資源簡介

(共32張PPT)
第七章　相交線與平行線
　7.1　相交線
7.1.2　兩條直線垂直
學習目標
抽象能力：理解垂線、垂線段的概念,掌握點到直線的距離的概念和垂線的性質.
應用意識：會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線;會度量點到直線的距離;會利用所學知識進行簡單的推理.
情境導入
壹
目
錄
課堂小結
肆
當堂達標
叁
新知初探
貳
情境導入
壹
情境導入
日常生活中，如下圖中的兩條直線的關系很常見，你能再舉出其他例子嗎？
新知初探
貳
新知初探
任務一 垂直的定義和表示方法
活動：在相交線的模型中,固定木條a,轉動木條b,
當b的位置變化時,a、b所成的角α也會發生變化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
問題 如圖,當∠AOC＝90°時，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？為什么？
A
B
C
D
O
由對頂角和鄰補角的性質，知當∠AOC＝90°時，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
1.垂線的定義：當兩條直線AB和CD所成的四個角中，有一個角是 ，我們說AB與CD互相垂直.其中一條直線叫作另一條直線的 .
2.垂直用符號 “ ”來表示，讀作“垂直于”.
如“直線AB垂直于直線CD”，就記作“ ”.
O
A
B
C
D
3.交點O叫作 .
4.垂直是相交的特殊情況.
直角
垂線
⊥
AB⊥CD
垂足
A
B
C
D
O
符號語言：
如圖所示，當直線AB與CD相交于O點，∠AOD=90°時，AB⊥CD，垂足為點O.
①判定：因為∠AOD=90°,（已知）
所以AB⊥CD.（垂直的定義）
符號語言：
反之，若直線AB與CD垂直,垂足為點O，那么∠AOD=90°.
②性質：因為 AB⊥CD ,（已知）
所以 ∠AOD=90° .（垂直的定義）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
垂線的符號語言
即時測評
(1)如圖1所示，若直線m，n相交于點O,∠1＝90°,
則 ；
(2)若直線AB，CD相交于點O，且AB⊥CD，那么
∠BOD =______；
(3)如圖2所示，BO⊥AO，∠BOC與∠BOA的度數之比
為1∶5，那么∠COA＝____,∠BOC的補角為 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
圖1
圖2
任務二 垂線的畫法及性質
1.如圖1，已知直線m及直線上一點A，用三角板過點A畫
直線m的垂線，說出你的畫法.
2.如圖2，已知直線m及直線外一點A，用三角板過點A畫直線m
的垂線，說出你的畫法.
問題：這樣畫l的垂線可以畫幾條？
1.放
2.靠
3.畫
l
O
如圖所示，已知直線 l,作l的垂線.
A
無數條
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.畫
如圖所示，已知直線 l 和l上的一點A ,作l的垂線.
問題：這樣畫l的垂線可以畫幾條？
一條
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.畫
如圖所示，已知直線 l 和l外的一點A ,作l的垂線.
根據以上操作，你能得出什么結論
思考:
(1)畫已知直線m的垂線能畫幾條
(2)過直線m上的一點A畫m的垂線,這樣的垂線能畫幾條
(3)過直線m外的一點A畫m的垂線,這樣的垂線能畫幾條
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
（1）“過一點”中的點，可以在已知直線上，也可
以在已知直線外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性.
注意：
總結歸納
即時測評
下列各圖中，過直線l外一點P畫l的垂線CD，三角板操作正確的是( )
D
范例應用
解：如圖所示 .
例1 如圖，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線.
任務三 垂線段及點到直線的距離
C
D
E
l
1.線段AB, AC, AD , AE誰最短？
2.你能用一句話表示這個結論嗎？
說一說：
如圖所示，從A點向已知直線 l 畫一條垂直的線段和幾條不垂直的線段.
B
A
連接直線外一點與直線上各點的所有線段中垂線段最短.簡單說成：垂線段最短
線段AD的長度叫作點A到直線l的距離.
