
由正弦定理得，
故答案為：．
四、解答題
15．（23-24高二下·上海·階段練習）已知點
(1)若是直線上任一點，求的最小值
(2)若是圓上任一點，求的最小值
(3)若是橢圓上任一點，求的最小值
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）根據題意，結合點到直線的距離公式，分類討論，即可求解；
（2）根據題意，結合圓的幾何性質，分類討論，即可求解；
（3）根據題意，結合橢圓的標準方程和幾何性質，分類討論，即可求解.
【詳解】（1）解：若在直線上；
若不在直線上，.
（2）解：若在圓內，則的最小值；
若在圓上，則的最小值0；
若在圓外，則的最小值.
（3）解：若在橢圓上，則的最小值為0；
若不在橢圓上，設，
則，
因為，所以開口向上，對稱軸為，
當時，即時，時取最小值為；
當時，即時，取最小值，
所以.
16．（21-22高二下·全國·期末）已知橢圓C：的左焦點為F，點A在C上，過點A作軸，垂足為B，其中點B異于點A，且.
(1)求動點D的軌跡方程；
(2)過點F的直線與C交于M，N兩點，與動點D的軌跡交于P，Q兩點，求的最大值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根據題意，結合橢圓的方程，代入計算即可得到結果；
（2）根據題意，分軸與不與x軸垂直，聯立直線與橢圓方程，結合弦長公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）設點D坐標為，∵，∴點A的坐標為，
∴，∴動點D的軌跡方程為.
（2）

若軸，則，，∴.
若直線不與x軸垂直，設直線的方程為，
即，
則坐標原點到直線的距離：，
∴.
設，，聯立，
得，
∴，.
∴
，
∴，
當日僅當，即時，等號不成立.
綜上所述，最大值為4.
17．（23-24高二上·江西·期末）已知點為橢圓的焦點，過F的直線l交C于A，B兩點．
(1)求C的方程；
(2)若D為的中點．
①求D的軌跡方程；
②求的最大值．
【答案】(1)
(2)① ；②1
【分析】（1）根據橢圓的基本量關系求解即可；
（2）①設，，，根據點差法可得，再分斜率存在與不存在求解即可；
②由①知，D的軌跡是個橢圓，原點O是該橢圓的左頂點即可得.
【詳解】（1）由題意有，所以C的方程為；
（2）設，，，則，
即，
當斜率存在時，有，即，
①當斜率存在時，由上述分析有，得，
當斜率不存在時，易知，滿足上面得出的方程，
綜上，D的軌跡方程為；
②由①知，D的軌跡是個橢圓，且F是該橢圓的右頂點，
不難看出坐標原點O是該橢圓的左頂點，所以．
18．（21-22高二上·內蒙古赤峰·階段練習）已知圓．
(1)直線l過點且與圓C交于A、B兩點，若，求直線l的方程；
(2)過圓C上一動點M作平行于x軸的直線m，設m與y軸的交點為N，若向量，求動點Q的軌跡方程．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）當斜率不存在時，直線方程為，與圓的兩個交點坐標為和，其距離為，滿足題意.當斜率存在時，設直線的方程為，利用圓的弦長公式有，和點到直線距離公式，可求得，故可得直線l的方程；
（2）設點的坐標為，點坐標為，則點坐標是.利用已知，代入點的坐標化簡得，.而，代入可得的軌跡方程.
【詳解】（1）①當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標為和，其距離為，滿足題意.
②若直線不垂直于軸，設其方程為，即.
設圓心到此直線的距離為，則，得，
∴，，
故所求直線方程為.
綜上所述，所求直線方程為或.
（2）設點的坐標為，點坐標為，則點坐標是.
∵，∴，即，.
又∵，∴.
由已知，直線軸，∴，
∴點的軌跡方程是.
19．（24-25高二上·江西贛州·階段練習）已知橢圓的上、下焦點分別為，，為坐標原點，是上一動點，，的周長為 .
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：無論動點在上如何運動，恒為一個常數.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據橢圓的定義可得解；
（2）設點，結合向量線性運算及模長公式化簡可得證.
