資源簡(jiǎn)介

2.4曲線與方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會(huì)“曲線的方程與方程的曲線”的概念. 熟悉求曲線方程的步驟以及利用方程研究曲線的性質(zhì). 3.掌握求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法 1.重點(diǎn):曲線與方程的概念;求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 2.難點(diǎn):分析、判斷曲線與方程的關(guān)系;求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程
知識(shí)點(diǎn)01 曲線的方程與方程的曲線的定義
一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y）=0之間具有如下關(guān)系：
1.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.
則稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線，方程F（x，y）=0為曲線C的方程.
【即學(xué)即練1】（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上，下列命題正確的是（ ）
A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程
B．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程
C．坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)都不在曲線C上
D．曲線C是坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)的軌跡
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國(guó)·課堂例題）分析下列曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系：
(1)與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點(diǎn)與方程之間的關(guān)系；
(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)與方程之間的關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)02兩曲線的交點(diǎn)
己知兩條曲線C1和C2的方程分別為F（x，y）=0，G（x，y）=0，求兩條曲線C1和C2的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組，求方程組的實(shí)數(shù)解就可以得到.
【即學(xué)即練3】（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ．
【即學(xué)即練4】（23-24高三上·青海西寧·期中）已知，，為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
知識(shí)點(diǎn)03 點(diǎn)的軌跡方程
曲線一般都可以看成動(dòng)點(diǎn)依某種條件運(yùn)動(dòng)的軌跡,曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程.
【即學(xué)即練5】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）等腰三角形底邊兩端點(diǎn)分別為，頂點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．一條直線 B．一條直線去掉一點(diǎn) C．一個(gè)點(diǎn) D．兩個(gè)點(diǎn)
【即學(xué)即練6】（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷直線與曲線是否相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用
示例1：（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的圖象是四葉草曲線，設(shè)為E上任意一點(diǎn)，且滿足或，則任取一點(diǎn)P，該點(diǎn)為格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的概率為 ．
【題型1：曲線方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上，則下列命題中正確的是（ ）
A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程
B．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程
C．凡坐標(biāo)不適合方程的點(diǎn)都不在曲線C上
D．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合方程
變式1．（21-22高二上·貴州遵義·期末）設(shè)方程表示的曲線是（ ）
A．一個(gè)圓和一條直線 B．一個(gè)圓和一條射線
C．一個(gè)圓 D．一條直線
變式2．（18-19高二上·安徽蕪湖·期末）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
變式3．（2014高三·全國(guó)·專題練習(xí)）方程表示的曲線是（　　）
A．—個(gè)圓 B．兩個(gè)圓
C．一個(gè)半圓 D．兩個(gè)半圓
變式4．(多選)（22-23高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知曲線，則（ ）
A．曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 B．曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱
C．或 D．
變式5．（20-21高二上·上海徐匯·期末）已知曲線對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)，定義．若兩點(diǎn)滿足，稱點(diǎn)在曲線兩側(cè)．記到點(diǎn)與到軸距離和為5的點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點(diǎn)在曲線兩側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
變式6．（22-23高三·全國(guó)·課后作業(yè)）方程表示的曲線是 .
變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）判斷下列命題是否正確．
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程是；
(2)過(guò)點(diǎn)平行于軸的直線的方程為．
【方法技巧與總結(jié)】
從集合的意義上來(lái)理解曲線和方程的概念
如果把直角坐標(biāo)平面內(nèi)曲線上的點(diǎn)所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對(duì)應(yīng)的集合記作B，那么曲線和方程之間的兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，反映在集合A和B之間的關(guān)系上，就是AB且BA，即A=B.
從集合相等的意義上來(lái)理解上述兩條規(guī)定的必要性，有助于掌握曲線和方程的概念.
【題型2：由方程研究曲線的性質(zhì)】
例2．已知曲線的方程為，則曲線關(guān)于（ ）對(duì)稱
A．軸 B．軸 C．原點(diǎn) D．直線
變式1．已知曲線C方程為，則曲線C關(guān)于（ ）
A．x軸對(duì)稱 B．y軸對(duì)稱 C．原點(diǎn)對(duì)稱 D．對(duì)稱
變式2．關(guān)于方程所表示的曲線，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱 C．關(guān)于對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
變式3．兩個(gè)曲線方程：，：，我們可以推斷出它們的性質(zhì)，其中錯(cuò)誤的是（　　）
A．曲線關(guān)于yx對(duì)稱
B．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積
D．曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積
變式4．（多選）某曲線C的方程為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．曲線C關(guān)于對(duì)稱
B．曲線C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是2
C．曲線C與直線交于A、B兩點(diǎn)，則
D．點(diǎn)在曲線C上，則的取值范圍為
變式5．（多選）下列四個(gè)方程所表示的曲線中既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱的是（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（多選）已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（ ）.
A．曲線關(guān)于對(duì)稱
B．的最小值為
C．曲線的周長(zhǎng)為
D．曲線圍成的圖形面積為
變式7．設(shè)曲線C的方程為：，一般有如下規(guī)律：
①如果以代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于 對(duì)稱；
②如果以代替x，方程保持不變，那么曲線關(guān)于 對(duì)稱；
③如果同時(shí)以代替x，以代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于 對(duì)稱．
例：曲線C的方程為：，則曲線C關(guān)于 對(duì)稱.
