資源簡介

第十章 二元一次方程組
數(shù)學(xué)活動4：二元一次方程的“圖象”及輪胎換位問題
1．會把二元一次方程的解在平面直角坐標(biāo)系中運用點的坐標(biāo)表示出來．
2．能通過兩條直線的交點情況確定二元一次方程組的解的情況．
3．從方程到直線，從點的坐標(biāo)到方程組的解，體會數(shù)形結(jié)合思想．
4．培養(yǎng)學(xué)生樂于探究的鉆研精神，培養(yǎng)幾何直觀、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)．
5．了解輪胎換位的實際意義，增強對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.
重點：二元一次方程的圖象是一條直線．　
難點：利用圖象法求二元一次方程組的解．
一、導(dǎo)入新課
知識鏈接
我們知道坐標(biāo)平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的，那么我們能否把二元一次方程的解作為點的坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)找出相應(yīng)的點，然后借助于圖形的直觀性來確定二元一次方程（組）的解與兩方程對應(yīng)的圖象特征呢？
創(chuàng)設(shè)情境——見配套課件
二、合作探究
探究點一：二元一次方程的“圖象”
思考：在平面直角坐標(biāo)系中，你能把二元一次方程x－y＝0的一個解用一個點表示出來嗎？
問題1：你能說出二元一次方程x－y＝0的一些解嗎？
問題2：你能把二元一次方程x－y＝0的這些解用有序數(shù)對表示出來嗎？
問題3：標(biāo)出一些以方程x－y＝0的解為坐標(biāo)的點，過這些點中的任意兩點作直線，你有什么發(fā)現(xiàn)？
問題4：在這條直線上任取一點，這個點的坐標(biāo)是方程x－y＝0的解嗎？
問題5：描出的點都在同一條直線上，你發(fā)現(xiàn)了什么？
問題6：請你任意畫出一個二元一次方程的圖象，并觀察圖象是什么幾何圖形？
（答案在課件中展示）
探究點二：二元一次方程組的“圖象”
活動：請你在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出二元一次方程組中的兩個二元一次方程的圖象．
問題1：任何一個二元一次方程的圖象都是一條直線，那么怎樣快速地畫出它的圖象呢？
問題2：點A（2，0），B（0，4），C（0，1），D（－1，0），E（1，2）在哪個圖象上？是哪個方程的解？
問題3：通過這兩個二元一次方程的圖象，你能得出這個二元一次方程組的解嗎？
（答案在課件中展示）
要點歸納：（1）以一個二元一次方程的解為坐標(biāo)的點的全體叫作這個方程的圖象．（2）一般地，任何一個二元一次方程的圖象都是一條直線，這條直線上的任意一點的坐標(biāo)都是這個方程的解．（3）兩條直線的交點坐標(biāo)就是這個二元一次方程組的解；方程組的解就是對應(yīng)兩直線的交點坐標(biāo)．　
拓展思考：兩條直線的交點個數(shù)有幾種情況？二元一次方程組的解有幾種情況？二元一次方程組的解的個數(shù)是否與兩條直線的交點個數(shù)存在對應(yīng)關(guān)系？存在一致性？
（1）兩直線相交，方程組有唯一解．
（2）兩直線平行，方程組無解；方程組無解，兩直線平行．
（3）兩直線重合，方程組有無數(shù)個解．
探究點三：用二元一次方程組解決輪胎換位問題
問題情境：資料顯示：汽車前輪輪胎一般應(yīng)在汽車行駛達到60 000 km時報廢，而后輪輪胎應(yīng)在汽車行駛達到80 000 km時報廢，如果在輪胎的使用壽命內(nèi)只交換一次前、后輪胎，那么應(yīng)在汽車行駛里程達到多少時，交換前、后輪胎，能使汽車的兩對輪胎同時報廢？并求出輪胎報廢時汽車的行駛里程．
問題分析：若設(shè)汽車新輪胎開至報廢時的磨損程度為1，前輪胎每行駛1 km磨損，后輪胎每行駛1 km磨損，設(shè)更換前行駛x km，更換后行駛y km，你能列出關(guān)于x和y滿足的方程組嗎？
解得
問題解決：你能求出輪胎報廢時汽車的行駛里程是多少？（x＋y＝ km）
結(jié)論：當(dāng)汽車行駛里程約為 km時更換前后輪胎，能使汽車的兩對輪胎同時報廢，汽車報廢時行駛里程約為 km.
方法探究：你能否用其他方法來解決問題呢？
解：設(shè)汽車行駛了x km后更換輪胎，你能列出關(guān)于x的方程嗎？
（60 000－x）·＝（80 000－x）·，解得x＝.