總結歸納
特別規定：
D
l
A
范例應用
例2 在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖掘能使渠道最短？請畫出圖來，并說明理由.
m
垂線段最短
(1)如圖所示，在△ABC中，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則點C到直線AB的距離是( )
A．線段CA的長 B．線段CD
C．線段AD的長 D．線段CD的長
(2)如圖所示，要從馬路對面給村莊P處拉網線，在如圖所示的幾種拉網線的方式中，最短的是 ，理由是 ．
即時測評
D
PB
垂線段最短
當堂達標
叁
1．如圖所示，OA⊥OB，若∠1＝55°，則∠2的度數是( )
A．35° B．40° C．45° D．60°
2．下列說法正確的有( )
①在同一平面內，過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；
②在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線；
③在同一平面內，過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線；
④在同一平面內，有且只有一條直線垂直于已知直線．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
當堂達標
B
A
3．如圖所示，點A，B，C在同一條直線上，已知∠1＝53°，∠2＝37°，則CD與CE的位置關系是 ．
4．如圖所示，307國道a上有一出口M，現想在附近公路b旁建一個加油站，欲使通道長最短，應沿怎樣的線路施工？
垂直
解：如圖，過點M作MN⊥b，垂足為N，欲使通道最短，則應沿線路MN施工．
5．［教材習題改編］如圖所示，直線AB，CD相交于點O．
（1）讀下列語句，畫出圖形．
第一步，分別畫出∠AOD，∠BOC的平分線OE，OF；
第二步，在直線AB上方畫射線OG⊥OE．
（2）根據以上信息，解答下列問題．
①射線OE，OF在同一條直線上嗎？請說明理由；
②說明射線OG平分∠BOD．
5．解：（1）如圖所示.
（2）①射線OE，OF在同一條直線上，理由如下：
∵直線AB，CD相交于點O，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，
∴∠AOE＝∠DOE= ∠AOD，∠BOF＝∠COF= ∠BOC，
∴∠AOE＝∠DOE＝∠BOF＝∠COF，
∴∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝∠BOF+∠DOE，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOF+∠DOE+∠BOD＝180°，即∠EOF＝180°，
∴射線OE，OF在同一條直線上；
②∵射線OE，OF在同一條直線上，OG⊥OE，∠GOE＝∠GOF＝90°，
∵∠DOE＝∠BOF，∴∠GOE﹣∠DOE＝∠GOF﹣∠BOF，
∴∠GOD＝∠GOB，∴射線OG平分∠BOD．
課堂小結
肆
課堂小結
當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足.
1.垂線的定義
2.垂線的畫法
3.垂線的性質
(1)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
一、放；二、靠；三、移 ；四、畫.
4.點到直線的距離
(2)垂線段最短
課后作業
基礎題：1.課后習題 第 1、2題。
提高題：2.請學有余力的同學完成課后習題第3、4題
謝
謝(共15張PPT)
7.1.2　兩條直線垂直
預習導學
課堂互動
中檔題
素養題
基礎題
預習導學
1.一般地,當兩條直線相交所成的四個角中,有一個角是直角時,這兩條直線互相垂直.
2.互相垂直的兩條直線的性質:
(1)在同一平面內,過一點　 　一條直線與已知直線垂直.
(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,　 　最短.
(3)直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫作點到直線的　 　.
有且只有
垂線段
距離
課堂互動
知識點一　垂線及其性質
例1　如圖所示,直線AB,CD相交于點O,若∠AOC=90°,則AB與CD的位置關系是　 　;若已知AB⊥CD,則∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=　　 .
垂直
例2　如圖所示,O為直線AB上一點,OE平分∠BOC,DO⊥OE于點O,若∠BOC=80°,則∠AOD=　 　.
90°
50°
知識點二　垂線段及其性質
例3　如圖所示,點P是直線l外一點,點A,B,C在直線l上,且PA⊥直線l,PA=4 cm,PB=5 cm,PC=6 cm,則點P到直線l的距離是　 　.