【方法技巧與總結(jié)】
求曲線方程的步驟
1.建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)
2.寫集合：寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化簡(jiǎn):化方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式
5.證明:說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上
【題型3：曲線交點(diǎn)問(wèn)題】
例3.作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為x3 + y3－3axy = 0.某同學(xué)對(duì)a = 1情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到了下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（ ）
A．曲線不經(jīng)過(guò)第三象限 B．曲線關(guān)于直線y = x對(duì)稱
C．曲線與直線x + y =－1有公共點(diǎn) D．曲線與直線x + y =－1沒(méi)有公共點(diǎn)
變式1．曲線和公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
變式2．(多選)作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為.某同學(xué)對(duì)情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到了下列結(jié)論，其中正確的是( )
A．曲線不經(jīng)過(guò)第三象限
B．曲線關(guān)于直線對(duì)稱
C．曲線與直線有公共點(diǎn)
D．曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)
變式3．（多選）給定下列四條曲線中，與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的曲線是（ ）
A． B． C． D．
變式4．曲線上存在四個(gè)點(diǎn)滿足四邊形是正方形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
變式5．關(guān)于曲線：，有如下結(jié)論：
①曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ②曲線關(guān)于直線對(duì)稱；
③曲線是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于；
④曲線不是封閉圖形，且它與圓無(wú)公共點(diǎn)；
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為 .
變式6．直線與曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
變式7．已知曲線的方程是，曲線的方程是，判斷與是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．
【題型4：軌跡方程問(wèn)題】
例4．（24-25高三上·河北張家口·開學(xué)考試）已知兩點(diǎn)坐標(biāo)分別.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是3，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線和直線：，則兩直線交點(diǎn)的軌跡方程是 ．
變式2．（23-24高二下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接點(diǎn)P與定點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程．
變式3．（24-25高二上·全國(guó)·課堂例題）動(dòng)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.
變式4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓．
(1)求直線與圓相交時(shí)，它的斜率的取值范圍；
(2)當(dāng)與圓相交于不同的兩點(diǎn)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．
變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課堂例題）在等腰中，若一腰的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，為頂點(diǎn)，求另一腰的一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程．
變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
變式7．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）①過(guò)點(diǎn)，②圓G恒被直線平分，③與y軸相切；在以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.
已知圓G經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且_____.
(1)求圓G的一般方程：
(2)設(shè)，P是圓G上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明表示何曲線 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【方法技巧與總結(jié)】
1.直接法
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時(shí)，在設(shè)出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）后，可根據(jù)題設(shè)條件將普通語(yǔ)言運(yùn)用基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、面積公式等）變換成表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）間的關(guān)系式（等式）的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，從而得到軌跡方程．這種求軌跡方程的方法稱為直接法.直接法求軌跡方程經(jīng)常要聯(lián)系平面圖形的性質(zhì).
2.定義法
若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求解，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.
3.代入法
若所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與另一個(gè)已知曲線C：F（x，y）=0上的動(dòng)點(diǎn)Q （x1， y1）存在著某種聯(lián)系，可把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入已知曲線C的方程F（x，y）=0，化簡(jiǎn)即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為代入法（又稱相關(guān)點(diǎn)法）.
4.參數(shù)法
如果所求軌跡的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒(méi)有相關(guān)信息可用時(shí)，可先考慮將x，y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來(lái)表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).
注意：①參數(shù)的取值范圍影響著方程中x和y的取值范圍. ②化簡(jiǎn)方程前后要注意等價(jià)性.
一、單選題
1．（24-25高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）方程的曲線是（ ）
A．一個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線
C．一條直線 D．兩條直線
2．（22-23高二·全國(guó)·課后作業(yè)）到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于2的點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若曲線C的方程是，則曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱的曲線方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（21-22高二下·河南鄭州·期中）將曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到的曲線方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若曲線C的方程為，則下列各點(diǎn)中，在曲線C上的點(diǎn)是（ ）
A．； B．； C．； D．．
6．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(1，0)，直線l：y2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為( )
A．y－2x B．y2x C．y2x－8 D．y2x＋4
7．（21-22高二上·貴州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
8．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）若曲線是由方程和共同構(gòu)成，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．曲線圍成的圖形面積為
B．若點(diǎn)在曲線上，則的取值區(qū)間是
C．若與直線有公共點(diǎn)，則
D．若圓能覆蓋曲線，則的最小值為2
10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．曲線的方程為 B．直線與曲線的位置關(guān)系無(wú)法確定
C．若直線與曲線相交，其弦長(zhǎng)為4，則 D．的最大值為3
11．（22-23高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河.他研究了許多優(yōu)美的曲線，在平面直角坐標(biāo)系中，方程所表示的曲線稱為笛卡爾葉形線.當(dāng)時(shí)，笛卡爾葉形線具有的性質(zhì)是（ ）
A．經(jīng)過(guò)第三象限 B．關(guān)于直線對(duì)稱
C．與直線有公共點(diǎn) D．與直線沒(méi)有公共點(diǎn)
三、填空題
12．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）方程表示的曲線的形狀是 ．
13．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，且與圓外切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為 ．
14．（2024·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的曲線的方程為 ．
四、解答題
15．（2023高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，，連接PA并延長(zhǎng)至Q，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
16．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）如圖，已知等腰三角形中，是的中點(diǎn)，且.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)設(shè)所在直線與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)面積最大且在第一象限時(shí)，求.
17．（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.
18．（23-24高二下·河北保定·開學(xué)考試）已知圓被軸分成兩段弧，弧長(zhǎng)之比為．
(1)求；
(2)若動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．
19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.