追問：還可以運用其他方法解決問題嗎？
三、當(dāng)堂檢測
（見配套PPT）
教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生進行探究活動，讓他們在實踐中掌握用圖象法解二元一次方程組的方法．在總結(jié)歸納環(huán)節(jié)，要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓他們自己總結(jié)出解題的方法和注意事項，提高他們的歸納總結(jié)能力．第十章 二元一次方程組
10.3　實際問題與二元一次方程組
第3課時　行程問題與其他問題
1．進一步經(jīng)歷用方程組解決實際問題的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型．
2．利用路程、速度、時間之間的關(guān)系解決實際問題，感知數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用．
重點：認識行程問題中的數(shù)量關(guān)系，列方程解決問題．
難點：用方程組刻畫和解決實際問題．
一、導(dǎo)入新課
創(chuàng)設(shè)情境
小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路．假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60 m，下坡路每分鐘走80 m，上坡路每分鐘走40 m，則他從家里到學(xué)校需11 min，從學(xué)校到家里需14 min.問小華家離學(xué)校多遠？
二、合作探究
探究點一：行程問題
填一填：設(shè)未知數(shù)x，y并填寫下表：
上坡路程 平路路程 下坡路程 總用時
家里到學(xué)校 0 x y 11 min
學(xué)校到家里 y x 0 14 min
問題1：路程、時間、速度三者之間有什么關(guān)系？
（路程＝速度×?xí)r間）
問題2：怎么表示上坡所用時間，平路所用時間，下坡所用時間？它們和總用時有什么關(guān)系？
（所用時間用對應(yīng)的路程除以對應(yīng)的速度；上坡、平路、下坡所用時間加起來就是總用時．）
追問：你能列出二元一次方程組并解決問題嗎？
解得x＋y＝720.
所以小華家離學(xué)校720 m．
甲、乙兩人相距4 km，以各自的速度同時出發(fā)．如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，兩人0.5 h后相遇．試問兩人的速度各是多少？
解：設(shè)甲的速度是每小時x km，乙的速度是每小時y km，由題意得
解得
答：甲的速度是每小時5 km，乙的速度是每小時3 km.
要點歸納：路程＝速度×?xí)r間．追及問題：快車路程－慢車路程＝被追路程．相遇問題：兩者路程之和＝兩者開始的距離．　
兩地相距280 km，一艘輪船在其間航行，順流用14 h，逆流用20 h．求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度．
解：設(shè)這艘船在靜水中的速度為x km/h，水流速度為y km/h，依題意得
解得
答：這艘船在靜水中的速度為17 km/h，水流速度為3 km/h.
要點歸納：順?biāo)L(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度＋水（風(fēng)）速；
逆水（風(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度－水（風(fēng)）速．　
探究點二：其他問題
某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1 200個螺釘或2 000個螺母.1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？
問題1：螺釘和螺母的數(shù)量存在什么關(guān)系？
（螺釘和螺母的數(shù)量之比為1∶2）
問題2：根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出二元一次方程組并求解．
解：設(shè)安排x人生產(chǎn)螺釘，y人生產(chǎn)螺母，依題意得解得
答：安排10人生產(chǎn)螺釘，12人生產(chǎn)螺母．
我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一題，有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛，1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？
解：設(shè)1個大桶可以盛酒x斛，1個小桶可以盛酒y斛，則解得
答：1個大桶可以盛酒斛，1個小桶可以盛酒斛．
三、當(dāng)堂檢測
1．甲、乙兩地相距880千米，小轎車從甲地出發(fā)，2小時后，大客車從乙地出發(fā)相向而行，又經(jīng)過4小時兩車相遇．已知小轎車比大客車每小時多行駛20千米，設(shè)大客車每小時行駛x千米，小轎車每小時行駛y千米，則可列方程組為（D）
A． B．
C. D．
2．A，B兩碼頭之間的距離為120 km，一艘船在兩個碼頭之間航行，順?biāo)叫行枰? h，逆水航行需要5 h，則水流速度是3 km/h.
