資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
《圓柱和圓錐》單元整體設計
單元主題解讀
課程標準要求分析
《圓柱和圓錐》單元是“圖形與幾何”方面的重要內容。《義務教育數學課程標準(2022年版)》在“課程內容”的“第三學段”中提出：
在“內容要求”中指出：“認識長方體、正方體和圓柱，了解這些圖形的展開圖，探索并掌握這些圖形的體積和表面積的計算公式，認識圓錐并探索其體積的計算公式，能用這些公式解決簡單的實際問題。”
在“學業要求”中指出：“認識長方體、正方體和圓柱，能說出這些圖形的特征，能辨認這些圖形的展開圖，會計算這些圖形的體積和表面積；認識圓錐，能說出圓錐的特征，會計算圓錐的體積；能用相應公式解決簡單的實際問題，形成空間觀念和初步的應用意識。”
在“教學提示”中指出：“借助現實生活中的實物，引導學生通過觀察、操作等活動，認識長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形的特征，溝通立體圖形之間的聯系，如圓柱和圓錐的相同點和不同點，以及平面圖形和立體圖形之間的聯系，增強空間想象能力。引導學生經歷體積單位的確定過程，通過操作、轉化等活動探索立體圖形的體積和表面積的計算方法。讓學生借助折疊紙盒等活動經驗，認識立體圖形展開圖、建立立體圖形與展開后的平面圖形之間的聯系，培養空間觀念和空間想象能力。”
單元教材內容分析
本單元安排了5個例題，雖然例題數量不多，但卻包含了圓柱和圓錐的重難點。例題1教學圓柱和圓錐的特征，首先結合實物初步感知圓柱和圓錐的特點，接著通過對兩個立體圖形的進一步觀察，認識直觀圖、底面、側面和高。例2通過求商標紙的面積讓學生認識就是求圓柱側面積的問題，啟發學生沿著圓柱的高剪開，展開得到長方形，從而通過“化曲為直”的方法，探索出了求圓柱的側面積的方法。例題3要求學生在方格紙上畫出圓柱的展開圖，得到本課的重點就是求兩個圓面積和一個側面面積的和，即求圓柱表面積。例題2和例題3的計算中，教材也出示不把“π”的值代入計算，可以用含有π的式子表示計算結果。例題4教學圓柱的體積，主要抓住兩個關鍵步驟，一是引導學生比較與圓柱同底同高的長方形、正方形體積之間的關系，初步提出有關圓柱體積計算的猜想，二是利用“割圓”經驗驗證猜想。例題5的教學內容為探究圓錐的體積公式，本課學習新知的方法依然是“提出猜想-實驗驗證-獲得結論”。通過實驗操作“倒水法”或者“倒沙子”探索并發現等底等高的圓柱和圓錐體積之間的關系，從而推導出圓錐的體積。
學生認知情況
學生已經探索并掌握了長方形、正方形和圓等一些常見的平面圖形的特征，以及長方體、正方體的特征，且已經掌握了轉化的數學思想，積累了探索的經驗，準備了研究的方法，同時學生在此前對圓柱的直觀認識和在日常生活中對這兩種幾何體的接觸，都為探究圓柱的側面積、表面積、體積以及圓錐的體積奠定了基礎。
單元目標擬定
1. 使學生通過觀察、操作等活動認識圓柱和圓錐，知道圓柱和圓錐底面、側面和高的含義，掌握圓柱和圓錐的基本特征。
2. 使學生在具體情境中，經歷操作、猜想、估計、驗證、討論、歸納等數學活動過程，探索并掌握圓柱側面積和表面積的計算方法，以及圓柱和圓錐的體積計算公式，能解決與圓柱表面積以及圓柱圓錐體積計算相關的一些簡單的實際問題。
3. 使學生在活動中進一步積累空間與圖形的學習經驗，增強空間觀念，發展數學思考，培養初步的分析、綜合、比較、抽象、概括和簡單的判斷、推理能力。
4. 使學生進一步體會圖形與實際生活的聯系，感受立體圖形學習的價值，提高數學學習的興趣和學好數學的自信心。體會類比、轉化等數學思想，初步發展推理能力。
三、關鍵內容確定
（一）教學重點
1.經歷圓柱、圓錐制作過程，探索并掌握圓柱表面積計算方法，將方法遷移至研究圓錐表面積，在解決相關實際問題中提升推理意識和應用意識，形成一定的研究數學問題的方法。
2.通過溝通平面、立體圖形的聯系，自主嘗試用轉化法推導圓柱、圓錐的體積，在解決相關實際問題中提升推理意識和應用意識，進一步發展度量的“一致性”思想。