(1)求的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線與相切于點(diǎn)，點(diǎn).若點(diǎn)在直線上，且，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)2.4曲線與方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會(huì)“曲線的方程與方程的曲線”的概念. 熟悉求曲線方程的步驟以及利用方程研究曲線的性質(zhì). 3.掌握求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法 1.重點(diǎn):曲線與方程的概念;求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 2.難點(diǎn):分析、判斷曲線與方程的關(guān)系;求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程
知識(shí)點(diǎn)01 曲線的方程與方程的曲線的定義
一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y）=0之間具有如下關(guān)系：
1.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.
則稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線，方程F（x，y）=0為曲線C的方程.
【即學(xué)即練1】（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上，下列命題正確的是（ ）
A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程
B．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程
C．坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)都不在曲線C上
D．曲線C是坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)的軌跡
【答案】C
【分析】根據(jù)曲線與方程的定義和關(guān)系進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，若坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上，則方程的曲線可能只是曲線C的一部分，
此時(shí)曲線C上位于曲線M之外部分的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程，故A選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.
對(duì)于B，命題"不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足程“與已知條件中的命題互為逆否命題.因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題真假相同，所以B選項(xiàng)中的命題正確.
對(duì)于C，由A選項(xiàng)的分析過(guò)程得，曲線C上位于曲線M之外部分的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程，
但這些點(diǎn)在曲線C上，故C選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.
對(duì)于D，由A選項(xiàng)的分析過(guò)程可知，D選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.
.
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國(guó)·課堂例題）分析下列曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系：
(1)與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點(diǎn)與方程之間的關(guān)系；
(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)與方程之間的關(guān)系．
【答案】(1)與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是．
(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是．
【詳解】（1）與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿足方程，如點(diǎn)，
但以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定滿足與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5．
因此，與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是．
（2）第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足；
反之，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第二、四象限兩軸夾角平分線上．
因此，第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是．
知識(shí)點(diǎn)02兩曲線的交點(diǎn)
己知兩條曲線C1和C2的方程分別為F（x，y）=0，G（x，y）=0，求兩條曲線C1和C2的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組，求方程組的實(shí)數(shù)解就可以得到.
【即學(xué)即練3】（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）曲線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ．
【答案】
【分析】聯(lián)立方程，方程組解的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【詳解】由可得，，所以或，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)是．
故答案為：．
【即學(xué)即練4】（23-24高三上·青海西寧·期中）已知，，為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到方程，整理即可得解．
【詳解】設(shè)，由，則，
即，
即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
故答案為：．
知識(shí)點(diǎn)03 點(diǎn)的軌跡方程
曲線一般都可以看成動(dòng)點(diǎn)依某種條件運(yùn)動(dòng)的軌跡,曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程.
【即學(xué)即練5】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）等腰三角形底邊兩端點(diǎn)分別為，頂點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．一條直線 B．一條直線去掉一點(diǎn) C．一個(gè)點(diǎn) D．兩個(gè)點(diǎn)
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)分析即可.
【詳解】為等腰三角形且為底邊，點(diǎn)在的中垂線上．
又為的中點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形，點(diǎn)的軌跡應(yīng)是一條直線去掉一點(diǎn)．
【即學(xué)即練6】（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷直線與曲線是否相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為：和.
【分析】聯(lián)立方程，運(yùn)用代入法進(jìn)行消元，通過(guò)方程是否有解進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】將直線方程與曲線方程聯(lián)立得：，
解得，或，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
因此直線與曲線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為：和.
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用
示例1：（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的圖象是四葉草曲線，設(shè)為E上任意一點(diǎn)，且滿足或，則任取一點(diǎn)P，該點(diǎn)為格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的概率為 ．
【答案】
【分析】由題意明確曲線的性質(zhì)，確定符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.
【詳解】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
可知，故滿足且的點(diǎn)P僅有，共5個(gè)．
令，則，由于的圖象關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱，
因此只需研究第一象限圖象上橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的情況，
令，則，不妨設(shè)，則有，
令，則有，化簡(jiǎn)有，解得或，
則有兩個(gè)正根1，．
故結(jié)合曲線對(duì)稱性可知在第一象限，橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)共有3個(gè)：．
故整個(gè)曲線上橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)共有13個(gè)，
所以任取一點(diǎn)P，該點(diǎn)為格點(diǎn)的概率為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是明確四葉草曲線的對(duì)稱性，由此確定符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【題型1：曲線方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上，則下列命題中正確的是（ ）
A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程
B．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程
C．凡坐標(biāo)不適合方程的點(diǎn)都不在曲線C上
D．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合方程
【答案】C
【分析】由逆否命題的真假性的關(guān)系結(jié)合曲線與方程的定義逐一判斷即可.
【詳解】由于“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上”與“不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程”互為逆否命題，
所以“不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程”是正確的，故B對(duì)，D錯(cuò)；
對(duì)于點(diǎn)集而言，
不滿足，但它仍然屬于在曲線C上（仍然屬于點(diǎn)集合），故A、C錯(cuò)誤.
.
變式1．（21-22高二上·貴州遵義·期末）設(shè)方程表示的曲線是（ ）
A．一個(gè)圓和一條直線 B．一個(gè)圓和一條射線
C．一個(gè)圓 D．一條直線
【答案】A
【分析】先化簡(jiǎn)題給方程，即可得到其表示的曲線為一條直線.
【詳解】由，可得，
則由，可得，
則方程表示的曲線是一條直線.
變式2．（18-19高二上·安徽蕪湖·期末）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】D
【分析】根據(jù)的范圍以及曲線方程確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，中，中，所以不是相同曲線.
B選項(xiàng)，中，中，所以不是相同曲線.