3．甲、乙兩人勻速騎車從相距60千米的A，B兩地同時出發(fā)，若兩人相向而行，則兩人在出發(fā)2小時后相遇；若兩人同向而行，則甲在出發(fā)后6小時追上乙．則甲的速度為20千米/時．
（其他課堂拓展題，見配套PPT）
四、課堂小結(jié)【板書設(shè)計】
板書設(shè)計
通過問題的解決使學(xué)生進一步認識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，樂于接觸生活環(huán)境中的數(shù)學(xué)信息，愿意參與數(shù)學(xué)話題的研討，從中懂得數(shù)學(xué)的價值，逐步形成運用數(shù)學(xué)的意識．并且通過對問題的解決，增強他們節(jié)約和有效合理利用資源的意識．第十章 二元一次方程組
10.3　實際問題與二元一次方程組
第1課時　和差倍分和銷售問題
1．使學(xué)生會借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，讓學(xué)生再次體會二元一次方程組與現(xiàn)實生活的聯(lián)系和作用．
2．通過應(yīng)用題教學(xué)，學(xué)生進一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中的等量關(guān)系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性．
重點：能根據(jù)題意找出等量關(guān)系，并能根據(jù)題意列二元一次方程組．
難點：正確找出問題中的兩個等量關(guān)系．
一、導(dǎo)入新課
創(chuàng)設(shè)情境
隨著養(yǎng)牛場規(guī)模逐漸擴大，李大叔需聘請飼養(yǎng)員協(xié)助管理現(xiàn)有的42頭大牛和20頭小牛，已知甲種飼養(yǎng)員每人可負責(zé)8頭大牛和4頭小牛，乙種飼養(yǎng)員每人可負責(zé)5頭大牛和2頭小牛，請問李大叔應(yīng)聘請甲、乙兩種飼養(yǎng)員各多少人？
二、合作探究
探究點一：和差倍分問題
問題1：題中有哪些未知量，你如何設(shè)未知數(shù)？
（甲種飼養(yǎng)員和乙種飼養(yǎng)員的人數(shù)未知；設(shè)李大叔應(yīng)聘請甲種飼養(yǎng)員x人，乙種飼養(yǎng)員y人）
問題2：題中有哪些等量關(guān)系？
（甲負責(zé)的大牛數(shù)＋乙負責(zé)的大牛數(shù)＝總大牛數(shù)；
甲負責(zé)的小牛數(shù)＋乙負責(zé)的小牛數(shù)＝總小牛數(shù)）
追問：你能根據(jù)上面的等量關(guān)系列出方程或者方程組解決問題嗎？
解得
答：李大叔應(yīng)聘請甲種飼養(yǎng)員4人，乙種飼養(yǎng)員2人．
某市舉辦中學(xué)生足球比賽，規(guī)定勝一場得3分，平一場得1分．市第二中學(xué)足球隊比賽11場，沒有輸過一場，共得27分，試問該隊勝幾場？平幾場？
分析：勝場＋平場＝總場次；勝分＋平分＝總分數(shù)．
解：設(shè)該隊勝了x場，平了y場．根據(jù)題意得解得
答：該隊勝了8場，平了3場．
要點歸納：1.基本數(shù)量關(guān)系：各部分之和＝全部數(shù)量；
2．方法：明顯關(guān)系詞，如多、少、倍、共、幾分之幾等．　
探究點二：銷售問題
炎炎夏日，隨著氣溫的升高，某空調(diào)專賣店銷售的A，B兩種空調(diào)銷量迅速增長．已知A空調(diào)的進價為0.2萬元/臺，售價為0.5萬元/臺；B空調(diào)的進價為0.4萬元/臺，售價為0.7萬元/臺．今年六月這兩種空調(diào)的銷售總額為206萬元，總利潤為102萬元．問這兩種空調(diào)售出的臺數(shù)分別是多少？
問題1：售價、進價、利潤三者之間有什么關(guān)系？
（利潤＝售價－進價）
問題2：設(shè)A空調(diào)售出x臺，B空調(diào)售出y臺．分別用x，y表示兩種空調(diào)的總售價和總利潤．
（A空調(diào)總售價0.5x萬元，總利潤是0.3x萬元；B空調(diào)總售價0.7y萬元，總利潤是0.3y萬元）
問題3：你能根據(jù)上面的等量關(guān)系列出方程組解決問題嗎？
解得
所以A空調(diào)售出160臺，B空調(diào)售出180臺．
小林在某商店購買商品A，B共二次，購買商品A，B的數(shù)量和費用如下表：
購買商品A的數(shù)量/個 購買商品B數(shù)量/個 購買總費用/元
第一次購物 6 5 1 140
第二次購物 3 7 1 110
求商品A，B的標(biāo)價．
解：設(shè)商品A的標(biāo)價為x元，商品B的標(biāo)價為y元.根據(jù)題意，得解得
答：商品A的標(biāo)價為90元，商品B的標(biāo)價為120元．
要點歸納：標(biāo)價＝進價＋進價×利潤率＝（1＋利潤率）×進價．
售價＝標(biāo)價×（打n折銷售時）.
利潤＝售價－進價．
利潤率＝×100%＝×100%.　
