資源簡介

第2課時　定理與證明
教師備課　素材示例
●復習導入　判斷下列語句是不是命題，是命題的指出命題的題設和結論，并判斷此命題是否是真命題．
(1)畫射線AC；
(2)同位角相等嗎？
(3)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行；
(4)任意兩個直角都相等；
(5)如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點；
(6)若|x|＝|y|，則x＝y.
解：(1)(2)不是命題；(3)題設是兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補，結論是這兩條直線平行，真命題；(4)題設是任意兩個直角，結論是這兩個角相等．真命題；(5)題設是兩條直線相交，結論是只有一個交點，真命題；(6)題設是|x|＝|y|，結論是x＝y，假命題．
【教學與建議】教學：復習識別命題，確定命題的題設和結論，并辨別真假命題，為新課作下鋪墊．建議：由易到難，選擇不同層次學生回答問題．
●情景導入　阿基米德，古希臘人，是科學家、數學家、物理學家、天文學家，被稱為“力學之父”，他曾經去埃及的亞歷山大城向歐幾里德學習過數學，他的著名成就是發明了三大定理，你知道是哪些嗎？
杠桿原理，就是動力臂×動力＝阻力臂×阻力；浮力原理，就是液體里物品受到的浮力就是它排出液體的體積的液體重量，如曹沖稱象故事；求積原理，創立“窮竭法”，也就是現在的逐步近似求極限的方法，故他被稱為“微積分計算的鼻祖”，如求圓、橢圓面積，球體的表面積公式．
【教學與建議】教學：用科普阿基米德三大定理的事跡導入課題，激發學生對物理和數學的學習興趣．建議：可提問你知道三大定理在生活中的運用嗎？
·命題角度1　識別定理
命題的正確性是通過推理證實的，這樣的真命題叫作定理．
【例1】“垂線段最短”有下列說法：①是命題；②是假命題；③是真命題；④是定理．其中，正確的說法有(B)
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【例2】為抄近路踐踏草坪是一種不文明現象，請你用數學知識解釋出現這一現象的原因：__兩點之間，線段最短__．
·命題角度2　證明
在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫作證明．證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”，這些根據，可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實、定理等．
【例3】閱讀下列材料，其①～④步中數學依據錯誤的是__②__．
如圖：已知直線b∥c，a⊥c，求證：a⊥b.
證明：①∵a⊥c(已知)，
∴∠2＝90°(垂直的定義)．
又∵b∥c(已知)，
②∴∠1＝∠2(同位角相等，兩直線平行).
③∴∠2＝∠1＝90°(等量代換).
④∴a⊥b(垂直的定義)．
【例4】在下面的括號內，填上推理的根據：
如圖，已知AD⊥BC于點D，DE∥AB，∠1＝∠3，求證：FG⊥BC.
證明：∵DE∥AB(已知)，
∴∠1＝∠2(__兩直線平行，內錯角相等__).
又∵∠1＝∠3(已知)，
∴∠2＝∠3(__等量代換__)，
∴AD∥FG(__同位角相等，兩直線平行__)，
∴∠BGF＝∠BDA(__兩直線平行，同位角相等__).
∵AD⊥BC(已知)，
∴∠BDA＝90°(__垂直的定義__)，
∴∠BGF＝90°(__等量代換__)，
∴FG⊥BC(__垂直的定義__).
教學設計
1．了解命題中真命題、假命題的含義以及命題的構成，領會和理解命題、證明和定理的含義．
2．體驗、理解證明的重要性．
3．理解證明命題的思路、書寫的格式，能對推理證明有初步認識．
▲重點
定理的證明過程．
▲難點
按規定格式表達證明的過程．
◆活動1　新課導入
我們知道，舉一個反例就可以證明一個命題是假命題，那么如何證實一個命題是真命題呢？用以前學過的觀察、實驗、驗證特例等方法來證明可靠嗎？能不能根據已經知道的真命題證實呢？那已經知道的真命題又是如何證實的？
◆活動2　探究新知
探究1　請看下面幾位同學之間的討論：(多媒體出示課件)
探究2　定理與證明
1．舉例數學學習中公認的真命題．
(1)兩點確定一條直線；
(2)兩點之間線段最短；
(3)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
(4)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行．
2．這些真命題是怎樣產生的？
有些命題可以從基本事實出發；有些命題用邏輯推理的方法判斷它們是正確的．
3．探究證明
根據定義以及基本事實定理等，通過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這就是證明．
如圖，有下列三個條件：
①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C.