C選項(xiàng)，，是相同曲線，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，中，中，，所以不是相同曲線.
變式3．（2014高三·全國(guó)·專題練習(xí)）方程表示的曲線是（　　）
A．—個(gè)圓 B．兩個(gè)圓
C．一個(gè)半圓 D．兩個(gè)半圓
【答案】A
【分析】方程可化為，去絕對(duì)值分，兩種情況解決即可.
【詳解】方程可化為，
因?yàn)椋?br/>所以或，
若時(shí)，則方程為；
若時(shí)，則方程為，
變式4．(多選)（22-23高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知曲線，則（ ）
A．曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 B．曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱
C．或 D．
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，利用對(duì)稱性質(zhì)判斷即可，取特殊點(diǎn)驗(yàn)證即可B選項(xiàng)；
將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，由方程有解即可判斷C選項(xiàng)；
換元法，令，則代入原方程中，利用方程有解判別式
解之即可得D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
所以點(diǎn)滿足，
所以A正確；
若，因?yàn)辄c(diǎn)不滿足C的方程，
所以B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以或，所以C正確；
設(shè)，則，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以D正確．
CD
變式5．（20-21高二上·上海徐匯·期末）已知曲線對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)，定義．若兩點(diǎn)滿足，稱點(diǎn)在曲線兩側(cè)．記到點(diǎn)與到軸距離和為5的點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點(diǎn)在曲線兩側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】6＜a＜24．
【分析】到點(diǎn)與到軸距離和為5的點(diǎn)的軌跡為曲線，求出軌跡方程.分類討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，利用，求解的范圍．
【詳解】設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為，則，
化簡(jiǎn)得曲線C的方程為和.
其軌跡為兩段拋物線弧
當(dāng)時(shí)，∈[6﹣a，24﹣a]；
當(dāng)時(shí)，∈[6﹣a，24﹣a]；
故若有，則．
故答案為：6＜a＜24．
變式6．（22-23高三·全國(guó)·課后作業(yè)）方程表示的曲線是 .
【答案】直線和單位圓
【分析】由方程即可求解.
【詳解】由方程可得：或，
所以方程表示的曲線是直線和單位圓，
故答案為：直線和單位圓.
變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）判斷下列命題是否正確．
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程是；
(2)過(guò)點(diǎn)平行于軸的直線的方程為．
【答案】(1)不正確
(2)不正確
【分析】（1）利用圓的方程定義判斷即可.
（2）利用直線方程的定義判斷即可.
【詳解】（1）不正確．
設(shè)是方程的解，則，即，
兩邊開平方取算術(shù)平方根，得，即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于，
點(diǎn)是這個(gè)圓上的點(diǎn)，因此滿足以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)；
但是，以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上的一點(diǎn)如點(diǎn)在圓上，
卻不是的解，這就不滿足曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，
所以以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程不是，而應(yīng)是．
（2）不正確．
直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；
但是坐標(biāo)滿足的點(diǎn)，不一定在直線上，如點(diǎn)不在直線上，
因此不是直線的方程，直線的方程應(yīng)為．
【方法技巧與總結(jié)】
從集合的意義上來(lái)理解曲線和方程的概念
如果把直角坐標(biāo)平面內(nèi)曲線上的點(diǎn)所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對(duì)應(yīng)的集合記作B，那么曲線和方程之間的兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，反映在集合A和B之間的關(guān)系上，就是AB且BA，即A=B.
從集合相等的意義上來(lái)理解上述兩條規(guī)定的必要性，有助于掌握曲線和方程的概念.
【題型2：由方程研究曲線的性質(zhì)】
例2．已知曲線的方程為，則曲線關(guān)于（ ）對(duì)稱
A．軸 B．軸 C．原點(diǎn) D．直線
【答案】C
【分析】利用坐標(biāo)互換一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】曲線的方程為，
將換為不變，原方程仍為，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱；
將換為不變，原方程變?yōu)椋郧€不關(guān)于軸對(duì)稱；
將換為換為，原方程變?yōu)椋郧€不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
將換為換為，原方程變?yōu)椋?br/>所以曲線不關(guān)于直線對(duì)稱．
故選:B．
變式1．已知曲線C方程為，則曲線C關(guān)于（ ）
A．x軸對(duì)稱 B．y軸對(duì)稱 C．原點(diǎn)對(duì)稱 D．對(duì)稱
【答案】C
【分析】用軸對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱的定義逐一判斷即可.
【詳解】用替換方程中的y，方程變?yōu)椋?br/>與原方程不同，故曲線C不關(guān)于軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
用替換方程中的x，方程可化為為，
與原方程相同，故曲線C關(guān)于軸對(duì)稱，故B正確；
用和替換方程中的和，化簡(jiǎn)后方程變?yōu)椋?br/>故曲線C不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；
用y替換方程中的x，同時(shí)用x替換方程中的y，方程變?yōu)椋?br/>故C不關(guān)于直線對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.
.
變式2．關(guān)于方程所表示的曲線，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱 C．關(guān)于對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱變換的方法逐項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，用換方程中的，得，方程發(fā)生變化，即曲線關(guān)于軸不對(duì)稱，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，用換方程中的，得，方程發(fā)生變化，即曲線關(guān)于軸不對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，用換，換，得，方程發(fā)生變化，即曲線關(guān)于軸不對(duì)稱，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將點(diǎn)代入原方程仍為，因此曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱D正確.