三、當(dāng)堂檢測
1．“六一”兒童節(jié)前夕，某超市用3 360元購進A，B兩種童裝共120套，其中A種童裝每套24元，B種童裝每套36元．若設(shè)購A種童裝x套，B種童裝y套，根據(jù)題意列方程組正確的是B
A. B．
C． D．
2．有大小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次共可運貨15.5噸，5輛大貨車與6輛小貨車一次共可運貨35噸，則每輛小貨車一次可運貨B
A．2噸 B．2.5噸
C．3噸 D．3.5噸
3．甲種電影票每張20元，乙種電影票每張15元．若購買甲、乙兩種電影票共40張，恰好用去700元，則甲種電影票買了20張．
（其他課堂拓展題，見配套PPT）
四、課堂小結(jié)【板書設(shè)計】
板書設(shè)計
本節(jié)課的重點是讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗用方程組解決實際問題的過程，抓住實際問題的等量關(guān)系建立方程組模型．教學(xué)難點是利用相等關(guān)系將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．教學(xué)中，采取了讓學(xué)生通過獨立思考、自主探索、合作交流等方式，在思考、交流等數(shù)學(xué)活動中，養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S方式和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．第十章 二元一次方程組
10.2.2加減消元法解二元一次方程組
1．掌握用加減法解二元一次方程組．
2．使學(xué)生理解加減消元法所體現(xiàn)的“化未知為已知”的化歸思想方法．
重點：如何用加減法解二元一次方程組．
難點：如何運用加減法進行消元．
一、導(dǎo)入新課
創(chuàng)設(shè)情境
請觀察下面的方程組：
（1）　　　（2）
除了代入消元法，你還有別的辦法消去x嗎？
（思考）
二、合作探究
探究點一：同一未知數(shù)的系數(shù)相同或者互為相反數(shù)
問題1：方程組（1）的兩個方程中，y的系數(shù)有什么關(guān)系？（y的系數(shù)相同）
問題2：方程組（2）的兩個方程中，x的系數(shù)有什么關(guān)系？（x的系數(shù)互為相反數(shù)）
問題3：（2x＋y）－（x＋y）＝7－（－4）這個等式成立嗎？
（根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式的兩邊同時加上或減去一個相等的式子，等式仍成立．）
問題4：化簡問題3中的等式，你得到了一個什么方程？
（x＝11，為一元一次方程）
追問：結(jié)合上述例子，總結(jié)加減消元法的概念．
要點歸納：加減消元法：當(dāng)二元一次方程組的兩個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解．這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法，簡稱加減法．　
解二元一次方程組：
解：①－②，得－8y＝8，y＝－1.把y＝－1代入②得，得2x＋3×（－1）＝－1，x＝1.所以這個方程組的解是
教材P96例5，課件出示，學(xué)生獨立思考，老師總結(jié)．
要點歸納：在方程組的兩個方程中，若某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，則可直接把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數(shù)；若某個未知數(shù)的系數(shù)相等，則可直接把這兩個方程的兩邊分別相減，消去這個未知數(shù)．　
探究點二：同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值不相同
請觀察方程組：
問題1：直接加減是否可以消去一個未知數(shù)？為什么？
（同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值不相同無法通過直接加減消去未知數(shù)）
問題2：能否對方程變形，使得兩個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)相反或相同？
（根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式的兩邊同時乘以一個相同的數(shù)，等式仍成立）
追問：如何用加減法消去y？（①×2＋②）
教材P97例7，課件出示，學(xué)生獨立思考，老師總結(jié)
要點歸納：　
探究點三：根據(jù)方程組的特點選擇合適的方法
（1）　（2）
（3） （4）
觀察方程組：
討論1：觀察方程組中各未知數(shù)系數(shù)的特點，能直接用加減法消去一個未知數(shù)嗎？
討論2：分別用代入法和加減法解上面的方程組，討論什么樣的方程適合用代入法，什么樣方程組適合用加減法．
（師生討論，作出總結(jié)）
三、當(dāng)堂檢測
1．方程組由②－①，得正確的方程是（B）
A．3x＝10 B．x＝5
C．3x＝－5 D．x＝－5
2．已知關(guān)于x，y的方程組則y是（A）
A．5 B．2a－5 C．a(chǎn)－5 D．2a
3．已知a，b滿足方程組則3a＋b的值為（A）
A．8 B．4
C．－4 D．－8
（其他課堂拓展題，見配套PPT）
四、課堂小結(jié)【板書設(shè)計】
用加減法解二元一次方程組的步驟：
①變形，使某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等；
②加減消元；
③解一元一次方程；
④求另一個未知數(shù)的值，得方程組的解．
進一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想．選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析問題的能力．第十章 二元一次方程組
10.2.1 代入消元法解二元一次方程組
1．通過解決實際問題，結(jié)合一元一次方程的解法，掌握代入消元法的意義，發(fā)展抽象思維能力和轉(zhuǎn)化遷移思想．
2．會用代入法解二元一次方程組，提高解題能力；在解題過程中滲透代入消元法的化歸思想．
重點：用代入消元法解二元一次方程組．
難點：探索如何用代入法將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元過程．
一、導(dǎo)入新課
創(chuàng)設(shè)情境
一個蘋果和一個梨的質(zhì)量合計300 g，這個蘋果的質(zhì)量加上一個100 g的砝碼恰好與這個梨的質(zhì)量相等，問蘋果和梨的質(zhì)量各是多少？
設(shè)蘋果的質(zhì)量是x g，梨的質(zhì)量是y g，依題意得
怎么解這個方程組呢？（思考）
二、合作探究
探究點一：用一個未知數(shù)表示另外一個未知數(shù)
問題1：你能把方程①改寫成用含x的式子表示y的形式嗎？（y＝300－x）
問題2：你能把方程②改寫成用含y的式子表示x的形式嗎？（x＝y(tǒng)－100）
練習(xí)1.將以下方程用含x的式子表示y或用含y的式子表示x.