4 cm
基礎題
1.(2024北京)如圖所示,直線AB和CD相交于點O,OE⊥OC.若∠AOC=58°,
則∠EOB的度數為( )
A.29° B.32° C.45° D.58°
B
2.(2024 常州)如圖所示,推動水桶,以點O為支點,使其向右傾斜.若在點A處分別施加推力F1,F2,則F1的力臂OA大于F2的力臂OB.這一判斷過程體現的數學依據是( )
A.垂線段最短
B.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C.兩點確定一條直線
D.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
A
3.如圖所示,在一張透明的紙上畫一條直線l,在l外任取一點Q并折出過點Q且與直線l垂直的直線,這樣的直線能折出( )
A.0條 B.1條
C.2條 D.3條
4.如圖所示,直線AB,CD相交于點O,EO⊥AB于點O,∠EOD=50°,則∠BOC的度數為　 　.
B
140°
5.(教材練習變式)如圖所示,分別過點P作直線AB的垂線.
解:如圖所示:
6.如圖所示,直線AB與射線OC交于點O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.試判斷OD 與OE的位置關系,并說明理由.
解:OD⊥OE.理由如下:
因為OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,
所以∠EOC=∠AOE,∠DOC=∠BOD.
又因為∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠EOC+∠DOC=90°,
即OD⊥OE.
中檔題
7.如圖所示,筆直小路DE的一側栽種有兩棵小樹BM,CN,小明測得AB=
4 m,AC=6 m,則點A到DE的距離可能為( )
A.6 m B.5 m C.4 m D.3 m
D
B
8.如圖所示,直線AB,CD相交于點O,OE⊥CD,若∠BOE∶∠BOD=3∶2,則∠AOC的度數為( )
A.30° B.36° C.54° D.60°
9.(易錯題)已知OA⊥OC,過點O作射線OB,且∠AOB=45°,則∠BOC的度數為　 　.
45°或135°
10.如圖所示,兩直線AB,CD相交于點O,OE平分∠BOD,∠AOC∶∠AOD=
7∶11.
(1)求∠COE的度數;
(2)若OF⊥OE,求∠COF的度數.
解:(2)因為OF⊥OE,所以∠FOE=90°.
所以∠FOD=∠FOE-∠DOE=90°-35°=55°.
所以∠COF=180°-∠FOD=180°-55°=125°.
素養題
11.(跨學科融合)如圖(1)所示,漢代的《淮南萬畢術》是中國古代有關物理、化學的重要文獻,書中記載了我國古代學者在科學領域做過的一些探索及成就.其中所記載的“取大鏡高懸,置水盆于其下,則見四鄰矣”,是古人利用光的反射定律改變光路的方法,即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上;反射光線和入射光線位于法線的兩側;反射角等于入射角”.為了探清一口深井的底部情況,運用此原理,如圖(2)所示,在井口放置一面平面鏡可改變光路,當太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC=50°時,要使太陽光線經反射后剛好垂直于地面射入深井底部,則需要調整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC等于( )
A.60° B.70° C.80° D.85°
B中小學教育資源及組卷應用平臺
7.1 相交線
7.1.2　兩條直線垂直
學習目標
抽象能力：理解垂線、垂線段的概念,掌握點到直線的距離的概念和垂線的性質.
應用意識：會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線;會度量點到直線的距離;會利用所學知識進行簡單的推理.
自主探索
任務一　垂直的定義和表示方法
活動1　在相交線的模型中,固定木條a,轉動木條b,當b的位置變化時,a,b所成的角α也會發生變化.
垂直定義:當兩條直線相交所成的四個角中,有一個角是時,這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫作另一條直線的,它們的交點叫作.
表示方法：直線AB垂直于直線CD,用符號表示為,為垂足.(垂直用符號“⊥”來表示,讀作“垂直于”)
問題1如圖所示,如果有兩條直線AB與CD，且AB⊥CD，你能得到∠1的度數嗎？
問題2 如圖所示，如何判斷兩條直線AB⊥CD
【即時測評】
(1)如圖1所示，若直線m，n相交于點O,∠1＝90°,則 ；
(2)若直線AB，CD相交于點O，且AB⊥CD，那么∠BOD =______；
(3)如圖2所示，BO⊥AO，∠BOC與∠BOA的度數之比為1∶5，那么∠COA＝____,∠BOC的補角為 .
