資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
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2.4　質數和合數
教學目標 1.理解質數和合數的概念，明確質數和合數的內在特征，感受質數、合數和1與因數個數之間的關系。 2.學生在游戲探究、合作交流中經歷質數與合數概念形成的過程，滲透分類的數學思想，建構數的特征，體驗數學的探索與創造性，繼續發展數感和推理意識。 3.感受數學文化的魅力，培養學生勇于探索的科學精神。
教學重難點 1.理解和掌握質數和合數的概念。 2.正確判斷出質數或合數。
教學準備 課件、操作單、2張設計單。
目標落實 教師活動 學生活動 二次備課
在游戲中，提高學生學習興趣，培養學生觀察思考、動手操作的能力。 一、情境導入 活動一：游戲導入 1.喜歡玩游戲嗎？先來玩一個既動手又動腦的數學游戲。游戲規則： （1）根據長方形的面積，畫出對應的長方形，長和寬取整厘米數。 （2）畫出不同長方形的個數多的組獲勝。舉個例子來試一下。長方形的面積是6 cm2，可以畫出什么樣的長方形？ 一、發現問題 活動一：學生游戲 1.學生根據長方形面積數6 cm2，獨立思考和操作，畫出不同的長方形。 預設：面積數是6 cm2的長方形有兩個，分別是長3 cm、寬2 cm和長6 cm、寬1 cm的長方形。
培養學生分析問題、思考問題、提出猜想的能力。 2.規則是否已經明白了？接下來開始比賽。第一組長方形的面積是8 cm2，第二組是12 cm2。 　教師根據學生匯報，呈現長方形。 活動二：分析輸贏原因。第一組輸了，你們認為是什么原因？思考一下。 小結：我們猜測長方形的個數跟因數的個數有關系，接下來還要進行驗證。 2.第一組學生畫面積是8 cm2的長方形，第二組畫面積是12 cm2的長方形，完成操作單。 預設1：第一組，2個。分別是長8 cm、寬1 cm；邊長是4 cm。 預設2：第二組，3個。分別是長12 cm、寬1 cm；長6 cm、寬2 cm；長4 cm、寬3 cm。 第一組輸，第二組贏。 活動二：學生小組討論輸贏的原因。 預設1：可能跟因數個數有關系。 預設2：8和12的因數的個數不同。8的因數有4個，12的因數有6個。
通過自己設計游戲單，讓學生成為探究知識的主人，在驗證猜想的同時提高成就感和學習興趣。 二、引導合作 活動一：質數和合數概念 1.繼續玩游戲。前面是老師指定數，這次給大家一些數，自己來設計。（單位：cm2） 長方形的面積分別為 2、3、4、5、6、7、8、9 設計單 對方組 長方形的面積 （單位：cm2）自己組 長方形的面積 （單位：cm2）
2.說一說這么分配的理由。 二、探究問題 活動一：質數和合數概念 1.學生根據規則，小組活動，將給出的面積數分給對方組和自己組，保證拿出自己組任何一個數都能贏。（單位：cm2） 預設 對方組：2、3、5、7 自己組：4、6、8、9 2.學生匯報：對方組的面積數都只能畫出一個長方形，自己組的都能畫兩個。
鼓勵學生透過現象看本質，鍛煉學生觀察反思、分析總結的能力，提升數感。 活動二：深入分析：如何能贏。 1.繼續思考，給自己組什么樣的數就一定會贏？長方形的個數跟什么有關系？ 小結：通過分析，對應一個長方形的這些數，都是只有2個因數。對應兩個長方形的數至少有3個因數。 2.那么大一點的面積數，也是這樣嗎？下面在游戲中繼續來驗證。（單位：cm2） 長方形的面積分別為 10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20 設計單 對方組 長方形的面積 （單位：cm2）自己組 長方形的面積 （單位：cm2）
　把這些數繼續填在設計單里。 師根據學生回答進行及時評價和肯定。 3.總結贏的方法和竅門。 活動二：深入思考。 1.長方形的個數跟什么有關系？ 預設1：跟因數的個數有關系。 預設2：因數越多，畫的長方形就越多。 （2個因數） （至少3個因數） 2.本次用的數再大點，繼續根據規則，進行第三次小組活動。 也要保證，拿出任意一個自己都會贏對方。 預設：對方組11、13、17、19。這些都只能組成一個長方形。自己組10、12、14、15、16、18、20這些至少能組兩個長方形。 3.學生思考贏的方法和竅門。 預設：我們把只有兩個因數的數給對方，把至少有三個因數的數給了自己。