（1）x－3y＝6；（2）x＋y＝－2；（3）3x＋2y＝1.
解：（1）x＝3y＋6；y＝.
（2）x＝－y－2；y＝－x－2.
（3）x＝；y＝.
探究點二：用代入法解二元一次方程組
問題1：在情境問題里①②兩個方程中的x和y所表示的意義一樣嗎？（一樣）
問題2：能否把探究點一問題1中所得的式子代入另一個方程中？代入后得到的方程是什么方程？
（把y＝300－x代入②得，x＋100＝300－x.一元一次方程）
問題3：以上做法達到怎樣的目的？
（消去未知數(shù)y，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程）
追問1：解方程x＋100＝300－x的結(jié)果是什么？能否由x的值得出y的值？
（x＝100，把x＝100代入①或者②，解方程得出y＝200）
追問2：結(jié)合上述例子，總結(jié)代入消元法的概念．
要點歸納：代入消元法：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解．這種解二元一次方程組的方法叫作代入消元法，簡稱代入法．
教材P92例1，課件出示，學(xué)生獨立思考，老師總結(jié)．
第一次買3個籃球和1個排球共花費380元，第二次買2個籃球和3個排球共花費440元，求籃球和排球的價格分別是多少元．
解：設(shè)一個籃球的單價是x元，一個排球的單價是y元．根據(jù)題意得由①得y＝380－3x③.把③代入②，得2x＋3（380－3x）＝440.解得x＝100.把x＝100代入③，得y＝80.所以這個方程組的解是答：一個籃球的單價是100元，一個排球的單價是80元．
一種商品分裝在大、小兩種包裝盒內(nèi)，三大盒和四小盒共裝108瓶，兩大盒和三小盒共裝76瓶，大、小包裝盒各裝多少瓶？
（答案在課件中展示）
要點歸納：代入消元法的步驟：
1．從方程組中選取一個系數(shù)比較簡單的方程，把其中的某一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來；
2．把第1步中所得的方程代入另一個方程，消去一個未知數(shù)；
3．解所得的一元一次方程，求得另一個未知數(shù)的值．　
三、當(dāng)堂檢測
1．用代入法解方程組下列說法正確的是B
A．直接把①代入②，消去y
B．直接把①代入②，消去x
C．直接把②代入①，消去y
D．直接把②代入①，消去x
2．代入法解方程組時，代入正確的是C
A．x－2－x＝7 B．x－2－2x＝7
C．x－2＋2x＝7 D．x－2＋x＝7
3．由方程組可得x與y的關(guān)系是A
A．2x＋y＝4 B．2x＋y＝－4
C．2x－y＝4 D．2x－y＝－4
4．方程組的解是．
（其他課堂拓展題，見配套PPT）
四、課堂小結(jié)【板書設(shè)計】
回顧一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程組的解法，使得學(xué)生的探究有很好的認知基礎(chǔ)，探究顯得十分自然流暢．引導(dǎo)學(xué)生充分思考和體驗轉(zhuǎn)化與化歸思想，增強學(xué)生的觀察歸納能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．第十章 二元一次方程組
10.1　二元一次方程組的概念
1．通過提煉實際問題中的數(shù)量關(guān)系，了解二元一次方程（組）及其解的定義，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，鍛煉抽象能力．
2．能夠檢驗一組數(shù)是不是某個二元一次方程組的解，提高綜合應(yīng)用能力，培養(yǎng)嚴謹?shù)慕忸}習(xí)慣．
3．能根據(jù)簡單的實際問題列出二元一次方程組，加強用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實世界的能力，初步培養(yǎng)模型意識的觀念．
重點：二元一次方程（組）及其解的相關(guān)概念．
難點：根據(jù)簡單的實際問題列出二元一次方程組．
一、導(dǎo)入新課
知識鏈接
1．一元一次方程的概念是什么？
（一元一次方程指只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式）
2．什么叫方程的解？
（使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解）
創(chuàng)設(shè)情境：觀看籃球賽視頻，見配套課件，提出問題如下：
籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．某隊在10場比賽中得到16分，那么這個隊勝負分別是多少？
二、合作探究
探究點一：二元一次方程（組）的概念
問題1：對于上面的情境問題嘗試設(shè)一個未知數(shù)，列出一元一次方程．
（設(shè)這個隊勝場為x場，依題意2x＋10－x＝16）
問題2：對于上面的情境問題嘗試設(shè)兩個未知數(shù)，再根據(jù)題意列出方程．你能列出幾個方程？
解：設(shè)這個隊勝了x場，負了y場．
依題意得x＋y＝10①，2x＋y＝16②.