（二）教學難點
1．經歷圓柱、圓錐制作過程，探索并掌握圓柱表面積計算方法。
2．自主嘗試用轉化法推導圓柱、圓錐的體積。
四、單元整合框架及說明
整合指導思想定位：
會用數學的眼光觀察現實世界
會用數學的思維思考現實世界
會用數學的語言表達現實世界
這是數學課程的核心素養內涵。《數學課程標準》指出：“每一堂課都應該以學生為中心，以探究為手段，積極發展學生的求異思維，以培養學生各種能力為目的，最終讓學生形成一種新型的數學思想，養成數學能力，體驗數學與生活的關系。”
本單元教材的具體編排結構：
本單元教科書編寫的基本特點主要體現在以下幾個方面：*.1
1. 從學生的生活實際出發，結合具體實物，利用學生已有的經驗開展教學活動。圓柱和圓錐是日常生活中較為常見的幾何體，也是基本的立體圖形。學生在此前對圓柱的直觀認識和在日常生活中對這兩種幾何體的接觸，為學生順利開展學習活動奠定了基礎。在教學圓柱和圓錐的基本特征時，讓學生觀察并列舉常見的圓錐或圓錐形狀的物體，充分發揮實物的直觀作用。在教學圓柱和圓錐的體積時，讓學生借助具體實物進行觀察、操作和實驗，為學生的自主探索提供必要的支撐。
2. 充分關注猜想和估計在探索學習中的作用，精心設計探索圓柱和圓錐體積公式的活動線索。在探索圓柱的體積公式時，首先讓學生觀察底面積和高分別相等的長方體、正方體和圓柱，猜想這三種形體體積之間的關系，再啟發學生把以前探索圓面積公式的經驗和方法遷移到探索圓柱體積公式的過程中來，進而推導出圓柱的體積公式，驗證自己的猜想。在探索圓錐的體積公式時，也讓學生觀察底面積和高分別相等的圓柱和圓錐，估計圓錐的體積是圓柱的幾分之幾，再通過實驗驗證自己的估計，從而推導出圓錐的體積公式。這樣聯系長方體體積公式猜想圓柱的體積公式，聯系圓柱的體積估計圓錐的體積，在猜想或估計的基礎上通過實驗和操作進行驗證，有利于提升學生的數學思維水平，培養學生的學習能力，增強學生對相關數學知識和方法的體驗。
3. 重視所學知識的綜合應用，讓學生在應用中感受數學知識的內在聯系，不斷提高解決實際問題的能力。例如，在學習圓柱表面積計算方法后，讓學生計算制作隊鼓、油桶、通風管、燈籠等需要的材料。
單元課時規劃
單元劃分依據 □課程標準 教材章節 □知識結構
課程內容模塊 數與代數 圖形與幾何 □統計與概率 綜合與實踐
單元數量 1
單元主題 單元名稱 主要內容 課時
圖形與幾何 圓柱和圓錐 認識圓柱和圓錐 1
圓柱的表面積 1
圓柱的體積 1
圓錐的體積 1
重點滲透的數學思想方法 抽象 符號化 分類 □集合 對應 演繹 歸納 類比 轉化 數形結合 □極限 模型 □方程 □函數 □統計 分析 綜合 比較 □假設 □其他
課時 學習目標 評價形式 評價標準
2.1《認識圓柱和圓錐》 目標：使學生在觀察、操作、交流等活動中感知并發現圓柱和圓錐的特征，知道圓柱和圓錐的底面、側面和高。使學生在活動中進一步積累認識立體圖形的學習經驗，增強空間觀念、發展數學思考。 任務一：認識圓柱。 圖中哪些物體的形狀是圓柱體？圓柱體簡稱圓柱。仔細觀察圓柱，說說圓柱有什么特征。 → 任務二：認識圓錐 每個小組里課前也準備了一些物體，請大家從里面挑出圓錐形狀的，就像剛才我們研究圓柱一樣，看看圓錐有什么特征？→ 任務三：比較圓柱和圓錐的特征。 圓錐和圓柱有哪些相同點，哪些不同點？ → 1.能夠認識圓柱，發現圓柱的基本特征。 2. 能夠認識圓錐，發現圓錐的基本特征。 3.通過比較圓柱和圓錐的相同點和不同點，加深知識的理解，培養學生歸納總結的能力。
2.2《圓柱的表面積》 目標：理解圓柱的側面積和表面積的含義，掌握圓柱側面積和表面積的計算方法。運用所學的圓柱的表面積和側面積的知識解決簡單的實際問題。 任務一：圓柱的側面積。 出示一個帶完整商標的罐頭盒。 這個罐頭盒是什么體？(圓柱)它的側面是哪個面？ → 任務二：圓柱的表面積 據自己的理解說一說什么是圓柱的表面積？ → 1.理解圓柱的側面積和表面積的含義。 2.掌握圓柱側面積和表面積的計算方法。