任務二 垂線的畫法及性質
活動2　過一點畫已知直線的垂線
1.如圖1所示，已知直線m及直線上一點A，用三角板過點A畫直線m的垂線，說出你的畫法.
2.如圖2所示，已知直線m及直線外一點A，用三角板過點A畫直線m的垂線，說出你的畫法.
垂線的性質1　過一點有且只有條直線與已知直線垂直.
【即時測評】
下列各圖中，過直線l外一點P畫l的垂線CD，三角板操作正確的是()
例1 如圖，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線.
活動3　連接直線l外一點P與直線l上各點O，A1，A2，A3……,其中PO⊥l(PO稱為P到直線l的垂線段)，比較線段PO，PA1,PA2,PA3……的長短，這些線段中，哪一條最短？
用數學語言說出你發現的結論.
例2 如圖，是一條河，C是河邊AB外一點．現欲用水管從河邊AB將水引到C處，請在圖上畫出應該如何鋪設水管能讓路線最短，并說明理由．
【即時測評】
(1)如圖所示，在△ABC中，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則點C到直線AB的距離是(　　)
線段CA的長 B．線段CD C．線段AD的長 D．線段CD的長
第（1）題圖 第（2）題圖
(2)要從馬路對面給村莊P處拉網線，在如圖所示的幾種拉網線的方式中，最短的是，理由是．
當堂達標
1．如圖所示，OA⊥OB，若∠1＝55°，則∠2的度數是( )
A．35°B．40° C．45° D．60°
2．下列說法正確的有( )
①在同一平面內，過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；
②在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線；
③在同一平面內，過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線；
④在同一平面內，有且只有一條直線垂直于已知直線．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．如圖所示，點A，B，C在同一條直線上，已知∠1＝53°，∠2＝37°，則CD與CE的位置關系是．
4．如圖所示，307國道a上有一出口M，現想在附近公路b旁建一個加油站，欲使通道長最短，應沿怎樣的線路施工？
5.［教材習題改編］如圖所示，直線AB，CD相交于點O．
（1）讀下列語句，畫出圖形．
第一步，分別畫出∠AOD，∠BOC的平分線OE，OF；
第二步，在直線AB上方畫射線OG⊥OE．
（2）根據以上信息，解答下列問題．
①射線OE，OF在同一條直線上嗎？請說明理由；
②說明射線OG平分∠BOD．
參考答案
當堂達標
1.A 2.B 3.垂直
4.解：如圖，過點M作MN⊥b，垂足為N，欲使通道最短，則應沿線路MN施工．
5.解：（1）如圖所示.
（2）①射線OE，OF在同一條直線上，理由如下：
∵直線AB，CD相交于點O，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，
∴∠AOE＝∠DOE=∠AOD，∠BOF＝∠COF=∠BOC，
∴∠AOE＝∠DOE＝∠BOF＝∠COF，
∴∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝∠BOF+∠DOE，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOF+∠DOE+∠BOD＝180°，即∠EOF＝180°，
∴射線OE，OF在同一條直線上；
②∵射線OE，OF在同一條直線上，OG⊥OE，
∴∠GOE＝∠GOF＝90°，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴∠GOE﹣∠DOE＝∠GOF﹣∠BOF，
∴∠GOD＝∠GOB，
∴射線OG平分∠BOD．
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7.1.2　兩條直線垂直
課標摘錄 1.理解垂線、垂線段的概念,能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線. 2.掌握基本事實:在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直. 3.理解點到直線的距離的意義,能度量點到直線的距離.
教學目標 1.理解垂線、垂線段的概念,會用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線. 2.掌握點到直線的距離的概念,并會度量點到直線的距離. 3.掌握垂線的性質,并會利用所學知識進行簡單的推理.