問題3：請仿照一元一次方程的概念給出二元一次方程的概念，并舉例說明．
（含有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫作二元一次方程）
追問1：二元一次方程中的“二元”是指什么？“一次”是指什么？
（二元指的是含有兩個未知數(shù)，一次指的是未知數(shù)的次數(shù)都是一次）
追問2：什么叫二元一次方程組？并舉例說明．
（方程組中有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組）
已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，則m＋n＝0．
分析：由題意得|m－1|≠0，|m|＝1，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
要點歸納：由方程是二元一次方程可知：（1）未知數(shù)的系數(shù)不為0；（2）未知數(shù)的次數(shù)都是1.　
練習(xí)：下列是二元一次方程的是：①⑤．（填序號）
①x＋y＝11；②m＋1＝2；③x2＋y＝5；④3x－π＝11；⑤－5x＝4y＋2；⑥7＋a＝2b＋11c；⑦7x＋＝13；⑧4xy＋5＝0.
探究點二：二元一次方程（組）的解
填一填：根據(jù)方程x＋y＝10①；2x＋y＝16②填寫下表．滿足方程①，且符合問題的實際意義的x，y的值有哪些？把它們填入表中．
x
y
問題1：什么是二元一次方程的解？
（一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值叫作二元一次方程的解）
問題2：上表中哪組x，y的值還滿足方程②？
（x＝6，y＝4）
追問：由此歸納總結(jié)出二元一次方程組的解的定義．
（二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫作二元一次方程組的解．）
若是方程x－ky＝1的解，則k的值為－1．
加工某種產(chǎn)品須經(jīng)兩道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1 200件．現(xiàn)有7位工人參加這兩道工序，應(yīng)怎樣安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件數(shù)相等？請列出符合題意的二元一次方程組．
解：設(shè)第一道工序需要x人，第二道工序需要y人，根據(jù)題意列方程組得
三、當(dāng)堂檢測
1．下列方程組中，是二元一次方程組的是（A）
A. B．
C． D．
2．下列四組數(shù)值是二元一次方程2x＋y＝10的解是（B）
A． B． C． D．
3．若3xm＋3＋yn－2＝8是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m＝－2，n＝3．
4．寫出二元一次方程2x－y＝5的一組整數(shù)解：（答案不唯一）.
（其他課堂拓展題，見配套PPT）
四、課堂小結(jié)【板書設(shè)計】
二元一次方程組
通過自主探究和合作交流，建立二元一次方程的數(shù)學(xué)模型，學(xué)會逐步掌握基本的數(shù)學(xué)知識和方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和應(yīng)用意識，提高解決問題的能力，感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣，增進學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，增加對數(shù)學(xué)較全面的體驗和理解．第十章 二元一次方程組
*10.4　三元一次方程組的解法
1．通過提煉實際問題中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合二元一次方程組的概念，鍛煉抽象能力，培養(yǎng)類比推理能力.