變式3．兩個(gè)曲線方程：，：，我們可以推斷出它們的性質(zhì)，其中錯(cuò)誤的是（　　）
A．曲線關(guān)于yx對(duì)稱
B．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積
D．曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積
【答案】A
【分析】在曲線上任取一點(diǎn)，驗(yàn)證點(diǎn)也在曲線上，可判斷A的正誤；在曲線上任取一點(diǎn)，驗(yàn)證點(diǎn)也在曲線上，可判斷B的正誤；比較曲線與直線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積的大小，可判斷C的正誤；曲線與圓與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積的大小，可判斷D的正誤.
【詳解】A．在曲線上任取一點(diǎn)，則，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，且，
所以曲線關(guān)于對(duì)稱，故A正確；
B．在曲線上任取一點(diǎn)，則a4+b41，
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，
所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
C．對(duì)于等式，可得，同理可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在曲線上任取一點(diǎn)，
則，即點(diǎn)在直線的下方，如下圖所示．

直線交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，
所以，故C正確；
D．在曲線上任取一點(diǎn)，
因?yàn)椋瑒t，，
則，即點(diǎn)在圓外，如下圖所示．

圓在第一象限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域的面積為，
所以，故D錯(cuò)誤．
．
變式4．（多選）某曲線C的方程為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．曲線C關(guān)于對(duì)稱
B．曲線C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是2
C．曲線C與直線交于A、B兩點(diǎn)，則
D．點(diǎn)在曲線C上，則的取值范圍為
【答案】AD
【分析】對(duì)A，交換，即可判斷；對(duì)B，利用判斷式法即可判斷；對(duì)C，將直線方程與曲線C方程聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)即可；對(duì)D，利用基本不等式將其轉(zhuǎn)化為求的范圍即可.
【詳解】對(duì)于A：將，互換代入曲線，
得，方程不變，所以曲線關(guān)于對(duì)稱，所以A選項(xiàng)正確：
對(duì)于B：，即，
將其看成關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)判別式法得，
解得，若，則，此時(shí)，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C：將代入方程，
可得，即，解得或，
所以，
則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)椋?br/>由題意可知，即，
又因?yàn)椋?br/>所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)不成立；
因?yàn)椋瑒t，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)不成立；
則，此時(shí)，
即，所以D選項(xiàng)正確.
故選:ABD.
變式5．（多選）下列四個(gè)方程所表示的曲線中既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】依次將，代入曲線方程驗(yàn)證方程是否不成立即可.
【詳解】關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為；
對(duì)于A，，，
既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱，A正確；
對(duì)于B，，，
不關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，
既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱，C正確；
對(duì)于D，，，
關(guān)于軸對(duì)稱，不關(guān)于軸對(duì)稱，D錯(cuò)誤.
C.
變式6．（多選）已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（ ）.
A．曲線關(guān)于對(duì)稱
B．的最小值為
C．曲線的周長(zhǎng)為
D．曲線圍成的圖形面積為
【答案】ABD
【分析】確定方程表示的曲線，根據(jù)對(duì)稱性判斷A；利用的幾何意義判斷B；計(jì)算曲線的周長(zhǎng)與所圍圖形面積判斷CD．
【詳解】對(duì)于A，設(shè)是曲線上的任一點(diǎn)，則，
則，即點(diǎn)也在曲線上，
而點(diǎn)與是關(guān)于對(duì)稱的，由的任意性，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程化為，
即，其中，表示一條線段，
同理當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，
方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，
則方程表示的曲線是以為頂點(diǎn)的菱形，如圖，
表示菱形上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，原點(diǎn)到的距離為斜邊上的高，
因此的最小值為，B正確；
對(duì)于C，菱形的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，菱形的面積為，D正確．
BD
變式7．設(shè)曲線C的方程為：，一般有如下規(guī)律：
①如果以代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于 對(duì)稱；
②如果以代替x，方程保持不變，那么曲線關(guān)于 對(duì)稱；
③如果同時(shí)以代替x，以代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于 對(duì)稱．
例：曲線C的方程為：，則曲線C關(guān)于 對(duì)稱.
【答案】 x軸 y軸 原點(diǎn) 原點(diǎn)
【方法技巧與總結(jié)】
求曲線方程的步驟
1.建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)
2.寫集合：寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化簡(jiǎn):化方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式
5.證明:說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上
【題型3：曲線交點(diǎn)問(wèn)題】
例3.作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為x3 + y3－3axy = 0.某同學(xué)對(duì)a = 1情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到了下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（ ）
A．曲線不經(jīng)過(guò)第三象限 B．曲線關(guān)于直線y = x對(duì)稱
C．曲線與直線x + y =－1有公共點(diǎn) D．曲線與直線x + y =－1沒(méi)有公共點(diǎn)
【答案】D
【分析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，判斷是否可能不成立即可；對(duì)于B：將點(diǎn)代入方程，判斷與原方程是否相同即可；對(duì)于C、D：聯(lián)立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.
【詳解】當(dāng)，則方程為
對(duì)于A：若，則，
所以，即曲線不經(jīng)過(guò)第三象限，故A正確；
對(duì)于B：將點(diǎn)代入方程得，
所以曲線關(guān)于直線y = x對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C、D：聯(lián)立方程，
由可得，
將代入方程可得，
所以方程組無(wú)解，即曲線與直線x + y =－1沒(méi)有公共點(diǎn)，
故C錯(cuò)誤，D正確；
.
變式1．曲線和公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出曲線和的圖形，可得出結(jié)論.
【詳解】由可得，曲線表示圓的上半圓，
如下圖所示：
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，
所以，曲線與直線相切，且切點(diǎn)在第一象限.
.