教學重難點 重點:垂線、垂線段、點到直線的距離的概念. 難點:垂線的性質和點到直線的距離.
教學策略 教學中引導學生通過木條的轉動過程得出垂線的定義;通過畫垂線的過程,引導學生思考,從而得出垂線的性質.要讓學生多觀察,動手畫一畫,試一試,鼓勵學生思考并在小組內交流,全班交流,給學生提供主動探索的時間、空間,能讓學生表述的要讓學生自己去表述.
情境導入 日常生活中,如圖所示的兩條直線的關系很常見,你能再舉出其他例子嗎
新知初探 探究一　垂直的定義和表示方法 活動1　 在相交線的模型中,固定木條a,轉動木條b,當b的位置變化時,a,b所成的角α也會發生變化.當α=90°時,a與b垂直.當α≠90°時,a與b不垂直. 歸納總結:見課件. 問題1:如圖所示,如果有兩條直線AB與CD,且AB⊥CD,你能得到∠1的度數嗎 問題2:如圖所示,如何判斷兩條直線AB⊥CD 【即時測評】見課件、導學案. 探究一　意圖說明 通過動手操作與觀察,幫助學生構建相交線的幾何模型,轉動木條時,兩根木條之間的夾角不斷變化,兩條相交線形成的角也在不斷變化.通過學生的觀察、對比、分析和討論,發現垂直的特征,并在此基礎上歸納垂直的定義,以此來培養學生的觀察能力和運用數學語言表述的能力. 探究二　垂線的畫法及性質 活動2　畫已知直線的垂線 1.已知直線m,用三角板畫直線m的垂線,說出你的畫法. 追問1:這樣的直線一共能畫多少條 2.如圖(1)所示,已知直線m及直線上一點A,用三角板過點A畫直線m的垂線,說出你的畫法. 追問2:這樣的直線一共能畫多少條 3.如圖(2)所示,已知直線m及直線外一點A,用三角板過點A畫直線m的垂線,說出你的畫法. 追問3:這樣的直線一共能畫多少條 教師總結畫垂線的步驟:見課件. 歸納總結:見課件. 追問4:“過一點”包括幾種情況
追問5:“有且只有”是指什么意思 【即時測評】見課件、導學案. 【例1】見教材P5例2或課件、導學案. 思考:畫一條射線或線段的垂線與畫一條直線的垂線有什么關系 探究二　意圖說明 教師鼓勵學生用不同的方法畫垂線,學生發現用三角板、量角器都可以來畫互相垂直的直線,通過讓學生自主探究,從而經歷垂線的性質得出過程,體會到在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.通過練習,讓學生進一步理解垂直的定義,怎樣過一點畫已知直線的垂線,加深對本節知識的理解和應用. 探究三　垂線段及點到直線的距離 活動3　連接直線l外一點P與直線l上各點O,A1,A2,A3…,其中PO⊥l(PO稱為點P到直線l的垂線段),比較線段PO,PA1,PA2,PA3…的長短,這些線段中,哪一條最短 用數學語言說出你發現的結論. 歸納總結:見課件. 【例2】見課件、導學案. 【即時測評】見課件、導學案. 探究三　意圖說明 通過動手測量,從而讓學生了解到“垂線段最短”,這樣學生得到的知識印象更深,更符合學生對新知識學習的接受過程.教師要鼓勵學生運用自己的語言描述所得的結論,培養學生有條理地表達能力.通過解決實際問題,培養學生的抽象能力,感受所學在實際生活中的應用,發展應用意識和實踐能力.
當堂達標 見課件、導學案
課堂小結 1.什么是垂直 垂直與上節課學過的相交線之間有什么關系 2.什么是垂線 什么是垂線段 它們之間有什么區別 3.垂線有什么性質 你能舉例說明它在實際生活中的作用嗎 4.對于垂線的性質,為什么必須強調“在同一平面內” “過一點”是指什么意思
板書設計 7.1.2　兩條直線垂直 求最短距離
教學反思
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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