2．能解簡單的三元一次方程組，通過探索三元一次方程組的解法，進一步感受“消元法”化繁為簡的化歸思想，培養(yǎng)舉一反三的遷移意識．
重點：會解簡單的三元一次方程組．
難點：根據(jù)方程組的特點，選擇最合適的解法．
一、導(dǎo)入新課
知識鏈接
什么叫二元一次方程組？解二元一次方程組的方法有哪些？
（方程組中有兩個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組．解二元一次方程組的方法有代入法和加減法）
創(chuàng)設(shè)情境
二、合作探究
探究點一：三元一次方程（組）的概念
問題1：題中有哪些未知量？你能找出哪些等量關(guān)系？可以列出幾個方程？
三個人年齡未知，設(shè)小明年齡是x歲，小天年齡是y歲，小紅年齡是z歲，則
問題2：你能類比二元一次方程（組）給上面的方程（組）取名字嗎？
在這個方程組中，x＋y＋z＝26，2x＋y＝z＋18這兩個方程都含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，這樣的方程叫作三元一次方程．
像這樣共含有三個未知數(shù)的三個一次方程所組成的一組方程叫作三元一次方程組．
追問：你能根據(jù)二元一次方程組的解說出什么是三元一次方程組的解嗎？
（三元一次方程組中各個方程的公共解叫作這個三元一次方程組的解）
練一練：下列方程組不是三元一次方程組的是D
A． B．
C． D．
探究點二：三元一次方程組的解
解方程組：
問題1：你能把上面的方程組化成只含有兩個未知數(shù)的方程組嗎？
（參考解二元一次方程組的方法，利用代入消元或加減消元消去一個未知數(shù)）
問題2：如何求方程組中第三個未知數(shù)的值？
（消元成二元一次方程組后，解二元一次方程組，再把得到的解代入原方程組中求第三個未知數(shù)）
解：把②代入①，得z＋1＋y＋z＝26④.
把②代入③，得2（z＋1）＋y＝z＋18⑤.
④和⑤組成二元一次方程組解得
把y＝7，z＝9代入①，得x＝10.
因此原方程組解為
問題3：類比二元一次方程組的解法總結(jié)解三元一次方程組的方法．
教材P109例2，課件出示，學(xué)生獨立思考，老師總結(jié)．
若|a－b－1|＋（b－2a＋c）2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解：因為三個非負式的和等于0，
所以每個非負式都為0.可得方程組解得
幼兒營養(yǎng)標(biāo)準中要求每一個幼兒每天所需的營養(yǎng)量中應(yīng)包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素．現(xiàn)有一批營養(yǎng)師根據(jù)上面的標(biāo)準給幼兒園小朋友們配餐，其中包含A，B，C三種食物，下表給出的是每份（50 g）食物A，B，C分別所含的鐵、鈣和維生素的量（單位）：
食物 鐵 鈣 維生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
解：設(shè)食譜中A，B，C三種食物各x，y，z份，由題意得解得
答：該食譜中包含A種食物2份，B種食物1份，C種食物2份．
三、當(dāng)堂檢測
1．下列方程：①＋＋＝5；②＋＋＝6；③2x＋3a＋b＝7；④x＋3y－4z＝1.其中能與方程x＋y＋z＝3和2x－y＝3組成三元一次方程組的是①④（填序號）.
2．解方程組根據(jù)方程組的特點，可采取先將①分別代入③②式得x＝3，x－4y＝－5，從而求出y＝2，z＝5．
3．若a，b，c為三角形的三邊長，此三角形周長為18，且a＋b＝2c，b＝2a，則a＝4，b＝8，c＝6．
（其他課堂拓展題，見配套PPT）
四、課堂小結(jié)【板書設(shè)計】
三元一次方程組
本節(jié)課主要內(nèi)容是類比二元一次方程組的概念和解法去學(xué)習(xí)三元一次方程組的概念和解法．通過對二元一次方程組的類比學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受把新知轉(zhuǎn)化為已知，把不會的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的問題，把難度大的問題轉(zhuǎn)化為難度較小的問題這一化歸思想．感受數(shù)學(xué)知識之間的密切聯(lián)系，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，初步培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題的良好思維習(xí)慣．第十章 二元一次方程組
10.3　實際問題與二元一次方程組
第2課時　圖表問題和工程問題
1．學(xué)會利用二元一次方程組解決圖表、工程問題，提高綜合素養(yǎng)能力，加強用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實世界的能力，培養(yǎng)模型意識和觀念．
2．自主學(xué)習(xí)，小組合作交流，通過構(gòu)建等量關(guān)系解決實際問題．
重點：能根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決實際問題．
難點：學(xué)會利用二元一次方程組解決圖表、工程問題．
一、導(dǎo)入新課
創(chuàng)設(shè)情境
情境導(dǎo)入：已知長方形ABCD，AB＝CD＝200 m，AD＝BC＝100 m，將長方形ABCD分割為兩個小長方形，長方形1號和長方形2號分別種甲、乙作物，甲、乙單位面積產(chǎn)量的比是1∶2.怎樣劃分這塊長方形ABCD，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4？你能設(shè)計出什么樣的方案？
二、合作探究
探究點一：圖表問題
問題：將長方形ABCD分割為兩個小長方形，你有幾種分割方法？
（水平分割，豎直分割）
追問：畫出圖形，并展示你的設(shè)計方案．
①豎畫：
解：如上圖所示分割，設(shè)AE＝x m，BE＝y(tǒng) m．則有解得
②橫畫：
解：如上圖所示分割，設(shè)DE＝x m，AE＝y(tǒng) m．則有解得
在長為20 m、寬為16 m的長方形空地上，沿平行于長方形各邊的方向割出三個完全相同的小長方形花圃，其示意圖如圖所示，求每個小長方形花圃的面積．
解：設(shè)小長方形的長為x m，寬為y m．依題意得解得
4×8＝32（m2）.