2.3《圓柱的體積》 目標：引導學生借助圓的面積計算公式的推導方法來推導圓柱的體積公式，并理解這個過程。學會用圓柱的體積公式計算圓柱形狀的物體的體積和容積，運用公式解決一些簡單的問題。 任務一：提出猜想 猜一猜，圓柱的體積與長方體、正方體的體積相等嗎？圓柱的體積公式可能是什么？如何驗證自己的猜想呢？ → 任務二：驗證猜想 這只是我們的一種猜想，需要進一步去驗證，你想用什么方法驗證呢？怎么想到這種方法的？和你的同桌說說自己的想法。→ 任務三：得出結論 以小組為單位，討論圓柱的體積應怎樣計算。→ 理解借助圓的面積計算公式的推導方法來推導圓柱的體積公式過程。 學會用圓柱的體積公式計算圓柱形狀的物體的體積和容積，運用公式解決一些簡單的問題。
2.4《圓錐的體積》 目標：探索并初步掌握圓錐的體積計算方法和推導過程，學會應用公式計算圓錐的體積并解決一些實際問題。提高學生實踐操作、觀察比較、抽象概括及邏輯推斷的能力，發展空間觀念，培養學生的合作意識和探究意識。 任務一：提出猜想 你們覺得之前學過的哪一個物體體積的計算方法，與圓錐有關呢？ 能大膽猜想一下圓柱和圓錐體積之間存在著什么樣的關系嗎？→ 任務二：推導圓錐的體積計算公式 通過實驗，你們發現了所給的圓錐、圓柱在體積上有什么關系？ 根據這個關系怎樣求出圓錐的體積？→ 理解圓錐的體積計算方法和推導過程。 能應用公式計算圓錐的體積并解決一些實際問題
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《2.4 圓錐的體積》教學設計
課題 圓錐的體積 單元 第二單元 學科 數學 年級 六年級
教材分析 例題5出示了一個和圓錐等底等高的圓柱，讓學生根據上節課所學的圓柱的體積公式猜測出圓錐的體積的關系，接著再通過倒水法或者倒沙法驗證自己的猜想，讓學生通過動手操作理解圓錐的體積公式是在圓柱的體積公式上乘三分之一，也使得學生深刻地體會圓錐體積必須要乘三分之一的必要性，從而充分地理解圓錐的公式的由來。
學習 目標 1.學習目標描述：引導學生探索并初步掌握圓錐的體積計算方法和推導過程，學會應用公式計算圓錐的體積并解決一些實際問題。 2.學習內容分析：提高學生實踐操作、觀察比較、抽象概括及邏輯推斷的能力，發展空間觀念，培養學生的合作意識和探究意識。 3.學科核心素養分析：使學生獲得成功的體驗，體驗數學與生活的聯系。
重點 理解和掌握圓錐的體積公式，能正確運用圓錐的體積公式解決實際問題。
難點 圓錐體積公式的推導過程。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖
導入新課 復習舊知 （1）圓錐有什么特征？ 圓柱體積的計算公式是什么？ 我們學習了圓柱的體積，還認識了圓錐體，圓錐的體積怎樣計算呢？ 它又是怎樣推導出來了呢？這節課我們就來研究這個問題。（板書課題：圓錐的體積） 使學生進一步熟悉圓錐的特征：底面、側面、高和頂點。 指名學生回答，并出示公式：“圓柱的體積=底面積 ×高” 通過復習導入，學生回顧圓錐的特征及高，為后面圓錐體積公式的推導做好鋪墊。
講授新課 任務一：提出猜想 觀察猜想 師：你們覺得之前學過的哪一個物體體積的計算方法，與圓錐有關呢？圓錐的體積計算又與什么有關呢？ 師：為什么？ 師：同學們都是這樣認為的嗎？ 師：那你們能大膽猜想一下圓柱和圓錐體積之間存在著什么樣的關系嗎？ （板書：V圓柱=3V圓錐 V圓錐=V圓柱 ） 師：那有了猜想，我們接下來該干什么？ 師：對，我們要用實驗去驗證我們的猜想。 生1：圓柱 生2：圓錐的體積應該與圓錐的底面積有關。 生3：圓錐的體積可能跟圓錐的高有關。 生：因為圓柱的底面和圓錐的底面都是圓形。 生1： V圓柱=3V圓錐。 生2： V圓錐=V圓柱。 教學中，引導學生在生活情境中提煉出數學問題，培養學生發現問題、提出問題的能力，同時體會到數學與生活密切相關。 簡明扼要地復習，為新課教學做好充分的知識鋪墊。
