資源簡介

7.1相交線
7.1.2 兩條直線垂直
1.理解垂線、垂線段的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線.（重點）
2.掌握點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離.（重點）
3.掌握垂線的性質，并會利用所學知識進行簡單的推理，發展推理能力和數學表達能力.（難點）
一、新課導入
[情境導入]觀察下列圖片，你能找出其中相交的直線嗎？它們有什么特殊的位置關系？
日常生活里，有圖中位置關系的兩條直線很常見，你能再舉出其他例子嗎？
二、新知探究
（一）垂直、垂線、垂足的概念
[課件展示]在相交線的模型中，固定木條a，轉動木條b，當b的位置變化時，a，b所成的角α也會發生變化.
[提出問題](1)當∠α分別為35°，90°時，其余的角分別是多少？
(2) 當∠α為90°的位置關系有幾個？此時，木條a和木條b所在的直線有什么樣的位置關系？
a 與 b 垂直,記作 a⊥b.
[提出問題]如圖，直線 AB，CD相交于點 O，當∠AOC = 90°時，∠BOD，∠AOD，∠BOC的度數是多少？為什么？
由對頂角和鄰補角的性質可知，當∠AOC = 90° 時，∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°.
[歸納總結]
垂直的定義：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直.
垂直的表示方法：如果直線 AB 與直線 CD 垂直，那么可記作：AB⊥CD.
如果用 l,m 表示這兩條直線，那么直線 l 與直線 m 垂直，可記作：l⊥m.
互相垂直的兩條直線的交點叫作垂足（如圖中的 O點）.
[典型例題]例1 (1)如圖1，直線m，n交于點O，∠1=90°，則m ⊥ n；
(2)若直線AB，CD相交于點O，且AB⊥CD，則 ∠BOD= 90 ° ；
(3)如圖2，BO⊥AO，∠BOC與∠BOA的度數之比為 1∶ 5，那么∠COA＝ 72 °，∠BOC的補角為
162 °.
（二）垂線的畫法及基本事實
[課件展示]探究 (1)畫已知直線l的垂線能畫幾條
(2)過直線l上的一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫幾條
(3)過直線l外的一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫幾條
如圖，已知直線 l和 l 上的一點 A，過點 A 畫 l 的垂線.
歩鄹：1.放；2.靠；3.移；4.畫.
[歸納總結]垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
注意：
1.“過一點”中的點，可以在已知直線上，也可以在已知直線外.
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”強調唯一性.
（三）點到直線的距離
[課件展示]在灌溉時，要把河中的水引到農田 P 處，如何挖掘能使渠道最短？請轉化成數學問題并找出最短的位置.
如圖，從 A 點向已知直線 l 引一條垂直的線段 AD（即點 A 到直線 l 的垂線段）和幾條不垂直的線段 AB，AC，AE.
說一說：
1. 線段 AB，AC，AD，AE 中誰最短？
2. 你能用一句話表示這個結論嗎？
[歸納總結]連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．
簡單說成：垂線段最短．
線段AD的長度叫作點到直線的距離.
三、課堂小結
四、課堂訓練
1.下列條件：①兩直線相交所成的四個角都是直角；②兩直線相交，對頂角互補；③兩直線相交所成的四個角都相等.其中，可以判定兩條直線互相垂直的是（ D ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2.如圖，下列說法正確的是（ D ）
A.線段 AB 叫作點 B 到直線 AC 的距離
B.線段 AB 的長度叫作點 A 到直線 BC 的距離
C.線段 BD 的長度叫作點 D 到直線 BC 的距離
D.線段 BD 的長度叫作點 B 到直線 AC 的距離
3. 如圖，直線 AB，CD 相交于點E，EF⊥AB于點
E，若∠CEF = 58°，則∠BED 的度數為 32° .
4.如圖，AO⊥FD，OD 為∠BOC 的平分線，OE 為
射線OB 的反向延長線，若∠AOB = 40°，求∠EOF，
∠COE 的度數．
解：因為 AO⊥FD，且∠AOB = 40°，
所以∠BOD = 90°－40° = 50°.
所以∠EOF =∠BOD = 50°.
又 OD 平分∠BOC，
所以∠BOC = 2∠BOD = 100°.
所以∠COE = 180°－∠BOC = 180°－100°=
80°．
垂線的性質和定義都是通過操作、探究獲得的. 對于探究垂線的性質，需要讓學生動手畫圖，再經過小組討論，體會垂線的存在性和唯一性，歸納出“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”這一性質；“垂線段最短”的性質在日常生活中有著廣泛的應用，可以由實際問題引入，由解決實際問題結束.教學時，應多舉一些生活中的實例，讓學生體會數學與生活的聯系，同時發展學生的抽象概括能力和空間觀念.

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