資源簡介

(共28張PPT)
第七章　相交線與平行線
7.1　相交線
7.1.1　兩條直線相交
課標要求 核心素養
1.理解對頂角、補角的概念;探索并掌握對頂角相等的性質. 2.理解垂線、垂線段的概念,能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線;能用尺規作圖:過一點作已知直線的垂線;過已知直線外一點畫這條直線的平行線. 3.識別同位角、內錯角、同旁內角;理解平行線的概念;掌握平行線基本事實Ⅰ,掌握平行線基本事實Ⅱ. 4.探索并證明平行線的判定定理;探索并證明平行線的性質定理. 5.通過具體實例,了解定義、命題、定理、推論的意義;了解反例的作用. 6.通過具體實例認識平移,探索它的基本性質 抽象能力
幾何直觀
推理意識
應用意識
情境導入
壹
目
錄
課堂小結
肆
當堂達標
叁
新知初探
貳
情境導入
壹
情境導入
視頻引入
觀察下列圖片，說一說直線與直線的位置關系.
直線與直線相交于一點，并形成了四個角.
你發現了什么？
新知初探
貳
新知初探
任務一　探究鄰補角與對頂角的概念
活動：握緊把手時，隨著兩個把手之間的角逐漸變小，剪刀刃之間的角也相應變小直到剪開布片.如果把剪刀的構造看作兩條相交的直線，這就關系到兩條相交直線所成的角的問題.
思考 剪刀剪東西的過程中,你能說說∠AOC與∠AOD,
∠AOC與∠BOD這兩對角的位置保持怎樣的關系嗎？
A
O
C
B
D
∠AOC和∠BOD有公共頂點，且∠AOC的兩邊分別是∠BOD兩邊的反向延長線.
∠AOC和∠AOD有一條公共邊AO，且∠AOC的另一邊是∠AOD另一邊的反向延長線.
1
2
3
4
A
B
C
D
O
鄰補角：如果兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為____________，那么這兩個角互為鄰補角.圖中∠1的鄰補角有___________.
反向延長線
∠2, ∠4
1
2
3
4
A
B
C
D
O
對頂角：如果一個角的兩邊是另一個角的兩邊的 ，那么這兩個角互為對頂角.圖中∠1的對頂角是______.
反向延長線
∠3
(1)下列圖中的∠1與∠2是鄰補角嗎 為什么
不是
是
(2)下列各圖中∠1,∠2是對頂角嗎
不是
是
不是
不是
即時測評
歸納總結：
鄰補角的特點:
①頂點相同;
②有一條公共邊,另一邊互為反向延長線;
③成對出現.
對頂角的特點:
①頂點相同;
②角的兩邊互為反向延長線;
③成對出現的.
范例應用
解：對頂角有∠1與∠3， ∠2與∠4， ∠5與∠7， ∠6與∠8， ∠9與∠11， ∠10與∠12.
鄰補角有∠1與∠2， ∠1與∠4， ∠2與∠3， ∠3與∠4， ∠5與∠6， ∠5與∠8， ∠6與∠7， ∠7與∠8， ∠9與∠10， ∠9與∠12， ∠10與∠11， ∠11 與∠12.
例1 如圖所示，三條直線兩兩相交，你能說出圖中所有的對頂角、鄰補角嗎？
任務二 探究對頂角的性質
猜想：對頂角相等
C
O
A
B
D
4
3
2
1
問題：∠1 與∠3在數量上又有什么關系呢？
思考：你能利用有關知識來驗證∠1 與∠3的數量關系嗎？
在上學期我們已經知道互為補角的兩個角和為180°，因而互為鄰補角的兩個角和為180°.
O
A
B
C
D
4
3
2
1
已知：直線AB與CD相交于O點(如圖),試說明:∠1=∠3
解：因為直線AB與CD相交于O點,
所以∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°，
所以∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
根據以上探究過程，你能用數學語言歸納發現的結論嗎？
對頂角相等
例2 (1)如圖,直線a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度數
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
所以∠2=180°－∠1=140°,
因為∠3=∠1,
所以∠3=40°,
解:
所以∠4=∠2=140°.