變式2．(多選)作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為.某同學(xué)對(duì)情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到了下列結(jié)論，其中正確的是( )
A．曲線不經(jīng)過(guò)第三象限
B．曲線關(guān)于直線對(duì)稱
C．曲線與直線有公共點(diǎn)
D．曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)
【答案】ABD
【分析】A：當(dāng)時(shí)，判斷是否可能不成立即可；
B：將點(diǎn)(y，x)代入方程，判斷與原方程是否相同即可；
C、D：聯(lián)立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故第三象限內(nèi)的點(diǎn)不可能在曲線上，A選項(xiàng)正確；
將點(diǎn)代入曲線有程得，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)正確；
聯(lián)立其中，
將代入得，即，則方程組無(wú)解，故曲線與直線無(wú)公共點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.
BD.
變式3．（多選）給定下列四條曲線中，與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的曲線是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】分別將直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組求解即可
【詳解】對(duì)于A，由，得，因?yàn)椋苑匠探M只有一組解，所以直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以A正確，
對(duì)于B，將直線方程代入中整理得，方程組只有一組解，所以直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以B正確，
對(duì)于C，將直線方程代入中整理得，因?yàn)椋苑匠探M只有一組解，所以直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以C正確，
對(duì)于D，將直線方程代入中整理得，因?yàn)椋苑匠探M有兩組解，所以直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤，
BC
變式4．曲線上存在四個(gè)點(diǎn)滿足四邊形是正方形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意可得與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，聯(lián)立即可求解.
【詳解】由題意可得與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
聯(lián)立，可得.
易知，故，
要與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得,解得.
故答案為:.
變式5．關(guān)于曲線：，有如下結(jié)論：
①曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ②曲線關(guān)于直線對(duì)稱；
③曲線是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于；
④曲線不是封閉圖形，且它與圓無(wú)公共點(diǎn)；
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為 .
【答案】①②④
【分析】利用曲線方程的性質(zhì)，對(duì)稱性的應(yīng)用及曲線間的位置關(guān)系即可判斷上述結(jié)論是否正確.
【詳解】對(duì)于①，將方程中的換為，換為，得，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；
對(duì)于②，將方程中的換為或，換為或，得，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故②正確；
對(duì)于③，由得，即，同理，顯然曲線不是封閉圖形，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由③知曲線不是封閉圖形，聯(lián)立，消去，得，令，則上式轉(zhuǎn)化為，由可知方程無(wú)解，因此曲線與圓無(wú)公共點(diǎn)，故④正確.
故答案為：①②④.
變式6．直線與曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】和.
【分析】聯(lián)立方程，運(yùn)用代入法進(jìn)行消元，通過(guò)方程是否有解進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】將直線方程與曲線方程聯(lián)立得：，
解得，或，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
因此直線與曲線交點(diǎn)坐標(biāo)為：和.
故答案為：和
變式7．已知曲線的方程是，曲線的方程是，判斷與是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．
【答案】與有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為、、
【分析】聯(lián)立兩曲線的方程，求出方程組的公共解，即可得出結(jié)論.
【詳解】解：聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組，
解方程組可得或或，
因此與有三個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)坐標(biāo)為、、.
【題型4：軌跡方程問(wèn)題】
例4．（24-25高三上·河北張家口·開學(xué)考試）已知兩點(diǎn)坐標(biāo)分別.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是3，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題先設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)斜率之和為3列出方程，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則直線的斜率為，直線的斜率為，
依據(jù)題意可知，，化簡(jiǎn)得：，
因?yàn)橹本€、的斜率存在，所以，
所以，
.
變式1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線和直線：，則兩直線交點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】
【分析】聯(lián)立兩直線方程用表示交點(diǎn)坐標(biāo)，再消元化簡(jiǎn)即可.
【詳解】聯(lián)立兩直線方程得,
解之得，消去參數(shù)得，
所以兩直線交點(diǎn)的軌跡方程為：．
故答案為：.
變式2．（23-24高二下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接點(diǎn)P與定點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程．
【答案】
【分析】根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法，利用中點(diǎn)坐標(biāo)找到動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)的軌跡方程化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】設(shè),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,
可得，
由于在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，
即，
所以M的軌跡方程為.
變式3．（24-25高二上·全國(guó)·課堂例題）動(dòng)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】
【分析】設(shè)出M和P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把M點(diǎn)的坐標(biāo)用P點(diǎn)的坐標(biāo)和常數(shù)表示，再由M在定圓上，把M的坐標(biāo)代入圓的方程整理后即可得到答案.
【詳解】設(shè)，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，
又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，
所以．
所以點(diǎn)的軌跡方程為即.
變式4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓．
(1)求直線與圓相交時(shí)，它的斜率的取值范圍；
(2)當(dāng)與圓相交于不同的兩點(diǎn)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可；
（2）設(shè)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理用坐標(biāo)表示M坐標(biāo)，消參化簡(jiǎn)即可.
【詳解】（1）圓，整理可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2．
設(shè)直線的方程為，即，
直線與圓相交，
圓心到直線的距離，
解得，
即的取值范圍是；
（2）由（1）知直線的方程為，．
設(shè),
將直線與圓的方程聯(lián)立，可得．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以．
線段的中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為，
其中，則，即
消去得，
線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為，其中．
變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課堂例題）在等腰中，若一腰的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，為頂點(diǎn)，求另一腰的一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】（且）
【分析】設(shè)，求出，則，化簡(jiǎn)后再去掉個(gè)別點(diǎn)即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
為等腰三角形，且為頂點(diǎn)，．
又，
，
．
又點(diǎn)不能與點(diǎn)重合，也不能使，，三點(diǎn)共線．
且，
點(diǎn)的軌跡方程為（且）．
變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】
【分析】設(shè)P坐標(biāo)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的點(diǎn)斜式方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示P坐標(biāo)，消參即可得P軌跡方程，再驗(yàn)證斜率不存在時(shí)即可.