【詳解】（1）
由已知，則，即，
又的周長為，
則，，
則，
即橢圓方程為：；
（2）由（1）可知，，
設，
則，，，
，
又，
即，
即，
所以無論動點在上如何運動，恒為一個常數.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2.5.1橢圓的標準方程
課程標準 學習目標
1.通過橢圓的定義、標準方程的學習，培養 數學抽象素養 2.借助于標準方程的推導過程，提升邏輯推 理、數學運算素養 1.重點：掌握橢圓的定義，會用橢圓的定義解決實 際問題. 2.重點：掌握用定義法和待定系數法求橢圓的標準方程: 3.難點：理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題.
知識點01 橢圓的定義
1.定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．
2.焦點：兩個定點F1，F2.
3.焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.
4.半焦距：焦距的一半．
【即學即練1】（23-24高二上·吉林·階段練習）橢圓的焦點為為橢圓上一點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【即學即練2】（2023高二·全國·專題練習）如果點在運動過程中，總滿足關系式，那么點P的軌跡為（ ）
A．線段 B．直線 C．橢圓 D．圓
知識點02橢圓的標準方程
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋1(a＞b＞0) ＋1(a＞b＞0)
焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的關系 a2b2＋c2
【即學即練3】（23-24高二上·河南南陽·階段練習）焦點在x軸上，中心為坐標原點，經過點,.則橢圓的標準方程為（ ）
A． B．1
C． D．1
【即學即練4】（23-24高二上·全國·課后作業）過點且與有相同焦點的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
難點：和差最值、取值范圍問題
示例1：（23-24高二上·山西太原·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，點M在C上，點N的坐標為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型1：橢圓定義辨析】
例1．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）已知圓與圓內含，且圓心不重合，動圓與兩圓相切，則圓心的軌跡為（ ）
A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．橢圓
變式1．（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知橢圓上有一點P到右焦點的距離為4，則點P到左焦點的距離為（ ）
A．6 B．3 C．4 D．2
變式2．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）若復數滿足，則復數在復平面內所對應點的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．線段
變式3．（24-25高二上·上海·隨堂練習）已知P是橢圓上的點，、是橢圓的兩個焦點．若，則 ．
變式4．（23-24高二上·北京·期中）橢圓的焦點的坐標為 ，若為橢圓上任意一點，則 .
變式5．（23-24高二下·上海·階段練習）已知點，有，則點的軌跡是 .
變式6．（多選）（24-25高二上·河南南陽·階段練習）下列說法中錯誤的是（ ）
A．方程表示的曲線是圓
B．若兩條直線平行，則它們的斜率相等
C．直線的一個法向量的坐標是
D．平面內到兩定點距離之和為常數的點的軌跡是橢圓
變式7．（多選）（23-24高二上·河南焦作·階段練習）下列是真命題的是（ ）
A．已知定點，則滿足的點的軌跡為橢圓
B．已知定點，則滿足的點的軌跡為線段
C．到定點距離相等的點的軌跡為橢圓
D．若點到定點的距離的和等于點到定點的距離的和，則點的軌跡為橢圓
【方法技巧與總結】
橢圓是在平面內定義的，所以“平面內”這一條件不能忽視．
定義中到兩定點的距離之和是常數，而不能是變量．
常數(2a)必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件．
【題型2：橢圓標準方程的求解】
例2．（23-24高二上·北京西城·期中）一個橢圓的兩個焦點分別是，，橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，則該橢圓的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知橢圓的焦點在x軸上，，，則其標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習）已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于y軸的直線交C于A，B兩點，且，則橢圓C的標準方程為 ．
變式3．（24-25高二上·上海·隨堂練習）已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，且，則該橢圓的方程是 ．
變式4．（24-25高二上·上海·單元測試）已知橢圓E：的焦距為4，平行四邊形ABCD內接于橢圓E，且直線AB與AD的斜率之積為，則橢圓E的方程為 ．
變式5．（23-24高二下·全國·課堂例題）求滿足下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點坐標分別為，，經過點；
(2)經過點兩點．
(3)過且與有相同的焦點；．
變式6．（23-24高二下·全國·課后作業）求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)經過兩點.