(2)若∠1 +∠3 = 80°，求各個角的度數．
(3)若∠2 是∠1 的 3 倍，求各個角的度數．
(4)若 ∠1 ：∠2 =1 ：8 ，求各個角的度數．
∠1=40°， ∠2=140°， ∠3=40°， ∠4=140°.
∠1=45°， ∠2=135°， ∠3=45°， ∠4=135°.
∠1=20°， ∠2=160°， ∠3=20°， ∠4=160°.
范例應用
歸納總結
對頂角和鄰補角經常在求角的度數的題目中同時用到，只要分清楚對頂角、鄰補角的性質，就是對頂角相等、鄰補角互補，此類題目容易解答.
當堂達標
叁
當堂達標
A.
1. 下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（　 ?。?br/>C
B.
C.
D.
2.（1）若∠1與∠2是對頂角，∠1=16 ，則∠2=______ ；
（2）若∠3與∠4是鄰補角，則∠3+∠4 =_______ .
3.若∠1與∠2為對頂角，∠1與∠3互補，則∠2+∠3= ______ .
180
180
16
4.如圖，直線AB、CD，EF相交于點O，∠1＝40°，
∠BOC＝110°，求∠2的度數．
解：因為∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.
因為∠BOF＝∠2 (對頂角相等)，
所以∠2＝70°(等量代換)．
課堂小結
肆
課堂小結
角的 名稱 特 征 性 質 相 同 點 不 同 點
對 頂 角
鄰 補 角 對頂
角相
等
鄰補
角互
補
②有公共頂點;
③沒有公共邊
①兩條直線相交形成的角；
①兩條直線相交而成；
②有公共頂點;
③有一條公共邊
①都是兩條直線相交而成的角；
③都是成對出現的
②都有一個公共頂點；
②兩直線相交時，對頂角只有兩對，鄰補角有四對
①有無公共邊；
課后作業
基礎題：1.課后習題 第 1題。
提高題：2.請學有余力的同學完成課后習題第2、3題
謝
謝(共19張PPT)
第七章 相交線與平行線
7.1　相交線
7.1.1　兩條直線相交
預習導學
課堂互動
中檔題
素養題
基礎題
預習導學
1.若兩個角有一條公共邊,且它們的另一邊　 　,具有這種位置關系的兩個角,互為鄰補角.
2.若兩個角有一個公共頂點,并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的　 　,具有這種位置關系的兩個角,互為對頂角.
3.對頂角　 　.
互為反向延長線
反向延長線
相等
課堂互動
知識點一　認識對頂角、鄰補角
例1　下列四個圖形中,∠1和∠2互為鄰補角的是( )
D
例2　如圖所示,直線AB與CD相交,∠1的對頂角是　 　,∠2的對頂角是　 　,∠1的鄰補角是　 　.
∠3
∠4
∠2和∠4
知識點二　對頂角、鄰補角的性質應用
例3　如圖所示,直線AB與CD相交于點O,若∠1+∠2=80°,則∠3等于
( )
A.100° B.120°
C.140° D.160°
例4　下列說法中,正確的是( )
A.相等的角是對頂角
B.互補的兩個角是鄰補角
C.有公共頂點且相等的兩個角是對頂角
D.不相等的兩個角一定不是對頂角
C
D
基礎題
1.(教材練習變式)下列各圖中,∠1與∠2是對頂角的是( )
A
A
A　 B　 C　 D
2.如圖所示,直線AB,CD相交于點O,∠AOD=140°,則∠AOC的度數是
( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
3.(2024廣西)已知∠1與∠2為對頂角,∠1=35°,則∠2=　 　°.
4.在括號內填寫依據.
如圖所示,因為直線a,b相交于點O,
所以∠1+∠3=180° (　 　),
∠1=∠2(　 　).