【詳解】解:設(shè)是所求軌跡上的任一點(diǎn)
①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．
由得，則，
由得，即，
消去得．
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也適合方程．
綜上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．
變式7．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）①過(guò)點(diǎn)，②圓G恒被直線平分，③與y軸相切；在以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.
已知圓G經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且_____.
(1)求圓G的一般方程：
(2)設(shè)，P是圓G上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明表示何曲線 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)，M的軌跡是一個(gè)圓.
【分析】（1）設(shè)出圓的方程，根據(jù)條件構(gòu)造方程，運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）畫出圖形，運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法求解即可.
【詳解】（1）方案一：選條件①.
設(shè)圓的方程為，
則，解得，
則圓G的方程為.
方案二：選條件②
直線恒過(guò)點(diǎn).
因?yàn)閳AG恒被直線平分，所以恒過(guò)圓心，
所以圓心坐標(biāo)為，又圓G經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以圓的半徑，所以圓G的方程為，即.
方案三：選條件③
設(shè)圓G的方程為，
由題意可得，解得，
則圓G的方程為，即.
（2）設(shè)，因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)P是圓G上的動(dòng)點(diǎn)，所以，
即，
所以M的軌跡是一個(gè)圓.

【方法技巧與總結(jié)】
1.直接法
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時(shí)，在設(shè)出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）后，可根據(jù)題設(shè)條件將普通語(yǔ)言運(yùn)用基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、面積公式等）變換成表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）間的關(guān)系式（等式）的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，從而得到軌跡方程．這種求軌跡方程的方法稱為直接法.直接法求軌跡方程經(jīng)常要聯(lián)系平面圖形的性質(zhì).
2.定義法
若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求解，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.
3.代入法
若所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與另一個(gè)已知曲線C：F（x，y）=0上的動(dòng)點(diǎn)Q （x1， y1）存在著某種聯(lián)系，可把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入已知曲線C的方程F（x，y）=0，化簡(jiǎn)即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為代入法（又稱相關(guān)點(diǎn)法）.
4.參數(shù)法
如果所求軌跡的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒(méi)有相關(guān)信息可用時(shí)，可先考慮將x，y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來(lái)表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).
注意：①參數(shù)的取值范圍影響著方程中x和y的取值范圍. ②化簡(jiǎn)方程前后要注意等價(jià)性.
一、單選題
1．（24-25高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）方程的曲線是（ ）
A．一個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線
C．一條直線 D．兩條直線
【答案】A
【分析】變形給定方程，即可判斷得解.
【詳解】方程，化為，則或，
所以方程的曲線是直線和直線.
2．（22-23高二·全國(guó)·課后作業(yè)）到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于2的點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于2，列出等式即可求解.
【詳解】設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為，則有，即，
故選:B.
3．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若曲線C的方程是，則曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱的曲線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用代換曲線C的方程中的，得到，即可求解.
【詳解】根據(jù)曲線的對(duì)稱性質(zhì)得，用代換曲線C的方程是中的，可得，
則曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱的曲線方程.
.
4．（21-22高二下·河南鄭州·期中）將曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到的曲線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)曲線變換原則可直接得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)為上的任意一點(diǎn)，為變換后的曲線上與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，
則，，，，，
即所得的曲線方程為：.
.
5．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若曲線C的方程為，則下列各點(diǎn)中，在曲線C上的點(diǎn)是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)與曲線的關(guān)系即可求解.
【詳解】對(duì)于A，將代入方程，所以點(diǎn)在曲線上，故A正確；
對(duì)于B，將代入方程，所以點(diǎn)不在曲線上，故B不正確；
對(duì)于C，將代入方程，所以點(diǎn)不在曲線上，故C不正確；
對(duì)于D，將代入方程，所以點(diǎn)不在曲線上，故D不正確；
.
6．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(1，0)，直線l：y2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為( )
A．y－2x B．y2x C．y2x－8 D．y2x＋4
【答案】C
【分析】用相關(guān)點(diǎn)法即可求解，設(shè)P為(x,y)，通過(guò)將R點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，R坐標(biāo)滿足l方程，代入即可得到答案﹒
【詳解】設(shè)P(x,y)，，由知，點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn)，
∴，即，
∵點(diǎn)在直線y2x－4上，∴，
∴－y2(2－x)－4，即y2x．
﹒
7．（21-22高二上·貴州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，，利用求出軌跡方程.
