資源簡介

7.3 定義、命題、定理
1.理解定義、命題、定理的概念，能區分命題的條件和結論.（重點）
2.了解真命題和假命題的概念，能判斷一個命題的真假性，并會對命題舉反例.（難點）
3.發展初步的演繹推理能力，初步養成有條理的思維品質，感悟數學的嚴謹.
一、新課導入
[情境導入]小華與小剛正在津津有味地閱讀《我們愛科學》.
小華：這個黑客終于被逮住了.
小剛：是的,現在的因特網廣泛運用于我們的生活中,給我們帶來了方便,但……
坐在旁邊的兩個人一邊聽著他們的談話，一邊也在悄悄地議論著.
A:這個黑客是個小偷么？
B:可能是個喜歡穿黑衣服的賊.
A:那因特網一定是一張很大的網？
B:估計是英國造的特殊的網.
教師提問：聽完這則故事，你有什么想法？
二、新知探究
（一）定義
[課件展示]前面，我們在學習一些新的數學對象時，對它們進行了清晰、明確的描述.例如:
(1)規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸;
(2)使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解;
(3)從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫作這個角的平分線;
(4)直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.
總結：這樣的描述稱為數學對象的定義.
一個數學對象的定義揭示了它的本質特征，能夠幫助我們準確地理解它，并作出準確的判斷.
例如，“數軸”指的是一條直線，而且這條直線上有規定的原點、正方向和單位長度;根據方程的解的定義，可以判斷x=是方程2x=3的解.
（二）命題
[提出問題]請記錄并觀察，說出這些語句的共同特征.
(1)等式兩邊加同一個數，結果仍相等；
(2)對頂角相等；
(3)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行；
(4)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補；
(5)如果一個數能被2整除，那么它也能被4整除.
[交流討論]學生觀察并思考，小組之間交流討論，得出結論：都是在對一件事進行判斷，前4個語句都是正確的，第5個語句是錯誤的.
[歸納總結]像這樣可以判斷為正確（或真）或錯誤（或假）的陳述語句，叫作命題.被判斷為正確(或真)的命題叫作真命題，被判斷為錯誤(或假)的命題叫作假命題.
注意：
1.只要對一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題.
2. 如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題.
[典型例題]例1 判斷下列語句是不是命題？若是用“√”，若不是用“× 表示.
(1) 長度相等的兩條線段是相等的線段嗎 ( × )
(2) 兩條直線相交，有且只有一個交點（ √ ）
(3) 不相等的兩個角不是對頂角（ √ ）
(4) 相等的兩個角是對頂角（ √ ）
(5) 取線段 AB 的中點 C （ × ）
(6) 畫兩條相等的線段（ × ）
[提出問題]觀察下列命題，你能發現這些命題有什么共同的結構特征？與同伴交流.
(1) 如果兩個三角形的三條邊分別相等，那么這兩個三角形的周長相等；
(2) 如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數也相等；
(3) 如果一個數的平方等于 9，那么這個數是 3.
[交流討論]學生觀察并思考，小組之間交流討論，得出結論：都是“如果……那么……”的形式.
[歸納總結]命題一般都可以寫成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是題設.
2.“那么”后接的部分是結論.
示例：如命題“熊貓沒有翅膀”可改寫為：如果這個動物是熊貓，那么它就沒有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語句要通順，使命題的題設和結論更明確，易于分辨，改寫過程中，要適當增加詞語，切不可生搬硬套.
[典型例題]例2 請將下列命題改寫成“如果......那么......”的形式.
(1) 同位角相等.
(2) 垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直.
(3) 過一點有且只有一條直線與已知直線平行.
解：（1）如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等.
（2）如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相垂直.
（3）如果過一點向已知直線作平行線，那么這種直線有且只有一條.
[歸納總結]
注意：由題設和結論組成的命題，如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題就是正確的;如果題設成立，不能保證結論一定成立，這樣的命題就是錯誤的.
（三）定理與證明
[課件展示]有些命題的正確性是經過推理證實的，這樣得到的真命題叫作定理.定理也可以作為繼續推理的依據.學過的定理：
1. 補角的性質：同角或等角的補角相等.
2. 余角的性質：同角或等角的余角相等.
3. 對頂角的性質：對頂角相等.
4. 垂線的性質：①在同一平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②垂線段最短.
在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫作證明.
注意：每一步推理都要有根據，不能“想當然”.這些根據，可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實、定理等.
[典型例題]例3 如圖，已知直線a⊥b，b//c，求證a⊥c.
證明:∵a⊥b(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定義).
∵b//c(已知)，
∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等).
∴∠2=90°(等式的基本事實).
∴ a⊥c(垂直的定義).
思考：如何判定一個命題是假命題呢？
[課件展示]例如，要判定命題“相等的角是對頂角”是假命題，可以舉出如下反例：如圖，OC 是∠AOB 的平分線， ∠1 =∠2，但它們不是對頂角.
確定一個命題是假命題的方法：判斷一個命題是錯誤的，只要舉出一個例子(反例)，它符合命題的題設，但不滿足結論就可以了.
三、課堂小結
1. 命題的定義：判斷一件事情的句子.
2. 命題的組成：題設和結論.
四、課堂訓練
1. 下列語句中，不是命題的是 (　D　)
A. 兩點之間，線段最短
B. 對頂角相等
C. 不是對頂角不相等
D. 過直線 AB 外一點 P 作直線 AB 的垂線
2. 下列關于命題的描述中，正確的是 ( C )
A. 命題一定是正確的
B. 真命題一定是定理
C. 定理一定是真命題
D. 一個反例不足以說明一個命題為假命題
3.舉反例說明下列命題是假命題．
(1) 若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等；
(2) 若 ab＝0，則 a＋b＝0.
解：(1) 兩條平行線被第三條直線所截形成內錯角，其中一對內錯角不是對頂角，但是它們相等.
(2) 當 a＝5，b＝0 時，ab＝0，但 a＋b ≠ 0.
4. 如圖，現有以下 3 個條件：①AB//BC；②∠B = ∠C；③∠E = ∠F.請以其中的兩個條件為題設，另一個條件為結論構造命題.
(1) 你構造的是哪幾個命題？
(2) 請選擇其中的一個真命題加以證明.
解：(1)若 AB//CD，∠B = ∠C，則∠E = ∠F.
若 AB//CD，∠E = ∠F，則∠B = ∠C.
若 ∠B = ∠C，∠E = ∠F，則AB//CD.
(2)以選擇“若 AB//CD，∠B = ∠C，則∠E = ∠F”為例：
證明：如圖，∵AB//CD， ∴∠B = ∠CDF.
又∠B = ∠C，∴∠C = ∠CDF.
∴CE//BF.∴∠E = ∠F.
在本節課的教學中，學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，學會有條理地、清晰地闡述自己的觀點.命題是數學教學的基本依據，經過推理證實的命題可以作為繼續推理的依據（如定理）.所以認識命題的定義、結構、真假是數學學習的重要任務之一.

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