5.如圖所示是一把剪刀的示意圖,∠AOB=15°,如果要想使∠COD為40°,那么∠AOB應增加的度數是　 　.
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鄰補角互補
對頂角相等
25°
6.如圖所示,直線AB,CD交于點O,∠AOC∶∠COE=1∶2,若∠BOD=28°,則∠COE等于　 　度.
56
7.如圖所示,直線AB,CD,EF相交于點O.
(1)寫出∠COE的鄰補角;
(2)分別寫出∠COE和∠BOE的對頂角;
(3)如果∠BOD=60°,∠BOF=90°,求∠AOF和∠FOC的度數.
解:(1)∠COE的鄰補角為∠COF和∠EOD.
(2)∠COE和∠BOE的對頂角分別為∠DOF和∠AOF.
(3)因為∠BOF=90°,
所以∠AOF=90°.
又因為∠AOC=∠BOD=60°,
所以∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°.
中檔題
8.如圖所示,在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西66°的方向,輪船B在OA的反向延長線上,同時輪船C在東南方向,則∠BOC的大小為( )
A.45° B.31°
C.24° D.21°
D
180
9.如圖所示,直線AB,CD,EF相交于點O,則∠1+∠2+∠3=　 　°.
10.如圖所示,要測量兩堵墻所形成的∠AOB的度數,但人不能進入圍
墻,如何測量 請寫出你的測量方法,并說明幾何道理.
解:方法一:如圖①所示,延長AO到點C,測量∠BOC,利用鄰補角的數量關系求∠AOB.
∠AOB=180°-∠BOC.
圖①
方法二:如圖②所示,延長AO到點C,延長BO到點D,測量∠DOC,利用對頂角相等求∠AOB.
∠AOB=∠DOC.
圖②
11.如圖所示,直線AB,CD相交于點O,OE是一條射線,∠1∶∠3=2∶7,
∠2=70°.
(1)求∠BOD的度數;
(2)試說明:OE平分∠COB.
解:(2)因為∠1+∠COE+∠2=180°,∠2=70°,
所以∠COE=180°-∠1-∠2=180°-40°-70°=70°.
所以∠2=∠COE.所以OE平分∠COB.
素養題
12.(規律探究題)(1)三條直線相交,最少有　　個交點,最多有　　個交點,畫出交點最多的圖形,并數出圖形中對頂角和鄰補角的對數.
(2)四條直線相交,最少有　　　個交點,最多有　　　個交點,畫出交點最多的圖形,并數出圖形中對頂角和鄰補角的對數.
(3)以此類推,n條直線相交,最少有多少個交點 最多有多少個交點 對頂角有多少對 鄰補角有多少對 中小學教育資源及組卷應用平臺
7.1　相交線
7.1.1　兩條直線相交
學習目標
1.理解相交線、鄰補角、對頂角的概念;理解對頂角相等的性質.
2.通過學習鄰補角、對頂角等概念,體會它們在解決實際問題中的作用,并能用它們解釋生活中的一些現象.
自主探索
任務一　探究鄰補角與對頂角的概念
活動1　這里有一把剪刀，握緊剪刀的把手，就能剪開物體，你能說出其中的道理嗎？
1.如果把剪子的構造抽象成一個幾何圖形，會是什么樣的圖形？請你畫出這個圖形．
你能用幾何語言描述這個圖形嗎？
3.觀察圖形，同桌討論以下問題：
(1)兩條直線相交組成幾個角？
(2)∠1和∠2之間有怎樣的位置關系？∠1和∠3之間有怎樣的位置關系？
小結:(1)∠1與∠2是直線AB,CD相交得到的,有公共頂點O,且有一條公共邊OC,它們的另一邊互為反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為角.
(2)∠1與∠3是直線AB,CD相交得到的,它們有一個公共頂點O,沒有公共邊,并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為角.
