資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
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6.4.3　等量代換
教學目標 1.理解掌握利用等式性質進行等量代換求圖形代表的數值的方法。 2.利用等式性質及幾何知識，推導兩角相等。 3.通過學習活動滲透多元方程及幾何證明中的數學思想。
教學 重難點 1.利用等式性質進行等量代換。 2.利用等式性質進行幾何證明。
教學準備 整理的相關信息
目標落實 教師活動 學生活動 二次備課
在教學之前讓學生通過回顧舊知掌握好等式的性質，為后面的等量代換及幾何證明提供理論依據。 一、情境導入 1.同學們，你們還記得“曹沖稱象”的故事嗎？ 2.曹沖稱象運用了一種非常巧妙的數學方法，你知道是什么嗎？ 3.什么是等量代換呢？我們一起來看個視頻。（播放課件） 在古代要一次稱出大象的體重是有困難的，曹沖想到了用同等重量的石頭來代替大象，把稱大象轉換成稱石頭，稱出石頭的重量，也就是大象的重量，這樣的方法就是“等量代換”。 一、發現問題 預設1：學生講述“曹沖稱象”的故事。 預設2：等量代換。 預設3：相等的物品進行替換，就是等量代換。
曹沖稱象的故事之所以傳頌千年，就是因為他能夠運用巧妙的數學方法來解決難題。這節課我們繼續學習“數學思考”，一起來體會數學方法的無窮魅力。 【板書課題】
滲透“化難為易”的數學思想方法，能運用一定的規律解決較復雜的數學問題，進一步積累解決問題的經驗。提高學生歸納推理，探索規律的能力。 二、引導合作 1.出示例題3（1）：△、□、○、☆、◎、各代表一個數。已知△+□=24，△=□+□+□。求△和□的值。 （1）請同學們先讀題，看看從題中你能獲得哪些數學信息？ （2）獨立思考，小組內討論，嘗試解決。 根據這些信息，你能推算出△和□的值嗎？ （3）請學生交流匯報。 （4）小結。 剛才通過等量代換我們把含有兩個未知數的等式轉化成了只含有一個未知數的等式，再通過等式的性質求出了△和□的值。 2.出示第101頁例題3（2）。 已知○+☆=160，◎+☆=160。○是否等于◎？ （1）先讀題，從題中你發現了什么？ （2）你覺得○和◎相等嗎？相信很多同學都感覺出○和◎是相等的，可為什么會相等，你能說清其中的道理嗎？ （3）小結。運用等量代換和等式的性質幫助我們解決了數學問題，運用這些方法還能對許多問題做出判斷，我們繼續來感受一下。 3.出示第101頁例4。 （1）同學們，你們知道什么是平角？它是多少度？ （2）平角和直線有什么區別？ （3） 有兩條直線相交于點O，如圖，形成了4個角，分別是∠1、∠2、∠3和∠4。 ①每相鄰的兩個角可以組成一個平角，一共能組成幾個平角？ ②根據這些信息，你能推理出∠1=∠3嗎？ 同學們拿出草稿本想一想，做一做，重點是把推理的過程寫清楚。 二、探究問題 1.活動一： 學生讀題。 預設：從題中我們知道了有5種圖形，每一種圖形各代表了一個數，一個△和一個□相加的和是24，一個△等于三個□的和。要求△和□各代表什么數？ 在△+□=24這個等式中，包含了兩個未知數，我們無法確定這兩個未知數的值。要是能轉化成只有一個未知數的等式就好了。 1個△等于3個□的和，我們可以用等量代換的方法，把1個△代換成3個□的和。那就得到了一個新的等式：□+□+□+□=24。 4個□相加等于24，可以簡便的寫成4×□=24，然后再根據等式的性質，等式兩邊同時除以4，得到□=6，這樣就求出了□的值是6。 一個□等于6，一個△等于3個□相加，所以△=□+□+□的值也就是3個6相加，算出△的值是18。 2.活動二： 學生讀題并思考。 預設：我們發現兩個等式里都有☆，且兩個等式的兩邊都等于160。 兩個等式里都有☆，可以利用等式的性質——等式兩邊同時減去☆，那可以推出○=160-☆，◎=160-☆。因為☆代表的是同一個數，那這兩個160-☆算出的值也必然相等，所以○和◎是相等的。 3.活動三： 預設1：當角的兩邊張開的夾角是180°的時候，這個角就是平角。 