(2)經過點，且與橢圓有共同的焦點；
變式7．（24-25高二上·全國·課前預習）求適合下列條件的橢圓的標準方程．
(1)焦點在軸上，且經過兩個點和；
(2)已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經過點．
變式8．（23-24高二上·黑龍江雞西·期末）求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10；
(2)焦點在y軸上，且經過兩個點和；
(3)經過和點．
【方法技巧與總結】
求橢圓方程有兩種方法：
1.用定義法求橢圓的標準方程
先根據橢圓的定義確定a2，b2的值，再結合焦點位置求出橢圓的方程．其中常用的關系有：
①b2a2－c2；
②橢圓上任意一點到橢圓兩焦點的距離之和等于2a；
③橢圓上一短軸頂點到一焦點的距離等于長半軸長a.
2.用待定系數法求橢圓的標準方程的步驟
【題型3：橢圓定義的應用】
例3．（24-25高二上·福建三明·階段練習）已知方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（24-25高二上·江西·階段練習）若方程表示橢圓，則m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高二上·云南昆明·階段練習）方程表示橢圓的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．或
變式3．（24-25高二上·江西·階段練習）如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數的取值范圍是 .
變式4．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍是 .
變式5．（24-25高二上·全國·課后作業）已知，橢圓的焦點在軸上，則的半焦距的取值范圍是 ．
變式6．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習）討論方程＋表示的曲線.
【方法技巧與總結】
把方程寫成橢圓的標準方程形式，得到形式，要想表示：
1.焦點在軸上的橢圓，必須要滿足，解這個不等式就可求出實數k的取值范圍．
2.焦點在x軸上的橢圓，必須要滿足A>B>0，解這個不等式就可求出實數k的取值范圍
【題型4：焦點三角形問題】
例4．（23-24高二下·上海·期末）已知橢圓的焦點為、，為該橢圓上任意一點（異于長軸端點），則的周長為（ ）
A．10 B．13 C．14 D．16
變式1．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）已知橢圓的左 右焦點分別為，點在橢圓上.若，則的面積為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
變式2．（23-24高二上·吉林延邊·期中）點P是橢圓上一點，，是橢圓的兩個焦點，且的內切圓半徑為1，當點P在第一象限時，P點的縱坐標為（ ）
A．2 B． C． D．
變式3．（23-24高二下·天津·階段練習）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
變式4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為和，點在橢圓上且在軸的上方若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知橢圓的兩個焦點為、，過的直線交橢圓于M、N兩點，則的周長為 ．
變式6．（24-25高二上·上海·課堂例題）（1）已知點P在橢圓上，與分別為左、右焦點.若，則的面積為 .
（2）若F為橢圓C：的右焦點，A、B為橢圓C上兩個動點，則的周長的最大值為 .
變式7．（24-25高二上·江西·階段練習）已知，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，P為C上一點.
(1)若，點P的坐標為，求橢圓C的標準方程；
(2)若，的面積為4，求b的值.
【方法技巧與總結】
求橢圓中焦點三角形面積的方法：
①根據橢圓的定義求出|PF1|+PF2|2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關系式；
③利用公式×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式×|F1F2|×|yP|(yP為P點的縱坐標)求得面積
④結論：
【題型5：和差最值問題】
例5．（23-24高二上·福建寧德·期末）已知是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
變式1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知點 在橢圓 上，點 ，則 的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．5
變式2．（23-24高二上·吉林長春·期末）已知是橢圓的上頂點，點是橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
變式3．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）為橢圓：上一點，，則最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
變式4．（2024高二下·云南曲靖·學業考試）已知橢圓的左、右焦點分別為在橢圓上且關于原點對稱，則的最大值與最小值之和為 ．
變式5．（23-24高二上·全國·期末）已知橢圓的左 右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為 .
變式6．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知P是橢圓上的一個動點，點，則的最小值為 .
變式7．（2024高二上·全國·專題練習）設實數滿足的最小值為 .