(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題，請寫出來；
(2)請你就其中的一個真命題給出推理過程．
解：(1)一共組成3個命題．
題設①②結論③；題設①③結論②；題設②③結論①；
(2)題設①②結論③.
證明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C(兩直線平行，內錯角相等).
∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C.(答案不唯一)
◆活動3　知識歸納
(1)定理是經過推理證實的__真命題__，是在今后推理中經常作為依據的一種真命題．但不是所有經過推理證實的真命題都能把它當作定理；
(2)在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫作__證明__．
◆活動4　例題與練習
例1　如圖，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，這個命題是真命題嗎？若不是，請你再添加一個條件，使該命題成為真命題，并證明．
解：如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，不是真命題．
添加條件為BE∥DF，
證明過程如下：
∵BE∥DF，∴∠MBE＝∠BDF(兩直線平行，同位角相等)，
∵∠1＝∠2，∴∠MBE＋∠1＝∠BDF＋∠2，即∠MBA＝∠BDC，
∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行).
幾何證明的一般步驟：(課件)
1．根據題意畫出圖形．
2．根據命題的題設和結論結合圖形，寫出已知、求證．
3．通過分析，找出證明的方法，寫出證明過程．
注意點：
1．引用的理由與定理的證明相同．
2．根據可以是已知條件，也可以是學過的__定義__、__基本事實__、__定理__等．
3．判斷一個命題是錯誤的，只要舉出一個__例子(反例)__，它符合命題的__題設__，但不滿足結論．
例2　已知∠1＝∠2，∠3是∠1的補角，∠4是∠2的補角．求證：∠3＝∠4.
證明：∵∠3是∠1的補角，∠4是∠2的補角，
∴∠3＋∠1＝180°，∠4＋∠2＝180°(補角的定義).
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4(等量代換).
例3　求證：兩條直線平行，一組內錯角的平分線互相平行．
解：如圖，已知：AB∥CD，直線AB，CD被直線MN所截，交點分別為P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.求證：PG∥HQ.
證明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(兩直線平行，內錯角相等).
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝∠BPQ，∠HQP＝∠CQP(角平分線的定義)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代換)，
∴PG∥HQ(內錯角相等，兩直線平行).
練習
1．教材P24　練習第1，2題．
2．有下列命題：①真命題都是定理；②定理都是真命題；③假命題不是命題；④公理都是命題；⑤真命題不是公理就是定理；⑥命題都是由題設和結論兩部分組成．其中，是真命題的有(B)
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
3．證明：同角的余角相等．
解：如圖，已知：∠AOC＋∠BOC＝90°，∠BOD＋∠BOC＝90°.
求證：∠AOC＝∠BOD.
證明：∵∠AOC＋∠BOC＝90°，∠BOD＋∠BOC＝90°(已知)，
∴∠AOC＝∠BOD(等式的性質).
4．(1)如圖，已知：直線AB，CD，EF被直線BF所截，∠B＋∠1＝180°，∠2＝∠3.證明：∠B＋∠F＝180°；
(2)你在(1)的證明過程中應用了哪些定理和基本事實．
解：(1)∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD(同旁內角互補，兩直線平行).
∵∠2＝∠3，∴CD∥EF(內錯角相等，兩直線平行)，
∴AB∥EF，
∴∠B＋∠F＝180°(兩直線平行，同旁內角互補)；
(2)在(1)的證明過程中應用的定理和基本事實有：同旁內角互補，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，同旁內角互補．
◆活動5　完成練習
◆活動6　課堂小結
定理與證明．
1．作業布置
(1)教材P24～25　習題7.3第2，3，4題；
(2)對應課時練習．
2．教學反思

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