培養語言表達能力，能清晰表述思考過程，鍛煉思維嚴謹性，建構數的特征。 掌握質數與合數的內在特征。 滲透分類的數學思想，進一步發展數感。 活動三：觀察分析，確認長方形的個數和因數的關系。 1.對比以下兩組數的因數，有什么想和大家分享的嗎？ 一個長方形 2的因數：1、2 3的因數：1、3 5的因數：1、5 7的因數：1、7 11的因數：1、11 13的因數：1、13 17的因數：1、17 19的因數：1、19 至少兩個長方形 4的因數：1、4、2 6的因數：1、6、2、3 8的因數：1、8、2、4 9的因數：1、9、3 10的因數：1、10、2、5 12的因數：1、12、2、6、3、4 14的因數：1、14、2、7 15的因數：1、15、3、5 16的因數：1、16、2、8、4 18的因數：1、18、2、9、3、6 20的因數：1、20、2、10、4、5 2.繼續來透過現象看本質。因數的個數決定了長方形的個數。為什么只有兩個因數對應的就只有一個長方形呢，至少3個因數對應的就至少2個長方形呢？ 3.如果因數的個數更多點呢？ 活動四：質數、合數的定義。 1.今天研究的這兩類數在數學上很有價值，它們都有自己的名字，分別叫質數（素數）和合數。教師板書：質數和合數的定義。 2.誰來說說：什么樣的數是質數？什么樣的數是合數？在上面那幅圖中哪些是質數？哪些是合數？ 活動三：觀察分析，確認長方形的個數和因數的關系。 1.學生仔細觀察兩組數的因數的個數及特點，回答問題。 預設1：左邊這些數都有1和它自己本身兩個因數。 預設2：右邊的這些數，除了有1、它本身這兩個因數外，還有另外的數。 2.同桌間合作討論。 預設1：長方形要求面積的話，需要兩個數相乘，若是這個數有兩個因數的話就正好一個是長、一個是寬。 預設2：可以舉例說說。比如7，因數只有兩個，分別是1和7，所以只能對應長7、寬1。 預設3：8的因數有4個，畫長方形的時候可以長8、寬1，也可以長4、寬2。 3.學生思考因數的個數越多，畫出的長方形就會越多。 活動四：掌握質數、合數的定義。 1.學生根據質數和合數的定義，進行理解和記憶。 2.學生根據板書提示，陳述質數和合數定義并分析上圖中數的情況。 預設：數2、3、5、7、11、13、17、19都是質數。 數4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20都是合數。
學生自主建構知識，形成知識網絡，提高應用和合作探究的能力。 了解古人研究質數與合數的過程，體驗數學的探索與創造性，提高學習數學的興趣。 活動五：100以內質數表，根據因數的個數給自然數分類。 1.我們已經找到了20以內的質數和合數。老師說一個數，你來判斷行嗎？說說理由。 7、35、27、1 小結：根據因數的個數，我們可以把所有的自然數分為三類，分別是質數、合數和1。 2.你還能說幾個質數嗎？這樣的數能說的完嗎？ 活動六：制作100以內質數表。 1.想想怎樣找出100以內所有的質數，制成質數表。 2.找到方法后，同桌合作完成。 要求：邊找邊記憶，想一想，哪幾個數容易記錯？ 活動七：質數、合數名字的由來接下來解答學生的疑惑：為什么叫質數或者合數這樣的名字呢？一起來看看古人的研究。 有的數，用石頭能夠擺成幾排幾列的長方形。如：15塊石頭 有的數，只能將所有石頭擺成一個直條狀。如：5塊石頭 活動五：100以內質數表根據因數的個數給自然數分類。 1.學生依次根據質數合數的定義對7、35、27進行判斷。 預設：學生對1的判斷有分歧。 小組討論1的情況：1只有一個因數，所以它既不是質數也不是合數。 2.學生回答并說明理由。 預設：23、57等。 這樣的質數有無數個，說不完。 活動六：制作100以內質數表。 1.學生首先思考如何找到100以內所有的質數。 預設1：一個一個地驗證； 預設2：先去掉1，再把2的倍數、3的倍數、5的倍數、7的倍數依次去掉。 2.學生同桌合作，共同圈出100以內所有的質數。 預設：51、57、87、91等比較容易記混淆。 活動七：學生觀看課件，了解古人的研究歷程。