找一找上圖中還有沒有鄰補角和對頂角，如果有，是哪兩個角？
【即時測評】
(1)下列圖中的∠1與∠2是鄰補角嗎 為什么
(2)下列各圖中∠1,∠2是對頂角嗎
例1 如圖所示，三條直線兩兩相交，你能說出圖中所有的對頂角、鄰補角嗎？
歸納總結：
鄰補角的特點:①頂點相同;②有一條公共邊,另一邊互為反向延長線;③成對出現.
對頂角的特點:①頂點相同;②角的兩邊互為反向延長線;③成對出現的.
任務二　探究對頂角的性質
活動2　我們在圖形中能準確地辨認對頂角,那么對頂角有什么性質呢
1.已知，直線AB與CD相交于O點(如圖所示),試猜想∠1、∠3的大小關系，并借助量角器或其他方式驗證你的想法.
2.你能用說理的方法推出∠1=∠3嗎
3.依照以上過程，猜想∠2與∠4的大小關系，并說明理由.
4.根據以上探究過程，你能用數學語言歸納發現的結論嗎？
例2.(1)如圖,直線a、b相交，∠1=40 ，求∠2，∠3，∠4的度數.
若∠1 +∠3 = 80°，求各個角的度數．
若∠2 是∠1 的 3 倍，求各個角的度數．
若∠1 ：∠2 =1：8 ，求各個角的度數．
當堂達標
1. 下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2.（1）若∠1與∠2是對頂角，∠1=16 ，則∠2= ；
（2）若∠3與∠4是鄰補角，則∠3+∠4 = .
3.若∠1與∠2為對頂角，∠1與∠3互補，則∠2+∠3= .
4.如圖，直線AB、CD，EF相交于點O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度數．
參考答案
當堂達標
1.C 2.(1)16 (2)180 3.180
4.解：因為∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°.
因為∠BOF＝∠2 (對頂角相等)，
所以∠2＝70°(等量代換)．
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7.1.1　兩條直線相交
課標摘錄 1.理解對頂角的概念. 2.探索并掌握對頂角相等的性質.
教學目標 1.理解對頂角和鄰補角的概念,能在圖形中辨認. 2.掌握對頂角相等的性質和它的推證過程. 3.通過探索鄰補角、對頂角的定義及對頂角相等的性質,培養學生的語言表達和書寫能力.
教學重難點 重點:鄰補角和對頂角的概念及對頂角相等的性質. 難點:在較復雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角.
教學策略 本節課從學生熟悉的生活情境出發,從剪刀的構造抽象出兩條直線相交,先引導學生觀察角的位置關系,猜想角之間的數量關系,再引導學生探究角之間的數量關系,學生經歷動手畫圖、觀察、推斷、交流、歸納總結等數學活動,初步感受學習幾何知識的方法,培養學生的觀察、轉化、推理能力和數學語言規范表達能力.
情境導入 問題:請同學們觀察圖片,說一說哪些道路是交錯的,那些是平行的 教師導入:圖中的道路是有寬度的,是有限長的,而且也不是完全直的,當我們把它們看成直線時,這些直線有些是相交線,有些是平行線.相交線、平行線都有許多重要性質,并且在生產和生活中有廣泛應用.所以研究這些問題對今后的工作和學習都是有用的,也將為后面的學習做些準備.我們先研究直線相交的問題.