答：每個小長方形花圃的面積32 m2.
列二元一次方程組解決下面問題：為落實教育部門安排的學(xué)生社會實踐活動，八年級（9）班開展了一次蔬菜售賣體驗．其中第一小組花128元從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)了豆角和土豆共55 kg到蔬菜市場去賣，豆角和土豆當(dāng)天的批發(fā)價與零售價如表所示：
品名 豆角 土豆
批發(fā)價（元/kg） 2.4 2.2
零售價（元/kg） 3.8 3.3
求該小組當(dāng)天賣完這些豆角和土豆可賺多少元．
解：設(shè)該小組當(dāng)天購買了x kg豆角，y kg土豆，
根據(jù)題意得解得
（3.8－2.4）x＋（3.3－2.2）y＝（3.8－2.4）×35＋（3.3－2.2）×20＝71.
答：該小組當(dāng)天賣完這些豆角和土豆可賺71元．
探究點二：工程問題
有一批零件共420個，如果甲先做2天后乙加入合作，那么再做2天完成；如果乙先做2天后甲加入合作，那么再做3天完成．則甲，乙兩人每天分別做多少個零件？
問題1：你能列出工作總量、工作效率、工作時間之間的關(guān)系式嗎？
（工作效率×工作時間＝工作總量）
問題2：設(shè)甲每天做x個零件，乙每天做y個零件，那么甲乙合作一天可以做多少個零件？
（甲乙合作的工作效率是x＋y）
追問：列方程組求解．
　解得
答：甲每天做90個零件，乙每天做30個零件．
在某外環(huán)公路建設(shè)過程中，準備讓甲、乙兩個工程隊接力完成．已知甲工程隊獨立完成這項工程需要20天，每天要支付甲工程隊2 000元；乙工程隊獨立完成這項工程需要15天，每天要支付乙工程隊3 000元；最后一共支付甲乙工程隊42 000元．請問甲、乙分別工作了多少天？
解：設(shè)甲工程隊工作了x天，乙工程隊工作了y天．依題意得解得
答：甲工程隊工作了12天，乙工程隊工作了6天．
要點歸納：1.解決工程問題，有時我們需要把工作總量看做單位“1”．
2．工作總量、工作效率和工作時間之間的關(guān)系式為
工作總量＝工作效率×工作時間
工作效率＝工作總量÷工作時間
工作時間＝工作總量÷工作效率　
三、當(dāng)堂檢測
1．如圖，直線a∥b，∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)大50°，若設(shè)∠1＝x°，∠2＝y(tǒng)°，則可得到的方程組為 （B）
A． B．
C． D．
第1題圖 第2題圖
2.教材 P103 練習(xí) 12 變式 在“幻方拓展課程”探索中，小明在如圖的3×3方格填入了一些表示數(shù)的代數(shù)式．若圖中各行、各列及對角線上的三個數(shù)之和都相等，則y－x＝（C）
A．2 B．4 C．－6 D．6
3．根據(jù)圖中所給的信息，每件T恤和每瓶礦泉水的價格分別是20元和2元．
（其他課堂拓展題，見配套PPT）
四、課堂小結(jié)【板書設(shè)計】
板書設(shè)計
本課探究的問題信息量大、數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、未知數(shù)不容易設(shè)定，對學(xué)生來說是一種挑戰(zhàn)，因此安排學(xué)生合作學(xué)習(xí)．學(xué)生先獨立思考、自主探索，然后在小組討論中合理設(shè)定未知數(shù)建立方程組解決問題．在教學(xué)過程中通過創(chuàng)設(shè)情境，使教學(xué)內(nèi)容更加生活化，采用引發(fā)指導(dǎo)、多樣評價、鼓勵肯定等多種教學(xué)方法，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體驗成功，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

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