【詳解】 ， ，
，
又動(dòng)點(diǎn)滿足
兩邊平方后可得
整理后可得：
8．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知：平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是，
二、多選題
9．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）若曲線是由方程和共同構(gòu)成，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．曲線圍成的圖形面積為
B．若點(diǎn)在曲線上，則的取值區(qū)間是
C．若與直線有公共點(diǎn)，則
D．若圓能覆蓋曲線，則的最小值為2
【答案】ABC
【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線的圖形，利用圖形的對(duì)稱性，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】由， ，得或，
當(dāng)時(shí)，，，是圓心為，半徑為1的半圓，
同理可得的其他部分，分別為圓心為半徑為1的半圓，圓心為半徑為1的半圓，圓心為半徑為1的半圓；
作曲線的圖形如下圖：
圖中虛線部分是邊長(zhǎng)為2的正方形；
對(duì)于A，圖形的面積，錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由圖可知的取值范圍是,，錯(cuò)誤；
對(duì)于C,根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)直線與相切時(shí)，此時(shí)
或（舍去），
故要使曲線與直線有公共點(diǎn)，則，C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，覆蓋住曲線的圓的半徑的最小值顯然是2，正確；
BC．
10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．曲線的方程為 B．直線與曲線的位置關(guān)系無(wú)法確定
C．若直線與曲線相交，其弦長(zhǎng)為4，則 D．的最大值為3
【答案】AD
【分析】設(shè)，代入，得曲線的方程判斷選項(xiàng)A；由直線過(guò)的定點(diǎn)，判斷直線與曲線的位置關(guān)系，驗(yàn)證選項(xiàng)B；由弦長(zhǎng)與直徑相等得直線過(guò)圓心，圓心代入直線方程求解k，驗(yàn)證選項(xiàng)C；的最大值為B點(diǎn)到圓心距離加上半徑，計(jì)算驗(yàn)證選項(xiàng)D.
【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，則，化簡(jiǎn)得， A選項(xiàng)正確；
直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與曲線相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
弦長(zhǎng)為4，等于圓的直徑，圓心在上，代入直線方程得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，圓心，半徑為2，， D選項(xiàng)正確.
D
11．（22-23高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河.他研究了許多優(yōu)美的曲線，在平面直角坐標(biāo)系中，方程所表示的曲線稱為笛卡爾葉形線.當(dāng)時(shí)，笛卡爾葉形線具有的性質(zhì)是（ ）
A．經(jīng)過(guò)第三象限 B．關(guān)于直線對(duì)稱
C．與直線有公共點(diǎn) D．與直線沒(méi)有公共點(diǎn)
【答案】CD
【分析】根據(jù)笛卡爾葉形線的方程，即可判斷AB，聯(lián)立直線與笛卡爾葉形線的方程，通過(guò)方程的根可判斷CD.
【詳解】當(dāng)時(shí), 笛卡爾葉形線為，
A：若，則，故不經(jīng)過(guò)第三象限，故A錯(cuò)誤，
B：若點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)也在曲線上.故笛卡爾葉形線關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確，
C,D：由方程組 得 ，此方程組無(wú)解，故笛卡爾葉形線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，故D正確，C錯(cuò)誤，
D
三、填空題
12．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）方程表示的曲線的形狀是 ．
【答案】?jī)蓷l線段
【分析】直接平方化簡(jiǎn)，結(jié)合二次根式的意義計(jì)算與直線的表示方法即可得解.
【詳解】由已知方程兩邊平方得，
結(jié)合.
∴方程表示的曲線是兩條線段．
故答案為：兩條線段.
13．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，且與圓外切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)，且圓的圓心，由題意，即，得點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，計(jì)算得出方程.
【詳解】點(diǎn)，且圓的圓心，半徑為2，
由題意，即，
所以點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，，
得，故圓心P的軌跡方程為．
故答案為：.
14．（2024·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的曲線的方程為 ．
【答案】.
【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意列出等式，化簡(jiǎn)即可求得軌跡方程.
【詳解】設(shè)，則由可得，化簡(jiǎn)得.
故答案為：.
四、解答題
15．（2023高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，，連接PA并延長(zhǎng)至Q，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
【答案】
【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)，得到，，利用代入法求解.
【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，
則，
因?yàn)椋?br/>所以，，
解得，，
代入得，
整理得，
所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為．
16．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）如圖，已知等腰三角形中，是的中點(diǎn)，且.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)設(shè)所在直線與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)面積最大且在第一象限時(shí)，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式利用化簡(jiǎn)整理可得點(diǎn)的軌跡的方程為；
（2）求出面積最大時(shí)點(diǎn)，可得的直線方程為，再由弦長(zhǎng)公式可得結(jié)果.
【詳解】（1）易知，
即，
整理可得，
即點(diǎn)的軌跡的方程為
（2）如下圖所示:
由題意可得，當(dāng)?shù)骄嚯x最大時(shí)，即縱坐標(biāo)最大時(shí)滿足題意，此時(shí)；
所以所在直線方程為
圓心到直線的距離
可得.
17．（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)，即可求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求弦長(zhǎng)和原點(diǎn)O到直線的距離，表示出的面積，列方程求出的值，可得直線的方程.
【詳解】（1）設(shè)，點(diǎn)，則由，得，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為．
（2）軌跡C是以為圓心，2為半徑的圓，
圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng)，
坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，
則有，
解得，即，
求直線的方程為或.
18．（23-24高二下·河北保定·開學(xué)考試）已知圓被軸分成兩段弧，弧長(zhǎng)之比為．
(1)求；
(2)若動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得，據(jù)此即可求解；
（2）求出點(diǎn)的軌跡方程，求出，根據(jù)圓與圓的關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）由題意得，設(shè)圓與軸從左到右依次交于，
由題意得，
則，
所以；
（2）由題意得的軌跡為圓，
易得，因?yàn)椋?br/>所以圓與圓內(nèi)含，故，
即的取值范圍為.
19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.
(1)求的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線與相切于點(diǎn)，點(diǎn).若點(diǎn)在直線上，且，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圓心坐標(biāo)和半徑后可得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由圓的切線，得，所以，化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】（1）由題意，設(shè)的圓心，半徑為，
則
解得：
所以的方程為.
（2）由平面幾何，知為直角三角形，且，
所以.
由，得.
設(shè)，則.
即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
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