新知初探 探究一　探究鄰補角與對頂角的概念 活動1　這里有一把剪刀,握緊剪刀的把手,就能剪開物體,你能說出其中的道理嗎 1.如果把剪刀的構造抽象成一個幾何圖形,會是什么樣的圖形 請你在練習本上畫出. 如圖所示:
2.你能用幾何語言描述這個圖形嗎 直線AB,CD相交于點O. 設計意圖:從現實生活中發現并提出簡單的數學問題吸引學生的注意,同時為得出兩條直線相交所成角的關系提供生活背景. 3.觀察圖形,同桌討論以下問題: (1)兩條直線相交組成幾個角 (2)合作探究:把四個角兩兩組合,按照兩個角的位置關系將角分類. 師生活動:學生討論,教師巡堂,預測會發現有不同的組合,教師請他們分別發言說出這么組合的緣由. (3)∠1和∠2之間有怎樣的位置關系 提示:分別從頂點和邊兩方面來看. 追問1:∠1和∠3之間有怎樣的位置關系 歸納總結:見課件. 追問2:找一找圖中還有沒有鄰補角和對頂角,如果有,是哪兩個角 學生口答:∠3與∠2、∠1與∠4、∠3與∠4也互為鄰補角,∠2和∠4也是對頂角. 【即時測評】見課件、導學案. 設計意圖:通過練習,進一步鞏固鄰補角和對頂角的知識,總結角的辨析題的做題方法,讓學生加深對定義的把握. 歸納總結:見課件. 鄰補角的特點:①頂點相同;②有一條公共邊,另一邊互為反向延長線;③成對出現. 對頂角的特點:①頂點相同;②角的兩邊互為反向延長線;③成對出現. 【例1】見課件. 師生活動:學生先獨立解答,然后請學生回答,教師給予恰當評析,肯定學生的成績,對出現的疑問給予鼓勵,幫助他們形成正確認知. 設計意圖:通過三條直線相交這種較為復雜的模型,提高學生思維度,加深對對頂角、鄰補角的概念的理解. 探究一　意圖說明 通過動手操作與觀察,幫助學生構建相交線的幾何模型,握緊把手時,兩個把手之間的角不斷變化,兩條相交線形成的角也在不斷變化,但是這些角之間存在不變的位置關系,這就引出了鄰補角和對頂角.結合圖形描述鄰補角和對頂角的概念,這樣描述,便于學生在圖形中辨認,教學時要引導學生抓住概念的本質,教會學生如何在圖形中辨認它們.再通過追問鞏固概念,糾正錯誤. 探究二　對頂角的性質 活動2　我們在圖形中能準確地辨認對頂角,那么對頂角有什么性質呢 問題1:已知,直線AB與CD相交于點O(如圖所示),試猜想∠1,∠3的大小關系,并借助量角器或其他方式驗證你的想法. 問題2:你能用說理的方法推出∠1=∠3嗎 注意:∠1與∠2互補不是給出的已知條件,而是分析圖形得到的,所以括號內不填已知,而填鄰補角定義. 追問1:依照以上過程,猜想∠2與∠4的大小關系,并說明理由. 追問2:根據以上探究過程,你能用數學語言歸納發現的結論嗎 歸納總結:對頂角相等.
【例2】見教材P3例1或課件、導學案. 師生活動:學生獨立思考與解答,學生代表發言,教師根據學生發言完成板書. 變式訓練一:若∠1+∠3=80°,求各個角的度數. 變式訓練二:若∠2是∠1的3倍,求各個角的度數. 變式訓練三:若∠1∶∠2=1∶8,求各個角的度數. 歸納總結:見課件. 設計意圖:變式訓練是數學揭示本質、挖掘思想、注重思維、提升素養的一種有效的方式和途徑.通過對本例題的探究以及對該題的變式練習,從多個角度鞏固了學生對對頂角與鄰補角性質的理解與應用. 探究二　意圖說明 緊扣本節課主線,讓學生先通過觀察得到結論,再對結論進行推理說明,最后用數學語言歸納總結出性質.學生經歷“觀察—猜想—驗證—總結”的研究過程,從而提高探索能力.要讓學生了解幾何語言的書寫要求,綜合提升學生對鄰補角、對頂角概念的理解,以及對對頂角相等的性質的掌握.通過分析與總結,教會學生方法,幫助學生理清解題思路.
當堂達標 見課件、導學案
課堂小結 1.什么是鄰補角 什么是對頂角 根據你的理解說一說. 2.對頂角具有什么性質 3.本節課你還有哪些收獲 還存在什么疑惑
板書設計 7.1　相交線 7.1.1　兩條直線相交 兩條直線相交求角的大小
教學反思
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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