【方法技巧與總結】
總體理論依據：
1.線段公理——兩點之間，線段最短。
2.對稱的性質——①關于一條直線對稱的兩個圖形全等。②對稱軸是兩個對稱圖形對應點連線的垂直平分線
3.三角形兩邊之和大于第三邊。
4.三角形兩邊之差小于第三邊。
5.垂直線段最短
【題型6：軌跡方程問題】
例6．（24-25高二上·江西·階段練習）已知圓：和：，若動圓P與這兩圓一個內切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數，則動點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習）如圖：已知圓 內有一點 ，Q是圓C上的任意一點，線段AQ的垂直平分線與CQ相交點M ，當點Q在圓C上運動時，點M 的軌跡方程為
變式3．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）已知點和點，是動點，且直線與的斜率之積等于，則動點的軌跡方程為 ．
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知，過點且斜率不為零的直線交于，兩點，過點作交于，則 ；點的軌跡方程為 ．
變式5．（24-25高二上·全國·課后作業）已知過點的直線與相交于點C，過點的直線與相交于點D，若直線CD與圓相切，則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為 ．
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業）已知定點，動點滿足.設點的軌跡為，則軌跡的方程為 .
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業）如圖所示，的頂點，直角頂點，頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點．
(1)求邊BC所在直線的方程；
(2)M為外接圓的圓心，求圓M的方程；
(3)若動圓N過點P且與圓M內切，求動圓N的圓心N的軌跡方程．
【方法技巧與總結】
解決與橢圓有關的軌跡問題的三種方法：
1.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數法求解即可．
2.方程法：直接根據條件列方程化簡即可。
3.相關點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，
只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關點法．
一、單選題
1．（24-25高二上·湖南·階段練習）若橢圓的右焦點坐標為，則的值為（ ）
A．1 B．1或3 C．9 D．1或9
2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知方程表示橢圓，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·湖北孝感·階段練習）已知橢圓，則橢圓的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·貴州六盤水·期中）設，分別為橢圓：的兩個焦點，過且不與坐標軸重合的直線橢圓C于A，B兩點，則的周長為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．（23-24高二下·北京·階段練習）設P是橢圓：上的動點，則P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知,則方程可表示焦點在軸上的不同橢圓的個數為（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．（24-25高二上·全國·隨堂練習）設為橢圓上的任意一點，，為其上、下焦點，則的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
8．（23-24高二下·湖北·開學考試）已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A．1 B．4 C．9 D．6
二、多選題
9．（23-24高二上·云南昆明·期末）設橢圓的右焦點為F，直線與橢圓交于A，B兩點，則（ ）
A．為定值 B．的周長的取值范圍是
C．當時，為直角三角形 D．當時，的面積為
10．（23-24高二上·福建漳州·階段練習）已知橢圓：的兩個焦點為，，是上任意一點，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二上·河南·階段練習）已知，分別是橢圓的左、右焦點，點在上，且，，則的值可能為（ ）
A． B．2 C． D．
三、填空題
12．（23-24高二下·上海寶山·期末）設P是橢圓第一象限部分上的一點，過P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M、N，則矩形OMPN的面積的最大值為 .
13．（23-24高二下·上海浦東新·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若過且斜率為的直線與橢圓在第一象限交于點，且，則的值為 ．
14．（23-24高二下·安徽六安·開學考試）在平面直角坐標系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則 ．
四、解答題
15．（23-24高二下·上海·階段練習）已知點
(1)若是直線上任一點，求的最小值
(2)若是圓上任一點，求的最小值
(3)若是橢圓上任一點，求的最小值
16．（21-22高二下·全國·期末）已知橢圓C：的左焦點為F，點A在C上，過點A作軸，垂足為B，其中點B異于點A，且.
(1)求動點D的軌跡方程；
(2)過點F的直線與C交于M，N兩點，與動點D的軌跡交于P，Q兩點，求的最大值.
17．（23-24高二上·江西·期末）已知點為橢圓的焦點，過F的直線l交C于A，B兩點．
(1)求C的方程；
(2)若D為的中點．
①求D的軌跡方程；
②求的最大值．
18．（21-22高二上·內蒙古赤峰·階段練習）已知圓．
(1)直線l過點且與圓C交于A、B兩點，若，求直線l的方程；
(2)過圓C上一動點M作平行于x軸的直線m，設m與y軸的交點為N，若向量，求動點Q的軌跡方程．
19．（24-25高二上·江西贛州·階段練習）已知橢圓的上、下焦點分別為，，為坐標原點，是上一動點，，的周長為 .
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：無論動點在上如何運動，恒為一個常數.
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