15塊石頭 合數（多排多列） 5塊石頭 質數（直條狀） 最本質的屬性——能否排列為一個多排多列的長方形。 質數，只能夠分成一堆或者是幾就等分成幾堆。 即：質數，只有1和它本身兩個因數。 如：5塊石頭 合數，還能夠被其他的數等分。 即：合數，除了1和它本身，還有其他的因數。 如：15還能夠被3和5等分。 《數理精蘊》把質數看作“數的根本”，稱為“數根”。但后來因“數根”為“樹根”同音。容易混淆，而“質”有根本的意思，所以改稱為“質數”。 國際上，多把質數看作是自然數的“元素”，所以又稱之為“素數”，由于合數可以看作是由質數合成的，就稱為“合數”。
加深鞏固判斷一個數是質數還是合數的方法。 培養學生知識應用、知識遷移和類推的能力。 培養綜合運用知識解決問題的能力，發展數據分析意識，提升數感。 三、輔導練習 1.基礎練習 把下面各數填入相應的框里。 9　 68　 21　 99　 37 49 87 56 8 63 5 59　 70　 75　 51 91　 16　 23 2.變式練習 （1）最小的質數是（　　）。 （2）最小的合數是（　　）。 3.提升練習 為推進節能環保，國家鼓勵新能源汽車消費。李叔叔新購一臺新能源汽車，車牌號是“魯AD ”，后五位數從左往右數，第一位是最小的質數，第二位的最小倍數是3，第三位是最小的合數，第四位既不是質數也不是合數，第五位的最大因數是9，你知道這個車牌號的后五位數是多少嗎？ 三、解決問題 1.基礎練習 逐一分析，并根據質數、合數、奇數、偶數的定義說清理由。 2.變式練習 （1）根據題目填空，最小的質數是2，最小的合數是4。 （2）思考：有沒有最大的質數和合數？ （3）介紹：古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》中，就證明了素數有無窮多個。 （4）現在找到的最大質數： 282589933-1，它是一個24862048位數。 3.提升練習 預設：最小的質數是2， 3的最小的倍數是它本身3， 最小的合數是4， 1既不是質數也不是合數， 9的最大因數是它本身9， 所以車牌號后五位是23419。
拓展知識，感受數學在生活實際中的應用。 養成愛探究、善于學習的意識，感悟數學的魅力。 四、引導反思 活動一：盡管我們感覺質數和合數在日常生活中的應用較少，但實際上在信息安全、機械制造、導彈、魚雷的發射等高精尖領域的應用卻非常廣泛，所以一直是數論的一個重要的研究內容。 活動二：數論的研究，經常需要對數的關系進行猜想和驗證，能不能根據我們今天學習的知識猜測一下，合數和質數之間有沒有什么樣的關系呢？ 數學上有一個很偉大的猜想——哥德巴赫猜想，通過資料來了解一下。 到目前為止，哥德巴赫猜想還沒有得到證明，希望你們努力學習，試著驗證這個猜想！ 四、提升問題 活動一：學生嘗試猜測。 預設1：兩個質數的積是合數，比如2×3=6。 預設2：兩個質數的和是合數，比如5+7=12。 活動二：根據教師提供的繼續學習資源，課后繼續進行探究。 哥德巴赫猜想 從上面的資料我們看到：4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=7+3，12=7+5，14=11+3……那么，是不是所有大于2的偶數，都可以表示兩個質數的和呢？ 這個問題是德國數學家哥德巴赫最先提出的，所以被稱作哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想看似簡單，要證明卻非常困難，成為數學中一個著名的難題，被稱為“數學皇冠上的明珠”。世界各國的數學家都想攻克這一難題，但至今還未解決。我國數學家陳景潤在這一領域取得了舉世矚目的成果。
板書設計 質數和合數 自然數
（0除外） 100以內質數表 2　3　5　7　11　13　17　19　23　29　31　37　41　43　47　53　59　61　67　71　73　79　83　89　97
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
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