任務二：推導圓錐的體積計算公式 實驗準備：提供實驗用具，1個圓柱和一個圓錐實驗杯，一瓶礦泉水 引導學生觀察用來實驗的圓錐、圓柱的特點：圓柱和圓錐都是等底等高 （師板書：等底等高） 學生實驗： 你想怎么做實驗？ 小組內議一議，老師指導。 你們小組是怎樣進行實驗的？ 通過實驗，你們發現了所給的圓錐、圓柱在體積上有什么關系？ 根據這個關系怎樣求出圓錐的體積？ （教師板書） 圓錐的體積= ×底面積×高 師：如果用V表示圓錐的體積，S表示圓錐的底面積，h表示圓錐的高，圓錐的體積公式可以寫成V=Sh。 2.回顧圓錐體積公式的探索過程，你有什么體會？ 3.拓展延伸 教師拿出許多大小不等的圓柱形容器和圓錐形容器展示給學生。 比較大小不同的圓柱形容器和圓錐形容器的體積大小，通過比較，你發現了什么？ 通過動手操作，發現：只有等底等高的圓柱和圓錐，才有圓錐體積是圓柱體積的。 請同學們以小組為單位進行實驗，在實驗中，注意填好實驗報告表。 生：我們把圓錐裝滿水，倒入這個圓柱體當中，正好倒了3次倒滿，得出圓錐的體積等于這個圓柱的體積的三分之一。 生1：從已經學過的圓柱體積公式想起。 生2：比較等底等高的圓柱和圓錐，先觀察猜想，再驗證。 生3：實驗也是解決問題的重要方法。 通過實驗、觀察、比較、交流，發現等底等高的圓柱和圓錐體積之間的倍數關系，總結出求圓錐體積的常規方法，并應用它解決實際問題，從而真正體會到數學來源于實際生活，又應用于實際生活。學生經歷猜想一驗證一結論一應用的過程，在這個過程中發展推理意識。
課堂練習 基礎題： 1.填空。 （1）圓錐的體積等于和它（ ）的圓柱體積的（ ），圓錐的體積計算公式可以寫成（ ）。 （2）一個圓錐的體積是7.2立方米，與它等底等高的圓柱的體積是（ ）立方米。 2.填空。 ①一個圓錐與一個圓柱等底等高，已知圓錐的體積是 8 立方米，圓柱的體積是（　　　 　）。 ②一個圓錐與一個圓柱等底等體積，已知圓柱的高是 2 厘米， 圓錐的高是（　　　　）。 ③一個圓錐與一個圓柱等高等體積，已知圓柱的底面積是 6平方米，圓錐的底面積是（　　　 　）。 3.一堆混凝土近似圓錐形，底面周長是25.12 m，高是1.5 m，每立方米混凝土重1.5噸，這堆混凝土約重多少噸？ 引導學生能夠在課堂練習的完成過程中對要點知識加深鞏固，語言，有效應用。
提高題： 4.一個圓錐與一個圓柱等底等高，已知它們的體積之和是48 立方分米，那么圓錐的體積是多少立方分米？圓柱呢？ 5.有一塊正方體的木材，它的棱長是12分米，把這塊木料加工成一個最大的圓錐體，這個圓錐的體積是多少？
拓展題 6.一個圓柱形橡皮泥，底面積是12cm ，高是5cm。 （1）如果把它捏成同樣底面大小的圓錐，這個圓錐的高是多少？ （2）如果把它捏成同樣高的圓錐，這個圓錐的底面積是多少？
課堂小結 通過本節課的學習，你們有什么收獲？ 學生自由說說。 課堂小結可以幫助學生理清所學知識的層次結構，掌握其外在的形式和內在聯系，形成知識系列及一定的結構框架。
板書 圓錐的體積 圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的三分之一。 圓錐的體積=×底面積×高 利用簡潔的文字、符號、圖表等呈現本節課的新知，可以幫助學生理解掌握知識，形成完整的知識體系。
作業設計 【知識技能類作業】 1.判斷 ① 圓柱體的體積一定比圓錐體的體積大。 （ ） ② 圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體的。 ( ) ③ 正方體、長方體、圓錐體的體積都等于底面積×高。 （ ） 2.計算下列圓錐的體積。 3.填空。 （1）一個圓柱的體積是18.84立方米，與它等底等高的圓錐體積是（ ）立方米。 （2）一個圓錐的體積是18.84立方分米，與它等底等高的圓柱體積是（ ）立方分米。 4.把一塊底面直徑是12厘米的圓錐形木塊，沿底面直徑把它分成兩個形狀、大小完全相同的木塊后，表面積比原來增加了96平方厘米。這個圓錐形木塊的體積是多少？
【綜合實踐類作業】 將一張直角三角形硬紙繞兩條直角邊旋轉會形成什么立體圖形？
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