預設2：直線是一條直直的線，平角是一個角，它是由一點引出的兩條射線組成的圖形，它的兩條邊的位置在同一條直線上，但并不是說平角就是一條直線。 預設3：平角的兩邊是在一條直線上的，而∠1和∠2合起來的角兩條邊正好在一條直線上，說明∠1和∠2組成了一個平角。同樣的道理∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1也能分別組成平角，一共能組成4個平角。 　因為∠1和∠2，∠2和∠3都能組成平角，那我們可以得到∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°。兩個等式中都有∠2，根據等式的性質，兩個等式的兩邊都減去∠2，可以得到∠1=180°-∠2；∠3=180°-∠2。因為180°-∠2=180°-∠2，所以∠1=∠3。
通過相應練習，培養學生歸納、推理、探索規律的能力。 三、輔導練習 1.基礎練習 （1）△=□+□+□，□=○+○+○+○，△=（　　）個○； （2）△+□=240，△=□+□+□，□=（　　），△=（　　）。 三、解決問題 1.基礎練習 （1）1個△=12個○，我們可以用等量代換的方法，1個□是4個○相加，把前面這個等式里的□替換成○，3個□就是3個4相加等于12個○，所以1個△=12個○。 （2）□=60，△=180。同樣是用等量代換的方法，把前面這個等式里的△代換成3個□，加上原有的一個□，一共4個□=240，兩邊同時除以4，240÷4=60，所以□=60，△等于三個□的和，也就是3個60的和等于180。
逐步形成知識網絡，掌握一定的數學方法、數學思想，進一步發展學生的推理意識。 2.變式練習 課本103頁第8題。 ○、□、△各代表一個數，根據下面的已知條件，求○、□、△的值。 （1）○+□=91 △+□=63 △+○=46 （2）□-○=8 □+○=12 △=□+□+○ 2.變式練習 （1）把三個等式的兩邊分別相加 ○+□+△+□+△+○=91+63+46 2×○+2×□+2×△=200 運用乘法分配率寫成， 2（○+□+△）=200 兩邊再同時除以2， 得○+□+△=100。 因為○+□=91，所以△=100-91=9；因為△+□=63，所以○=100-63=37； 算出了△和○，直接用100-9-37=54就是□的值。 （2）從前面的兩個等式中發現兩個等式中都有□和○，如果能求出□和○的值，那就能求出△的值了。同樣我們把前兩個等式的左右兩邊分別相加□-○+□+○=8+12，得出2×□=20；等式兩邊同時除以2，得到1個□=10。把□的值代入第二個等式，因為□+○=12，得到○=2。把這兩個值分別代入第三個等式，得到△=□+□+○=10+10+2=22。
3.提升練習 如圖，把三角形ABC的邊BC延長到點D。 （1）∠3和∠4拼成的是什么角？ （2）你能說明∠1+∠2=∠4嗎？ 3.提升練習 （1）∠3和∠4拼成的角，角的兩邊在一條直線上，所以能判斷出拼成的角是平角。 （2）因為∠3和∠4拼成的是平角，所以可以得到∠3+∠4=180°；從圖中可以知道∠1、∠2、∠3是三角形ABC的內角，根據三角形的內角和是180°，可以得到∠1+∠2+∠3=180°，由于∠3+∠4=180°和∠1+∠2+∠3=180°，這兩個等式中都有∠3，可以運用等式的性質，在兩個等式的兩邊同時減去∠3，可以得到∠4=180°-∠3，∠1+∠2=180°-∠3。因為180°-∠3=180°-∠3，所以∠1+∠2=∠4。
對本節課的相關知識和方法進行歸納匯總和鞏固。 四、引導反思 同學們，通過今天的學習讓我們進一步體會到了數學思想方法在解決問題中的作用和價值。通過這節課的學習，你收獲了什么？ 四、提升問題 預設：學會了運用等式的性質進行等量代換和幾何證明
板書設計 等量代換 △+□=24，△=□+□+□ □+□+□+□=24 □=6，△=18
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